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\begin{document}
\title{Courbes algébriques\\(notes provisoires)}
\author{David A. Madore}
\maketitle

\centerline{\textbf{ACCQ205}}

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\section{Corps et extensions de corps}

\subsection{Anneaux, algèbres, corps, idéaux premiers et maximaux et corps des fractions}

\thingy Sauf précision expresse du contraire, tous les anneaux
considérés sont commutatifs et ont un élément unité (noté $1$).  Il
existe un unique anneau dans lequel $0=1$, c'est l'anneau réduit à un
seul élément, appelé l'\textbf{anneau nul}.  (Pour tout anneau $A$, il
existe un unique morphisme de $A$ vers l'anneau nul ; en revanche, il
n'existe un morphisme de l'anneau nul vers $A$ que si $A$ est lui-même
l'anneau nul.)

\thingy Si $k$ est un anneau, une \textbf{$k$-algèbre} (là aussi :
implicitement commutative) est la donnée d'un morphisme d'anneaux $k
\buildrel\varphi_A\over\to A$ appelé \textbf{morphisme structural} de
l'algèbre.  On peut multiplier un élément de $A$ par un élément de $k$
avec : $c\cdot x = \varphi_A(c)\,x \in A$ (pour $c\in k$ et $x\in A$).
Un morphisme de $k$-algèbres est un morphisme d'anneaux
$A\buildrel\psi\over\to B$ tel que le morphisme structural $k
\buildrel\varphi_B\over\to B$ de $B$ soit la composée $k
\buildrel\varphi_A\over\to A\buildrel\psi\over\to B$ de celui de $A$
avec le morphisme considéré.

De façon équivalente, une $k$-algèbre est un $k$-module qui est muni
d'une multiplication $k$-bilinéaire qui en fait un anneau, et les
morphismes de $k$-algèbres sont les applications $k$-linéaires qui
préservent la multiplication ; le morphisme structural peut alors se
retrouver par $c \mapsto c\cdot 1$.  Notons qu'une
$\mathbb{Z}$-algèbre est exactement la même chose qu'un anneau (raison
pour laquelle il est souvent préférable d'énoncer les résultats en
parlant de $k$-algèbres pour plus de généralité).

Dans la pratique, cependant $k$ sera généralement un corps : une
$k$-algèbre est donc un $k$-espace vectoriel muni d'une multiplication
$k$-bilinéaire qui en fait un anneau, et le morphisme structural est
automatiquement injectif si l'algèbre n'est pas l'algèbre nulle.

\thingy Un élément $a$ d'un anneau $A$ (sous-entendu : commutatif) est
dit \textbf{régulier}, resp. \textbf{inversible}, lorsque $x \mapsto
ax$ est injectif, resp. bijectif, autrement dit lorsque $ax = 0$
implique $x = 0$ (la réciproque est toujours vraie), resp. lorsqu'il
existe $x$ (appelé inverse de $a$) tel que $ax = 1$.

Un anneau dans $A$ dans lequel l'ensemble des éléments régulier est
égal à l'ensemble $A \setminus \{0\}$ des éléments non-nuls est appelé
anneau \textbf{intègre} : autrement dit, un anneau intègre est un
anneau dans lequel ($0\neq 1$ et) $ab = 0$ implique $a=0$ ou $b=0$ (la
réciproque est toujours vraie).  Par convention, l'anneau nul n'est
pas intègre.

Un idéal $\mathfrak{p}$ d'un anneau $A$ est dit \textbf{premier}
lorsque l'anneau quotient $A/\mathfrak{p}$ est un anneau intègre,
autrement dit lorsque $\mathfrak{p}\neq A$ et que $ab \in
\mathfrak{p}$ implique $a \in \mathfrak{p}$ ou $b \in \mathfrak{p}$
(la réciproque est toujours vraie).

\thingy Dans un anneau (toujours sous-entendu commutatif...),
l'ensemble noté $A^\times$ des éléments inversibles est un groupe,
aussi appelé groupe des \textbf{unités} de $A$.

Un \textbf{corps} est un anneau $k$ dans lequel l'ensemble $k^\times$
des éléments inversibles est égal à l'ensemble $k\setminus\{0\}$ des
éléments non-nuls : autrement dit, un corps est un anneau dans lequel
($0\neq 1$ et) tout élément non-nul est inversible.  De façon
équivalente, un corps est un anneau ayant exactement deux idéaux (qui
sont alors $0$ et lui-même).  Par convention, l'anneau nul n'est pas
un corps.

Un corps est, en particulier, un anneau intègre.

Un idéal $\mathfrak{m}$ d'un anneau $A$ est dit \textbf{maximal}
lorsque l'anneau quotient $A/\mathfrak{m}$ est un corps : de façon
équivalente, lorsque $\mathfrak{m}\neq A$ et que $\mathfrak{m}$ est
maximal pour l'inclusion parmi les idéaux $\neq A$.  Un idéal maximal
est, en particulier, premier.

\thingy À titre d'exemple, l'idéal $n\mathbb{Z}$ de $\mathbb{Z}$ (on
rappelle que tous les idéaux de $\mathbb{Z}$ sont de cette forme, pour
un $n \in \mathbb{N}$ défini de façon unique) est premier si et
seulement si $n = 0$ (le quotient étant $\mathbb{Z}$ lui-même) ou bien
$n$ est un nombre premier ; il est intègre exactement si $n$ est un
nombre premier (le quotient étant alors le corps
$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$).

