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\title{ACCQ205\\Exercices — Corrigé\\{\normalsize Courbes algébriques}}
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\title{ACCQ205\\Exercices\\{\normalsize Courbes algébriques}}
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\author{David A. Madore}
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\exercice

Dans $\mathbb{P}^2(\mathbb{R})$, quelle est l'intersection de la
droite reliant les points $(1{:}1{:}1)$ et $(1{:}2{:}3)$ et de celle
reliant les points $(0{:}1{:}3)$ et $(1{:}0{:}0)$ ?

Traduire cette même question et son résultat dans le plan affine
$\mathbb{A}^2(\mathbb{R})$ (c'est-à-dire $\mathbb{R}^2$) vu comme
l'ensemble des points $(1:x:y)$ de $\mathbb{P}^2(\mathbb{R})$.

\begin{corrige}
En notant $[u:v:w]$ (pour $u,v,w$ non tous nuls) la droite d'équation
$ux+vy+wz = 0$ dans $\mathbb{P}^2$, on rappelle que la droite reliant
$(x:y:z)$ et $(x':y':z')$ distincts est $[yz'-zy' : zx'-xz' :
  xy'-yx']$, et que l'intersection des droites distinctes $[u:v:w]$ et
$[u':v':w']$ est $[vw'-wv' : wu'-uw' : uv'-vu']$.

Avec ces formules, on trouve que $(1{:}1{:}1) \vee (1{:}2{:}3) =
[1{:}-2{:}1]$ (on note $p \vee q$ pour la droite reliant $p$ et $q$)
et que $(0{:}1{:}3) \vee (1{:}0{:}0) = [0{:}3{:}-1]$ et finalement que
le point recherché est $[1{:}-2{:}1] \wedge [0{:}3{:}-1] =
(-1{:}1{:}3)$ (en notant $\ell \wedge m$ pour l'intersection des
droites $\ell$ et $m$).  Ce point est bien sûr aussi égal, par
exemple, à $(1{:}-1{:}-3)$ ou $(-2{:}2{:}6)$.

En affine, la question demande l'intersection de la droite reliant
$(1,1)$ et $(2,3)$ et de la droite de pente $3$ passant par $(0,0)$.
(La « pente » de la droite affine $y = ax+b$ est le nombre $a$, qu'on
peut voir comme le point à l'infini $(0:1:a)$ de sa complétée
projective.)  La réponse est que les droites en question se coupent
en $(-1,-3)$.
\end{corrige}


%
%
%

\exercice

Donner l'équation de l'homographie (= transformation projective) $f
\colon \mathbb{P}^1 \to \mathbb{P}^1$ sur, disons, les réels, qui
envoie $0$ sur $0$ et $1$ sur $1$ et $2$ sur $3$.  Quelle est l'image
de $\infty$ par cette homographie, et quel point s'envoie sur $\infty$
par elle ?

\begin{corrige}
L'énoncé suppose implicitement qu'on identifie $\mathbb{P}^1$ au
complété de $\mathbb{A}^1$ par l'ajout d'un point à l'infini.  Notons
$t$ la coordonnée sur $\mathbb{A}^1$ et fixons les coordonnées de
$\mathbb{P}^1$ en identifiant le point $t$ de $\mathbb{A}^1$ avec le
point $(t{:}1)$ de $\mathbb{P}^1$ et le point à l'infini avec
$(1{:}0)$ (c'est-à-dire que $(u:v)$ de $\mathbb{P}^1$ s'identifie avec
$u/v$ dans $\mathbb{A}^1$ sauf lorsque $v=0$ auquel cas on le
note $\infty$).

On cherche un élément de $\mathit{PGL}_2$, c'est-à-dire une matrice
inversible $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\ \end{pmatrix}$ (modulo
homothéties).  Compte tenu de l'identification qu'on vient de faire,
cela signifie qu'on cherche $f$ sous la forme $f(t) =
\frac{at+b}{ct+d}$ (avec $ad-bc \neq 0$ pour assurer l'inversibilité,
et en gardant à l'esprit que ceci ne fixera $a,b,c,d$ qu'à
multiplication près par une constante).

La contrainte $f(0)=0$ se traduit alors par $b=0$, la contrainte
$f(1)=1$ se traduit par $a+b=c+d$, et la contrainte $f(2)=3$ se
traduit par $2a+b=3(2c+d)$.  En résolvant le système (avec une
contrainte arbitraire pour fixer l'homogénéité sans importance), on
trouve $\begin{pmatrix}3&0\\-1&4\\ \end{pmatrix}$ (modulo
multiplication par constantes), soit $f(t) = 3t/(-t+4)$.  Le point
$\infty$ s'envoie alors sur $-3$ (c'est-à-dire que $(1{:}0)$ s'envoie
sur $(3{:}-1)$), et $4$ s'envoie sur $\infty$ (c'est-à-dire que
$(4{:}1)$ s'envoie sur $(1{:}0)$).
\end{corrige}


%
%
%

\exercice

(a) Combien y a-t-il de points dans $\mathbb{P}^3(\mathbb{F}_q)$ ?
(b) Combien y a-t-il de couples de points distincts de
$\mathbb{P}^3(\mathbb{F}_q)$ ?  (c) Étant donnée une droite $\ell$ de
$\mathbb{P}^3(\mathbb{F}_q)$, combien de couples de points distincts
sont situés dessus ?  (d) En déduire le nombre de droites dans
$\mathbb{P}^3(\mathbb{F}_q)$.  (e) Indépendamment des questions
(b) à (d), combien y a-t-il de plans dans
$\mathbb{P}^3(\mathbb{F}_q)$ ?

\begin{corrige}
(a) On a vu que c'est $\frac{q^4-1}{q-1} = q^3 + q^2 + q + 1$ (ce qui
  s'écrit encore, si on préfère, $(q+1) (q^2+1)$).

(b) On en déduit que c'est $(q^3 + q^2 + q + 1) (q^3 + q^2 + q)$ (ce
  qui s'écrit encore, si on préfère, $q(q+1)(q^2+1)(q^2+q+1)$).

(c) Chaque droite de $\mathbb{P}^3(\mathbb{F}_q)$ est elle-même un
  $\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_q)$, donc elle a $q+1$ points, et $q(q+1)$
  couples de points distincts.

(d) Chaque couple de points distincts de $\mathbb{P}^3(\mathbb{F}_q)$
  détermine une unique droite, laquelle s'obtient de $q(q+1)$ manières
  différentes : il y a donc $[q(q+1)(q^2+1)\penalty0
    (q^2+q+1)]/[q(q+1)] = (q^2+1)(q^2+q+1) = q^4 + q^3 + 2q^2 + q + 1$
  droites distinctes dans $\mathbb{P}^3(\mathbb{F}_q)$.

(e) La dualité projective met en correspondance les plans de
  $\mathbb{P}^2$ avec les points du $\mathbb{P}^2$ dual.  Notamment,
  les plans de $\mathbb{P}^3(\mathbb{F}_q)$ sont en même nombre que
  ses points, c'est-à-dire $q^3 + q^2 + q + 1$.
\end{corrige}


%
%
%

\exercice

On souhaite démontrer de façon calculatoire le théorème suivant
(théorème de Desargues) : si $A,B,C$ et $A',B',C'$ sont deux triangles
(= triplets de points non alignés) dans $\mathbb{P}^2$ tels que $AA'$,
$BB'$ et $CC'$ concourent en un point $O$, alors les points $U := BC
\wedge B'C'$ (point d'intersection des droites $BC$ et $B'C'$) et $V
:= CA \wedge C'A'$ et $W := AB \wedge A'B'$ sont alignés.  (Comme
d'habitude en géométrie projective, on suppose tacitement que les
points sont en position suffisamment générale, c'est-à-dire que toutes
les paires de points qu'on a reliés pour former une droite sont
distinctes, et que toutes les paires de droites qu'on a intersectées
sont aussi distinctes.)

