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\begin{document}
\title{Courbes algébriques\\(notes de cours v2)}
\author{David A. Madore}
\maketitle

\centerline{\textbf{ACCQ205}}

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{\footnotesize
\tableofcontents
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\bigbreak

\section{Prolégomènes d'algèbre commutative}\label{commutative-algebra}

\subsection{Anneaux réduits, intègres}\label{subsection-reduced-and-integral-rings}

\thingy Sauf précision expresse du contraire, tous les anneaux
considérés sont commutatifs et ont un élément unité (noté $1$).  Il
existe un unique anneau dans lequel $0=1$, c'est l'anneau réduit à un
seul élément, appelé l'\defin[nul (anneau)]{anneau nul}.  (Pour tout
anneau $A$, il existe un unique morphisme de $A$ vers l'anneau nul ;
en revanche, il n'existe un morphisme de l'anneau nul vers $A$ que si
$A$ est lui-même l'anneau nul.)

\thingy\label{recollections-on-ideals} On rappelle qu'un \defin{idéal}
d'un anneau $A$ est un sous-groupe additif $I$ de $A$ tel que $AI
\subseteq I$ ; on dispose alors d'une structure d'anneau sur le groupe
abélien quotient $A/I$ (la multiplication étant définie par
$(x+I)\,(y+I) = xy+I$ où $z+I$ désigne la classe de $z$ modulo $I$).
On peut aussi définir un idéal comme le noyau d'un morphisme d'anneaux
(le noyau de la surjection canonique $A \mapsto A/I$ étant
justement $I$).

Il est souvent utile de se rappeler que les idéaux d'un quotient $A/I$
correspondent exactement aux idéaux de $A$ contenant $I$ ; plus
précisément, si $J$ est un idéal de $A$ contenant $I$, l'image $J/I$
de $J$ par la surjection canonique $A \to A/I$ est un idéal de $A/I$,
et l'application $J \mapsto J/I$ définit une bijection entre idéaux
$J$ de $A$ contenant $I$ et idéaux de $A/I$.  De surcroît, le quotient
de $A/I$ par $J/I$ s'identifie à $A/J$.

\thingy\label{ideal-generated-by-elements} Si $(x_i)_{i\in \Lambda}$
sont des éléments de $A$, l'intersection de tous les idéaux contenant
les $x_i$ est un idéal et s'appelle l'idéal \defin[engendré
  (idéal)]{engendré} par les $x_i$ : c'est l'ensemble des toutes les
combinaisons linéaires $a_1 x_{i_1} + \cdots + a_n x_{i_n}$ avec
$a_1,\ldots,a_n \in A$ et $i_1,\ldots,i_n \in \Lambda$.  Lorsque
$\Lambda$ est fini : l'idéal $I$ engendré par $x_1,\ldots,x_n$ est
l'ensemble des toutes les combinaisons linéaires $a_1 x_1 + \cdots +
a_n x_n$ et il peut se noter $Ax_1 + \cdots + Ax_n$ ou parfois
$(x_1,\ldots,x_n)$ : on dit que $I$ est un idéal \defin[type fini
  (idéal)]{de type fini}.  Si $I$ peut être engendré par un seul
élément, $I = Ax$ (aussi noté $(x)$), on dit que $I$ est un idéal
\defin[principal (idéal)]{principal}.

Dans tout anneau, on peut définir l'\defin[nul (idéal)]{idéal
  nul} $(0) = \{0\}$, également noté $0$, et l'\defin[unité
  (idéal)]{idéal unité} $(1) = A$.  Remarquons que le quotient de $A$
par l'idéal nul est simplement $A$, tandis que le quotient de $A$ par
l'idéall unité est l'anneau nul.  On appelle parfois \defin[strict
  (idéal)]{strict} un idéal qui n'est pas l'idéal unité.

\bigbreak

\thingy Si $k$ est un anneau, une \defin[algèbre]{$k$-algèbre} (là
aussi : implicitement commutative) est la donnée d'un morphisme
d'anneaux $k \buildrel\varphi_A\over\to A$ appelé \defin[structural
  (morphisme)]{morphisme structural} de l'algèbre.  On peut multiplier
un élément de $A$ par un élément de $k$ avec : $c\cdot x =
\varphi_A(c)\,x \in A$ (pour $c\in k$ et $x\in A$).  Un morphisme de
$k$-algèbres est un morphisme d'anneaux $A\buildrel\psi\over\to B$ tel
que le morphisme structural $k \buildrel\varphi_B\over\to B$ de $B$
soit la composée $k \buildrel\varphi_A\over\to A\buildrel\psi\over\to
B$ de celui de $A$ avec le morphisme considéré.

