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\begin{document}
\ifcorrige
\title{Exercices courbes algébriques — Corrigé}
\else
\title{Exercices courbes algébriques}
\fi
\author{David A. Madore}
\maketitle

\centerline{\textbf{ACCQ205}}

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\exercice

Soit $k$ un corps de caractéristique $\neq 2,3$, et soient $a,b\in k$.

(1) Donner une condition sur $a,b$ nécessaire et suffisante pour que
le polynôme $x^3 + ax + b \in k[x]$ soit séparable (c'est-à-dire,
premier avec sa dérivée, ou encore, sans racine multiple
dans $k^{\alg}$).

\begin{corrige}
La dérivée de $f := x^3 + ax + b$ est $f' = 3x^2 + a$.  Leur résultant
(i.e., le discriminant de $f$) est donc égal au déterminant de la
matrice de Sylvester
\[
\begin{pmatrix}
1&0&a&b&0\\
0&1&0&a&b\\
3&0&a&0&0\\
0&3&0&a&0\\
0&0&3&0&a\\
\end{pmatrix}
\]
c'est-à-dire $\Delta := 4a^3 + 27b^2$ (en écrivant le déterminant de
la matrice $(c_{i,j})$ où $i$ est l'indice de la ligne et $j$ celui de
la colonne comme $\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_5}
\mathop{\mathrm{sgn}}(\sigma) \prod_{i=1}^5 c_{i,\sigma(i)}$ on trouve
ici $1\cdot 1\cdot a\cdot a\cdot a - 1\cdot a\cdot a\cdot 3\cdot a -
a\cdot 1\cdot 3\cdot a\cdot a + a\cdot a\cdot 3\cdot 3\cdot a + b\cdot
b\cdot 3\cdot 3\cdot 3 = (1-3-3+9)a^3 + 27 b^2$).
\end{corrige}

\smallbreak

(2) Soit $h := y^2 - x^3 - ax - b \in k[x,y]$.  Montrer que $h$ est
irréductible (on pourra le considérer comme un élément de $k(x)[y]$)
et même géométriquement irréductible.

\begin{corrige}
On peut voir $h$ dans $k(x)[y]$, il est de la forme $y^2 - f$ avec $f
:= x^3 + ax + b \in k(x)$.  Pour montrer qu'il est irréductible dans
$k(x)[y]$, il suffit de montrer que $f$ n'est pas un carré
dans $k(x)$ : ceci impliquera alors que $h$ est encore irréductible
dans $k[x,y]$ d'après le lemme de Gauß (le pgcd dans $k[x]$ des
coefficients de $h\in k[x][y]$ étant évidemment $1$ puisque le
coefficient de $y^2$ est $1$).  Or $f$ n'est pas un carré dans $k(x)$,
car il en serait un dans $k[x]$ (grâce à la décomposition en facteurs
irréductibles), et son degré serait pair.

Comme le raisonnement qu'on vient de faire ne dépend pas de $k$, il
est encore valable dans $k^{\alg}$, c'est-à-dire que $h$ est
géométriquement irréductible.
\end{corrige}

\smallbreak

On pose $A := k[x,y]/(h)$ (anneau intègre d'après la question (2)) et
$K := \Frac(A) = k(x,y : h=0)$ le corps des fonctions de la courbe
plane $E$ d'équation $h = 0$.  Qyand le contexte est clair, on se
permettra de noter simplement $x,y$ les éléments $\bar x,\bar y$ de
$A$, ou de $K$, qui sont les classes modulo $h$ des
indéterminées $x,y$ de $k[x,y]$.

(3) Expliquer pourquoi tout élément de $K$ s'écrit de façon unique
sous la forme $f_0 + f_1 y$ avec $f_0,f_1 \in k(x)$.  Expliquer
comment effectuer les opérations (addition, multiplication, inverse)
sur cette représentation.  Expliquer pourquoi tout élément de $K$
s'écrit également de façon unique sous la forme $g_0 + g_1 x + g_2
x^2$ avec $g_0,g_1,g_2 \in k(y)$.  Comment passer d'une représentation
à l'autre ?  À titre d'exemple, exprimer $\frac{1}{y}$ sous la forme
$f_0 + f_1 y$, et exprimer $\frac{1}{x}$ et $\frac{1}{x^2}$ sous la
forme $g_0 + g_1 x + g_2 x^2$.

\begin{corrige}
On a $K = k(x)[y]/(h)$ (corps de rupture de $h$ sur $k(x)$) car il est
engendré par $y$ algébrique sur $k(x)$ d'équation minimale $h=0$.  Par
division euclidienne par $h$ (polynôme de degré $2$) dans $k(x)[y]$,
on voit tout élément de $K$ de façon unique sous la forme d'un
polynôme $f_0 + f_1 y$ de degré $<2$ en $y$, à savoir le reste de la
division euclidienne par $h$ dans $k(x)[y]$.  L'addition se fait terme
à terme (sur $f_0,f_1$).  La multiplication se fait en développant et
en utilisant $y^2 = x^3 + ax + b$ pour éliminer l'éventuel terme
en $y^2$.  L'inverse se calcule en calculant une relation de Bézout
entre $f_0 + f_1 y$ et $h$ dans $k(x)[y]$ (si $u (f_0 + f_1 y) + w h =
1$ avec $u,w \in k(x)[y]$ alors $u$ est l'inverse de $f_0 + f_1 y$).