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,x=1.0cm,y=1.0cm,extended line/.style={shorten >=-#1,shorten <=-#1},extended line/.default=0.5cm]
%% \clip(-3.43,-5.04) rectangle (4.25,0.85);
%% \draw [domain=-3.43:4.25] plot(\x,{(-0-1.69*\x)/-1.38});
%% \draw [domain=-3.43:4.25] plot(\x,{(-0-1.96*\x)/1.19});
%% \draw [domain=-3.43:4.25] plot(\x,{(-0-2.4*\x)/-0.02});
%% \draw [domain=-3.43:4.25] plot(\x,{(-4.73-0.27*\x)/2.57});
%% \draw [domain=-3.43:4.25] plot(\x,{(--2.9-0.44*\x)/-1.21});
%% \draw [domain=-3.43:4.25] plot(\x,{(--3.28--0.71*\x)/-1.36});
%% \draw [domain=-3.43:4.25] plot(\x,{(-14.02--1.17*\x)/4.67});
%% \draw [domain=-3.43:4.25] plot(\x,{(--6.32-1.33*\x)/-1.62});
%% \draw [domain=-3.43:4.25] plot(\x,{(--11.99--0.15*\x)/-3.05});
%% \draw [domain=-3.43:4.25] plot(\x,{(--9.7-2.9*\x)/-0.07});
\begin{scriptsize}
\coordinate (O) at (0,0);
\coordinate (A) at (-1.38,-1.69);
\coordinate (B) at (1.19,-1.96);
\coordinate (C) at (-0.02,-2.4);
\coordinate (Aprime) at (-3.08,-3.78);
\coordinate (Bprime) at (1.59,-2.61);
\coordinate (Cprime) at (-0.03,-3.93);
\coordinate (W) at (3.29,-2.18);
\coordinate (U) at (3.31,-1.19);
\coordinate (V) at (3.24,-4.1);
\draw[extended line=0.5cm] (O)--(Aprime);
\draw[extended line=0.5cm] (O)--(Bprime);
\draw[extended line=0.5cm] (O)--(Cprime);
\draw[color=black!50!red,extended line=0.5cm] (A)--(W);
\draw[color=black!50!red,extended line=0.5cm] (Aprime)--(W);
\draw[color=black!50!red,extended line=0.5cm] (A)--(V);
\draw[color=black!50!red,extended line=0.5cm] (Aprime)--(V);
\draw[color=black!50!red,extended line=0.5cm] (C)--(U);
\draw[color=black!50!red,extended line=0.5cm] (Cprime)--(U);
\draw[color=black!50!blue,extended line=0.5cm] (U)--(V);
\fill [color=blue] (O) circle (1.5pt);
\draw[color=blue] (0.11,0.17) node {$O$};
\fill [color=red] (A) circle (1.5pt);
\draw[color=red] (-1.27,-1.52) node {$A$};
\fill [color=red] (B) circle (1.5pt);
\draw[color=red] (1.3,-1.79) node {$B$};
\fill [color=red] (C) circle (1.5pt);
\draw[color=red] (0.09,-2.23) node {$C$};
\fill [color=red] (Aprime) circle (1.5pt);
\draw[color=red] (-2.97,-3.61) node {$A'$};
\fill [color=red] (Bprime) circle (1.5pt);
\draw[color=red] (1.7,-2.43) node {$B'$};
\fill [color=red] (Cprime) circle (1.5pt);
\draw[color=red] (0.09,-3.76) node {$C'$};
\fill (W) circle (1.5pt);
\draw (3.41,-2) node {$W$};
\fill (U) circle (1.5pt);
\draw (3.42,-1.01) node {$U$};
\fill (V) circle (1.5pt);
\draw (3.35,-3.92) node {$V$};
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{figure}

(a) Expliquer pourquoi on peut trouver des coordonnées telles que
$A=(1{:}0{:}0)$, $B=(0{:}1{:}0)$, $C=(0{:}0{:}1)$ et $O=(1{:}1{:}1)$.

(b) Expliquer pourquoi les coordonnées de $A',B',C'$ sont alors de la
forme $A' = (a:u:u)$, $B' = (v:b:v)$ et $C' = (w:w:c)$.

(c) Calculer les coordonnées de $U,V,W$.

(d) Conclure.

(e) Indépendamment de ce qui précède, quel est l'énoncé dual du
théorème de Desargues ?

\begin{corrige}
(a) On a supposé $ABC$ non alignés, $OAB$ non alignés (implicitement
  en disant que $AA'$ et $BB'$ concourent), $OBC$ non alignés et $OCA$
  non alignés.  On a donc affaire à une base projective
  de $\mathbb{P}^2$, et quitte à choisir les coordonnées, on peut
  supposer qu'il s'agit de la base standard.

(b) Le point $A'$ est sur la droite $OA = [0{:}1{:}-1]$, c'est-à-dire
  que ses deux dernières coordonnées sont égales : on peut donc
  l'écrire $(a:u:u)$ (avec $a,u$ non simultanément nuls).  Les deux
  autres cas sont symétriques.

(c) La droite $BC$ est $[1{:}0{:}0]$, et la droite $B'C'$ est $[bc -
    vw : -cv + vw : -bw + vw]$ (on peut se dispenser de calculer la
  première coordonnée), ce qui donne $U := BC \wedge B'C' = (0 : bw -
  vw : -cv + vw)$.  Les deux autres s'obtiennent alors en appliquant
  la permutation cyclique évidente, soit $V = (-aw + wu : 0 : cu -
  wu)$ et $W = (av - uv : -bu + uv : 0)$.

(d) Il s'agit de vérifier l'annulation du déterminant
\[
\left|
\begin{matrix}
0&-aw+wu&av-uv\\
bw-vw&0&-bu+uv\\
-cv+vw&cu-wu&0\\
\end{matrix}
\right|
\]
ce qui peut se faire directement ou en remarquant que $u$ fois les
coordonnées trouvées pour $U$ plus $v$ fois celles pour $V$ plus $w$
fois celles pour $W$ donne zéro.

(e) L'énoncé dual obtenu en échangeant mécaniquement points et droites
est : si $\alpha,\beta,\gamma$ et $\alpha',\beta',\gamma'$ sont deux
triangles dans $\mathbb{P}^2$ donnés par des triplets de droites cette
fois, tels que les points d'intersection $\alpha\wedge\alpha'$,
$\beta\wedge\beta'$ et $\gamma\wedge\gamma'$ soient alignées selon une
droite $\ell$, alors les droites $p := (\beta\wedge\gamma) \vee
(\beta'\wedge\gamma')$ (droite reliant les points d'intersection
$\beta\wedge\gamma$ et $\beta'\wedge\gamma'$) et $q :=
(\gamma\wedge\alpha) \vee (\gamma'\wedge\alpha')$ et $r :=
(\alpha\wedge\beta) \vee (\alpha'\wedge\beta')$ sont concourantes.

Mais on peut le reformuler : en appelant $A,B,C$ les sommets du
triangle de côtés $\alpha,\beta,\gamma$, c'est-à-dire $A :=
\beta\wedge\gamma$ et $B := \gamma\wedge\alpha$ et $C :=
\alpha\wedge\beta$, et de même $A',B',C'$ les sommets de
$\alpha',\beta',\gamma'$, alors l'énoncé de Desargues dual est : si
$A,B,C$ et $A',B',C'$ sont deux triangles dans $\mathbb{P}^2$ tels que
les points $U := BC \wedge B'C'$ (point d'intersection des droites
$BC$ et $B'C'$) et $V := CA \wedge C'A'$ et $W := AB \wedge A'B'$
soient alignés, alors $AA'$, $BB'$ et $CC'$ concourent en un
point $O$.  Il s'agit précisément de la réciproque du théorème de
Desargues tel que nous l'avons énoncé.

Autrement dit, en démontrant le théorème de Desargues, nous avons
aussi démontré sa réciproque (puisque celle-ci s'obtient en appliquant
Desargues dans le plan projectif dual).
\end{corrige}


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%

\exercice

Donner des équations (c'est-à-dire, écrire comme un fermé de Zariski)
de la droite de $\mathbb{P}^3$ sur $\mathbb{R}$ qui passe par les
points $(1{:}2{:}3{:}4)$ et $(4{:}1{:}2{:}3)$.  (On notera
$(t{:}x{:}y{:}z)$ les coordonnées homogènes sur $\mathbb{P}^3$.)  Le
point $(3{:}4{:}1{:}2)$ est-il situé dessus ?

\begin{corrige}
Traduisons le problème comme un problème d'algèbre linéaire : on
considère $V$ le plan vectoriel (= sous-espace vectoriel de
dimension $2$) engendré par les deux vecteurs $(1,2,3,4)$ et
$(4,1,2,3)$ de $\mathbb{R}^4$, et on cherche à trouver un système
générateur (et tant qu'à faire, une base) de l'ensemble $V^\perp$ des
formes linéaires sur $\mathbb{R}^4$ s'annulant sur $V$ (qu'on peut
voir comme des polynômes homogènes de degré $1$ en $t,x,y,z$ si l'on
veut).  Si on note $s,u,v,w$ les coordonnées (coefficients devant
$t,x,y,z$) d'une telle forme linéaire, on cherche donc à résoudre
$s+2u+3v+4w=0$ et $4s+u+2v+3w=0$, ce système étant évidemment
sous-déterminé (puisque $V^\perp$ est de dimension $2$) mais on
cherche à trouver une base de son espace de solutions.  On peut par
exemple trouver pour $(s,u,v,w)$ les solutions $(1,0,13,-10)$ et
$(0,1,-2,1)$ ou encore $(-\frac{1}{7}, -\frac{10}{7}, 1, 0)$ et
$(-\frac{2}{7}, -\frac{13}{7}, 0, 1)$ (par exemple calculées en
mettant la matrice $\begin{pmatrix}1&2&3&4\\4&1&2&3\\ \end{pmatrix}$
sous forme échelonnée), ou n'importe quels deux vecteurs non
colinéaires vérifiant le système qu'on a écrit (tout autre élément
étant alors combinaison des deux qu'on a choisis).

