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% A tribute to the worthy AMS:
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\theoremstyle{definition}
\newtheorem{comcnt}{Tout}[subsection]
\newcommand\thingy{%
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\newtheorem{defn}[comcnt]{Définition}
\newtheorem{prop}[comcnt]{Proposition}
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\newtheorem{scho}[comcnt]{Scholie}
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\begin{document}
\title{Courbes algébriques\\(notes provisoires)}
\author{David A. Madore}
\maketitle
\centerline{\textbf{ACCQ205}}
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\section{Corps et extensions de corps}
\subsection{Extensions algébriques et transcendantes}
\thingy On rappelle qu'un \textbf{corps} est un anneau (sous-entendu :
commutatif) $k$ dans lequel l'ensemble $k^\times$ des éléments
inversibles est l'ensemble $k\setminus\{0\}$ des éléments non-nuls.
Une \textbf{extension de corps} est un morphisme d'anneaux $k \to K$
entre corps, qui est automatiquement injectif (car son noyau est un
idéal d'un corps qui ne contient pas $1$), et qui peut donc être
considéré comme une inclusion : on notera soit $k \subseteq K$ soit
$K/k$ une telle extension ; lorsque l'inclusion a été fixée, on dit
aussi que $k$ est un sous-corps de $K$.
\thingy Si $k \subseteq K$ est une extension de corps et $x\in K$, on
note $k(x)$ l'extension de $k$ engendrée par $x$, c'est-à-dire le plus
petit sous-corps de $K$ contenant $k$ et $x$ (i.e., l'intersection de
tous les sous-corps de $K$ contenant $k$ et $x$, qui vérifie elle-même
cette propriété).
\danger On prendra garde au fait que la même notation $k(x)$ peut
désigner soit l'extension de $k$ engendrée par $x$ dans un corps $K$
plus grand, soit le corps des fractions rationnelles à une
indéterminée $x$ sur $k$. (Ces conventions sont cependant cohérentes
en ce sens que le corps des fractions rationnelles à une indéterminée
sur $k$ est bien l'extension de $k$ engendrée par l'indéterminée.) Il
faut donc prendre garde à ce qu'est $x$ quand cette notation
apparaît : si aucune remarque n'est faite, il est généralement
sous-entendu que $x$ est une indéterminée. La même remarque vaut,
\textit{mutatis mutandis}, pour $k[x]$, qui peut désigner la plus
petite $k$-algèbre engendrée par $x$ ou bien l'anneau des polynômes en
une indéterminée $x$ sur $k$.
\thingy Si $k \subseteq K$ est une extension de corps et $x\in K$, il
existe un unique morphisme $\varphi\colon k[t] \to K$ (où $k[t]$ est
l'anneau des polynômes en une indéterminée $t$ sur $k$) envoyant $t$
sur $x$ (c'est-à-dire, envoyant $P$ sur $P(x)$ pour chaque $P \in
k[t]$). Le noyau de $\varphi$ est un idéal de $k[t]$. Deux cas
peuvent se produire :
\begin{itemize}
\item soit $\varphi$ est injectif, auquel cas on dit que $x$ est
\textbf{transcendant} sur $k$ : dans ce cas, $\varphi$ se prolonge
de manière unique en une extension de corps $k(t) \to K$ (où $k(t)$
est le corps des fractions rationnelles en l'indéterminée $t$
sur $k$), puisque $\varphi(P)/\varphi(Q)$ a bien un sens dès que
$P/Q \in k(t)$, et l'image de $k(t)$ dans $K$ est précisément
$k(x)$, ce qui permet d'identifier $k(x)$ avec le corps des
fractions rationnelles en une indéterminée (i.e., de considérer $x$
comme une indéterminée) ;
\item soit le noyau de $\varphi$ est engendré par un unique polynôme
unitaire $\mu_x\in k[t]$, qu'on appelle le \textbf{polynôme minimal}
de $x$, et alors $x$ est dit \textbf{algébrique} (ou
\textbf{entier}) sur $k$ : alors $k(x)$ s'identifie, via l'image
de $\varphi$, à $k[t]/(\mu_x)$, une $k$-algèbre de dimension
$\deg\mu_x$ finie sur $k$, qu'on appelle le \textbf{degré} de $x$ ;
de plus, le polynôme $\mu_x$ est irréductible dans $k[t]$ (sans quoi
on aurait deux éléments dont le produit est nul dans $K$).
\end{itemize}
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\end{document}
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