From 0eca47be5d745d3bd21733a2a88c032d6869989d Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Mon, 14 Nov 2016 15:13:10 +0100
Subject: Start defining DFAs, and give a first example (typeset with dot2tex +
 TikZ).

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 notes-inf105.tex | 99 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++------
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index d1e43da..1efcf60 100644
--- a/notes-inf105.tex
+++ b/notes-inf105.tex
@@ -18,7 +18,7 @@
 \usepackage{graphics}
 \usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
 \usepackage{tikz}
-\usetikzlibrary{matrix}
+\usetikzlibrary{arrows,automata,positioning}
 \usepackage[hyperindex=false]{hyperref}
 %
 \theoremstyle{definition}
@@ -33,7 +33,6 @@
 \newtheorem{scho}[comcnt]{Scholie}
 \newtheorem{algo}[comcnt]{Algorithme}
 \renewcommand{\qedsymbol}{\smiley}
-\renewcommand{\thefootnote}{\fnsymbol{footnote}}
 %
 \newcommand{\liff}{\mathrel{\Longleftrightarrow}\relax}
 %
@@ -52,6 +51,13 @@
   \hbox to0pt{\hskip-\hangindent\dbend\hfill}}
 %
 %
+% NOTE: compile dot files with
+% dot2tex --figonly -f tikz --tikzedgelabels --graphstyle=automaton file.dot  > file.tex
+\tikzstyle{automaton}=[>=stealth',initial text={}]
+\tikzstyle{state}=[]
+\tikzstyle{final}=[accepting by arrow]
+%
+%
 %
 \begin{document}
 \title{THL (Théorie des langages)\\Notes de cours \textcolor{red}{provisoires}}
@@ -521,13 +527,14 @@ Le mot vide appartient toujours à $L^*$ (quel que soit $L$) puisque
 $L^0 = \{\varepsilon\}$ et qu'on peut prendre $r=0$ ci-dessus
 (autrement dit, le mot vide est la concaténation de zéro mots de $L$).
 
-On introduit parfois la notation $L^+ = \bigcup_{r=1}^{+\infty} L^r =
-\{w_1\cdots w_r : r>0,\penalty-100\, w_1,\ldots,w_r\in L\}$ pour
-l'ensemble des mots formés par concaténation d'un nombre \emph{non
-  nul} de mots de $L$.  Lorsque le mot vide $\varepsilon$ n'appartient
-pas déjà à $L$, ce langage $L^+$ diffère de $L^*$ seulement en ce
-qu'il ne contient pas $\varepsilon$ ; tandis que si $\varepsilon$
-appartient déjà à $L$, alors $L^+$ est égal à $L^*$.
+\thingy\label{kleene-plus} On introduit parfois la notation $L^+ =
+\bigcup_{r=1}^{+\infty} L^r = \{w_1\cdots w_r : r>0,\penalty-100\,
+w_1,\ldots,w_r\in L\}$ pour l'ensemble des mots formés par
+concaténation d'un nombre \emph{non nul} de mots de $L$.  Lorsque le
+mot vide $\varepsilon$ n'appartient pas déjà à $L$, ce langage $L^+$
+diffère de $L^*$ seulement en ce qu'il ne contient pas $\varepsilon$ ;
+tandis que si $\varepsilon$ appartient déjà à $L$, alors $L^+$ est
+égal à $L^*$.  En toute généralité, on a $L^+ = LL^*$.
 
 
 \subsection{Langages rationnels et expressions rationnelles}
@@ -668,6 +675,80 @@ $(ab|cd)$ et pas comme $a(b|c)d$).
   vraie lettre et non pas du mot vide ; on peut ignorer cette
   subtilité qui n'a que très peu d'importance).\par}
 