Pour donner un exemple moins évident, dans l'anneau $k[x,y]$ des
polynômes à deux indéterminées $x,y$ sur un corps $k$, l'idéal $(y)$
(des polynômes s'annulant identiquement sur l'axe des abscisses) est
premier mais non maximal puisque $k[x,y]/(y) \cong k[x]$, tandis que
l'idéal $(x,y)$ (des polynômes s'annulant à l'origine) est maximal
puisque $k[x,y]/(x,y) \cong k$.

\bigbreak

Le résultat ensembliste suivant sera admis :
\begin{lem}[principe maximal de Hausdorff]\label{hausdorff-maximal-principle}
Soit $\mathscr{F}$ un ensemble de parties d'un ensemble $A$.  On
suppose que $\mathscr{F}$ est non vide et que pour toute partie non
vide $\mathscr{T}$ de $\mathscr{F}$ totalement ordonnée par
l'inclusion (c'est-à-dire telle que pour $I,I' \in \mathscr{T}$ on a
soit $I \subseteq I'$ soit $I \supseteq I'$) la réunion $\bigcup_{I
  \in \mathscr{T}} I$ soit contenue dans un élément de $\mathscr{F}$.
Alors il existe dans $\mathscr{F}$ un élément $M$ maximal pour
l'inclusion (c'est-à-dire que si $I \supseteq M$ avec $I \in
\mathscr{F}$ alors $I=M$).
\end{lem}

\begin{prop}\label{existence-maximal-ideals}
Dans un anneau $A$, tout idéal strict (=autre que $A$) est inclus dans
un idéal maximal.
\end{prop}
\begin{proof}
Si $I$ est un idéal strict de $A$, on applique le principe maximal de
Hausdorff à $\mathscr{F}$ l'ensemble des idéaux stricts de $A$
contenant $I$.  Si $\mathscr{T}$ est une chaîne (=partie totalement
ordonnée pour l'inclusion) de tels idéaux, la réunion $\bigcup_{I \in
  \mathscr{T}} I$ en est encore un\footnote{La réunion de deux idéaux
  n'est généralement pas un idéal, car si $x\in I$ et $x' \in I'$, la
  somme $x+x'$ n'a pas de raison d'appartenir à $I\cup I'$.  En
  revanche, si $\mathscr{T}$ est une famille d'idéaux totalement
  ordonnée par l'inclusion, alors $\bigcup_{I \in \mathscr{T}} I$ est
  un idéal : si $x\in I$ et $x' \in I'$, où $I,I'\in \mathscr{T}$, on
  peut écrire soit $I \subseteq I'$ soit $I'\subseteq I$, et dans un
  cas comme dans l'autre on a $x+x' \in \bigcup_{I \in \mathscr{T}}
  I$.} (pour voir que la réunion est encore un idéal strict, remarquer
que $1$ n'y appartient pas).  Le principe maximal de Hausdorff permet
de conclure.
\end{proof}

\thingy Si $A$ est un anneau intègre, on définit un corps $\Frac(A)$,
dit \textbf{corps des fractions} de $A$, dont les éléments sont les
symboles formels $\frac{a}{q}$ avec $a \in A$ et $q \in A
\setminus\{0\}$, en convenant d'identifier $\frac{a}{q}$ avec
$\frac{a'}{q'}$ lorsque $aq' = a'q$ (i.e., formellement, $\Frac(A)$
est le quotient de $A \times (A\setminus\{0\})$ par la relation
d'équivalence qu'on vient de dire) ; la structure d'anneau est définie
par $\frac{a}{q} + \frac{a'}{q'} = \frac{aq'+a'q}{qq'}$ et
$\frac{a}{q} \cdot \frac{a'}{q'} = \frac{aa'}{qq'}$.  On a aussi un
morphisme injectif $A \to \Frac(A)$ envoyant $a$ sur $\frac{a}{1}$, et
on identifiera $A$ à son image par ce morphisme.

À titre d'exemple, $\Frac(\mathbb{Z})$ est $\mathbb{Q}$ (c'est même la
définition de ce dernier).

\thingy\label{universal-property-of-fraction-field} Le corps des
fractions d'un anneau intègre $A$ vérifie la propriété « universelle »
suivante : si $K$ est un corps quelconque, et $\varphi\colon A \to K$
un morphisme d'anneaux injectif, il existe un unique morphisme de
corps $\hat\varphi\colon \Frac(A) \to K$ (i.e., extension de corps,
cf. ci-dessous) qui prolonge $\varphi$ (i.e., $\hat\varphi(a) =
\varphi(a)$ si $a\in A$).  En effet, il suffit de définir
$\hat\varphi(\frac{a}{q})$ par $\varphi(a)/\varphi(q)$.

\thingy Le corps des fractions de l'anneau $k[t_1,\ldots,t_n]$ des
polynômes en $n$ indéterminées $t_1,\ldots,t_n$ sur un corps $k$ est
appelé corps des \textbf{fractions rationnelles} (ou parfois
« fonctions rationnelles ») en $n$ indéterminées $t_1,\ldots,t_n$
sur $k$, et noté $k(t_1,\ldots,t_n)$.