De façon équivalente, une $k$-algèbre est un $k$-module qui est muni
d'une multiplication $k$-bilinéaire qui en fait un anneau, et les
morphismes de $k$-algèbres sont les applications $k$-linéaires qui
préservent la multiplication ; le morphisme structural peut alors se
retrouver par $c \mapsto c\cdot 1$.  Notons qu'une
$\mathbb{Z}$-algèbre est exactement la même chose qu'un anneau (raison
pour laquelle il est souvent préférable d'énoncer les résultats en
parlant de $k$-algèbres pour plus de généralité).

Dans la pratique, cependant $k$ sera généralement un corps : une
$k$-algèbre est donc un $k$-espace vectoriel muni d'une multiplication
$k$-bilinéaire qui en fait un anneau, et le morphisme structural est
automatiquement injectif si l'algèbre n'est pas l'algèbre nulle.

\bigbreak

\thingy\label{regular-and-invertible-elements} Un élément $a$ d'un
anneau $A$ est dit \defin[régulier (élément d'un anneau)]{régulier},
resp. \defin{inversible}, lorsque $x \mapsto ax$ est injectif,
resp. bijectif, autrement dit lorsque $ax = 0$ implique $x = 0$ (la
réciproque est toujours vraie), resp. lorsqu'il existe $x$ (appelé
inverse de $a$) tel que $ax = 1$.

Un élément $a$ de $A$ est inversible si et seulement si l'idéal $(a)$
qu'il engendre est l'idéal unité $(1) = A$.  De façon équivalente, un
élément \emph{n'est pas} inversible si et seulement il appartient à un
idéal strict (c'est-à-dire, autre que l'idéal unité).

Dans un anneau, l'ensemble noté $A^\times$ des éléments inversibles
est un groupe, aussi appelé groupe des \defin[unité (dans un
  anneau)]{unités} de $A$.  Une « unité » est simplement un élément
inversible.

\thingy\label{fields-and-maximal-ideals} Un \defin{corps} est un
anneau $k$ dans lequel l'ensemble $k^\times$ des éléments inversibles
est égal à l'ensemble $k\setminus\{0\}$ des éléments non-nuls :
autrement dit, un corps est un anneau dans lequel ($0\neq 1$ et) tout
élément non-nul est inversible.  De façon équivalente, un corps est un
anneau ayant exactement deux idéaux (qui sont alors $0$ et lui-même).
Par convention, l'anneau nul n'est pas un corps.

Un idéal $\mathfrak{m}$ d'un anneau $A$ est dit \defin[maximal
  (idéal)]{maximal} lorsque l'anneau quotient $A/\mathfrak{m}$ est un
corps : de façon équivalente, lorsque $\mathfrak{m}\neq A$ et que
$\mathfrak{m}$ est maximal pour l'inclusion parmi les idéaux $\neq A$.

\thingy\label{integral-domains-and-prime-ideals} Un anneau dans $A$
dans lequel l'ensemble des éléments réguliers est égal à l'ensemble $A
\setminus \{0\}$ des éléments non-nuls est dit \defin[intègre
  (anneau)]{intègre} : autrement dit, un anneau intègre est un anneau
dans lequel ($0\neq 1$ et) $ab = 0$ implique $a=0$ ou $b=0$ (la
réciproque est toujours vraie).  Par convention, l'anneau nul n'est
pas intègre.

Un corps est, en particulier, un anneau intègre.

Un idéal $\mathfrak{p}$ d'un anneau $A$ est dit \defin[premier
  (idéal)]{premier} lorsque l'anneau quotient $A/\mathfrak{p}$ est un
anneau intègre, autrement dit lorsque $\mathfrak{p}\neq A$ et que $ab
\in \mathfrak{p}$ implique $a \in \mathfrak{p}$ ou $b \in
\mathfrak{p}$ (la réciproque est toujours vraie).

Un idéal maximal est, en particulier, premier.

\thingy\label{nilpotent-element-and-reduced-ring} Un élément $x$ d'un
anneau $A$ est dit \defin{nilpotent} lorsqu'il existe $n\geq 0$ tel
que $x^n = 0$.  Un anneau dans lequel le seul élément nilpotent
est $0$ est dit \defin[réduit (anneau)]{réduit}.