Mettons qu'on prenne $(1,0,13,-10)$ et $(0,1,-2,1)$ : ceci permet
d'écrire que la droite passant par $(1{:}2{:}3{:}4)$ et
$(4{:}1{:}2{:}3)$ a pour équations $t + 13y - 10z = 0$ et $x - 2y + z
= 0$ (encore une fois, n'importe quelle autre équation sera dans le
sous-$\mathbb{R}$-espace vectoriel, et \emph{a fortiori} dans l'idéal,
engendré par ces deux équations choisies).

Savoir si le point $(3{:}4{:}1{:}2)$ est situé sur la droite en
question se vérifie alors sur ces équations : la réponse est
manifestement non.  (On pouvait aussi tester directement l'alignement
de $(3{:}4{:}1{:}2)$ avec $(1{:}2{:}3{:}4)$ et $(4{:}1{:}2{:}3)$ en
testant si le vecteur $(3,4,1,2)$ apartient à l'image de la matrice
$4\times 2$ transposée de
$\begin{pmatrix}1&2&3&4\\4&1&2&3\\ \end{pmatrix}$, ou encore si la
matrice $4\times 3$ ayant ces trois vecteurs comme colonnes a un
rang $\leq 2$, et la réponse est non quelle que soit la manière dont
la question est tournée.)
\end{corrige}


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%

\exercice\label{exercice-circular-points-at-infinity}

Soient $x_0,y_0,r$ des réels avec $r>0$.  Soit $C := \{(x,y) \mid
(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2\} \subseteq \mathbb{A}^2$ le cercle de
centre $(x_0,y_0)$ et de rayon $r$ vu comme un fermé de Zariski de
$\mathbb{A}^2$ sur $\mathbb{R}$.  On voit maintenant $\mathbb{A}^2$
dans $\mathbb{P}^2$, dont les coordonnées seront notées $(T:X:Y)$ en
identifiant le point $(x,y)$ de $\mathbb{A}^2$ avec $(1:x:y)$ de
$\mathbb{P}^2$.  Déterminer l'équation du complété projectif $C^+
\subseteq \mathbb{P}^2$ de $C$.  Quels sont les points à l'infini
de $C^+$ (« à l'infini » s'entendant par rapport au $\mathbb{A}^2$
dont on est parti) ?

Commenter l'affirmation : « en géométrie projective, tous les cercles
euclidiens passent par deux mêmes points géométriques situés à
l'infini (les \emph{points cycliques}) ».

\begin{corrige}
Il s'agit d'homogénéiser l'équation $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 - r^2 = 0$.
Pour cela, on remplace $x$ par $X/T$ et $y$ par $Y/T$ et on multiplie
par $T^2$ pour chasser les dénominateurs.  On obtient ainsi l'équation
projective : $(X-x_0 T)^2 + (Y-y_0 T)^2 - r^2 T^2 = 0$, ou, si on
préfère, $X^2 + Y^2 - 2 x_0 TX - 2 y_0 TY + (x_0^2+y_0^2-r^2) T^2 =
0$ ($*$).  Le fermé de Zariski $C^+ \subseteq \mathbb{P}^2$ est celui
défini par l'équation qu'on vient d'écrire.

Ses points à l'infini sont le fermé de Zariski défini par les deux
équations ($*$) et $T=0$ (cette dernière définissant la droite à
l'infini).  L'idéal qu'elles engendrent est donc aussi celui engendré
par $T=0$ et $X^2 + Y^2 = 0$ (autrement dit, on peut remplacer $T$
par $0$ dans l'équation ($*$)).  Sur les complexes (où l'équation $X^2
+ Y^2 = 0$ se factorise en $(X+iY)(X-iY) = 0$, donc réunion de deux
droites complexes conjuguées), on obtient les deux points conjugués $I
:= (0{:}1{:}i)$ et $J := (0{:}1{:}-i)$ (ce sont bien sûr les mêmes que
$I = (0{:}i{:}-1)$ et $J = (0{:}i{:}1)$ respectivement, ou toutes
sortes d'autres manières de les écrire).

Ces points (\emph{points cycliques}) ne dépendent pas du cercle dont
on est parti.  Il est donc légitime de dire que tous les cercles
passent par deux mêmes points géométriques $I,J$ situés à l'infini
(points à l'infini de pente $i$ et $-i$ respectivement), même si c'est
un léger abus d'identifier le cercle euclidien avec le complété
projectif qu'on a pris.
\end{corrige}


%
%
%

\exercice

L'idéal $I$ de $\mathbb{C}[x,y]$ engendré par $xy,y^2$ est-il
radical ?  Si non, calculer $\sqrt{I}$.  (On pourra chercher à savoir
quel est $Z(I) \subseteq \mathbb{A}^2$.)

\begin{corrige}
On peut soit raisonner algébriquement, soit raisonner géométriquement.

Le raisonnement algébrique est le suivant.  On a $y \not\in I$ car $y$
ne peut pas s'écrire sous la forme $g xy + h y^2$ comme on le voit en
considérant le terme en $y$ dans ce produit ; pourtant, $y^2 \in I$ :
ceci montre que $I$ n'est pas radical.  Le radical $\sqrt{I}$ doit
contenir $y$ (puisqu'une certaine puissance $y^2$ de $y$ appartient
à $I$), autrement dit, $\sqrt{I} \supseteq (y)$.  Mais par ailleurs on
a $(y) \supseteq I$ car les générateurs de $I$ sont tous dans $(y)$.
Or $(y)$ est un idéal radical (car le quotient $\mathbb{C}[x,y]/(y) =
\mathbb{C}[x]$ est un anneau de polynômes sur un corps, donc intègre,
et notamment réduit) ; bref, $(y)$ est un idéal radical contenant $I$,
mais comme le radical de $I$ est le \emph{plus petit} idéal radical
contenant $I$, on a $(y) \supseteq \sqrt{I}$.  Bref, on a $\sqrt{I} =
(y)$.

Faisons maintenant le raisonnement géométrique.  L'ensemble $Z(I)$ des
$(x,y) \in \mathbb{C}^2$ tels que $xy=0$ et $y^2=0$ coïncide
manifestement avec la droite $y=0$ : en effet, $y=0$ implique $xy=0$
et $y^2=0$, mais réciproquement, $y^2=0$ implique $y=0$.  Donc $Z(I)
:= Z(xy,y^2) = Z(y)$ est l'axe des abscisses $\{y=0\}$, que nous
noterons désormais $D$.  L'idéal $\mathfrak{I}(D)$ des polynômes
s'annulant sur $D$ est radical (comme $\mathfrak{I}$ de quelque chose)
et il vaut $(y)$ (la restriction du polynôme à $D$ revient à oublier
les termes en $y$).  C'est donc que $I$ n'est pas radical (le
Nullstellensatz fort assure qu'il n'y a qu'un seul idéal radical $J$
qui puisse vérifier $Z(J) = D$, à savoir $\mathfrak{I}(D)$).  Mais on
peut a mieux : $\mathfrak{I}(D)$ est le plus petit idéal radical
contenant $I$ (puisque $I \subseteq J$ implique $D = Z(I) \supseteq
Z(J)$ donc $\mathfrak{I}(D) \subseteq \mathfrak{I}(Z(J))$ c'est-à-dire
$\mathfrak{I}(D) \subseteq J$ si $J$ est radical par le
Nullstellensatz) ; bref, $\sqrt{I} = \mathfrak{I}(D) = (y)$.
\end{corrige}


%
%
%

\exercice

Soit $M \in \mathit{PGL}_3(\mathbb{R})$ une transformation projective
du plan projectif $\mathbb{P}^2$ sur les réels.  On appellera $I :=
(0{:}1{:}i)$ et $J := (0{:}1{:}-i)$ les « points cycliques à
l'infini » (cf. exercice \ref{exercice-circular-points-at-infinity},
qu'il n'est pas nécessaire d'avoir traité), deux points complexes
de $\mathbb{P}^2$.  On voit $\mathbb{A}^2$ dans $\mathbb{P}^2$ en
identifiant le point $(x,y)$ de $\mathbb{A}^2$ au point $(1:x:y)$
de $\mathbb{P}^2$ ; et on munit $\mathbb{A}^2$ sur les réels de sa
structure euclidienne usuelle pour les coordonnées qu'on vient de
dire, c'est-à-dire que le carré de la distance entre $(x_1,y_1)$ et
$(x_2,y_2)$ est $(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2$.

