%% This is a LaTeX document.  Hey, Emacs, -*- latex -*- , get it?
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% A tribute to the worthy AMS:
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%
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{comcnt}{Tout}
\newcommand\thingy{%
\refstepcounter{comcnt}\smallbreak\noindent\textbf{\thecomcnt.} }
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\refstepcounter{comcnt}\bigbreak\noindent\textbf{Exercice~\thecomcnt.}}
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%
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%
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    {\fontencoding{U}\fontfamily{manual}\selectfont\symbol{#1}}}
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  \hbox to0pt{\hskip-\hangindent\dbend\hfill}}
%
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\corrigetrue
\newenvironment{corrige}%
{\ifcorrige\relax\else\setbox0=\vbox\bgroup\fi%
\smallbreak\noindent{\underbar{\textit{Corrigé.}}\quad}}
{{\hbox{}\nobreak\hfill\checkmark}%
\ifcorrige\relax\else\egroup\fi\par}
%
%
% NOTE: compile dot files with
% dot2tex --figonly -f tikz --tikzedgelabels --graphstyle=automaton file.dot  > file.tex
\tikzstyle{automaton}=[>=stealth',initial text={},thick,every loop/.style={min distance=7mm,looseness=5}]
\tikzstyle{state}=[]
\tikzstyle{final}=[accepting by arrow]
%
%
%
\begin{document}
\ifcorrige
\title{INF105\\Contrôle de connaissances — Corrigé\\{\normalsize Théorie des langages}}
\else
\title{INF105\\Contrôle de connaissances\\{\normalsize Théorie des langages}}
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\author{}
\date{7 février 2017}
\maketitle

%% {\footnotesize
%% \immediate\write18{sh ./vc > vcline.tex}
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\pretolerance=8000
\tolerance=50000

\vskip1truein\relax

\noindent\textbf{Consignes.}

Les exercices sont indépendants sauf dans la mesure où le contraire
est précisé.  Ils pourront être traités dans un ordre quelconque, mais
on demande de faire apparaître de façon très visible dans les copies
où commence chaque exercice.

\medbreak

L'usage de tous les documents (notes de cours manuscrites ou
imprimées, feuilles d'exercices, livres) est autorisé.

L'usage des calculatrices électroniques est interdit.

\medbreak

Durée : 1h30

\pagebreak


%
%
%

\exercice

On considère l'automate fini sur l'alphabet $\Sigma = \{a,b\}$
représenté par la figure suivante :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex,line join=bevel,automaton]
\node (X) at (-80bp,0bp) [draw,circle,state,initial] {$X$};
\node (Y) at (80bp,0bp) [draw,circle,state,final] {$Y$};
\node (A1) at (-40bp,50bp) [draw,circle,state] {$A\phantom{'}$};
\node (A2) at (40bp,50bp) [draw,circle,state] {$A'$};
\node (B1) at (-40bp,-50bp) [draw,circle,state] {$B\phantom{'}$};
\node (B2) at (40bp,-50bp) [draw,circle,state] {$B'$};
\draw[->] (X) -- node[auto]{$\varepsilon$} (A1);
\draw[->] (X) -- node[auto,below left]{$\varepsilon$} (B1);
\draw[->] (A1) -- node[auto]{$a$} (A2);
\draw[->] (B1) -- node[auto]{$b$} (B2);
\draw[->] (A1) to[loop above] node[auto]{$b$} (A1);
\draw[->] (A2) to[loop above] node[auto]{$b$} (A2);
\draw[->] (B1) to[loop below] node[auto]{$a$} (B1);
\draw[->] (B2) to[loop below] node[auto]{$a$} (B2);
\draw[->] (A2) -- node[auto]{$\varepsilon$} (Y);
\draw[->] (B2) -- node[auto,below right]{$\varepsilon$} (Y);
\end{tikzpicture}
\end{center}

(0) De quelle sorte d'automate s'agit-il ?  (Autrement dit : est-il
déterministe ou non ? avec transitions spontanées ou non ?)

(1) Décrire brièvement, en français, le langage $L$ reconnu (=accepté)
par l'automate en question, puis donner une expression rationnelle qui
le dénote.

(2) Éliminer les transitions spontanées de l'automate, s'il y en a.
(On supprimera les états devenus inutiles.)

(3) Déterminiser l'automate ainsi obtenu, si nécessaire.  (On demande
un automate déterministe complet.)  Pour simplifier le travail du
correcteur, on demande de faire en sorte que les transitions
étiquetées par $a$ soient, dans la mesure du possible, horizontales de
la gauche vers la droite, et celles étiquetées par $b$, verticales du
haut vers le bas.

