%% This is a LaTeX document. Hey, Emacs, -*- latex -*- , get it? \documentclass[12pt,a4paper]{article} \usepackage[francais]{babel} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} %\usepackage{ucs} \usepackage{times} % A tribute to the worthy AMS: \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsthm} % \usepackage{mathrsfs} \usepackage{wasysym} \usepackage{url} % \usepackage{xr-hyper} % \usepackage{graphics} \usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor} \usepackage{tikz} \usetikzlibrary{matrix,calc} \usepackage{hyperref} % \externaldocument{notes-accq205}[notes-accq205.pdf] % \theoremstyle{definition} \newtheorem{comcnt}{Tout} \newcommand\thingy{% \refstepcounter{comcnt}\smallbreak\noindent\textbf{\thecomcnt.} } \newcommand\exercice{% \refstepcounter{comcnt}\bigbreak\noindent\textbf{Exercice~\thecomcnt.}} \renewcommand{\qedsymbol}{\smiley} % \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\Frac}{\operatorname{Frac}} \newcommand{\degtrans}{\operatorname{deg.tr}} \newcommand{\Frob}{\operatorname{Frob}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\sep}{\operatorname{sep}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\Fix}{\operatorname{Fix}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Divis}{\operatorname{Div}} \newcommand{\divis}{\operatorname{div}} \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} \newcommand{\ord}{\operatorname{ord}} % \DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~} % \DeclareMathSymbol{\tiret}{\mathord}{operators}{"7C} \DeclareMathSymbol{\traitdunion}{\mathord}{operators}{"2D} % \DeclareFontFamily{U}{manual}{} \DeclareFontShape{U}{manual}{m}{n}{ <-> manfnt }{} \newcommand{\manfntsymbol}[1]{% {\fontencoding{U}\fontfamily{manual}\selectfont\symbol{#1}}} \newcommand{\dbend}{\manfntsymbol{127}}% Z-shaped \newcommand{\danger}{\noindent\hangindent\parindent\hangafter=-2% \hbox to0pt{\hskip-\hangindent\dbend\hfill}} % \newcommand{\spaceout}{\hskip1emplus2emminus.5em} \newif\ifcorrige \corrigetrue \newenvironment{corrige}% {\ifcorrige\relax\else\setbox0=\vbox\bgroup\fi% \smallbreak\noindent{\underbar{\textit{Corrigé.}}\quad}} {{\hbox{}\nobreak\hfill\checkmark}% \ifcorrige\relax\else\egroup\fi\par} % % % \begin{document} \ifcorrige \title{Exercices courbes algébriques — Corrigé} \else \title{Exercices courbes algébriques} \fi \author{David A. Madore} \maketitle \centerline{\textbf{ACCQ205}} {\footnotesize \immediate\write18{sh ./vc > vcline.tex} \begin{center} Git: \input{vcline.tex} \end{center} \immediate\write18{echo ' (stale)' >> vcline.tex} \par} \pretolerance=8000 \tolerance=50000 % % % \exercice Soit $k$ un corps de caractéristique $\neq 2,3$, et soient $a,b\in k$. (1) Donner une condition sur $a,b$ nécessaire et suffisante pour que le polynôme $x^3 + ax + b \in k[x]$ soit séparable (c'est-à-dire, premier avec sa dérivée, ou encore, sans racine multiple dans $k^{\alg}$). \begin{corrige} La dérivée de $f := x^3 + ax + b$ est $f' = 3x^2 + a$. Leur résultant (i.e., le discriminant de $f$) est donc égal au déterminant de la matrice de Sylvester \[ \begin{pmatrix} 1&0&a&b&0\\ 0&1&0&a&b\\ 3&0&a&0&0\\ 0&3&0&a&0\\ 0&0&3&0&a\\ \end{pmatrix} \] c'est-à-dire $\Delta := 4a^3 + 27b^2$ (en écrivant le déterminant de la matrice $(c_{i,j})$ où $i$ est l'indice de la ligne et $j$ celui de la colonne comme $\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_5} \mathop{\mathrm{sgn}}(\sigma) \prod_{i=1}^5 c_{i,\sigma(i)}$ on trouve ici $1\cdot 1\cdot a\cdot a\cdot a - 1\cdot a\cdot a\cdot 3\cdot a - a\cdot 1\cdot 3\cdot a\cdot a + a\cdot a\cdot 3\cdot 3\cdot a + b\cdot b\cdot 3\cdot 3\cdot 3 = (1-3-3+9)a^3 + 27 b^2$). \end{corrige} \smallbreak (2) Soit $h := y^2 - x^3 - ax - b \in k[x,y]$. Montrer que $h$ est irréductible (on pourra le considérer comme un élément de $k(x)[y]$) et même géométriquement irréductible (cf. \ref{geometric-irreducibility}). \begin{corrige} On peut voir $h$ dans $k(x)[y]$, il est de la forme $y^2 - f$ avec $f := x^3 + ax + b \in k(x)$. Pour montrer qu'il est irréductible dans $k(x)[y]$, il suffit de montrer que $f$ n'est pas un carré dans $k(x)$ : ceci impliquera alors que $h$ est encore irréductible dans $k[x,y]$ d'après le lemme de Gauß (\ref{gauss-lemma-on-irreducibility} : le pgcd dans $k[x]$ des coefficients de $h\in k[x][y]$ étant évidemment $1$ puisque le coefficient de $y^2$ est $1$). Or $f$ n'est pas un carré dans $k(x)$, car il en serait un dans $k[x]$ (grâce à la décomposition en facteurs irréductibles), et son degré serait pair. Comme le raisonnement qu'on vient de faire ne dépend pas de $k$, il est encore valable dans $k^{\alg}$, c'est-à-dire que $h$ est géométriquement irréductible. \end{corrige} \smallbreak On pose $A := k[x,y]/(h)$ (anneau intègre d'après la question (2)) et $K := \Frac(A) = k(x,y : h=0)$ le corps des fonctions de la courbe plane $E$ d'équation $h = 0$. Qyand le contexte est clair, on se permettra de noter simplement $x,y$ les éléments $\bar x,\bar y$ de $A$, ou de $K$, qui sont les classes modulo $h$ des indéterminées $x,y$ de $k[x,y]$. (3) Expliquer pourquoi tout élément de $K$ s'écrit de façon unique sous la forme $f_0 + f_1 y$ avec $f_0,f_1 \in k(x)$. Expliquer comment effectuer les opérations (addition, multiplication, inverse) sur cette représentation. Expliquer pourquoi tout élément de $K$ s'écrit également de façon unique sous la forme $g_0 + g_1 x + g_2 x^2$ avec $g_0,g_1,g_2 \in k(y)$. Comment passer d'une représentation à l'autre ? À titre d'exemple, exprimer $\frac{1}{y}$ sous la forme $f_0 + f_1 y$, et exprimer $\frac{1}{x}$ et $\frac{1}{x^2}$ sous la forme $g_0 + g_1 x + g_2 x^2$. \begin{corrige} On a $K = k(x)[y]/(h)$ (corps de rupture de $h$ sur $k(x)$) car il est engendré par $y$ algébrique sur $k(x)$ d'équation minimale $h=0$. Par division euclidienne par $h$ (polynôme de degré $2$) dans $k(x)[y]$, on voit tout élément de $K$ de façon unique sous la forme d'un polynôme $f_0 + f_1 y$ de degré $<2$ en $y$, à savoir le reste de la division euclidienne par $h$ dans $k(x)[y]$. L'addition se fait terme à terme (sur $f_0,f_1$). La multiplication se fait en développant et en utilisant $y^2 = x^3 + ax + b$ pour éliminer l'éventuel terme en $y^2$. L'inverse se calcule en calculant une relation de Bézout entre $f_0 + f_1 y$ et $h$ dans $k(x)[y]$ (si $u (f_0 + f_1 y) + w h = 1$ avec $u,w \in k(x)[y]$ alors $u$ est l'inverse de $f_0 + f_1 y$). Les mêmes remarques valent pour $K = k(y)[x]/(h)$ avec cette fois $h$ vu comme un élément de $k(y)[x]$, de degré $3$ en $x$. On peut donc écrire tout élément de $K$ de façon unique sous la forme d'un polynôme $g_0 + g_1 x + g_2 x^2$ de degré $<3$ en $x$, qui est aussi le reste de la division euclidienne par $h$ cette fois dans $k(y)[x]$. Les mêmes remarques