Montrer qu'il y a équivalence entre :
\begin{itemize}
\item la transformation projective $M$ fixe le point $I$,
\item la transformation projective $M$ fixe chacun des points
  complexes $I$ et $J$,
\item la transformation projective $M$ définit une similitude directe
  du plan euclidien (c'est-à-dire, préserve les angles et
  l'orientation).
\end{itemize}

\begin{corrige}
Supposons d'abord que $M$ fixe $I$.  Elle doit alors fixer aussi le
point $J$ puisque ce dernier est le conjugué complexe de $I$ et que
$M$ est à coordonnées réelles.  Ceci démontre l'équivalence entre les
deux premières propriétés.  Par ailleurs, si elles sont vérifiées,
alors $M$ doit aussi envoyer la droite $\ell_\infty := IJ$ sur
elle-même, qui est la « droite à l'infini » (caractérisée par
l'annulation de la première coordonnée homogène) complémentaire du
$\mathbb{A}^2$ qu'on a fixé ; cette condition d'envoyer $\ell_\infty$
sur elle-même est aussi impliquée par la troisième condition (puisque
$M$ est supposée être une bijection de $\mathbb{P}^2$ sur lui-même qui
se restreint à une bijection de $\mathbb{A}^2$ sur lui-même, donc
aussi de son complémentaire $\ell_\infty$).

Autrement dit, sous n'importe laquelle des conditions indiquées, $M$
envoie $\ell_\infty$ sur lui-même, c'est-à-dire que c'est une
transformation \emph{affine}.  On peut l'écrire sous la forme :
\[
\begin{pmatrix}x\\y\\\end{pmatrix}
\mapsto
\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}x\\y\\\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}u\\v\\\end{pmatrix}
\]
c'est-à-dire en coordonnées homogènes
\[
\begin{pmatrix}T\\X\\Y\\\end{pmatrix}
\mapsto
\begin{pmatrix}1&0&0\\u&a&b\\v&c&d\\\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}T\\X\\Y\\\end{pmatrix}
\]
Le fait d'avoir $MI = I$ signifie que $(0:a+ib:c+id) = (0:1:i)$, ou,
si on préfère, $c+id = i(a+ib) = -b+ia$, ce qui équivaut à $b = -c$ et
$d = a$.

Or la condition $b = -c$ et $d = a$ caractérise les similitudes
directes euclidiennes.  Une façon de le voir est de décrire les
similitudes directes par leur action sur le plan complexe : une
similitude directe est une transformation envoyant le point d'affixe
$z := x+iy \in \mathbb{C}$ sur sur $mz+p$ pour certains
$m,p\in\mathbb{C}$ (on peut la voir comme la composée de la rotation
d'angle $\arg m$ autour de l'origine, de l'homothétie de rapport $|m|$
centrée en l'origine, et de la translation par $p$) ; via
l'identification $m = a+ic$ et $p = u+iv$, cette description coïncide
bien avec la condition qu'on bient d'obtenir.  Une autre façon de le
voir consiste à remarquer que les vecteurs
$\begin{pmatrix}a\\c\\ \end{pmatrix}$ et
$\begin{pmatrix}b\\d\\ \end{pmatrix}$ images de
$\begin{pmatrix}1\\0\\ \end{pmatrix}$ et
$\begin{pmatrix}0\\1\\ \end{pmatrix}$ sur deux vecteurs orthogonaux ce
qui signifie $ab+cd=0$, de même norme ce qui siginifie $a^2+c^2 =
b^2+d^2$, et de même orientation ce qui signifie $ad - bc > 0$ ; on
peut ensuite manipuler ces équations de différentes manières pour
arriver au résultat voulu, par exemple en écrivant $(ac+bd)(ab+cd) -
ad(a^2+c^2 -b^2-d^2) = -(a^2-d^2)(ad-bc)$ ce qui montre que
$a^2-d^2=0$ et donc $b^2-c^2=0$, après quoi il est facile de vérifier
que des quatre combinaisons de signes $d=\pm a$ et $b=\pm c$, seule
$b=-c$ et $d=a$ conduit bien à satisfaire les équations avec le signe
voulu sur le discriminant, et donne bien une similitude directe.
\end{corrige}


%
%
%

\exercice

Si $\ell$ est une droite de $\mathbb{P}^2$ (sur un corps quelconque),
on note $\ell^*$ le point correspondant du $\mathbb{P}^2$
dual\footnote{Si on veut être tout à fait formel : si $V = k^3$ où $k$
  est le corps de base, et si $V^*$ est l'espace vectoriel « dual »
  des formes $k$-linéaires sur $V$, et si la droite $\ell$ de
  $\mathbb{P}^2 := \mathbb{P}(V)$ est définie par une équation
  $\varphi_\ell = 0$ où $\varphi_\ell$ est une forme $k$-linéaire
  sur $V$, alors $\ell^*$ est le point de $\mathbb{P}^{2*} :=
  \mathbb{P}(V^*)$ défini par la classe de $\varphi_\ell$ modulo la
  relation « être colinéaire ».  Ou, en termes de coordonnées, si
  $\ell$ est la droite $[u_\ell:v_\ell:w_\ell]$ définie par une
  équation $u_\ell x + v_\ell y + w_\ell z = 0$ sur le $\mathbb{P}^2$
  de coordonnées $(x:y:z)$, alors $\ell^*$ est le point
  $(u_\ell:v_\ell:w_\ell)$ du $\mathbb{P}^2$ dit « dual »,
  $\mathbb{P}^{2*}$, de coordonnées $(u:v:w)$.} qu'on pourra noter
$\mathbb{P}^{2*}$.

On fixe un point $O$ de $\mathbb{P}^2$.

(1) Rappeler pourquoi les points $\ell^*$ où $\ell$ est une droite
passant par $O$ dans $\mathbb{P}^2$, forment une droite de
$\mathbb{P}^{2*}$, qu'on pourra noter $O^*$.

(2) Si $m$ est une droite de $\mathbb{P}^2$ ne passant pas par $O$,
expliquer pourquoi l'application $m \to O^*$ envoyant un point $P$
de $m$ vers $(OP)^*$ est une bijection de réciproque l'application
$O^* \to m$ envoyant $\ell^*$ sur le point d'intersection $\ell\wedge
m$ de $\ell$ et $m$, et pourquoi ces bijections sont des
transformations projectives (une fois identifiées les droites $m$
et $O^*$ à $\mathbb{P}^1$).

(3) En déduire que, si $\ell_a,\ell_b,\ell_c,\ell_d$ sont quatre
droites distinctes concourantes en $O$, et $A,B,C,D$ les points
d'intersection respectifs de $\ell_a,\ell_b,\ell_c,\ell_d$ avec une
même droite $m$ ne passant pas par $O$, le birapport $(A,B;C,D)$ de
ces quatre points est égal au birapport
$(\ell^*_a,\ell^*_b;\ell^*_c,\ell^*_d)$ des quatre points
correspondant à $\ell_a,\ell_b,\ell_c,\ell_d$ sur $O^*$.

(4) En déduire le fait suivant : si $A,B,C,D$ sont quatre points
distincts de $\mathbb{P}^2$ tous alignés sur une droite $m$, et $O$
non situé sur $m$, et si $m'$ est une droite distincte de $m$ et ne
passant pas par $O$, alors en appelant $A' = m' \wedge OA$
l'intersection de $m'$ avec la droite $OA$ et de même pour $B',C',D'$,
le birapport $(A',B';C',D')$ (sur $m'$) est égal au birapport
$(A,B;C,D)$ (sur $m$).