Les mêmes remarques valent pour $K = k(y)[x]/(h)$ avec cette fois $h$
vu comme un élément de $k(y)[x]$, de degré $3$ en $x$.  On peut donc
écrire tout élément de $K$ de façon unique sous la forme d'un polynôme
$g_0 + g_1 x + g_2 x^2$ de degré $<3$ en $x$, qui est aussi le reste
de la division euclidienne par $h$ cette fois dans $k(y)[x]$.  Les
mêmes remarques valent \textit{mutatis mutandis} pour les opérations.
Pour passer d'une représentation à l'autre, on peut utiliser le fait
qu'on sait calculer les opérations sous l'une ou l'autre forme pour
calculer la valeur d'une forme sous l'autre.

À titre d'exemple, pour représenter $\frac{1}{y}$ sous la forme $f_0 +
f_1 y$, on calcule une relation de Bézout $u y + w h = 1$ entre $y$
et $h$ dans $k(x)[y]$, qui est trivialement $\frac{y}{x^3 + ax +
  b}\times y - \frac{1}{x^3 + ax + b}\times h = 1$, c'est-à-dire que
$\frac{1}{y} = \frac{1}{x^3 + ax + b}\,y$ dans $K$.  De même, pour
représenter $\frac{1}{x}$ sous la forme $g_0 + g_1 x + g_2 x^2$, on
écrit $\frac{x^2+a}{y^2-b}\times x + \frac{1}{y^2-b}\times h = 1$
dans $k(y)[x]$, c'est-à-dire $\frac{1}{x} = \frac{a}{y^2-b} +
\frac{1}{y^2-b} x^2$ dans $K$, et on peut calculer $\frac{1}{x^2}$
soit en élevant cette quantité au carré soit en calculant une nouvelle
relation de Bézout, en tout cas $\frac{1}{x^2} = \frac{a^2}{(y^2-b)^2}
+ \frac{1}{y^2-b} x + \frac{a}{(y^2-b)^2} x^2$.
\end{corrige}

\smallbreak

(4) Montrer que si $v$ est une valuation de $K$ au-dessus de $k$, on a
$v(x) < 0$ si et seulement si $v(y) < 0$.  Montrer qu'il existe au
plus une valuation vérifiant ces conditions (il pourra être utile de
remarquer que si $f_0, f_1 \in k(x)$ alors $v(f_0)$ et $v(f_1 y)$ ne
peuvent jamais être égaux) : que valent exactement $v(x)$ et $v(y)$ ?
Montrer qu'une telle valuation existe bien.  On appellera cette place
« point à l'infini » de $E$ et on la notera $\heartsuit$.

\begin{corrige}
Si $v$ est une valuation de $K$ au-dessus de $k$ telle que $r := v(x)
< 0$ alors $v(x^3 + ax + b) = 3r$, c'est-à-dire $v(y^2) = 3r$, donc
$v(y) = \frac{3}{2}r < 0$.  Réciproquement, si $v(y) < 0$ alors
$v(y^2) < 0$ donc $v(x^3 + ax + b) < 0$ et ceci interdit $v(x) \geq 0$
(car on aurait alors $v(x^3 + ax + b) \geq 0$).  Les hypothèses
$v(x)<0$ et $v(y)<0$ sont donc équivalentes.

Un élément de $K = k(x)[y]/(h)$ s'écrit sous la forme $f_0 + f_1 y$.
Par ailleurs, la donnée de $r = v(x)$ détermine $v$ sur $k[x]$ (c'est
$r$ fois le degré) donc sur $k(x)$ (c'est $-r$ fois la valuation
usuelle en l'infini sur $k(x)$).  Et comme $v(f_1 y) = \frac{3}{2}r +
v(f_1)$ n'est pas un multiple entier de $r$ donc pas égal à la
valuation d'un élément de $k(x)$, la valuation de $f_0 + f_1 y$ est
complètement déterminée (la valuation d'une somme dont les termes sont
de valuations \emph{différentes} est le plus petit des valuations des
termes).  Bref, on a complètement caractérisé $v$, à la donnée de $r$
près.  Mais puisque l'image de $v$ doit être $\mathbb{Z} \cup
\{\infty\}$ (condition de normalisation), on a forcément $r = 2$,
c'est-à-dire $v(x) = -2$ et $v(y) = -3$.

