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\begin{document}
\title{Courbes algébriques\\(notes provisoires)}
\author{David A. Madore}
\maketitle

\centerline{\textbf{ACCQ205}}

{\footnotesize
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\section{Corps et extensions de corps}

\subsection{Extensions algébriques et transcendantes}

\thingy On rappelle qu'un \textbf{corps} est un anneau (sous-entendu :
commutatif) $k$ dans lequel l'ensemble $k^\times$ des éléments
inversibles est l'ensemble $k\setminus\{0\}$ des éléments non-nuls.
Une \textbf{extension de corps} est un morphisme d'anneaux $k \to K$
entre corps, qui est automatiquement injectif (car son noyau est un
idéal d'un corps qui ne contient pas $1$), et qui peut donc être
considéré comme une inclusion : on notera soit $k \subseteq K$ soit
$K/k$ une telle extension ; lorsque l'inclusion a été fixée, on dit
aussi que $k$ est un sous-corps de $K$.

\thingy Si $k \subseteq K$ est une extension de corps et $x\in K$, on
note $k(x)$ l'extension de $k$ engendrée par $x$, c'est-à-dire le plus
petit sous-corps de $K$ contenant $k$ et $x$ (i.e., l'intersection de
tous les sous-corps de $K$ contenant $k$ et $x$, qui vérifie elle-même
cette propriété).  On dira aussi que $k \subseteq k(x)$ est une
extension \textbf{monogène}.

\danger On prendra garde au fait que la même notation $k(x)$ peut
désigner soit l'extension de $k$ engendrée par $x$ dans un corps $K$
plus grand, soit le corps des fractions rationnelles à une
indéterminée $x$ sur $k$.  (Ces conventions sont cependant cohérentes
en ce sens que le corps des fractions rationnelles à une indéterminée
sur $k$ est bien l'extension de $k$ engendrée par l'indéterminée.)  Il
faut donc prendre garde à ce qu'est $x$ quand cette notation
apparaît : si aucune remarque n'est faite, il est généralement
sous-entendu que $x$ est une indéterminée.  La même remarque vaut,
\textit{mutatis mutandis}, pour $k[x]$, qui peut désigner la plus
petite $k$-algèbre engendrée par $x$ ou bien l'anneau des polynômes en
une indéterminée $x$ sur $k$.

\thingy Si $k \subseteq K$ est une extension de corps et $x\in K$, il
existe un unique morphisme $\varphi\colon k[t] \to K$ (où $k[t]$ est
l'anneau des polynômes en une indéterminée $t$ sur $k$) envoyant $t$
sur $x$ (c'est-à-dire, envoyant $P$ sur $P(x)$ pour chaque $P \in
k[t]$).  Le noyau de $\varphi$ est un idéal de $k[t]$.  Exactement
l'un des deux cas suivants se produit :
\begin{itemize}
\item soit $\varphi$ est injectif, auquel cas on dit que $x$ est
  \textbf{transcendant} sur $k$ : dans ce cas, $\varphi$ se prolonge
  de manière unique en une extension de corps $k(t) \to K$ (où $k(t)$
  est le corps des fractions rationnelles en l'indéterminée $t$
  sur $k$), puisque $\varphi(P)/\varphi(Q)$ a bien un sens dès que
  $P/Q \in k(t)$, et l'image de $k(t)$ dans $K$ est précisément
  $k(x)$, ce qui permet d'identifier $k(x)$ avec le corps des
  fractions rationnelles en une indéterminée (i.e., de considérer $x$
  comme une indéterminée) ;
\item soit le noyau de $\varphi$ est engendré par un unique polynôme
  unitaire $\mu_x\in k[t]$, qu'on appelle le \textbf{polynôme minimal}
  de $x$, et alors $x$ est dit \textbf{algébrique} (ou
  \textbf{entier}) sur $k$ : alors $k(x)$ s'identifie, via l'image
  de $\varphi$, à $k[t]/(\mu_x)$, une $k$-algèbre de dimension
  $\deg\mu_x$ finie sur $k$, qu'on appelle le \textbf{degré} de $x$ ;
  de plus, le polynôme $\mu_x$ est irréductible dans $k[t]$ (sans quoi
  on aurait deux éléments dont le produit est nul dans $K$).
\end{itemize}
On remarquera que les éléments de $k$ eux-mêmes sont exactement les
algébriques de degré $1$ sur $k$.

\thingy La dichotomie décrite ci-dessus admet une sorte de
réciproque : d'une part, si $t$ est une indéterminée, alors dans
$k(t)$ (le corps des fractions rationnelles) l'élément $t$ est bien
transcendant sur $k$ (en fait, toute fraction rationnelle non
constante est transcendante sur $k$) ; d'autre part, si $\mu$ est un
polynôme unitaire irréductible sur $k$, alors $k[t]/(\mu)$ est une
extension de corps de $k$ dans laquelle la classe $x := \bar t$ de
l'indéterminée $t$ est algébrique de polynôme minimal $\mu$ : ce corps
$k(x) = k[t]/(\mu)$ est appelé \textbf{corps de rupture} du polynôme
irréductible $\mu$ sur $k$ (lorsque $\mu$ n'est pas unitaire, on peut
encore parler de corps de rupture quitte à diviser par le coefficient
dominant ; en revanche, l'irréductibilité est essentielle), et il va
de soi que le corps de rupture coïncide avec $k$ si et seulement si
$\mu$ est de degré $1$ (précisément, si $\mu = t-a$ alors l'élément $x
:= \bar t$ de $k(x) = k[t]/(\mu)$ s'identifie avec $a \in k$).

\thingy Une extension de corps $k\subseteq K$ est dite
\textbf{algébrique} lorsque chaque élément de $K$ est algébrique
sur $k$.

Un corps $k$ est dit \textbf{algébriquement clos} lorsque la seule
extension algébrique de $k$ est $k$ lui-même : d'après les remarques
précédentes, cela revient à dire que les seuls polynômes unitaires
irréductibles dans $k[t]$ sont les $t-a$.

\thingy Si $k\subseteq K$ est une extension de corps, on peut
considérer $K$ comme un $k$-espace vectoriel, et sa dimension (finie
ou infinie) est notée $[K:k]$ et appelée \textbf{degré} de
l'extension.  Une extension de degré fini est aussi dite
\textbf{finie}.

Il résulte de l'identification de $k(x)$ à $k[t]/(\mu_x)$ que, si $x$
est un élément algébrique sur $k$, alors $[k(x):k]$ est fini et égal
au degré $\deg\mu_x =: \deg(x)$ de $x$.  \textit{A contrio}, si $x$
est transcendant, alors $[k(x):k]$ est infini.  En particulier, on a
montré que : \emph{l'extension monogène $k\subseteq k(x)$ est finie si
  et seulement si $x$ est algébrique sur $k$}.

On aura également besoin du fait que si $k \subseteq K \subseteq L$
sont deux extensions imbriquées alors $[L:k] = [K:k]\, [L:K]$ (au sens
où le membre de gauche est fini si et seulement si les deux facteurs
du membre de droite le sont, et dans ce cas leur produit lui est
égal).  Cela résulte du fait plus précis que si $(x_\iota)_{\iota\in
  I}$ est une $k$-base de $K$ et $(y_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ une
$K$-base de $L$, alors $(x_\iota y_\lambda)_{(\iota,\lambda)\in
  I\times\Lambda}$ est une $k$-base de $L$ (vérification aisée).

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\end{document}