\thingy\label{finite-integral-algebra-is-a-field} Le fait suivant sera
important : si $k$ est un corps et $K$ une $k$-algèbre \emph{de
  dimension finie} intègre, alors $K$ est, en fait, un corps.  En
effet, une application $k$-linéaire $K \to K$ injective est
automatiquement bijective, et en appliquant ce fait à la
multiplication par un $a\in K$, on voit que tout élément régulier est
inversible.

\subsection{Algèbre engendrée, extensions de corps}

\thingy Si $A$ est une $k$-algèbre (où $k$ est un anneau), et
$(x_i)_{i\in I}$ est une famille d'éléments de $A$, l'intersection de
toutes les sous-$k$-algèbres de $A$ contenant les $x_i$ est encore une
sous-$k$-algèbre de $A$ contenant les $x_i$, c'est-à-dire que c'est la
plus petite sous-$k$-algèbre de $A$ contenant les $x_i$.  On l'appelle
$k$-algèbre \textbf{engendrée} (dans $A$) par les $x_i$ et on la note
$k[x_i]_{i\in I}$.  Lorsque les $x_i$ sont en nombre fini (le cas qui
nous intéressera le plus), disons indicés par $1,\ldots,n$, on note
$k[x_1,\ldots,x_n]$, et on dit que $k[x_1,\ldots,x_n]$ est une
$k$-algèbre \textbf{de type fini} (comme $k$-algèbre).

\danger On prendra garde au fait que la même notation
$k[x_1,\ldots,x_n]$ peut désigner soit la $k$-algèbre engendrée
par $x_1,\ldots,x_n$ dans une $k$-algèbre $A$ plus grande, soit
l'anneau des polynômes à $n$ indéterminées $x_1,\ldots,x_n$ sur $k$.
Ces conventions sont cependant cohérentes en ce sens que l'anneau des
polynômes à $n$ indéterminées sur $k$ est bien la $k$-algèbre
engendrée par les indéterminées (cf. le point suivant).  Il faut donc
prendre garde à ce que sont $x_1,\ldots,x_n$ quand cette notation
apparaît : si aucune remarque n'est faite et que les $x_i$ n'ont pas
été introduits auparavant, il est généralement sous-entendu que ce
sont des indéterminées.

\thingy\label{subalgebra-generated-is-polynomials} La $k$-algèbre
engendrée par les $x_i$ dans $A$ peut encore se décrire concrètement
comme l'ensemble de tous les éléments de $A$ qui peuvent être obtenus
à partir de $1$ et des $x_i$ par sommes, produits par éléments de $k$
et produits binaires.  Autrement dit, ce sont les valeurs des
polynômes à coefficients dans $k$ évalués en des $x_i$.  Pour dire les
choses de façon plus sophistiquée, en supposant les $x_i$ en nombre
fini pour simplifier (et indicés par $1,\ldots,n$), il existe un
unique morphisme $k[t_1,\ldots,t_n] \to A$ envoyant $t_i$ sur $x_i$, à
savoir le morphisme « d'évaluation » qui à un $P \in
k[t_1,\ldots,t_n]$ associe $P(x_1,\ldots,x_n)$, et $k[x_1,\ldots,x_n]$
est l'\emph{image} de ce morphisme.  On peut donc dire qu'une
$k$-algèbre de type fini $k[x_1,\ldots,x_n]$ est la même chose qu'un
\emph{quotient} de l'algèbre de polynômes $k[t_1,\ldots,t_n]$ (par le
noyau du morphisme d'évaluation).

Pour ce qui est du cas infini : la $k$-algèbre $k[x_i]_{i\in I}$
engendrée par une famille quelconque $(x_i)_{i\in I}$ d'éléments de
$A$ est la \emph{réunion} des algèbres $k[x_i]_{i\in J}$ engendrées
par toutes les sous-familles finies (i.e., $J\subseteq I$ fini) de la
famille donnée.  (Autrement dit, $y \in A$ appartient à $k[x_i]_{i\in
  I}$ si et selement si il existe $J\subseteq I$ fini tel que $y$
appartienne à $k[x_i]_{i\in J}$.)

\thingy Une \textbf{extension de corps} est un morphisme d'anneaux $k
\to K$ entre corps (c'est-à-dire que $K$ est une $k$-algèbre qui est
un corps).  Un tel morphisme est automatiquement injectif (car son
noyau est un idéal d'un corps qui ne contient pas $1$), et qui peut
donc être considéré comme une inclusion : on notera soit $k \subseteq
K$ soit $K/k$ une telle extension ; lorsque l'inclusion a été fixée,
on dit aussi que $k$ est un \textbf{sous-corps} de $K$.  Un
\textbf{corps intermédiaire} à une extension $k \subseteq K$, ou
encore \textbf{sous-extension}, est, naturellement, une extension de
corps $k \subseteq E$ contenue dans $K$ ; on dit aussi que $k
\subseteq E \subseteq K$ est une \textbf{tour} d'extensions (et de
même pour n'importe quel nombre de corps intermédiaires).

\thingy\label{subfield-generated} Si $k \subseteq K$ est une extension
de corps, et $(x_i)_{i\in I}$ est une famille d'éléments de $K$,
l'intersection de tous les sous-corps de $K$ contenant $k$ et
les $x_i$ est encore un sous-corps de $K$ contenant $k$ et les $x_i$,
c'est-à-dire que c'est le plus petit corps intermédiaire contenant
les $x_i$.  On l'appelle sous-extension \textbf{engendrée} (dans $K$)
par les $x_i$ et on la note $k(x_i)_{i\in I}$.  Lorsque les $x_i$ sont
en nombre fini (le cas qui nous intéressera le plus), disons indicés
par $1,\ldots,n$, on note $k(x_1,\ldots,x_n)$, et on dit que
$k(x_1,\ldots,x_n)$ est une extension de $k$ \textbf{de type fini}
(comme extension de corps).

