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diff --git a/figs/example1b.dot b/figs/example1b.dot new file mode 100644 index 0000000..09fecd0 --- /dev/null +++ b/figs/example1b.dot @@ -0,0 +1,13 @@ +digraph example1b { + rankdir="LR"; + node [texmode="math",shape="circle",style="state"]; + q0 [style="state,initial",label="0"]; + q1 [style="state,final",label="1"]; + q2 [style="state,final",label="2"]; + edge [texmode="math",lblstyle="auto"]; + q0 -> q0 [label="a"]; + q1 -> q1 [label="a"]; + q0 -> q1 [label="b"]; + q1 -> q0 [label="b"]; + q1 -> q2 [style="invisible"]; +} diff --git a/notes-inf105.tex b/notes-inf105.tex index 76e2189..a8572db 100644 --- a/notes-inf105.tex +++ b/notes-inf105.tex @@ -699,9 +699,9 @@ consommer. \subsection{Automates finis déterministes (=DFA)} -\thingy Un \textbf{automate fini déterministe}, ou en abrégé -\textbf{DFA} (pour \textit{deterministic finite automaton}) sur un -alphabet $\Sigma$ est la donnée +\thingy\label{definition-dfa} Un \textbf{automate fini déterministe}, +ou en abrégé \textbf{DFA} (pour \textit{deterministic finite + automaton}), sur un alphabet $\Sigma$ est la donnée \begin{itemize} \item d'un ensemble fini $Q$ dont les éléments sont appelés \textbf{états}, @@ -731,12 +731,13 @@ $\delta(q,x) = q'$ et $\delta(q,y) = q'$), on pourra écrire « $x,y$ » ou « $x|y$ » sur l'arête en question (et ne la tracer qu'une seule fois). Voir \ref{discussion-example2} ci-dessous pour un exemple. -\thingy Pour donner un exemple simple, l'automate sur $\Sigma = -\{a,b\}$ représenté ci-dessous a $Q = \{0,1\}$ et $q_0 = 0$ et $F = -\{1\}$ et la fonction de transition $\delta$ donnée par $\delta(0,a) = -0$ et $\delta(0,b) = 1$ et $\delta(1,a) = 1$ et $\delta(1,b) = 0$. On -pourra se convaincre (une fois lues les définitions plus loin) que cet -automate accepte les mots dont le nombre de $b$ est pair. +\thingy\label{discussion-example1} Pour donner un exemple simple, +l'automate sur $\Sigma = \{a,b\}$ représenté ci-dessous a $Q = +\{0,1\}$ et $q_0 = 0$ et $F = \{1\}$ et la fonction de transition +$\delta$ donnée par $\delta(0,a) = 0$ et $\delta(0,b) = 1$ et +$\delta(1,a) = 1$ et $\delta(1,b) = 0$. On pourra se convaincre (une +fois lues les définitions plus loin) que cet automate accepte les mots +dont le nombre de $b$ est pair. \begin{center} %%% begin example1 %%% @@ -794,8 +795,9 @@ avec la convention faite en \ref{convention-on-words-of-length-one}, on peut dire que $\delta^*$ prolonge $\delta$). Cette fonction $\delta^*$ étant définie, on dira que l'automate $A$ -\textbf{accepte} un mot $w$ lorsque $\delta^*(q_0,w) =: q_n \in F$ ; -dans le cas contraire, on dira qu'il \textbf{rejette} le mot $w$. +\textbf{accepte} ou \textbf{reconnaît} un mot $w$ lorsque +$\delta^*(q_0,w) =: q_n \in F$ ; dans le cas contraire, on dira qu'il +\textbf{rejette} le mot $w$. L'ensemble $L_A$ des mots acceptés par l'automate $A$ s'appelle \textbf{langage accepté}, ou \textbf{reconnu}, ou \textbf{défini}, par @@ -806,6 +808,9 @@ forme du langage $L_A$ accepté par un DFA $A$ s'appelle \textbf{reconnaissable} (sous-entendu : par automate déterministe fini). +On dit que deux DFA $A,A'$ sont \textbf{équivalents} lorsqu'ils +reconnaissent le même langage, i.e., $L_A = L_{A'}$. + \thingy\label{discussion-example2} L'automate fini ci-dessous sur $\Sigma := \{a,b,c\}$ a trois états, $Q = \{0,1,2\}$. On peut en faire la description informelle suivante : l'automate commence dans @@ -839,6 +844,50 @@ immédiatement, d'un $b$ ; autrement dit, les mots dont $ab$ est un sous-mot (cf. \ref{definition-subword}). Ce langage est donc reconnaissable. +\thingy Un état $q$ d'un DFA $A$ est dit \textbf{accessible} lorsqu'il +existe un mot $w \in \Sigma^*$ tel que $q = \delta(q_0,w)$, autrement +dit, graphiquement, lorsqu'il existe un chemin orienté +$q_0,q_1,\ldots,q_n=q$ reliant l'état initial $q_0$ à l'état $q$ +considéré. Dans le cas contraire, il est dit \textbf{inaccessible}. +Il est évident qu'ajouter ou retirer (ou modifier) les états +inaccessibles dans un DFA ne change rien au langage reconnu au sens +où on obtient des langages équivalents. + +Par exemple, dans le DFA qui suit, l'état $2$ est inaccessible +(l'automate est donc équivalent à celui représenté +en \ref{discussion-example1}). On remarquera qu'il ne change rien que +cet état soit final ou non. + +\begin{center} +%%% begin example1b %%% + +\begin{tikzpicture}[>=latex,line join=bevel,automaton] +%% +\node (q1) at (98bp,20.306bp) [draw,circle,state,final] {$1$}; + \node (q0) at (18bp,20.306bp) [draw,circle,state,initial] {$0$}; + \node (q2) at (172bp,20.306bp) [draw,circle,state,final] {$2$}; + \draw [->] (q1) ..controls (75.212bp,3.6347bp) and (64.284bp,-1.3057bp) .. (54bp,1.3057bp) .. controls (50.042bp,2.3107bp) and (46.047bp,3.8633bp) .. node[auto] {$b$} (q0); + \draw [->] (q0) ..controls (46.106bp,20.306bp) and (58.578bp,20.306bp) .. node[auto] {$b$} (q1); + \draw [->] (q1) ..controls (90.319bp,47.164bp) and (92.445bp,56.306bp) .. (98bp,56.306bp) .. controls (101.47bp,56.306bp) and (103.6bp,52.735bp) .. node[auto] {$a$} (q1); + \draw [->] (q0) ..controls (9.4062bp,46.931bp) and (11.75bp,56.306bp) .. (18bp,56.306bp) .. controls (22.004bp,56.306bp) and (24.405bp,52.458bp) .. node[auto] {$a$} (q0); +% +\end{tikzpicture} + +%%% end example1b %%% +\end{center} + +\thingy On va maintenant introduire différentes variations sur le +thème des automates finis, c'est-à-dire différentes généralisations de +la définition faite en \ref{definition-dfa} correspondant à des types +d'automates finis plus puissants que les DFA mais dont on va montrer, +à chaque fois, qu'ils peuvent se ramener à des DFA au sens où pour +chacun de ces automates généralisés on pourra construire +algorithmiquement un DFA qui reconnaît le même langage (si bien que la +classe des langages reconnaissables par n'importe laquelle de ces +sortes d'automates sera toujours la même). Les plus simples sont les +automates déterministes finis incomplets et on va donc commencer par +eux. + % % |