Un anneau intègre (et \textit{a fortiori} un corps) est, en
particulier, un anneau réduit (on démontre par récurrence sur $n$ que
$x^n = 0$ implique $x=0$).

Un idéal $\mathfrak{r}$ d'un anneau $A$ est dit \defin[radical
  (idéal)]{radical} lorsque l'anneau quotient $A/\mathfrak{r}$ est un
anneau réduit, autrement dit lorsque $x^n \in \mathfrak{r}$
implique $x \in\mathfrak{r}$ (la réciproque est toujours vraie).

Un idéal premier (et \textit{a fortiori} un idéal maximal) est, en
particulier, un idéal radical.

\thingy\label{examples-prime-ideals} À titre d'exemple, parmi les
idéaux de $\mathbb{Z}$ (dont on rappelle qu'ils sont de la forme
$n\mathbb{Z}$ avec $n\in\mathbb{N}$) :
\begin{itemize}
\item l'idéal $2\mathbb{Z}$ est maximal puisque le quotient
  $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ est un corps ;
\item l'idéal $0$ est premier mais pas maximal puisque le quotient
  $\mathbb{Z}/0\mathbb{Z} = \mathbb{Z}$ est un anneau intègre mais pas
  un corps ;
\item l'idéal $6\mathbb{Z}$ est radical mais pas premier puisque le
  quotient $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \cong (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})
  \times (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})$ est un anneau réduit (car
  $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ et $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ le sont) mais
  pas intègre (car $2\times 3$ est nul modulo $6$) ;
\item l'idéal $4\mathbb{Z}$ n'est pas radical puisque le quotient
  $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ n'est pas réduit.
\end{itemize}

Pour donner un exemple moins évident, dans l'anneau $k[x,y]$ des
polynômes à deux indéterminées $x,y$ sur un corps $k$, l'idéal $(y)$
(des polynômes s'annulant identiquement sur l'axe des abscisses) est
premier mais non maximal puisque $k[x,y]/(y) \cong k[x]$, tandis que
l'idéal $(x,y)$ (des polynômes s'annulant à l'origine) est maximal
puisque $k[x,y]/(x,y) \cong k$.

\bigbreak

Le résultat ensembliste suivant sera admis :
\begin{lem}[principe maximal de Hausdorff]\label{hausdorff-maximal-principle}
Soit $\mathscr{F}$ un ensemble de parties d'un ensemble $A$.  On
suppose que $\mathscr{F}$ est non vide et que pour toute partie non
vide $\mathscr{T}$ de $\mathscr{F}$ totalement ordonnée par
l'inclusion (c'est-à-dire telle que pour $I,I' \in \mathscr{T}$ on a
soit $I \subseteq I'$ soit $I \supseteq I'$) la réunion $\bigcup_{I
  \in \mathscr{T}} I$ soit contenue dans un élément de $\mathscr{F}$.
Alors il existe dans $\mathscr{F}$ un élément $M$ maximal pour
l'inclusion (c'est-à-dire que si $I \supseteq M$ avec $I \in
\mathscr{F}$ alors $I=M$).
\end{lem}

\begin{prop}\label{existence-maximal-ideals}
Dans un anneau $A$, tout idéal strict (=autre que $A$) est inclus dans
un idéal maximal.
\end{prop}
\begin{proof}
Si $I$ est un idéal strict de $A$, on applique le principe maximal de
Hausdorff à $\mathscr{F}$ l'ensemble des idéaux stricts de $A$
contenant $I$.  Si $\mathscr{T}$ est une chaîne (=partie totalement
ordonnée pour l'inclusion) de tels idéaux, la réunion $\bigcup_{I \in
  \mathscr{T}} I$ en est encore un\footnote{La réunion de deux idéaux
  n'est généralement pas un idéal, car si $x\in I$ et $x' \in I'$, la
  somme $x+x'$ n'a pas de raison d'appartenir à $I\cup I'$.  En
  revanche, si $\mathscr{T}$ est une famille d'idéaux totalement
  ordonnée par l'inclusion, alors $\bigcup_{I \in \mathscr{T}} I$ est
  un idéal : si $x\in I$ et $x' \in I'$, où $I,I'\in \mathscr{T}$, on
  peut écrire soit $I \subseteq I'$ soit $I'\subseteq I$, et dans un
  cas comme dans l'autre on a $x+x' \in \bigcup_{I \in \mathscr{T}}
  I$.} (pour voir que la réunion est encore un idéal strict, remarquer
que $1$ n'y appartient pas).  Le principe maximal de Hausdorff permet
de conclure.
\end{proof}

