From da6ff34fb72f5dc7d3d1366d53efe81b31a811bc Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Tue, 29 Nov 2016 16:57:19 +0100
Subject: Another exercise on rational languages.

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 exercices1.tex | 25 +++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 25 insertions(+)

diff --git a/exercices1.tex b/exercices1.tex
index 26533e8..1eb8b74 100644
--- a/exercices1.tex
+++ b/exercices1.tex
@@ -211,6 +211,31 @@ par l'expression rationnelle $10{*}$.
 \end{corrige}
 
 
+%
+%
+%
+
+\exercice
+
+Soit $\Sigma = \{a\}$.  Montrer que le langage $L = \{a^2, a^3, a^5,
+a^7, a^{11}, a^{13}\ldots\}$ constitué des mots ayant un nombre
+\emph{premier} de $a$, n'est pas rationnel.
+
+\begin{corrige}
+Supposons par l'absurde que $L$ soit rationnel.  D'après le lemme de
+pompage, il existe un certain $k$ tel que tout mot de $L$ de longueur
+$\geq k$ se factorise sous la forme $uvw$ avec (i) $|v|\geq 1$,
+(ii) $|uv|\leq k$ et (iii) $uv^iw \in L$ pour tout $i\geq 0$.  Soit
+$p$ un nombre premier supérieur ou égal à $k$ : le mot $a^p \in L$
+admet une factorisation comme on vient de dire.  Posons $|u| =: m$ et
+$|v| =: n$, si bien que $|w| = p-m-n$.  On a alors $n\geq 1$
+d'après (i), et $|uv^iw| = m + in + (p-m-n) = p+(i-1)n$ est premier
+pour tout $i\geq 0$ d'après (iii).  En particulier pour $i=p+1$ on
+voit que $p + pn = p(n+1)$ est premier, ce qui contredit le fait qu'il
+s'agit d'un multiple non-trivial ($n+1\geq 2$) de $p$.
+\end{corrige}
+
+
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cgit v1.2.3