\danger On prendra garde au fait que la même notation
$k(x_1,\ldots,x_n)$ peut désigner soit la sous-extension engendrée
par $x_1,\ldots,x_n$ dans une extension $K$ plus grande, soit le corps
des fractions rationnelles à $n$ indéterminées $x_1,\ldots,x_n$
sur $k$.  Ces conventions sont cependant cohérentes en ce sens que le
corps des fractions rationnelles à $n$ indéterminées sur $k$ est bien
la sous-extension engendrée par les indéterminées (cf. le point
suivant).  Comme dans le cas de la $k$-algèbre engendrée, il faut donc
prendre garde à ce que sont $x_1,\ldots,x_n$ quand cette notation
apparaît : si aucune remarque n'est faite et que les $x_i$ n'ont pas
été introduits auparavant, il est généralement sous-entendu que ce
sont des indéterminées.

\thingy\label{subfield-generated-is-quotients} La sous-extension
engendrée (au-dessus de $k$) par les $x_i$ dans $K$ peut encore se
décrire concrètement comme l'ensemble de tous les éléments de $A$ qui
peuvent être obtenus à partir des éléments de $k$ et des $x_i$ par
sommes, produits et inverses (d'éléments non nuls).  Autrement dit, ce
sont les valeurs des fractions rationnelles à coefficients dans $k$
évalués en des $x_i$ (à condition d'être bien définies).

Pour ce qui est du cas infini : la sous-extension $k(x_i)_{i\in I}$
engendrée par une famille quelconque $(x_i)_{i\in I}$ d'éléments de
$K$ est la \emph{réunion} des sous-extensions $k(x_i)_{i\in J}$
engendrées par toutes les sous-familles finies (i.e., $J\subseteq I$
fini) de la famille donnée.  (Autrement dit, $y \in K$ appartient à
$k(x_i)_{i\in I}$ si et selement si il existe $J\subseteq I$ fini tel
que $y$ appartienne à $k(x_i)_{i\in J}$.)

\subsection{Extensions algébriques et degré}

\thingy\label{monogeneous-extensions-dichotomy} Si $k \subseteq K$ est
une extension de corps et $x\in K$, on a noté
(cf. \ref{subfield-generated}) $k(x)$ l'extension de $k$ engendrée
par $x$.  On dira aussi que $k \subseteq k(x)$ est une extension
\textbf{monogène}.

On se pose la question de mieux comprendre cette extension.  Pour
cela, on introduit l'unique morphisme $\varphi\colon k[t] \to K$, où
$k[t]$ est l'anneau des polynômes en une indéterminée $t$ sur $k$, qui
envoie $t$ sur $x$, c'est-à-dire, le morphisme « d'évaluation »
envoyant $P$ sur $P(x)$ pour chaque $P \in k[t]$.  Le noyau de
$\varphi$ est un idéal de $k[t]$.  Exactement l'un des deux cas
suivants se produit :
\begin{itemize}
\item Soit $\varphi$ est injectif (=son noyau est nul), auquel cas on
  dit que $x$ est \textbf{transcendant} sur $k$.  Dans ce cas, d'après
  la propriété universelle du corps des fractions
  (cf. \ref{universal-property-of-fraction-field}), $\varphi$ se
  prolonge de manière unique en une extension de corps $k(t) \to K$
  (où $k(t)$ est le corps des fractions rationnelles en l'indéterminée
  $t$ sur $k$), envoyant $P/Q \in k(t)$ sur $P(x)/Q(x) \in K$, et
  l'image de $k(t)$ dans $K$ est précisément $k(x)$
  (cf. \ref{subfield-generated-is-quotients}).  Ceci permet
  d'identifier $k(x)$ avec le corps des fractions rationnelles en une
  indéterminée (i.e., de considérer $x$ comme une indéterminée).
\item Soit le noyau de $\varphi$ est engendré par un unique polynôme
  unitaire $\mu_x\in k[t]$, qu'on appelle le \textbf{polynôme minimal}
  de $x$, et alors $x$ est dit \textbf{algébrique} (ou
  \textbf{entier}) sur $k$.  Alors l'image $k[x]$ de $\varphi$
  (cf. \ref{subalgebra-generated-is-polynomials}) s'identifie à
  $k[t]/(\mu_x)$, une $k$-algèbre de dimension $\deg\mu_x$ finie
  sur $k$, qu'on appelle le \textbf{degré} de $x$ ; mais comme $k[x]$
  est intègre (puisque c'est une sous-algèbre d'un corps), et de
  dimension finie, c'est un corps
  (cf. \ref{finite-integral-algebra-is-a-field}) : on a donc $k(x) =
  k[x] = k[t]/(\mu_x)$ dans cette situation.  De plus, le polynôme
  $\mu_x$ est irréductible dans $k[t]$ (sans quoi on aurait deux
  éléments dont le produit est nul dans $K$).
\end{itemize}
On remarquera que les éléments de $k$ eux-mêmes sont exactement les
algébriques de degré $1$ sur $k$.