valent \textit{mutatis mutandis} pour les opérations. Pour passer d'une représentation à l'autre, on peut utiliser le fait qu'on sait calculer les opérations sous l'une ou l'autre forme pour calculer la valeur d'une forme sous l'autre. À titre d'exemple, pour représenter $\frac{1}{y}$ sous la forme $f_0 + f_1 y$, on calcule une relation de Bézout $u y + w h = 1$ entre $y$ et $h$ dans $k(x)[y]$, qui est trivialement $\frac{y}{x^3 + ax + b}\times y - \frac{1}{x^3 + ax + b}\times h = 1$, c'est-à-dire que $\frac{1}{y} = \frac{1}{x^3 + ax + b}\,y$ dans $K$. De même, pour représenter $\frac{1}{x}$ sous la forme $g_0 + g_1 x + g_2 x^2$, on écrit $\frac{x^2+a}{y^2-b}\times x + \frac{1}{y^2-b}\times h = 1$ dans $k(y)[x]$, c'est-à-dire $\frac{1}{x} = \frac{a}{y^2-b} + \frac{1}{y^2-b} x^2$ dans $K$, et on peut calculer $\frac{1}{x^2}$ soit en élevant cette quantité au carré soit en calculant une nouvelle relation de Bézout, en tout cas $\frac{1}{x^2} = \frac{a^2}{(y^2-b)^2} + \frac{1}{y^2-b} x + \frac{a}{(y^2-b)^2} x^2$. \end{corrige} \smallbreak (4) Montrer que si $v$ est une valuation de $K$ au-dessus de $k$, on a $v(x) < 0$ si et seulement si $v(y) < 0$. Montrer qu'il existe au plus une valuation vérifiant ces conditions (il pourra être utile de remarquer que si $f_0, f_1 \in k(x)$ alors $v(f_0)$ et $v(f_1 y)$ ne peuvent jamais être égaux) : que valent exactement $v(x)$ et $v(y)$ ? Montrer qu'une telle valuation existe bien. On appellera cette place « point à l'infini » de $E$ et on la notera $\heartsuit$. \begin{corrige} Si $v$ est une valuation de $K$ au-dessus de $k$ telle que $r := v(x) < 0$ alors $v(x^3 + ax + b) = 3r$, c'est-à-dire $v(y^2) = 3r$, donc $v(y) = \frac{3}{2}r < 0$. Réciproquement, si $v(y) < 0$ alors $v(y^2) < 0$ donc $v(x^3 + ax + b) < 0$ et ceci interdit $v(x) \geq 0$ (car on aurait alors $v(x^3 + ax + b) \geq 0$). Les hypothèses $v(x)<0$ et $v(y)<0$ sont donc équivalentes. Un élément de $K = k(x)[y]/(h)$ s'écrit sous la forme $f_0 + f_1 y$. Par ailleurs, la donnée de $r = v(x)$ détermine $v$ sur $k[x]$ (c'est $r$ fois le degré) donc sur $k(x)$ (c'est $-r$ fois la valuation usuelle en l'infini sur $k(x)$). Et comme $v(f_1 y) = \frac{3}{2}r + v(f_1)$ n'est pas un multiple entier de $r$ donc pas égal à la valuation d'un élément de $k(x)$, la valuation de $f_0 + f_1 y$ est complètement déterminée (la valuation d'une somme dont les termes sont de valuations \emph{différentes} est le plus petit des valuations des termes, cf. \ref{valuation-ring-versus-valuation-function}(ii.b)). Bref, on a complètement caractérisé $v$, à la donnée de $r$ près. Mais puisque l'image de $v$ doit être $\mathbb{Z} \cup \{\infty\}$ (condition de normalisation), on a forcément $r = 2$, c'est-à-dire $v(x) = -2$ et $v(y) = -3$. Enfin, on constate que ceci définit bien une valuation sur $K$ (soit en le vérifiant à la main ; soit en invoquant le théorème d'existence des valuations \ref{existence-of-valuations}, appliqué à l'anneau $k(x)[\frac{1}{y}]$ des polynômes en $\frac{1}{y}$ sur $k(x)$, de corps des fractions $K$, et à son idéal premier engendré par $\frac{1}{y}$, pour affirmer que $K$ doit avoir une valuation positive sur $k(x)[\frac{1}{y}]$ et strictement positive en $\frac{1}{y}$ ; soit, tout simplement, en se rappelant que $x$ doit avoir un pôle quelque part, cf. \ref{constant-functions-on-a-curve}, c'est-à-dire qu'il doit