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,x=1.0cm,y=1.0cm,extended line/.style={shorten >=-#1,shorten <=-#1},extended line/.default=0.5cm]
%% \clip(-4.19,-0.2) rectangle (2.99,5.28);
%% \draw [domain=-4.19:2.99] plot(\x,{(--3.61-0.24*\x)/2.12});
%% \draw [domain=-4.19:2.99] plot(\x,{(-9.08-2.44*\x)/-1.58});
%% \draw [domain=-4.19:2.99] plot(\x,{(--0.08-2.68*\x)/0.54});
%% \draw [domain=-4.19:2.99] plot(\x,{(--3.56-2.77*\x)/1.34});
%% \draw [domain=-4.19:2.99] plot(\x,{(--8.3-2.9*\x)/2.44});
%% \draw [domain=-4.19:2.99] plot(\x,{(--2.13--0.34*\x)/3.46});
\begin{scriptsize}
\coordinate (O) at (-0.86,4.42);
\coordinate (A) at (-2.44,1.98);
\coordinate (B) at (-0.32,1.74);
\coordinate (C) at (0.48,1.65);
\coordinate (D) at (1.58,1.52);
\coordinate (Aprime) at (-3.55,0.27);
\coordinate (Bprime) at (-0.09,0.61);
\coordinate (Cprime) at (0.94,0.71);
\coordinate (Dprime) at (2.17,0.83);
\draw[extended line=0.5cm] (O)--(Aprime);
\draw[extended line=0.5cm] (O)--(Bprime);
\draw[extended line=0.5cm] (O)--(Cprime);
\draw[extended line=0.5cm] (O)--(Dprime);
\draw[color=black!50!red,extended line=0.5cm] (A)--(D);
\draw[color=black!50!orange,extended line=0.5cm] (Aprime)--(Dprime);
\fill [color=blue] (O) circle (1.5pt);
\draw[color=blue] (-0.76,4.58) node {$O$};
\fill [color=red] (A) circle (1.5pt);
\draw[color=red] (-2.34,2.14) node {$A$};
\fill [color=red] (B) circle (1.5pt);
\draw[color=red] (-0.22,1.91) node {$B$};
\fill [color=red] (C) circle (1.5pt);
\draw[color=red] (0.58,1.81) node {$C$};
\fill [color=red] (D) circle (1.5pt);
\draw[color=red] (1.68,1.68) node {$D$};
\fill [color=orange] (Aprime) circle (1.5pt);
\draw[color=orange] (-3.43,0.43) node {$A'$};
\fill [color=orange] (Bprime) circle (1.5pt);
\draw[color=orange] (0.02,0.76) node {$B'$};
\fill [color=orange] (Cprime) circle (1.5pt);
\draw[color=orange] (1.05,0.86) node {$C'$};
\fill [color=orange] (Dprime) circle (1.5pt);
\draw[color=orange] (2.29,0.99) node {$D'$};
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{figure}

\begin{corrige}
(1) En termes d'algèbre linéaire, on affirme que l'ensemble des formes
  linéaires sur $V$ (ici $V = k^3$) s'annulant en un vecteur $v$ non
  nul fixé de $V$ (représentant le point $O$) forme un hyperplan dans
  l'espace vectoriel dual $V^*$ des formes linéaires sur $V$.  C'est
  une conséquence du fait que $\varphi \mapsto \varphi(v)$ est une
  forme linéaire non nulle sur $V^*$, ce qui est immédiat à vérifier.
  Si on préfère le dire en termes de coordonnées : le fait que $\ell$
  d'équation $u_\ell x + v_\ell y + w_\ell z = 0$ passe par $O$ se
  traduit par une relation $u_\ell x_O + v_\ell y_O + w_\ell z_O = 0$
  soit $x_O u_\ell + y_O v_\ell + z_O w_\ell = 0$ linéaire entre les
  coordonnées $(u_\ell:v_\ell:w_\ell)$ de $\ell^*$, qui définit donc
  une droite $[x_O : y_O : z_O] =: O^*$ de $\mathbb{P}^{2*}$.

(2) Le fait que $\varphi \colon m \to O^*, P \mapsto (OP)^*$ et $\psi
  \colon O^* \to m, \ell^* \mapsto \ell\wedge m$ soient des bijections
  réciproques est une conséquence immédiate du fait que deux points
  déterminent une unique droite (en l'occurrence $O$ et $P$
  déterminent $\ell$) et que deux droites se coupent en un unique
  point (en l'occurrence $m$ et $\ell$ déterminent $P$).  La question
  cruciale, cependant, est de savoir s'il s'agit bien d'une
  transformation projective, c'est-à-dire si $\varphi$ et $\psi$
  proviennent d'applications \emph{linéaires}.  Mais c'est une
  conséquence, pour $\varphi$, des formules donnant les coefficients
  $[u:v:w]$ d'une équation ($ux+vy+wz=0$) de la droite reliant
  $O$ et $P$ en fonction de coordonnées $(x_O:y_O:z_O)$ de $O$ et
  $(x_P:y_P:z_P)$ de $P$, à savoir : $u = y_O z_P - z_O y_P$ et $v =
  z_O x_P - x_O z_P$ et $w = x_O y_P - y_O x_P$ ; et pour $\psi$, des
  formules donnant des coordonnées homogènes $(x:y:z)$ du point
  d'intersection de $\ell$ et $m$ en fonction de coefficients des
  équations $[u_\ell:v_\ell:w_\ell]$ de $\ell$ et $[u_m:v_m:w_m]$
  de $m$, à savoir : $x = v_\ell w_m - w_\ell v_m$ et $y = w_\ell u_m
  - u_\ell w_m$ et $z = u_\ell v_m - v_\ell u_m$ ; le point crucial
  est que ces deux formules sont \emph{linéaires}, la première en
  $(x_P,y_P,z_P)$ et la seconde en $(u_m,v_m,w_m)$.

(3) On a défini deux transformations projectives réciproques $\varphi
  \colon m \to O^*, P \mapsto (OP)^*$ et $\psi \colon O^* \to m,
  \ell^* \mapsto \ell\wedge m$.  En tant que telles, elles préservent
  le birapport : on en déduit que
  $(\ell^*_a,\ell^*_b;\ell^*_c,\ell^*_d)$ est égal à
  $(\psi(\ell^*_a),\psi(\ell^*_b);\psi(\ell^*_c),\psi(\ell^*_d))$,
  c'est-à-dire $(A,B;C,D)$ par définition de ces quatre points.

(4) On a vu à la question précédente que le birapport $(A,B;C,D)$
  coïncide avec $(\ell^*_a,\ell^*_b;\ell^*_c,\ell^*_d)$ où $\ell_a =
  OA$ et ainsi de suite.  Mais $(A',B';C',D')$ coïncide aussi avec
  $(\ell^*_a,\ell^*_b;\ell^*_c,\ell^*_d)$ puisque $\ell_a = OA'$ et
  ainsi de suite.  Ces deux quantités sont donc égales.

(Si on préfère le dire ainsi : l'application $m \mapsto m'$ envoyant
  un point $P$ de $m$ sur l'intersection $P' = m' \wedge OP$ de $m'$
  avec la droite $OP$ et une transformation projective pour exactement
  les mêmes raisons qu'en (2) à savoir la linéarité des formules
  calculant la droite reliant deux points et l'intersection de deux
  droites : elle préserve donc le birapport, ce qui montre $(A,B;C,D)
  = (A',B';C',D')$.)
\end{corrige}


%
%
%

\exercice

Dans cet exercice, on se place sur un corps $k$ de caractéristique
différente de $2$ et $3$.

Soit $C := \{ y^2 = x^3 - x \}$ la variété algébrique affine dans
$\mathbb{A}^2$ définie par l'annulation du polynôme $h := y^2 - x^3 +
x \in k[x,y]$.