\thingy La dichotomie décrite ci-dessus admet une sorte de
réciproque : d'une part, si $t$ est une indéterminée, alors dans
$k(t)$ (le corps des fractions rationnelles) l'élément $t$ est bien
transcendant sur $k$ (en fait, toute fraction rationnelle non
constante est transcendante sur $k$) ; d'autre part, si $\mu$ est un
polynôme unitaire irréductible sur $k$, alors $k[t]/(\mu)$ est une
$k$-algèbre de dimension finie intègre donc
(cf. \ref{finite-integral-algebra-is-a-field}) une extension de corps
de $k$ dans laquelle la classe $x := \bar t$ de l'indéterminée $t$ est
algébrique de polynôme minimal $\mu$ : ce corps $k(x) = k[t]/(\mu)$
est appelé \textbf{corps de rupture} du polynôme irréductible $\mu$
sur $k$ (lorsque $\mu$ n'est pas unitaire, on peut encore parler de
corps de rupture quitte à diviser par le coefficient dominant ; en
revanche, l'irréductibilité est essentielle), et il va de soi que le
corps de rupture coïncide avec $k$ si et seulement si $\mu$ est de
degré $1$ (précisément, si $\mu = t-a$ alors l'élément $x := \bar t$
de $k(x) = k[t]/(\mu)$ s'identifie avec $a \in k$).

\thingy Une extension de corps $k\subseteq K$ est dite
\textbf{algébrique} lorsque chaque élément de $K$ est algébrique
sur $k$.  On dit aussi que $K$ est algébrique « au-dessus de » $k$ ou
« sur » $k$.

Un corps $k$ est dit \textbf{algébriquement clos} lorsque la seule
extension algébrique de $k$ est $k$ lui-même : d'après les remarques
précédentes, cela revient à dire que les seuls polynômes unitaires
irréductibles dans $k[t]$ sont les $t-a$.

\thingy Si $k\subseteq K$ est une extension de corps, on peut
considérer $K$ comme un $k$-espace vectoriel, et sa dimension (finie
ou infinie) est notée $[K:k]$ et appelée \textbf{degré} de
l'extension.  Une extension de degré fini est aussi dite
\textbf{finie}.  Il va de soi qu'une sous-extension d'une extension
finie est encore finie.

Il résulte de l'identification de $k(x)$ à $k[t]/(\mu_x)$ que, si $x$
est un élément algébrique sur $k$, alors $[k(x):k]$ est fini et égal
au degré $\deg\mu_x =: \deg(x)$ de $x$.  \textit{A contrio}, si $x$
est transcendant, alors $[k(x):k]$ est infini.  En particulier, on a
montré que : \emph{l'extension monogène $k\subseteq k(x)$ est finie si
  et seulement si $x$ est algébrique sur $k$}.

\thingy On aura également besoin du fait que si $k \subseteq K
\subseteq L$ sont deux extensions imbriquées alors
$[L:k] = [K:k] \, [L:K]$ (au sens où le membre de gauche est fini si
et seulement si les deux facteurs du membre de droite le sont, et dans
ce cas leur produit lui est égal).  Cela résulte du fait plus précis
que si $(x_i)_{i\in I}$ est une $k$-base de $K$ et $(y_j)_{j\in J}$
une $K$-base de $L$, alors $(x_i y_j)_{(i,j)\in I\times J}$ est une
$k$-base de $L$ (vérification aisée).

\thingy\label{basic-facts-algebraic-extensions} Les faits suivants sont à noter :

(1) Une extension de corps engendrée par un nombre fini d'éléments
algébriques est finie (en effet, si $x_1,\ldots,x_n$ sont algébriques
sur $k$, alors chaque extension $k(x_1,\ldots,x_{i-1}) \subseteq
k(x_1,\ldots,x_i)$ est monogène algébrique, donc finie, donc leur
composée est fini).

(2) Une extension $k\subseteq K$ est finie si et seulement si elle est
à la fois algébrique et de type fini.  (Le sens « si » résulte de
l'affirmation (1) ; pour le sens « seulement si », remarquer que pour
tout $x\in K$, l'extension $k\subseteq k(x)$ est finie donc
algébrique, et qu'une base de $K$ comme $k$-espace vectoriel engendre
certainement $K$ comme extension de corps de $k$.)

(3) Une extension de corps engendrée par une famille quelconque
d'éléments algébriques est algébrique (en effet, si $K = k(x_i)_{i\in
  I}$ et $y \in K$, alors, cf. \ref{subfield-generated-is-quotients},
$y$ appartient à $k(x_i)_{i\in J}$ pour une sous-famille finie des
$x_i$, et d'après le (1), cette extension est finie sur $k$ donc
$k(y)$ l'est, c'est-à-dire que $y$ est algébrique sur $k$).
Concrètement, donc, les sommes, différences, produits et inverses de
quantités algébriques sur $k$ sont algébriques sur $k$.

(4) Si $k\subseteq K$ et $K\subseteq L$ sont algébriques alors
$k\subseteq L$ l'est (en effet, si $y \in L$, et si $x_1,\ldots,x_n
\in K$ sont les coefficients du polynôme minimal de $y$ sur $L$, alors
$y$ est algébrique sur $k(x_1,\ldots,x_n)$, qui est une extension
finie de $k$ d'après (1), donc $k(x_1,\ldots,x_n,y)$ est une extension
finie de $k(x_1,\ldots,x_n)$ donc de $k$, donc $k(y)$ est une
extension finie de $k$, donc $y$ est algébrique sur $k$).