\begin{cor}
Dans un anneau $A$, l'ensemble $A^\times$ des éléments inversibles est
le complémentaire de la réunion de tous les idéaux maximaux de $A$.
\end{cor}
\begin{proof}
On a remarqué en \ref{regular-and-invertible-elements} qu'un élément
est non-inversible si et seulement si il appartient à un idéal strict
(c'est-à-dire, autre que l'idéal unité) ; la
proposition \ref{existence-maximal-ideals} assure que tout idéal
strict est inclus dans un idéal maximal, donc tout élément
non-inversible appartient à un idéal maximal, et réciproquement, comme
un idéal maximal est (par définition) strict, il ne contient que des
éléments non-inversibles.
\end{proof}

\begin{prop}\label{nilradical-facts}
Dans un anneau, l'ensemble des éléments nilpotents est un idéal :
c'est le plus petit idéal radical (ou l'intersection des idéaux
radicaux).  Cet idéal est aussi l'intersection des idéaux premiers de
l'anneau.  On l'appelle le \defin{nilradical} de l'anneau.
\end{prop}
\begin{proof}
L'ensemble $\mathfrak{N}$ des nilpotents est un idéal car si $x^m=0$
et $y^n=0$ alors on a $(x+y)^{m+n}=0$ en développant (ceci montre la
stabilité par addition, les autres prioriétés d'un idéal sont
évidentes).  Cet idéal $\mathfrak{N}$ est inclus dans tout idéal
radical $\mathfrak{r}$, car $x^n = 0$ donne $x^n \in \mathfrak{r}$
donc $x \in \mathfrak{r}$ vu que $\mathfrak{r}$ est radical ; et
$\mathfrak{N}$ est lui-même radical car si $x^n$ est nilpotent alors
$x$ est aussi nilpotent.  Ainsi, $\mathfrak{N}$ est bien le plus petit
idéal radical, ou l'intersection des idéaux radicaux.

Comme $\mathfrak{N}$ est inclus dans tout idéal radical, il est en
particulier inclus dans tout idéal \emph{premier}.  Il reste à
montrer, réciproquement, que si $z$ est inclus dans tout idéal
premier, alors $z$ est nilpotent.

Supposons que $z$ ne soit pas nilpotent.  Considérons $\mathfrak{p}$
un idéal maximal pour l'inclusion parmi les idéaux ne contenant aucun
$z^n$ : un tel idéal existe d'après le principe maximal de Hausdorff
(il existe un idéal ne contenant aucun $z^n$, à savoir $\{0\}$).
Montrons qu'il est premier : si $x,y \not \in \mathfrak{p}$, on veut
voir que $xy \not\in \mathfrak{p}$.  Par maximalité de $\mathfrak{p}$,
chacun des idéaux\footnote{On rappelle que si $I,J$ sont deux idéaux
  d'un anneau, l'ensemble $I + J = \{u+v : u\in I, v\in J\}$ est un
  idéal, c'est l'idéal engendré par $I\cup J$, c'est-à-dire, le plus
  petit idéal contenant $I$ et $J$ ; on l'appelle idéal somme de $I$
  et $J$.  Dans le cas particulier où $J = (x)$ est engendré par un
  élément, c'est donc l'idéal engendré par $I\cup\{x\}$.}
$\mathfrak{p}+(x)$ et $\mathfrak{p}+(y)$ doit rencontrer $\{z^n\}$,
c'est-à-dire qu'on doit pouvoir trouver deux éléments de la forme
$f+ax$ et $g+by$ avec $f,g\in\mathfrak{p}$ et $a,b\in A$, qui soient
des puissances de $z$ ; leur produit est alors aussi une puissance
de $z$, donc n'est pas dans $\mathfrak{p}$, donc $abxy
\not\in\mathfrak{p}$ (car les trois autres termes sont
dans $\mathfrak{p}$), et a plus forte raison $xy \not\in
\mathfrak{p}$.