(1) Donner l'équation de la complétée projective $C^+$ de $C$
dans $\mathbb{P}^2$ (c'est-à-dire, l'adhérence de Zariski de $C$
dans $\mathbb{P}^2$) dont les coordonnées seront notées $(T{:}X{:}Y)$
(en identifiant le point $(x,y)$ de $\mathbb{A}^2$ avec $(1{:}x{:}y)$
de $\mathbb{P}^2$).  Quels sont ses points « à l'infini »
(c'est-à-dire situés sur $C^+$ mais non sur $C$) ?

\begin{corrige}
La complétée projective de $Z(h) \subseteq \mathbb{A}^2$ est donnée
par l'équation $T^{\deg h}\, h(\frac{X}{T}, \frac{Y}{T})$,
c'est-à-dire $T Y^2 = X^3 - T^2 X$.  Les points à l'infini sont donnés
en mettant $T=0$ (équation de la droite à l'infini) avec cette
équation, ce qui donne $X^3=0$ soit $X=0$, si bien que le seul point
est $(0{:}0{:}1)$ (point à l'infini dans la direction « verticale »).
\end{corrige}

(2) Montrer que $C^+$ est lisse.

\begin{corrige}
Si $h^+\in k[T,X,Z]$ est le polynôme homogène $T Y^2 - X^3 + T^2 X$,
il s'agit de vérifier que $\frac{\partial h^+}{\partial T} = Y^2 + 2T
X$ et $\frac{\partial h^+}{\partial X} = -3X^2 + T^2$ et
$\frac{\partial h^+}{\partial Y} = 2 T Y$ n'ont pas de zéro commun
(autre que $T=X=Y=0$ qui ne définit pas un point de $\mathbb{P}^2$)
sur la clôture algébrique $k^{\alg}$ de $k$.  Or $2TY=0$ implique soit
$T=0$ soit $Y=0$ (car le corps est de caractéristique $\neq 2$), dans
le premier cas les deux autres équations donnent $Y^2=0$ donc $Y=0$ et
$-3X^2=0$ donc (comme le corps est de caractéristique $\neq 3$) que
$X=0$ ; et dans le second cas, on a $2TX=0$, le cas $T=0$ a déjà été
traité, reste à regarder $X=0$, mais on a alors $T^2=0$ par une autre
équation, donc $T=0$ ; donc dans tous les cas $T=X=Y=0$.

(On pouvait aussi trouver les relations $X^3 = \frac{1}{6} T \,
\frac{\partial h^+}{\partial T} - \frac{1}{3} X \, \frac{\partial
  h^+}{\partial X} - \frac{1}{12} Y \, \frac{\partial h^+}{\partial
  Y}$ et $Y^3 = Y \, \frac{\partial h^+}{\partial T} - X \,
\frac{\partial h^+}{\partial Y}$ et $T^4 = \frac{3}{2} T X \,
\frac{\partial h^+}{\partial T} + T^2 \, \frac{\partial h^+}{\partial
  X} - \frac{3}{4} X Y \, \frac{\partial h^+}{\partial Y}$ qui
collectivement montrent que $\frac{\partial h^+}{\partial T}$ et
$\frac{\partial h^+}{\partial X}$ et $\frac{\partial h^+}{\partial Y}$
engendrent un idéal irrelevant puisque contenant $X^3,Y^3,T^4$ (donc
ne peuvent pas toutes s'annuler simultanément dans $\mathbb{P}^2$).
\end{corrige}

(3) On considère maintenant $h := y^2 - x^3 + x$ comme élément de
$k(x)[y]$, c'est-à-dire comme polynôme en l'indéterminée $y$ sur le
corps $k(x)$ des fractions rationnelles en l'indéterminée $x$.
Montrer qu'il est irréductible (on pourra pour cela vérifier que
l'élément $x^3 - x$ de $k(x)$ n'est pas le carré d'un élément de
$k[x]$ et en déduire qu'il n'est pas le carré d'un élément de $k(x)$).
En déduire que le quotient $K := k(x)[y]/(h)$ est un corps.  En
déduire que $K := k(x)[y]/(h)$ est le corps des fonctions rationnelles
aussi bien de $C$ que de $C^+$ (on pourra remarquer que $k(x)[y]/(y^2
- x^3 + x)$ contient $k[x,y]/(y^2 - x^3 + x)$).

\begin{corrige}
Remarquons d'abord que $x^3 - x$ n'est pas le carré d'un élément
de $k[x]$ : c'est clair car le carré d'un polynôme sur un corps est de
degré pair.  On en déduit que ce n'est pas non plus le carré d'un
élément de $k(x)$, car si on écrivait un tel élément $u/v$ avec $u,v$
polynômes sans facteur commun (ce qui a un sens car $k[x]$ est un
anneau factoriel — c'est-à-dire qu'il admet une décomposition unique
en éléments irréductibles), son carré serait $u^2/v^2$ avec $u^2,v^2$
également sans facteur commun, donc on doit avoir $v$ constant pour ne
pas avoir de dénominateur et finalement $u$ est un polynôme.

Le fait que $x^3 - x$ ne soit pas un carré dans $k(x)$ signifie que $h
:= y^2 - x^3 + x \in k(x)[y]$ n'a pas de racine.  Mais il est de
degré $2$, donc sa seule factorisation non-triviale possible serait en
deux facteurs de degré $1$, ce qui implique qu'il aurait deux racines,
et on vient de voir qu'il n'y en a pas.  Ainsi, $h$ est irréductible
(en tant qu'élément de $k(x)[y]$).

Le quotient $K := k(x)[y]/(h)$ est donc un corps car il est de la
forme $K = E[y]/(h)$ avec $E$ un corps et $h$ un polynôme irréductible
en une seule variable sur $E$.  (Rappels : $K$ est un anneau intègre
puisque $uv=0$ dans $K$ signifie que $u,v$ relevés à $E[y]$, sont
multiples de $h$, mais comme $h$ est irréductible, l'un des deux doit
être multiple de $h$, donc nul dans $K$ ; et $K$ est alors un anneau
intègre de dimension finie sur $E$, donc un corps car la
multiplication $K \to K, z \mapsto az$ par un élément $a$ non nul est
injective donc bijective car entre espaces vectoriels de même
dimension finie.)

Comme $C = Z(y^2 - x^3 + x)$ est affine, l'anneau $\mathcal{O}(C)$ des
fonctions \emph{régulières} sur $C$ est $k[x,y] / (y^2 - x^3 + x)$.
Cet anneau est contenu dans $K$ (au sens où le morphisme évident
$\mathcal{O}(C) \to K$, défini en envoyant chacun de $x$ et $y$ sur
l'élément du même nom, et qui passe au quotient par $y^2 - x^3 + x$,
est injectif puisque tout multiple de $y^2 - x^3 + x$ dans $k(x)[y]$
qui est dans $k[x,y]$ est déjà multiple de $y^2 - x^3 + x$ dans
$k[x,y]$).  Puisque le corps $K$ contient $\mathcal{O}(C)$, il
contient son corps des fractions, qui est le corps $k(C)$ des
fonctions rationnelles de $C$ ; mais réciproquement, comme $k(C)$, vu
dans $K$, contient à la fois $x$ et $y$, il doit contenir d'abord le
corps engendré par $x$, soit $k(x)$, et ensuite l'anneau engendré par
$y$ au-dessus de ce corps, qui est justement $K$.

Ceci montre que $K = k(C)$.  Comme $C$ est un ouvert de Zariski (non
vide, donc dense) de $C^+$ (précisément, c'est l'ouvert $T \neq 0$),
ils ont le même corps des fonctions rationnelles, donc $K = k(C^+)$
aussi.
\end{corrige}

(4) Expliquer pourquoi tout élément de $K := k(x)[y]/(h)$ possède une
représentation unique sous la forme $g_0 + g_1\, y$ où $g_0$ et $g_1$
sont des fractions rationnelles en l'indéterminée $x$ (et où on a noté
abusivement $y$ pour la classe de $y$ modulo $h$).  Expliquer comment
on calcule les sommes et les produits dans $K$ sur cette écriture.
Expliquer comment la connaissance d'une relation de Bézout $ug + vh =
1 \in k(x)[y]$ permet de calculer l'inverse d'un élément $g = g_0 +
g_1\, y$ de $K$.  À titre d'exemple, calculer l'inverse de $y$
dans $K$ (on pourra observer ce que vaut $y^2$ dans $K$).

\begin{corrige}
Par division euclidienne dans $E[y]$ où $E = k(x)$ (noter que $E$ est
un corps), tout élément de $E[y]$ s'écrit de façon unique sous la
forme $q h + g$ où $\deg g < \deg h = 2$.  C'est-à-dire que tout
élément de $E[y]$ est congru modulo $h$ à un unique élément $g \in
E[y]$ de degré $<2$, qu'on peut alors écrire sous la forme $g_0 +
g_1\, y$ où $g_0,g_1 \in E = k(x)$.

Pour ajouter deux éléments écrits sous cette forme, on ajoute
simplement les $g_0,g_1$ correspondants.  Pour les multiplier, on
effectue le produit dans $E[y]$ et on effectue une division
euclidienne par $h$ pour se ramener à un degré $<2$, ce qui, en
l'espèce, revient simplement à remplacer $y^2$ par $x^3 - x$.