\thingy L'observation (3) ci-dessus entraîne que si $k\subseteq K$ est
une extension de corps, l'extension de $k$ engendrée par tous les
éléments de $K$ algébriques sur $k$ est tout simplement
l'\emph{ensemble} de tous les éléments de $K$ algébriques sur $k$,
c'est-à-dire que cet ensemble est un corps, qui est manifestement la
plus grande extension intermédiaire algébrique sur $k$ : on l'appelle
la \textbf{fermeture algébrique} de $k$ dans $K$ (la précision
« dans $K$ » est importante).

Si c'est précisément $k$, on dit que $k$ est \textbf{algébriquement
  fermé} dans $K$ : autrement dit, cela signifie que tout élément
de $K$ est soit transcendant sur $k$ soit élément de $k$ (=algébrique
de degré $1$).  Un corps algébriquement clos est algébriquement fermé
dans toute extension, mais un corps peut être algébriquement fermé
dans une extension sans pour autant être algébriquement clos (par
exemple $\mathbb{Q}$ dans le corps $\mathbb{Q}(t)$ des fractions
rationnelles).

\thingy\label{upgrade-algebraic-with-indeterminates} On peut aussi
remarquer le fait suivant : si $K$ est algébrique au-dessus de $k$,
alors $K(t_1,\ldots,t_n)$ où les $t_i$ sont des indéterminées (ou, de
façon équivalente, des éléments algébriquement indépendants sur $K$
d'un corps plus gros,
cf. \ref{remark-indeterminates-versus-transcendentals}) est algébrique
sur $k(t_1,\ldots,t_n)$.  (En effet, $K(t_1,\ldots,t_n)$ est engendré
sur $k(t_1,\ldots,t_n)$ par tous les éléments de $K$, qui sont
algébriques sur $k$, donc certainement aussi sur $k(t_1,\ldots,t_n)$,
et on applique \ref{basic-facts-algebraic-extensions}(3).)


\subsection{Bases et degré de transcendance}

\begin{defn}
Si $k\subseteq K$ est une extension de corps, une famille finie
$x_1,\ldots,x_n$ d'éléments de $K$ est dite \textbf{algébriquement
  indépendante} (il serait plus logique de dire « collectivement
  transcendante ») sur $k$ lorsque le seul polynôme $P \in
k[t_1,\ldots,t_n]$ à coefficients dans $k$ et tel que
$P(x_1,\ldots,x_n) = 0$ (relation de « dépendance algébrique » sur $k$
entre les $x_i$) est le polynôme nul ; autrement dit, lorsque le
morphisme « d'évaluation » $k[t_1,\ldots,t_n] \to K$ (avec
$k[t_1,\ldots,t_n]$ l'anneau des polynômes en $n$ indéterminées)
envoyant $P$ sur $P(x_1,\ldots,x_n)$ est injectif.  En particulier,
chacun des $x_i$ est transcendant sur $k$ ; et un unique élément $x$
de $K$ est algébriquement indépendant sur $k$ si et seulement si il
est transcendant sur $k$.

On dit d'une famille infinie $(x_i)$ d'éléments de $K$ qu'elle est
algébriquement indépendante sur $k$ lorsque toute sous-famille finie
d'entre eux l'est (i.e., il n'existe pas de relation de dépendance
algébrique entre les $x_i$, c'est-à-dire entre un nombre fini d'entre
eux).

Une famille $(x_i)$ d'éléments de $K$ est appelée \textbf{base de
  transcendance} de $K$ sur $k$ lorsqu'elle est algébriquement
indépendante sur $k$ et que $K$ est algébrique au-dessus de
l'extension $k(x_i)$ de $k$ engendrée par les $x_i$.
\end{defn}

\thingy\label{remark-indeterminates-versus-transcendentals} Il est trivialement le cas que $t_1,\ldots,t_n$ sont
algébriquement indépendants si $t_1,\ldots,t_n$ sont des
indéterminées, c'est-à-dire, si $k(t_1,\ldots,t_n)$ est le corps des
fractions rationnelles en $n$ indéterminées.  Réciproquement, si
$x_1,\ldots,x_n$ sont algébriquement indépendants, alors
$k(x_1,\ldots,x_n)$ s'identifie au corps des fractions rationnelles en
$n$ indéterminées comme dans le cas $n=1$ déjà vu
en \ref{monogeneous-extensions-dichotomy} ci-dessus (en envoyant
$P/Q$, avec $P,Q\in k[t_1,\ldots,t_n]$ et $Q\neq 0$, sur
$P(x_1,\ldots,x_n)/Q(x_1,\ldots,x_n)$).

(On peut encore dire la même chose pour un nombre infini de $x_i$, à
condition de définir le corps des fractions rationnelles en un nombre
infini d'indéterminées, comme « réunion », techniquement la limite
inductive, des corps de fractions rationnelles sur une sous-famille
finie quelconque d'entre elles.)

\thingy Lorsque les $(x_i)$ sont algébriquement indépendants, on dit
aussi que l'extension $k \subseteq k(x_i)$ est \textbf{transcendante
  pure} : autrement dit, une extension transcendante pure est un corps
de fractions rationnelles en un nombre quelconque (peut-être infini,
cf. ci-dessus) de variables.

