%% This is a LaTeX document.  Hey, Emacs, -*- latex -*- , get it?
\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
%\usepackage{ucs}
\usepackage{times}
% A tribute to the worthy AMS:
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}
%
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{url}
%
\usepackage{graphics}
\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{matrix}
%
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{comcnt}{Tout}[subsection]
\newcommand\thingy{%
\refstepcounter{comcnt}\smallbreak\noindent\textbf{\thecomcnt.} }
\newtheorem{defn}[comcnt]{Définition}
\newtheorem{prop}[comcnt]{Proposition}
\newtheorem{lem}[comcnt]{Lemme}
\newtheorem{thm}[comcnt]{Théorème}
\newtheorem{cor}[comcnt]{Corollaire}
\newtheorem{scho}[comcnt]{Scholie}
\renewcommand{\qedsymbol}{\smiley}
%
\newcommand{\outnb}{\operatorname{outnb}}
\newcommand{\downstr}{\operatorname{downstr}}
\newcommand{\mex}{\operatorname{mex}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\limp}{\Longrightarrow}
%
\DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~}
%
\DeclareMathSymbol{\tiret}{\mathord}{operators}{"7C}
\DeclareMathSymbol{\traitdunion}{\mathord}{operators}{"2D}
%
\DeclareFontFamily{U}{manual}{} 
\DeclareFontShape{U}{manual}{m}{n}{ <->  manfnt }{}
\newcommand{\manfntsymbol}[1]{%
    {\fontencoding{U}\fontfamily{manual}\selectfont\symbol{#1}}}
\newcommand{\dbend}{\manfntsymbol{127}}% Z-shaped
\newcommand{\danger}{\noindent\hangindent\parindent\hangafter=-2%
  \hbox to0pt{\hskip-\hangindent\dbend\hfill}}
%
%
%
\begin{document}
\title{Courbes algébriques\\(notes provisoires)}
\author{David A. Madore}
\maketitle

\centerline{\textbf{ACCQ205}}

{\footnotesize
\immediate\write18{sh ./vc > vcline.tex}
\begin{center}
Git: \input{vcline.tex}
\end{center}
\immediate\write18{echo ' (stale)' >> vcline.tex}
\par}



%
%
%

\section{Corps et extensions de corps}

\subsection{Extensions algébriques et transcendantes}

\thingy On rappelle qu'un \textbf{corps} est un anneau (sous-entendu :
commutatif) $k$ dans lequel l'ensemble $k^\times$ des éléments
inversibles est l'ensemble $k\setminus\{0\}$ des éléments non-nuls.
Une \textbf{extension de corps} est un morphisme d'anneaux $k \to K$
entre corps, qui est automatiquement injectif (car son noyau est un
idéal d'un corps qui ne contient pas $1$), et qui peut donc être
considéré comme une inclusion : on notera soit $k \subseteq K$ soit
$K/k$ une telle extension ; lorsque l'inclusion a été fixée, on dit
aussi que $k$ est un sous-corps de $K$.

\thingy Si $k \subseteq K$ est une extension de corps et $x\in K$, on
note $k(x)$ l'extension de $k$ engendrée par $x$, c'est-à-dire le plus
petit sous-corps de $K$ contenant $k$ et $x$ (i.e., l'intersection de
tous les sous-corps de $K$ contenant $k$ et $x$, qui vérifie elle-même
cette propriété).

\danger On prendra garde au fait que la même notation $k(x)$ peut
désigner soit l'extension de $k$ engendrée par $x$ dans un corps $K$
plus grand, soit le corps des fractions rationnelles à une
indéterminée $x$ sur $k$.  (Ces conventions sont cependant cohérentes
en ce sens que le corps des fractions rationnelles à une indéterminée
sur $k$ est bien l'extension de $k$ engendrée par l'indéterminée.)  Il
faut donc prendre garde à ce qu'est $x$ quand cette notation
apparaît : si aucune remarque n'est faite, il est généralement
sous-entendu que $x$ est une indéterminée.  La même remarque vaut,
\textit{mutatis mutandis}, pour $k[x]$, qui peut désigner la plus
petite $k$-algèbre engendrée par $x$ ou bien l'anneau des polynômes en
une indéterminée $x$ sur $k$.

\thingy Si $k \subseteq K$ est une extension de corps et $x\in K$, il
existe un unique morphisme $\varphi\colon k[t] \to K$ (où $k[t]$ est
l'anneau des polynômes en une indéterminée $t$ sur $k$) envoyant $t$
sur $x$ (c'est-à-dire, envoyant $P$ sur $P(x)$ pour chaque $P \in
k[t]$).  Le noyau de $\varphi$ est un idéal de $k[t]$.  Deux cas
peuvent se produire :
\begin{itemize}
\item soit $\varphi$ est injectif, auquel cas on dit que $x$ est
  \textbf{transcendant} sur $k$ : dans ce cas, $\varphi$ se prolonge
  de manière unique en une extension de corps $k(t) \to K$ (où $k(t)$
  est le corps des fractions rationnelles en l'indéterminée $t$
  sur $k$), puisque $\varphi(P)/\varphi(Q)$ a bien un sens dès que
  $P/Q \in k(t)$, et l'image de $k(t)$ dans $K$ est précisément
  $k(x)$, ce qui permet d'identifier $k(x)$ avec le corps des
  fractions rationnelles en une indéterminée (i.e., de considérer $x$
  comme une indéterminée) ;
\item soit le noyau de $\varphi$ est engendré par un unique polynôme
  unitaire $\mu_x\in k[t]$, qu'on appelle le \textbf{polynôme minimal}
  de $x$, et alors $x$ est dit \textbf{algébrique} (ou
  \textbf{entier}) sur $k$ : alors $k(x)$ s'identifie, via l'image
  de $\varphi$, à $k[t]/(\mu_x)$, une $k$-algèbre de dimension
  $\deg\mu_x$ finie sur $k$, qu'on appelle le \textbf{degré} de $x$ ;
  de plus, le polynôme $\mu_x$ est irréductible dans $k[t]$ (sans quoi
  on aurait deux éléments dont le produit est nul dans $K$).
\end{itemize}

%
%
%
\end{document}