Enfin, dire que le quotient de $A$ par son nilradical est réduit
signifie exactement que si une puissance d'un élément est nilpotente
alors cet élément lui-même est nilpotent, ce qui est évident.
\end{proof}

\begin{cor}\label{radical-of-an-ideal}
Si $A$ est un anneau et $I$ un idéal de $A$, l'ensemble des éléments
tels que $z^n \in I$ pour un certain $n \in \mathbb{N}$ est un idéal :
c'est le plus petit idéal radical contenant $I$.  Cet idéal est
l'intersection des idéaux radicaux de $A$ contenant $I$, et c'est
aussi l'intersection des idéaux premiers de $A$ contenant $I$.  On
l'appelle le \defin[radical (d'un idéal)]{radical} de l'idéal $I$ et
on le note $\surd I$.
\end{cor}
\begin{proof}
Appliquons la proposition \ref{nilradical-facts} à l'anneau
quotient $A/I$, en se rappelant que les idéaux de $A/I$ correspondent
aux idéaux de $A$ contenant $I$ et ont les mêmes quotients
(cf. \ref{recollections-on-ideals}) : comme un nilpotent de $A/I$ est
précisément la classe modulo $I$ d'un $z\in A$ tel que $z^n\in I$ pour
un certain $n$, la proposition nous permet d'affirmer que l'ensemble
de ces $z$ est un idéal de $A$, que c'est le plus petit idéal radical
contenant $I$ ou l'intersection des idéaux radicaux contenant $I$, et
aussi l'intersection des idéaux premiers contenant $I$.
\end{proof}

\thingy On a défini la notion d'« idéal radical »
(en \ref{nilpotent-element-and-reduced-ring}) et de « radical d'un
idéal » (en \ref{radical-of-an-ideal}), mais ceci ne cause pas de
confusion parce que les idéaux radicaux sont justement ceux qui sont
égaux à leur radical, et que le radical d'un idéal est un idéal
radical.  (Autrement dit, $I$ est radical si et seulement si $I =
\surd I$, et $\surd I$ est toujours radical.)  On peut donc traiter le
deux concepts comme essentiellement synonymes.


\subsection{Anneaux noethériens}

\thingy On a dit en \ref{ideal-generated-by-elements} qu'un idéal $I$
d'un anneau $A$ est dit \defin[type fini (idéal)]{de type fini} (en
tant qu'\emph{idéal}) lorsqu'il est engendré (en tant qu'idéal !) par
un nombre fini d'éléments $x_1,\ldots,x_n$, autrement dit, $I =
(x_1,\ldots,x_n) := \{\sum_{i=1}^n a_i x_i : (a_1,\ldots,a_n) \in
A\}$.

Si c'est le cas, en fait, de toute famille $(y_i)_{i\in \Lambda}$
d'éléments qui engendrent $I$ on peut extraire une sous-famille finie
qui l'engendre.  En effet, si $I$ est engendré par $x_1,\ldots,x_n$ et
est aussi engendré par $(y_i)_{i\in \Lambda}$, alors l'écriture de
chaque $x_j$ comme combinaison $A$-linéaire des $y_i$ ne fait
intervenir qu'un nombre fini de ceux-ci, donc un nombre fini des $y_i$
suffit à exprimer tous les $x_j$ donc tous les éléments de $I$.

\thingy Un anneau $A$ est dit \defin[noethérien (anneau)]{noethérien}
lorsque tout idéal $I$ de $A$ est de type fini.

Un corps (ou un anneau principal, c'est-à-dire un anneau intègre dans
lequel tout idéal est principal) sont en particulier des anneaux
noethériens.  L'anneau $\mathbb{Z}$ est noethérien.

Remarquons aussi qu'un \emph{quotient} d'un anneau noethérien est
noethérien.  En effet, les idéaux de $A/J$ sont de la forme $I/J$ avec
$I$ un idéal de $A$ contenant $J$, et si $I$ est de type fini alors
$I/J$ l'est aussi (il est engendré par les classes modulo $J$ des
éléments qui engendrent $I$).  On peut aussi utiliser la proposition
suivante :