exister une valuation telle que $v(x)<0$). \end{corrige} \smallbreak (5) Quels sont le degré de $x$ en tant que fonction sur $E$ (on rappelle, cf. \ref{degree-of-a-function}, que $\deg(x) := [K:k(x)]$) et de $y$ ? Montrer que la place $\heartsuit$ trouvée en (4) est rationnelle (c'est-à-dire de degré $1$, cf. \ref{degree-of-a-place}). Donner une uniformisante en $\heartsuit$. \begin{corrige} On a rappelé en (3) que l'élément $y$ est algébrique de degré $2$ sur $k(x)$ (de polynôme minimal $h$) : cela signifie précisément que l'extension algébrique $K$ de $k(x)$ engendrée par $y$ est de degré $[K:k(x)] = 2$, c'est-à-dire que $x$ est de degré $2$ en tant que fonction sur $E$. De même, le fait que $x$ soit algébrique de degré $3$ sur $k(y)$ (toujours de polynôme minimal $h$) signifie que $\deg(y) = 3$ en tant que fonction sur $E$. (Il est malheureux que le terme « degré » serve pour des choses différentes, et qu'ici le degré de $y$ en tant qu'algébrique sur $k(x)$ soit le degré de $x$ en tant que fonction sur $E$ et vice versa, mais cette terminologie est malheureusement bien ancrée.) En notant $v = \ord_\heartsuit$ la valuation trouvée en (4), l'identité du degré \ref{degree-identity} appliquée à $\frac{1}{x}$ donne $\deg(\frac{1}{x}) = \ord_\heartsuit(\frac{1}{x}) \, \deg(\heartsuit)$ puisque, comme on l'a montré en (4), $\heartsuit$ est la \emph{seule} place où $\frac{1}{x}$ a un zéro (i.e., la seule place $P$ pour laquelle $\ord_P(x) < 0$). Comme on a vu que $\ord_\heartsuit(x) = -2$ (donc $\ord_\heartsuit(\frac{1}{x}) = 2$) et $\deg(x) = 2$, on en déduit $\deg(\heartsuit) = 1$ : la place est \emph{rationnelle}. Une uniformisante en $\heartsuit$ est donnée par $x/y$ puisque $\ord_\heartsuit(x) = -2$ et $\ord_\heartsuit(y) = -3$. \end{corrige} \smallbreak (6) Expliquer concrètement comment voir l'évaluation en $\heartsuit$ (cf. \ref{evaluation-of-a-function-at-a-place}) d'un élément de $K$ représenté d'une des deux manières qu'on a vues en (3). \begin{corrige} Pour évaluer un élément de la forme $f_0 + f_1 y$ en $\heartsuit$, on se rappelle qu'on a vu en (4) que $\ord_\heartsuit(f_1 y)$ ne peut jamais être de la forme $\ord_\heartsuit(f_0)$. La valuation $\ord_\heartsuit$ de $f_0 + f_1 y$ est donc positive si et seulement si $\ord_\heartsuit(f_0) \geq 0$ et $\ord_\heartsuit(f_1) \geq 3$, sachant que $\ord_\heartsuit(f_0)$ est \emph{deux fois} la valuation usuelle $\ord_\infty(f_0)$ en l'infini d'une fraction rationnelle en $x$ : le terme $f_1 y$ ne peut pas être de valuation nulle en $\heartsuit$, seulement impaire. Bref, l'évaluation de $f_0 + f_1 y$ en $\heartsuit$ est la valeur de $f_0(\infty)$ pour l'évaluation usuelle des fractions rationnelles en l'infini, à condition que $\ord_\infty(f_0) \geq 0$ et $\ord_\infty(f_1) \geq \frac{3}{2}$ (i.e., $\ord_\infty(f_1) \geq 2$), et $\infty$ sinon. Le même raisonnement fonctionne pour $g_0 + g_1 x + g_2 x^2$ (les trois termes ont des valuations $\ord_\heartsuit$ congrues respectivement à $0$, $1$ et $2$ modulo $3$ donc seul $g_0$ peut avoir une valuation nulle) : son évaluation en $\heartsuit$ vaut $g_0(\infty)$ à condition que $\ord_\infty(g_0) \geq 0$ et $\ord_\infty(g_1) \geq \frac{2}{3}$ (c'est-à-dire $\ord_\infty(g_1) \geq 1$) et $\ord_\infty(g_2) \geq \frac{4}{3}$ (c'est-à-dire $\ord_\infty(g_2) \geq 2$), et $\infty$ si ces conditions ne sont pas satisfaites. Le fait qu'on ait trouvé une évaluation dans le corps $k$ de base confirme bien que $\heartsuit$ est rationnelle. \end{corrige} \smallbreak \emph{On supposera désormais que la condition trouvée en (1) est satisfaite.