+La barre de disjonction que nous avons notée ${|}$ est souvent plutôt
+notée $+$ par les mathématiciens.  Il y a ici un risque de confusion
+lié au fait que, en informatique, le symbole \texttt{+} est utilisé
+par de nombreux moteurs d'expressions régulières (par exemple,
+\texttt{egrep}) pour désigner l'opération évoquée en \ref{kleene-plus}
+(de sorte que $r+$ a le même sens que $rr*$).
+
+
+\section{Automates finis}
+
+\setcounter{comcnt}{0}
+
+\thingy Les automates finis sont un modèle de calcul particulièrement
+simple et particulièrement appropriés à l'étude et à l'analyse des
+langages rationnels.  Il faut imaginer un automate fini comme une
+machine disposant d'une quantité finie (et sous-entendu, très limitée)
+de mémoire : la configuration complète de cette mémoire est décrite
+par un \emph{état}, qui appartient à un ensemble fini d'états
+possibles.  L'automate prendra une décision (passer dans un nouvel
+état) en fonction de son état actuel et de la lettre qu'on lui donne à
+consommer.
+
+\subsection{Automates finis déterministes (=DFA)}
+
+\thingy Un \textbf{automate fini déterministe}, ou en abrégé
+\textbf{DFA} (pour \textit{deterministic finite automaton}) sur un
+alphabet $\Sigma$ est la donnée
+\begin{itemize}
+\item d'un ensemble fini $Q$ dont les éléments sont appelés
+  \textbf{états},
+\item d'un état $q_0 \in Q$ appelé \textbf{état initial},
+\item d'un ensemble $F \subseteq Q$ d'états appelés états
+  \textbf{finaux}\footnote{Le pluriel de « final » est indifféremment
+    « finaux » ou « finals ».} ou \textbf{acceptants},
+\item d'une fonction $\delta \colon Q\times\Sigma \to Q$ appelée
+  \textbf{fonction de transition}.
+\end{itemize}
+
+Graphiquement, on représente un DFA comme un graphe orienté aux arêtes
+étiquetées par des éléments de $\Sigma$ : plus exactement, on trace un
+nœud pour chaque élément $q \in Q$, et lorsque $\delta(q,x) = q'$ on
+introduit une arête $q \to q'$ étiquetée par la lettre $x$.  La
+condition sur $\delta$ (pour être un DFA) est alors que, pour chaque
+état $q \in Q$ et chaque lettre $x \in \Sigma$, il existe une unique
+arête partant de $q$ et étiquetée par $x$.  En outre, on introduit une
+arête pointant de nulle part vers $q_0$, et pour chaque $q\in F$ une
+arête pointant de $q$ vers nulle part\footnote{Certains auteurs
+  préfèrent d'autres conventions, par exemple celle consistant à
+  entourer deux fois les états finaux.}.
+
+\thingy Pour donner un exemple simple, l'automate sur $\Sigma =
+\{a,b\}$ représenté ci-dessous a $Q = \{0,1\}$ et $q_0 = 0$ et $F =
+\{1\}$ et la fonction de transition $\delta$ donnée par $\delta(0,a) =
+0$ et $\delta(0,b) = 1$ et $\delta(1,a) = 1$ et $\delta(1,b) = 0$.  On
+pourra se convaincre (une fois lues les définitions plus loin) que cet
+automate accepte les mots dont le nombre de $b$ est pair.
+
+\begin{center}
+%%% begin example1 %%%
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,line join=bevel,automaton]
+%%
+\node (q1) at (98bp,20.306bp) [draw,circle,state,final] {$1$};
+  \node (q0) at (18bp,20.306bp) [draw,circle,state,initial] {$0$};
+  \draw [->] (q1) ..controls (75.212bp,3.6347bp) and (64.284bp,-1.3057bp)  .. (54bp,1.3057bp) .. controls (50.042bp,2.3107bp) and (46.047bp,3.8633bp)  .. node[auto] {$b$} (q0);
+  \draw [->] (q0) ..controls (46.106bp,20.306bp) and (58.578bp,20.306bp)  .. node[auto] {$b$} (q1);
+  \draw [->] (q1) ..controls (89.406bp,46.931bp) and (91.75bp,56.306bp)  .. (98bp,56.306bp) .. controls (102bp,56.306bp) and (104.4bp,52.458bp)  .. node[auto] {$a$} (q1);
+  \draw [->] (q0) ..controls (9.4062bp,46.931bp) and (11.75bp,56.306bp)  .. (18bp,56.306bp) .. controls (22.004bp,56.306bp) and (24.405bp,52.458bp)  .. node[auto] {$a$} (q0);
+%
+\end{tikzpicture}
+
+%%% end example1 %%%
+\end{center}
+
 
 %
 %
-- 
cgit v1.2.3