\begin{prop}
Un anneau $A$ est noethérien si et seulement si toute suite croissante
pour l'inclusion $I_0 \subseteq I_1 \subseteq I_2 \subseteq \cdots$
d'idéaux de $A$ stationne (c'est-à-dire, est constante à partir d'un
certain rang).
\end{prop}
\begin{proof}
Supposons que $A$ soit noethérien.  Soit $I_0 \subseteq I_1 \subseteq
I_2 \subseteq \cdots$ une suite croissante d'idéaux de $A$, et soit
$I_\infty := \bigcup_{n=0}^{+\infty} I_n$ la réunion de tous ces
idéaux : comme on le vérifie facilement (ou cf. la note dans la
démonstration de \ref{existence-maximal-ideals}), ce $I_\infty$ est
encore un idéal de $A$.  Comme $A$ est noethérien, il est de type
fini : il existe donc un nombre fini d'éléments qui l'engendrent, et
tous ces éléments appartiennent à un certain $I_N$ de la suite ; on a
alors $I_N = I_\infty$.

Réciproquement, supposons que toute suite croissante d'idéaux de $A$
stationne, et soit $I$ un idéal quelconque de $A$ : on veut montrer
que $I$ est de type fini.  Supposons par l'absurde que ce ne soit pas
le cas.  Définissons par récurrence une suite d'éléments $(a_n)$.
Comme $I$ n'est pas de type fini donc pas égal à l'idéal $I_n :=
(a_1,\ldots,a_n)$ engendré par les $n$ premiers termes de la suite (on
pose $I_0 = (0)$), on peut choisir un élément $a_{n+1} \in I$ tel que
$a_{n+1} \not\in I_n$.  On a alors une suite strictement croissante
$I_0 \subsetneq I_1 \subsetneq I_2 \subsetneq \cdots$ (tous contenus
dans $I$), ce qui contredit l'hypothèse sur $A$.
\end{proof}

\begin{prop}[théorème de la base de Hilbert]
Si $k$ est un anneau noethérien, alors l'anneau $k[t]$ des polynômes à
une indéterminée sur $k$ est noethérien.
\end{prop}
\begin{proof}
Soit $I \subseteq k[t]$ un idéal.  Supposons par l'absurde que $I$
n'est pas de type fini.  On construit par récurrence une suite
$f_0,f_1,f_2,\ldots$ d'éléments de $I$ comme suit.  Si
$f_0,\ldots,f_{r-1}$ ont déjà été choisis, comme l'idéal
$(f_0,\ldots,f_{r-1})$ qu'ils engendrent n'est pas $I$, on peut
choisir $f_r$ de plus petit degré possible parmi les éléments de $I$
non dans $(f_0,\ldots,f_{r-1})$.

Appelons $c_i$ le coefficient dominant de $f_i$.  Comme $k$ est
supposé noethérien, il existe $m$ tel que $c_0,\ldots,c_{m-1}$
engendrent l'idéal $J$ engendré par tous les $c_i$.  Montrons qu'en
fait $f_0,\ldots,f_{m-1}$ engendrent $I$ (ce qui constitue une
contradiction).

On peut écrire $c_m = a_0 c_0 + \cdots + a_{m-1} c_{m-1}$.  Par
ailleurs, le degré de $f_m$ est supérieur ou égal au degré de chacun
de $f_0,\ldots,f_{m-1}$ par minimalité de ces derniers.  On peut donc
construire le polynôme $g = \sum_{i=0}^{m-1} a_i f_i t^{\deg f_m -
  \deg f_i}$, qui a les mêmes degré et coefficient dominant que $f_m$,
et qui appartient à $(f_0,\ldots,f_{m-1})$.  Alors, $f_m - g$ est de
degré strictement plus petit que $f_m$, il appartient à $I$ mais pas
à $(f_0,\ldots,f_{m-1})$ : ceci contredit la minimalité dans le choix
de $f_m$.
\end{proof}

\begin{cor}\label{hilbert-basis-theorem-for-polynomials}
Soit $k$ un corps ou $\mathbb{Z}$, ou plus généralement un anneau
noethérien.  Alors l'anneau $k[t_1,\ldots,t_n]$ des polynômes en $n$
indéterminées sur $k$ est un anneau noethérien.
\end{cor}
\begin{proof}
La proposition précédente montre que si $k$ est noethérien alors
$k[t]$ est noethérien, et une récurrence immédiate montre que
$k[t_1,\ldots,t_n]$ est noethérien.
\end{proof}