Une relation de Bézout $ug + vh = 1$ dans $E[y]$ se traduit en $ug =
1$ dans $E[y]/(h) =: K$, ce qui signifie que $u$ est l'inverse de $g$.
Or on sait qu'on peut (par l'algorithme d'Euclide étendu dans $E[y]$)
calculer une telle relation de Bézout dès lors que $g$ et $h$ ont pour
pgcd $1$ (c'est-à-dire que $g$ n'est pas multiple de $h$, i.e., pas
nul dans $K$).  À titre d'exemple, comme $y^2 = x^3 - x$ dans $K$, on
a $\frac{1}{y} = \frac{y}{x^3-x}$.
\end{corrige}

On rappelle le fait suivant : pour chaque point $P$ de la courbe
$C^+$, il existe une et une seule fonction $\ord_P\colon K\to
\mathbb{Z}\cup\{\infty\}$ qui vérifie les propriétés suivantes :
\textbf{(o)} $\ord_P(g) = \infty$ si et seulement si $g=0$,\quad
\textbf{(k)} $\ord_P(c) = 0$ si $c\in k$,\quad
\textbf{(i)} $\ord_P(g_1 + g_2) \geq \min(\ord_P(g_1), \ord_P(g_2))$
(avec automatiquement l'égalité lorsque $\ord_P(g_1) \neq
\ord_P(g_2)$),\quad \textbf{(ii)} $\ord_P(g_1 g_2) = \ord_P(g_1) +
\ord_P(g_2)$,\quad \textbf{(n)} $1$ est atteint par $\ord_P$, et enfin
\quad \textbf{(r)} $\ord_P(g) \geq 0$ si $g$ est définie en $P$ (avec
automatiquement $\ord_P(g) > 0$ si $g$ s'annule en $P$).

(5) On va chercher à mieux comprendre la fonction $\ord_O$ lorsque $O$
est le point $(0,0)$ de la courbe $C$.\quad (a) Posons $e :=
\ord_O(x)$ : pourquoi a-t-on $e \geq 1$ ?\quad (b) Cherchons à
comprendre ce que vaut $\ord_O$ sur le sous-corps $k(x)$ de $K$ ne
faisant pas intervenir $y$.  Montrer que $\ord_O(g) = e\cdot
\val_0(g)$ si $g \in k[x]$, où $\val_0(g)$ désigne l'ordre du zéro de
$g$ à l'origine en tant que polynôme en une seule variable $x$
(c'est-à-dire le plus grand $r$ tel que $x^r$ divise $g$).  En déduire
que $\ord_O(g) = e\cdot \val_0 (g)$ pour tout $g\in k(x)$, où
$\val_0(g)$ désigne l'ordre du zéro de $g$ à l'origine en tant que
fonction rationnelle en une seule variable $x$ (c'est-à-dire $\val_0$
de son numérateur moins $\val_0$ de son dénominateur).\quad
(c) Calculer $\ord_O(y^2)$ et en déduire $\ord_O(y)$ (en faisant
intervenir le nombre $e$).\quad (d) En déduire comment calculer
$\ord_O(g_0 + g_1\, y)$ pour $g_0,g_1\in k(x)$ (toujours en faisant
intervenir le nombre $e$).\quad (e) En faisant intervenir la propriété
(n) (de normalisation de $\ord_O$), en déduire la valeur de $e$ et
finalement la valeur de $\ord_O(g_0 + g_1\, y)$ pour $g_0,g_1 \in
k(x)$.

\begin{corrige}
(a) On a $e := \ord_O(x) \geq 1$ car $x$ s'annule en $O$ (par la
  propriété (r)).

(b) De $\ord_O(x) = e$ on déduit $\ord_O(x^i) = e\cdot i$ par la
  propriété (ii), donc $\ord_O(c x^i) = e\cdot i$ si $c\in k^\times$
  par la propriété (k), et donc, par la propriété (i), que $\ord_O(c_r
  x^r + \cdots + c_n x^n) = e\cdot r$ si $r\leq n$ et $c_r,\ldots,c_n
  \in k$ et $c_r \neq 0$, ce qui signifie précisément $\ord_O(g) =
  e\cdot\val_0(g)$ si $g\in k[x]$.  Si $g = u/v \in k(x)$ avec $u,v\in
  k[x]$, on a $\val_0(g) = \val_0(u) - \val_0(v)$ et $\ord_O(g) =
  \ord_O(u) - \ord_O(v)$ (par la propriété (ii)), donc toujours
  $\ord_O(g) = e\cdot\val_0(g)$.

(c) Comme $y^2 = x^3 - x$ dans $K$, on a $\ord_O(y^2) = e\cdot
  \val_0(x^3 - x) = e$.  On en déduit $\ord_O(y) = \frac{1}{2}e$
  (propriété (ii)).

(d) On a vu $\ord_O(g_0) = e\cdot\val_0(g_0)$ en (b), et $\ord_O(g_1\,
  y) = e\cdot(\val_0(g_1)+\frac{1}{2})$ puisque $\ord_O(y) =
  \frac{1}{2}e$.  Comme $\val_0(g_0)$ et $\val_0(g_1)+\frac{1}{2}$ ne
  peuvent pas être égaux, la propriété (i) donne $\ord_O(g_0 + g_1\,
  y) = e\cdot\min(\val_0(g_0), \val_0(g_1)+\frac{1}{2})$ quels que
  soient $g_0,g_1\in k(x)$.

(e) On vient de voir $\ord_O(g_0 + g_1\, y) = e\cdot\min(\val_0(g_0),
  \val_0(g_1)+\frac{1}{2})$ : pour que ceci ne prenne que des valeurs
  entières, $e$ doit être pair ; mais pour que ceci puisse prendre la
  valeur $1$ (donc tous les entiers), $e$ doit être exactement égal
  à $2$.  Finalement, on a donc $\ord_O(g_0 + g_1\, y) =
  \min(2\val_0(g_0), 2\val_0(g_1)+1)$.
\end{corrige}

(6) En notant $(\infty)$ le point à l'infini de $C^+$, montrer que le
diviseur $\divis(x)$ de $x$ (vu comme fonction rationnelle sur $C^+$)
vaut $2[O] - 2[\infty]$.  En déduire $\ord_\infty(y)$, et en déduire
$\divis(y) = [O] + [P] + [Q] - 3[\infty]$ où $P=(1,0)$ et $Q=(-1,0)$.

\begin{corrige}
À la question (5), on a calculé $\ord_O(x) = 2$.  En tout autre point
de $C^+$ non situé à l'infini (c'est-à-dire, situé sur $C$), la
fonction $x$ n'a ni zéro ni pôle (elle n'a pas de pôle car $x$ est une
fonction régulière sur $\mathbb{A}^2$ et notamment sur $C$, et elle
n'a pas de zéro car le seul point de $C$ où $x$ s'annule vérifie
aussi $y=0$ d'après l'équation $y^2 = x^3 - x$, donc est $(0,0) =:
O$).  Comme le degré total du diviseur de $x$ doit être $0$, l'ordre
en $\infty$ doit forcément être $-2$, autrement dit $\divis(x) = 2[O]
- 2[\infty]$.

Comme $\ord_\infty(x) = -2$, on a $\ord_\infty(x^3) = -6$ et
$\ord_\infty(y^2) = \ord_\infty(x^3 - x) = -6$, donc $\ord_\infty(y) =
-3$.  Comme la fonction $y$ est régulière sur $\mathbb{A}^2$ et
notamment sur $C$, elle n'a pas d'autre pôle que $\infty$, et elle
s'annule en les points $(x,y)$ de $C$ où $y=0$ et $x^3-x=0$
c'est-à-dire $x(x-1)(x+1)=0$, qui sont donc $O,P,Q$ (qui sont
distincts car $k$ est de caractéristique $\neq 2$).  Comme le degré
total de $\divis(y)$ doit être $0$, l'ordre en chacun de $O,P,Q$ doit
forcément être $1$ (puisque ce sont trois entiers strictement positifs
de somme $3$), autrement dit $\divis(y) = [O] + [P] + [Q] -
3[\infty]$.
\end{corrige}

(7) Toujours en notant $(\infty)$ le point à l'infini de $C^+$,
montrer que $\ord_\infty(g_0 + g_1\, y) = \min(2\val_\infty(g_0),
2\val_\infty(g_1)-3)$ pour $g_0,g_1 \in k(x)$, où $\val_\infty(g)$
désigne la valuation usuelle de $g$ à l'infini en tant que fonction
rationnelle en une seule variable $x$, c'est-à-dire le degré du
dénominateur moins le degré du numérateur.