La question de déterminer si une extension de corps est transcendante
pure peut être extrêmement difficile ; à titre d'exemple, le corps
$\mathbb{R}(x,y : x^2+y^2-1)$ des fractions de
$\mathbb{R}[x,y]/(x^2+y^2-1)$ est une extension transcendante pure de
$\mathbb{R}$, car il est en fait isomorphe à $\mathbb{R}(t)$ où $t =
\frac{y}{x+1}$ (de réciproque $x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ et $y =
\frac{2t}{1+t^2}$) : on reviendra sur cet exemple.

Certains auteurs disent parfois par abus de langage (ces notes
tâcheront de l'éviter) que $k \subseteq k(x_1,\ldots,x_n)$ est
transcendante pure pour dire en fait que les $x_1,\ldots,x_n$ sont
algébriquement indépendants.  L'exemple ci-dessus montre que c'est
abusif ; cependant, on verra que ce ne l'est plus si on sait que le
degré de transcendance est bien $n$.

Si $x_i$ est une base de transcendance de $K$ sur $k$, celle-ci
« décompose » l'extension $k \subseteq K$ en deux : l'extension $k
\subseteq k(x_i)$ est transcendante pure, et l'extension $k(x_i)
\subseteq K$ est algébrique.

\begin{prop}\label{transcendence-basis-facts}
Soit $k \subseteq K$ une extension de corps.

(1a) Toute famille algébriquement indépendante sur $k$ d'éléments
de $K$ se complète en une base de transcendance de $K$ sur $k$.  (Ceci
s'applique notamment à la famille vide, donc il existe toujours une
base de transcendance de $K$ sur $k$.)  (1b) De toute famille qui
engendre $K$ en tant qu'extension de corps de $k$ (ou même : qui
engendre un corps intermédiaire $E$ au-dessus duquel $K$ est
algébrique) on peut extraire une base de transcendance.

(2) \textit{Lemme d'échange :} Si $z_1,\ldots,z_n$ est une base de
transcendance finie de $K$ sur $k$ et $t$ un élément de $K$ tel que
$z_1,\ldots,z_\ell,t$ soient algébriquement indépendants sur $k$ (pour
un certain $\ell$, qui peut être $0$), alors il existe $j$ entre
$\ell+1$ et $n$ tel qu'en remplaçant $z_j$ par $t$ dans la base de
transcendance $z_1,\ldots,z_n$ on obtienne encore une base de
transcendance.

(3) Deux bases de transcendance de $K$ sur $k$ ont toujours le même
cardinal.
\end{prop}
\begin{proof}
(1a) Le principe de maximalité de
  Hausdorff (\ref{hausdorff-maximal-principle}, appliqué à l'ensemble
  $\mathscr{F}$ des familles algébriquement indépendantes sur $k$)
  montre que toute famille algébriquement indépendante est contenue
  dans une famille algébriquement indépendante maximale.  Montrons
  qu'une telle famille est une base de transcendance : si $(x_i)_{i\in
    I}$ est une famille algébriquement indépendante maximale, on veut
  donc prouver que $K$ est algébrique sur $k(x_i)_{i\in I}$ ; pour
  cela, soit $t \in K$, on veut montrer qu'il n'est pas transcendant
  sur $k(x_i)_{i\in I}$.  Mais s'il l'est, on observe que la famille
  obtenue en rajoutant $t$ à la famille $(x_i)_{i \in I}$ est encore
  algébriquement indépendante : en effet, si on avait un polynôme
  $P(t,(x_i))$ qui l'annulât, en considérant $P$ comme polynôme de la
  seule variable $t$ (dont il dépend effectivement, sinon il donnerait
  une relation de dépendance algébrique sur $k$ entre les $x_i$, chose
  qui n'existe pas) on contredirait la transcendance de $t$ sur
  $k(x_i)_{i\in I}$.  Par maximalité de $(x_i)_{i\in I}$, ceci ne peut
  pas se produire : donc $K$ est bien algébrique sur $k(x_i)_{i\in I}$
  et $(x_i)_{i\in I}$ est une base de transcendance.

(1b) Soit maintenant $(x_i)_{i\in J}$ une famille génératrice (i.e.,
  $K = k(x_i)_{i \in J}$) ou telle que $K$ soit algébrique sur $E =
  k(x_i)_{i \in J}$ : soit $I$ une partie maximale de $J$ telle que
  $(x_i)_{i\in I}$ soit algébriquement indépendante (de nouveau on
  utilise le principe de maximalité), et on va montrer qu'il s'agit
  d'une base de transcendance.  Si ce n'est pas le cas, l'extension
  $K$ de $k(x_i)_{i\in I}$ n'est pas algébrique, donc
  (cf. \ref{basic-facts-algebraic-extensions}(3)) elle ne peut pas
  être engendrée uniquement par des éléments algébriques, autrement
  dit il existe $j\in J$ (et évidemment $j\not\in I$) tel que $x_j$
  soit transcendant sur $k(x_i)_{i\in I}$, et par ce qu'on vient
  d'expliquer la famille obtenue en rajoutant $j$ à $I$ contredit la
  maximalité de $I$.