Enfin, on constate que ceci définit bien une valuation sur $K$ (soit
en le vérifiant à la main, soit en invoquant le théorème d'existence
des valuations appliqué à l'anneau $k(x)[\frac{1}{y}]$ des polynômes
en $\frac{1}{y}$ sur $k(x)$, de corps des fractions $K$, et à son
idéal premier engendré par $\frac{1}{y}$, pour affirmer que $K$ doit
avoir une valuation positive sur $k(x)[\frac{1}{y}]$ et strictement
positive en $\frac{1}{y}$).
\end{corrige}

\smallbreak

(5) Quels sont le degré de $x$ en tant que fonction sur $E$ (on
rappelle que $\deg(x) := [K:k(x)]$) et de $y$ ?  Montrer que la place
$\heartsuit$ trouvée en (4) est rationnelle (c'est-à-dire de
degré $1$).

\begin{corrige}
On a rappelé en (3) que l'élément $y$ est algébrique de degré $2$
sur $k(x)$ (de polynôme minimal $h$) : cela signifie précisément que
l'extension algébrique $K$ de $k(x)$ engendrée par $y$ est de degré
$[K:k(x)] = 2$, c'est-à-dire que $x$ est de degré $2$ en tant que
fonction sur $E$.  De même, le fait que $x$ soit algébrique de
degré $3$ sur $k(y)$ (toujours de polynôme minimal $h$) signifie que
$\deg(y) = 3$ en tant que fonction sur $E$.  (Il est malheureux que le
terme « degré » serve pour des choses différentes, et qu'ici le degré
de $y$ en tant qu'algébrique sur $k(x)$ soit le degré de $x$ en tant
que fonction sur $E$ et vice versa, mais cette terminologie est
malheureusement bien ancrée.)

En notant $v = \ord_\heartsuit$ la valuation trouvée en (4),
l'identité du degré appliquée à $\frac{1}{x}$ donne $\deg(\frac{1}{x})
= \ord_\heartsuit(\frac{1}{x}) \, \deg(\heartsuit)$ puisque, comme on
l'a montré en (4), $\heartsuit$ est la \emph{seule} place où
$\frac{1}{x}$ a un zéro (i.e., la seule place $P$ pour laquelle
$\ord_P(x) < 0$).  Comme on a vu que $\ord_\heartsuit(x) = -2$ (donc
$\ord_\heartsuit(\frac{1}{x}) = 2$) et $\deg(x) = 2$, on en déduit
$\deg(\heartsuit) = 1$ : la place est \emph{rationnelle}.
\end{corrige}

\smallbreak

(5) Expliquer concrètement comment voir l'évaluation en $\heartsuit$
d'un élément de $K$ représenté d'une des deux manières qu'on a vues
en (3).

\begin{corrige}
Pour évaluer un élément de la forme $f_0 + f_1 y$ en $\heartsuit$, on
se rappelle qu'on a vu en (4) que $v(f_1 y)$ ne peut jamais être de la
forme $v(f_0)$.  La valuation $\ord_\heartsuit$ de $f_0 + f_1 y$ est
donc positive si et seulement si $\ord_\heartsuit(f_0) \geq 0$ et
$\ord_\heartsuit(f_1) \geq 3$, sachant que $\ord_\heartsuit(f_0)$ est
\emph{deux fois} la valuation usuelle $\ord_\infty(f_0)$ en l'infini
d'une fraction rationnelle en $x$ : le terme $f_1 y$ ne peut pas être
de valuation nulle en $\heartsuit$, seulement impaire.  Bref,
l'évaluation de $f_0 + f_1 y$ en $\heartsuit$ est la valeur de
$f_0(\infty)$ pour l'évaluation usuelle des fractions rationnelles en
l'infini, à condition que $\ord_\infty(f_0) \geq 0$ et
$\ord_\infty(f_1) \geq \frac{3}{2}$ (i.e., $\ord_\infty(f_1) \geq 2$),
et $\infty$ sinon.

Le même raisonnement fonctionne pour $g_0 + g_1 x + g_2 x^2$ (les
trois termes ont des valuations $\ord_\heartsuit$ congrues
respectivement à $0$, $1$ et $2$ modulo $3$ donc seul $g_0$ peut avoir
une valuation nulle) : son évaluation en $\heartsuit$
vaut $g_0(\infty)$ à condition que $\ord_\infty(g_0) \geq 0$ et
$\ord_\infty(g_1) \geq \frac{2}{3}$ (c'est-à-dire $\ord_\infty(g_1)
\geq 1$) et $\ord_\infty(g_2) \geq \frac{4}{3}$ (c'est-à-dire
$\ord_\infty(g_2) \geq 2$), et $\infty$ si ces conditions ne sont pas
satisfaites.

Le fait qu'on ait trouvé une évaluation dans le corps $k$ de base
confirme bien que $\heartsuit$ est rationnelle.
\end{corrige}

\smallbreak

\emph{On supposera désormais que la condition trouvée en (1) est
  satisfaite.}



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\end{document}