\thingy\label{subalgebra-generated} Si $(x_i)_{i\in \Lambda}$ sont des
éléments d'une $k$-algèbre $A$, l'intersection de toutes les
sous-$k$-algèbres de $A$ contenant les $x_i$ est une sous-$k$-algèbre
et s'appelle la \hbox{(sous-)}$k$-algèbre \defin[engendrée
  (algèbre)]{engendrée} par les $x_i$ : c'est l'ensemble de tous les
éléments de $A$ qui peuvent être obtenus à partir de $1$ et des $x_i$
par sommes, produits par éléments de $k$ et produits binaires ; de
façon plus simple, c'est l'ensemble des toutes les expressions
polynomiales sur $k$ en les $x_i$, c'est-à-dire des valeurs
$f(x_{i_1},\ldots,x_{i_n})$ avec $f\in k[t_1,\ldots,t_n]$ (un polynôme
en $n$ indéterminées sur $k$) et $i_1,\ldots,i_n \in \Lambda$.

Lorsque $\Lambda$ est fini : la sous-$k$-algèbre engendrée par
$x_1,\ldots,x_n$ est l'ensemble des toutes les valeurs
$f(x_1,\ldots,x_n)$ où $f\in k[t_1,\ldots,t_n]$ est un polynôme à
coefficients dans $k$ ; on pourra noter $k[x_1,\ldots,x_n]$
(cf. l'avertissement ci-dessous) cette sous-algèbre ; une telle
sous-algèbre (engendrée par un nombre fini d'éléments) est dite de
\defin[type fini (algèbre)]{de type fini} (en tant que $k$-algèbre).
Autrement dit, une $k$-algèbre $A$ est dite de type fini lorsqu'il
existe $x_1,\ldots,x_n \in A$ (en nombre fini) tels que tout élément
de $A$ s'écrive de la forme $f(x_1,\ldots,x_n)$ pour un certain
polynôme $f\in k[t_1,\ldots,t_n]$.

\danger On prendra garde au fait que la même notation
$k[x_1,\ldots,x_n]$ peut désigner soit la $k$-algèbre engendrée
par $x_1,\ldots,x_n$ dans une $k$-algèbre $A$ plus grande, soit
l'anneau des polynômes à $n$ indéterminées $x_1,\ldots,x_n$ sur $k$.
Ces conventions sont cependant cohérentes en ce sens que l'anneau des
polynômes à $n$ indéterminées sur $k$ est bien la $k$-algèbre
engendrée par les indéterminées (cf. le point suivant).  Il faut donc
prendre garde à ce que sont $x_1,\ldots,x_n$ quand cette notation
apparaît : si aucune remarque n'est faite et que les $x_i$ n'ont pas
été introduits auparavant, il est généralement sous-entendu que ce
sont des indéterminées.

\thingy Une $k$-algèbre $A$ est de type fini lorsqu'il existe
$x_1,\ldots,x_n \in A$ tels que le morphisme $k[t_1,\ldots,t_n] \to A$
(de la $k$-algèbre $k[t_1,\ldots,t_n]$ des polynômes en $n$
indéterminées vers $A$), dit morphisme d'évaluation, qui à $f$ associe
$f(x_1,\ldots,x_n)$ est \emph{surjectif}.  Or on rappelle qu'un
morphisme d'anneaux surjectif $\psi\colon A' \to A$ permet
d'identifier\footnote{L'identification se fait par l'isomrphisme qui
  envoie la classe de $z\in A'$ modulo $\ker\psi$ sur l'image $\psi(z)
  \in A$.} l'image $A$ au quotient $A'/\ker\psi$ de $A'$ par le noyau
de $\psi$.  Donc toute $k$-algèbre de type fini peut s'écrire sous la
forme du quotient $k[t_1,\ldots,t_n]/I$ d'un anneau de polynômes
$k[t_1,\ldots,t_n]$ par un idéal de ce dernier ; réciproquement, un
tel quotient est visiblement de type fini (il est engendré par les
classes modulo $I$ des indéterminées).

En résumé, on peut donc dire qu'une $k$-algèbre de type fini est la
même chose qu'un quotient d'un anneau de polynômes (en un nombre fini
d'indéterminées).

En rassemblant ce fait avec
\ref{hilbert-basis-theorem-for-polynomials} et avec le fait qu'un
quotient d'un anneau noethérien est noethérien, on obtient :

\begin{cor}
Soit $k$ un corps ou $\mathbb{Z}$, ou plus généralement un anneau
noethérien.  Alors toute $k$-algèbre de type fini est un anneau
noethérien.
\end{cor}



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\end{document}