\begin{corrige}
On a vu $\ord_\infty(x) = -2 = 2\val_\infty(x)$ : on en déduit que
$\ord_\infty(g) = 2\val_\infty(g)$ pour tout $g\in k[x]$ puis pour
tout $g\in k(x)$ (comme en (5)(b)).  Comme $\ord_\infty(y) = -3$, on a
$\ord_\infty(g_0 + g_1\, y) = \min(2\val_\infty(g_0),
2\val_\infty(g_1)-3)$ (en utilisant la propriété (i) et en remarquant
que $2\val_\infty(g_0)$ et $2\val_\infty(g_1)-3$ ne peuvent pas être
égaux).
\end{corrige}

(8) Pour $n\in \mathbb{N}$, soit $\mathscr{L}(n[\infty]) := \{0\} \cup
\{f\in k(C)^\times : \divis(f) +n[\infty] \geq 0\}$ l'espace vectoriel
sur $k$ des fonctions rationnelles sur $C^+$ ayant au pire un pôle
d'ordre $n$ en $\infty$ (et aucun pôle ailleurs).  Décrire
explicitement $\mathscr{L}(n[\infty])$ comme l'ensemble des $g_0 +
g_1\,y$ avec $g_0,g_1\in k[x]$ vérifiant certaines contraintes sur
leur degré : en déduire la valeur de $\ell (n[\infty]) := \dim_k
\mathscr{L}(n[\infty])$ et notamment le fait que $\ell (n[\infty]) =
n$ si $n$ est assez grand.

\begin{corrige}
Dire que $g_0 + g_1\, y$ appartient à $\mathscr{L}(n[\infty])$
signifie qu'elle est régulière partout sauf peut-être en $\infty$, et
que par ailleurs $\ord_\infty(g_0 + g_1\, y) \geq -n$.  La première
condition signifie $g_0,g_1\in k[x]$ ; la seconde signifie
$\min(2\val_\infty(g_0), 2\val_\infty(g_1)-3) \geq -n$, c'est-à-dire
$\max(2\deg(g_0), 2\deg(g_1)+3) \leq n$, autrement dit,
$\mathscr{L}(n[\infty])$ est l'ensemble des $g_0 + g_1\,y$ avec
$g_0,g_1\in k[x]$ vérifiant $\deg(g_0) \leq \frac{1}{2}n$ et
$\deg(g_1) \leq \frac{1}{2}(n-3)$.  Comme la dimension de l'espace des
polynômes vérifiant $\deg(g) \leq B$ pour $B\in \mathbb{R}$ vaut
$\max(0,\lfloor B\rfloor + 1)$, on trouve finalement $\ell (n[\infty])
= \max(0,\lfloor \frac{1}{2}n\rfloor + 1) + \max(0,\lfloor
\frac{1}{2}(n-3)\rfloor + 1)$, ce qui, après examen des quelques
premiers cas, donne
\[
\ell (n[\infty]) = \left\{
\begin{array}{ll}
0&\hbox{~si $n<0$}\\
1&\hbox{~si $n=0$ (ou $n=1$)}\\
n&\hbox{~si $n\geq 1$}\\
\end{array}
\right.
\]
pour dimension de l'espace des fonctions rationnelles sur $C^+$ ayant
au pire un pôle d'ordre $n$ en $\infty$ (et aucun pôle ailleurs).
\end{corrige}

(9) En comparant la valeur trouvée pour $\ell (n[\infty])$ avec la
formule de Riemann-Roch, calculer le genre de $C^+$.

\begin{corrige}
La formule de Riemann-Roch prédit $\ell(D) - \ell(K-D) = \deg(D) + 1 -
g$ où $g$ est le genre de la courbe (à déterminer), et notamment
$\ell(D) = \deg(D) + 1 - g$ si $\deg(D) > 2g-2$.  Or on vient de voir
que pour $D := n[\infty]$ avec $n$ assez grand (et notamment
$\deg(n[\infty]) = n$ plus grand que ce qu'on voudra), on a
$\ell(n[\infty]) = n = \deg(n[\infty])$.  On en déduit $g = 1$.
\end{corrige}

(10) Montrer que $\omega := \frac{dx}{y} = \frac{2\,dy}{3x^2-1} \in
\Omega^1(C)$ et montrer que cette différentielle est d'ordre $0$
en $\infty$.  Expliquer pourquoi $dx$ et $dy$ sont régulières (i.e.,
d'ordre $\geq 0$) sur $C$ et ne peuvent pas s'annuler (i.e., avoir un
ordre $>0$) simultanément en un point de $C$.  (Pour la seconde
affirmation, on pourra noter que si $f$ est régulière sur $C$ alors
$df = f'_x\,dx + f'_y\,dy$ avec $f'_x,f'_y$ régulières sur $C$, et
qu'il n'est pas possible que tous les $df$ s'annulent en $M$.)  En
remarquant que $y$ et $3x^2-1$ ne s'annulent jamais simultanément
sur $C$, montrer que $\omega$ est d'ordre $0$ en tout point (elle n'a
ni zéro ni pôle), i.e., $\divis(\omega) = 0$.  En déduire un calcul du
genre de $g$ indépendant des questions (8) et (9).

\begin{corrige}
En dérivant $y^2 = x^3 - x$ on trouve $2y\,dy = (3x^2-1)\,dx$ dans le
$k(C)$-espace vectoriel $\Omega^1(C)$, d'où $\frac{dx}{y} =
\frac{2\,dy}{3x^2-1}$ comme annoncé.

En $\infty$, on a $\ord_\infty(dx) = \ord_\infty(x) - 1 = -3$ (car
$\ord_\infty(x) = -2 \neq 0$), et $\ord_\infty(y) = -3$, donc
$\ord_\infty(\omega) = 0$.

En tout point (géométrique) $M$ de $C$ on a $\ord_M(x) \geq 0$ donc
$\ord_M(dx) \geq 0$, et $\ord_M(y) \geq 0$ donc $\ord_M(dy) \geq 0$.
Par ailleurs, si $f$ est une fonction rationnelle sur $C$, on a $df =
f'_x\,dx + f'_y\,dy$ où $f'_x,f'_y$ sont les dérivées partielles (au
sens usuel) de $f$ par rapport à $x,y$ respectivement (si $f$ est
écrite, disons, de la forme $g_0 + g_1\,y$ avec $g_0,g_1\in k(x)$,
alors $f'_x = g'_0 + g'_1\,y$ et $f'_y = g_1$) ; en choisissant une
fonction régulière sur $C$ (donc dans $k[x,y]/(y^2-x^3+x)$) qui est
une uniformisante en $M$, on a $f'_x,f'_y$ régulières et $\ord_M(df) =
0$, ce qui interdit qu'on ait simultanément $\ord_M(dx) > 0$ et
$\ord_M(dy) > 0$.

En tout point (géométrique) $M$ de $C$ où $y$ ne s'annule pas, on a
$\ord_M(\omega) \geq 0$ car $\ord_M(dx) \geq 0$ et $\ord_M(y) = 0$ ;
de même, en tout point où $3x^2-1$ ne s'annule pas, on a
$\ord_M(\omega) \geq 0$ car $\ord_M(dy) \geq 0$ et $\ord_M(3x^2-1) =
0$.  Comme $y$ et $3x^2-1$ ne s'annulent jamais simultanément sur $C$
(car $y$ ne s'annule qu'en $O=(0,0)$, $P=(1,0)$ et $Q=(-1,0)$, et
$3x^2-1$ n'est nul en aucun de ces points), ceci montre
$\ord_M(\omega) \geq 0$ en tout $M$.  Mais si on avait $\ord_M(\omega)
> 0$ en un point $M$, les écritures $dx = y\,\omega$ et $dy =
\frac{3x^2-1}{2}\,\omega$ montreraient que $dx,dy$ s'annulent toutes
les deux en $M$, ce qui n'est pas possible.  Donc $\ord_M(\omega) = 0$
en tout $M$ de $C$, et on a déjà montré par ailleurs que
$\ord_\infty(\omega) = 0$.  Ceci prouve $\divis(\omega) = 0$.

Comme $\deg(\divis(\omega)) = 2g-2$ pour n'importe quelle $\omega \in
\Omega^1(C)$, ceci montre $2g-2 = 0$ soit $g=1$.
\end{corrige}


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\end{document}