(2) Soit $z_1,\ldots,z_n$ une base de transcendance (finie) et $t \in
  K$ tel que $z_1,\ldots,z_\ell,t$ soient algébriquement indépendants.
  Puisque $t \in K$ est algébrique sur $k(z_1,\ldots,z_n)$, on peut
  trouver une relation de dépendance algébrique $P(t,z_1,\ldots,z_n) =
  0$ ; comme $z_1,\ldots,z_\ell,t$ sont algébriquement indépendants
  par hypothèse, le polynôme $P$ ne peut pas dépendre que de ces
  variables, donc il doit faire intervenir $z_j$ pour un certain $j$
  entre $\ell+1$ et $n$.  Soit $z'_i$ défini par $z'_i = z_i$ si
  $i\neq j$ et $z'_j = t$.  La relation $P(t,z_1,\ldots,z_n) = 0$, ou,
  quitte à échanger deux variables, $\hat P(z_j,z'_1,\ldots,z'_n) =
  0$, se lit aussi comme affirmant que $z_j$ est algébrique sur
  $k(z'_1,\ldots,z'_n)$ : il s'ensuit que $K$ est algébrique sur
  $k(z'_1,\ldots,z'_n)$ (puisqu'il est algébrique sur
  $k(z_1,\ldots,z_n)$ et qu'on vient de voir que ce dernier est
  algébrique sur $k(z'_1,\ldots,z'_n)$,
  cf. \ref{basic-facts-algebraic-extensions} (3) et (4)).  D'autre
  part, les $z'_i$ sont algébriquement indépendants : car s'ils ne
  l'étaient pas, comme les $z_1,\ldots,z_n$ le sont, une relation
  $Q(z'_1,\ldots,z'_n)=0$ ferait intervenir $z'_j = t$, c'est-à-dire
  que $t$ serait algébrique sur les autres $z'_i$, donc $z_j$ serait
  algébrique sur les $z'_i = z_i$ pour $i \neq j$ (vu qu'on sait déjà
  qu'il est algébrique sur tous les $z'_i$), or par hypothèse ce n'est
  pas le cas.  On a bien prouvé que les $z'_i$ forment une base de
  transcendance de $K$ sur $k$.

(3) Tout d'abord, s'il existe une base de transcendance finie
  $z_1,\ldots,z_n$, alors toute famille algébriquement indépendante
  $x_1,\ldots,x_{n'}$ vérifie $n' \leq n$.  En effet, si $n'>n$, le
  lemme d'échange permet de remplacer un des $z_i$, mettons $z_1$, par
  $x_1$, puis un des $z_i$ autre que $z_1$, mettons $z_2$, par $x_2$,
  et ainsi de suite, toujours en obtenant des bases de transcendance.
  Finalement, on voit que $x_1,\ldots,x_n$ est une base de
  transcendance, contredisant le fait supposé que les $x_i$ pour
  $n<i\leq n'$ sont encore transcendants dessus.  (Ici, on a supposé
  la famille $x_1,\ldots,x_{n'}$ finie, mais de façon générale on voit
  que toute sous-famille finie d'une famille algébriquement
  indépendante doit avoir au plus $n$ éléments donc toute famille
  algébriquement indépendante est finie.)

Enfin, si on a une base de transcendance infinie $(x_i)_{i\in I}$,
d'après ce qu'on vient de voir, toute autre base de transcendance
$(y_j)_{j\in J}$ est également infinie ; par ailleurs, tout élément
$y_j$ de $K$ est algébrique sur le sous-corps engendré par une
sous-famille \emph{finie} des $x_i$, donc on a une application de $J$
vers les parties finies de $I$ telle que l'image réciproque d'une
partie finie donnée de $I$ soit finie, et ceci prouve bien que $I$ et
$J$ ont même cardinal (en utilisant le fait que, pour $I$ infini, $I$
est équipotent à l'ensemble de ses parties finies).
\end{proof}

\begin{defn}
Si $k \subseteq K$ est une extension de corps, le cardinal d'une base
de transcendance de $K$ sur $k$ (dont on vient de montrer qu'il ne
dépend pas du choix de celle-ci) s'appelle \textbf{degré de
  transcendance} de $K$ sur $k$ et se note $\degtrans_k(K)$.
\end{defn}

\begin{prop}
Si $k \subseteq K \subseteq L$ est une tour d'extensions, alors
$\degtrans_k(L) = \degtrans_k(K) + \degtrans_K(L)$.
\end{prop}
\begin{proof}
Si $(x_i)_{i\in I}$ est une base de transcendance de $K$ sur $k$ et
$(y_j)_{j\in J}$ de $L$ sur $K$, alors leur réunion (évidemment
disjointe !) est une base de transcendance de $L$ sur $k$ : en effet,
d'une part, une relation de dépendance algébrique sur $k$ entre les
$x_i$ et les $y_j$ est \textit{a fortiori} une relation de dépendance
algébrique sur $K$ entre les $y_j$, qui n'existe pas, c'est-à-dire
plus exactement qui ne peut pas faire intervenir les $y_j$, donc est
une relation de dépendance algébrique sur $k$ entre les $x_i$, qui
n'existe pas non plus, c'est-à-dire plus exactement qu'elle est nulle,
et ceci montre que la réunion considérée est algébriquement
indépendante ; d'autre part, $L$ est algébrique sur $K(y_j)$, qui est
lui-même algébrique sur $k(x_i,y_j)$ car $K$ l'est sur $k(x_i)$
(cf. \ref{upgrade-algebraic-with-indeterminates}), donc $L$ est
algébrique sur $k(x_i,y_j)$
(cf. \ref{basic-facts-algebraic-extensions}(4)).
\end{proof}

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\end{document}