} (7) Soit $f_\sharp$ un facteur unitaire irréductible de $f := x^3 + ax + b$ dans $k[x]$. Montrer qu'il existe exactement une valuation $v$ de $K$ au-dessus de $k$ telle que $v(f_\sharp)>0$ : on calculera $v(y)$ au passage, et on considérera plus généralement la valuation de $f_0 + f_1 y$ pour $f_0,f_1 \in k(x)$. On notera $\clubsuit$ une place comme on vient de trouver. \begin{corrige} Soit $w$ une valuation de $K$ au-dessus de $k$ telle que $r := w(f_\sharp) > 0$. Alors en considérant la décomposition en facteurs irréductibles d'un élément non nul quelconque de $k(x)$, on voit que $w|_{k(x)} = r v_{f_\sharp}$ où $v_{f_\sharp}$ est la valuation de $k(x)$ associée à $f_\sharp$ (i.e., la multiplicité de ce dernier dans la décomposition en facteurs irréductibles d'un élément). En particulier, comme $v_{f_\sharp}(f) = 1$ (puisque $f_\sharp$ est un facteur irréductible de $f$ et qu'il n'apparaît pas plus qu'une fois d'après l'hypothèse, trouvée en (1), que $f$ est séparable), on a $w(f) = r$, et par conséquent $w(y) = \frac{1}{2}r$. Comme $w(f_1 y) = \frac{1}{2}r + w(f_1)$ n'est pas un multiple entier de $r$ donc pas égal à la valuation d'un élément de $k(x)$, la valuation de $f_0 + f_1 y$ est complètement déterminée (la valuation d'une somme dont les termes sont de valuations \emph{différentes} est le plus petit des valuations des termes, cf. \ref{valuation-ring-versus-valuation-function}(ii.b)). Bref, on a complètement caractérisé $w$, à la donnée de $r$ près. Mais puisque l'image de $w$ doit être $\mathbb{Z} \cup \{\infty\}$ (condition de normalisation), on a forcément $r = 2$, c'est-à-dire $w(f_\sharp) = 2$ et $w(y) = 1$. Enfin, on constate que ceci définit bien une valuation sur $K$ (soit en le vérifiant à la main ; soit en invoquant le théorème d'existence des valuations \ref{existence-of-valuations}, appliqué à l'anneau $k[x,y]$ des polynômes en $x,y$, de corps des fractions $K$, et à son idéal premier engendré par $h,f_\sharp$, pour affirmer que $K$ doit avoir une valuation positive sur $k[x,y]$ et strictement positive en $f_\sharp$ ; soit, tout simplement, en se rappelant que $f_\sharp$ doit avoir un zéro quelque part, cf. \ref{constant-functions-on-a-curve}, c'est-à-dire qu'il doit exister une valuation telle que $v(f_\sharp)>0$). \end{corrige} \smallbreak (8) Décrire l'anneau de valuation $\mathcal{O}_\clubsuit$ de la place $\clubsuit$ associée en (7) à un facteur irréductible $f_\sharp$ de $f$ ? Expliquer quel est le corps résiduel $\varkappa_\clubsuit$ et comment voir concrètement l'évaluation en $\clubsuit$ d'un élément de $K$ représenté comme $f_0 + f_1 y$. Quel est le degré de $\clubsuit$ ? \begin{corrige} On se rappelle qu'on a vu en (7) que $\ord_\clubsuit(f_1 y)$ ne peut jamais être de la forme $\ord_\clubsuit(f_0)$. La valuation $\ord_\clubsuit$ de $f_0 + f_1 y$ est donc positive si et seulement si $\ord_\clubsuit(f_0) \geq 0$ et $\ord_\clubsuit(f_1) \geq -1$, sachant que $\ord_\clubsuit(f_0)$ est \emph{deux fois} l'exposant $\ord_{(f_\sharp)}(f_0)$ de la multiplicité de $f_\sharp$ dans la décomposition de $f$ en irréductibles : bref, l'anneau de valuation $\mathcal{O}_\clubsuit$ est l'ensemble des $f_0 + f_1 y$ telles que $\ord_{(f_\sharp)}(f_0) \geq 0$ et $\ord_{(f_\sharp)}(f_1) \geq -\frac{1}{2}$ (i.e., $\ord_{(f_\sharp)}(f_1) \geq 0$) ; on notera que cet anneau contient $A = k[x,y]/(h)$ (puisqu'il contient [les classes de] $x$ et $y$, qui engendrent $A$). L'idéal maximal $\mathfrak{m}_\clubsuit$ est formé des $f_0 + f_1 y$ telles que $\ord_{(f_\sharp)}(f_0) > 0$ et toujours $\ord_{(f_\sharp)}(f_1) \geq 0$. On a un morphisme $A/(f_\sharp,y) \to \varkappa_\clubsuit$ défini par l'inclusion $A \to \mathcal{O}_\clubsuit$ en remarquant que $f_\sharp$ et $y$ sont tous deux dans $\mathfrak{m}_\clubsuit$ (c'est-à-dire qu'ils sont dans le noyau du morphisme $A \to \mathcal{O}_\clubsuit/\mathfrak{m}_\clubsuit = \varkappa_\clubsuit$). Or $A/(f_\sharp,y) = k[x,y]/(h,f_\sharp,y) = k[x]/(f_\sharp)$ est le corps de rupture de $f_\sharp$. Vu que c'est un corps, le morphisme est injectif. Mais il est aussi surjectif car tout élément de $\mathcal{O}_\clubsuit$ se représente, modulo $f_\sharp$ et $y$, par un élément de $A$ : concrètement, si $\ord_{(f_\sharp)}(f_0) \geq 0$, on peut voir $f_0$ dans $k[x]/(f_\sharp)$ (c'est-à-dire le reste de la division euclidienne si $f_0 \in k[x]$, et sinon, on écrit une relation de Bézout entre le dénominateur de $f_0$ et $f_\sharp$), et c'est l'image recherchée. Le corps résiduel $\varkappa_\clubsuit$ est donc $k[x]/(f_\sharp)$, et l'évaluation de $f_0 + f_1 y$ en $\clubsuit$ est la valeur de $f_0$ modulo $f_\sharp$ (quitte à écrire une relation de Bézout avec le dénominateur), à condition que $\ord_\infty(f_0) \geq 0$ et $\ord_\infty(f_1) \geq 0$, et $\infty$ sinon. En particulier, le degré de $\clubsuit$ est le degré de $f_\sharp$. \end{corrige} \smallbreak (9) Soit $f_P$ un polynôme unitaire irréductible de $k[x]$ qui \emph{ne divise pas} $f$. Soit $\kappa := k[x]/(f_P)$ le corps de rupture de $f_P$ sur $k$. On considère la classe $\bar h$ de $h$ modulo $f_P$ comme un élément de $\kappa[y]$, et on distingue deux cas : (a) $\bar h$ se scinde dans $\kappa[y]$ comme produit de deux polynômes de degré $1$, et (b) $\bar h$ est irréductible dans $\kappa[y]$. Montrer que dans le cas (a), il existe exactement deux idéaux maximaux $\mathfrak{n}$ de $k[x,y]$ contenant $h$ et $f_P$, et que $k[x,y]/\mathfrak{n} = \kappa$ pour chacun d'entre eux ; et que dans le cas (b), il existe un unique idéal maximal $\mathfrak{n}$ de $k[x,y]$ contenant $h$ et $f_P$, à savoir l'idéal $(h,f_P)$ qu'ils engendrent, et que $k[x,y]/\mathfrak{n} =: \kappa'$ est le corps de rupture de $\bar h$ sur $\kappa$ (de degré $2$ sur $\kappa$, donc). \smallbreak (10) En continuant le contexte de la question précédente ($f_P$ polynôme unitaire irréductible ne divisant pas $f$), montrer que, quel que soit l'idéal maximal $\mathfrak{n}$ de $k[x,y]$ contenant $h$ et $f_P$, l'évaluation de $h'_x$ en $Z(\mathfrak{n})$ (qui est par définition, la classe de $h'_x$ modulo $\mathfrak{n}$, vue comme un élément de $k[x,y]/\mathfrak{n}$) n'est pas nulle. Rappeler pourquoi ceci construit sur $E$ : dans le cas (a) deux places de degré $\deg f_P$, et dans le cas (b) une place de degré $2\deg f_P$. Montrer que $f_P(x) \in K$ s'annule aux places ainsi construites. Quel est le degré de $f_P(x) \in K$ (c'est-à-dire $[K : k(f_P(x))]$) ? En déduire que $f_P(x)$ ne s'annule pas ailleurs qu'aux places qu'on a construites. % % % \end{document}