(4) Minimiser l'automate ainsi obtenu, si nécessaire.

(5) Donner un automate du type qu'on voudra qui reconnaît le langage
$\overline{L} = \Sigma^*\setminus L$ complémentaire de $L$.

(6) Décrire brièvement, en français, le langage ce langage
complémentaire $\overline{L}$.

(7) Donner une expression rationnelle qui reconnaît ce langage
complémentaire $\overline{L}$.  (Cette question est plus difficile.
Ne pas hésiter à introduire des notations intermédiaires.)

\begin{corrige}
(0) Il s'agit d'un automate non-déterministe à transitions spontanées,
  ou ε-NFA (il n'y a pas de notion d'automate déterministe à
  transitions spontanées).

\smallbreak

(1) Le chemin par les états $X,A,A',Y$ accepte les mots exactement
un $a$, c'est-à-dire le langage dénoté par $b{*}ab{*}$.  Le chemin par
les états $X,B,B',Y$ accepte les mots comportant exactement un $b$,
c'est-à-dire le langage dénoté par $a{*}ba{*}$.  L'automate dans son
ensemble accepte les mots comportant exactement un $a$ ou (inclusif)
exactement un $b$ (i.e. $L = \{w\in\Sigma^* : |w|_a = 1
\penalty0\ \textrm{ou}\penalty0\ |w|_b = 1\}$ si $|w|_x$ désigne le
nombre total d'occurrences de la lettre $x$ dans le mot $w$).  C'est
le langage dénoté par l'expression rationnelle $b{*}ab{*} |
a{*}ba{*}$.

\smallbreak

(2) La ε-fermeture de l'état $X$ est $\{X,A,B\}$ ; la ε-fermeture de
  l'état $A'$ est $\{A',Y\}$ et celle de l'état $B'$ est $\{B',Y\}$ ;
  les autres états sont leur propre ε-fermeture (i.e., celle-ci est un
  singleton).  L'élimination des transitions spontanées conduit donc à
  l'automate suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex,line join=bevel,automaton]
\node (X) at (-80bp,0bp) [draw,circle,state,initial] {$X$};
\node (A1) at (-40bp,50bp) [draw,circle,state] {$A\phantom{'}$};
\node (A2) at (40bp,50bp) [draw,circle,state,final] {$A'$};
\node (B1) at (-40bp,-50bp) [draw,circle,state] {$B\phantom{'}$};
\node (B2) at (40bp,-50bp) [draw,circle,state,final] {$B'$};
\draw[->] (X) -- node[auto]{$b$} (A1);
\draw[->] (X) -- node[auto,below left]{$a$} (B1);
\draw[->] (X) -- node[auto,below right]{$a$} (A2);
\draw[->] (X) -- node[auto,above right]{$b$} (B2);
\draw[->] (A1) -- node[auto]{$a$} (A2);
\draw[->] (B1) -- node[auto]{$b$} (B2);
\draw[->] (A1) to[loop above] node[auto]{$b$} (A1);
\draw[->] (A2) to[loop above] node[auto]{$b$} (A2);
\draw[->] (B1) to[loop below] node[auto]{$a$} (B1);
\draw[->] (B2) to[loop below] node[auto]{$a$} (B2);
\end{tikzpicture}
\end{center}
(On a supprimé l'état $Y$ qui est devenu inutile car aucune transition
non-spontanée n'y conduit.)

\smallbreak

(3) L'algorithme de déterminisation conduit à l'automate suivant où,
pour plus de lisibilité, les états finaux ont été marqués en les
entourant deux fois plutôt que par une flèche sortante :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex,line join=bevel,automaton]
\node (s00) at (0bp,0bp) [draw,rounded corners,state,initial] {$\{X\}$};
\node (s01) at (75bp,0bp) [draw,rounded corners,state,accepting by double] {$\{A',B\}$};
\node (s02) at (150bp,0bp) [draw,rounded corners,state] {$\{B\}$};
\node (s10) at (0bp,-50bp) [draw,rounded corners,state,accepting by double] {$\{A,B'\}$};
\node (s11) at (75bp,-50bp) [draw,rounded corners,state,accepting by double] {$\{A',B'\}$};
\node (s12) at (150bp,-50bp) [draw,rounded corners,state,accepting by double] {$\{B'\}$};
\node (s20) at (0bp,-100bp) [draw,rounded corners,state] {$\{A\}$};
\node (s21) at (75bp,-100bp) [draw,rounded corners,state,accepting by double] {$\{A'\}$};
\node (s22) at (150bp,-100bp) [draw,rounded corners,state] {$\varnothing$};
\draw[->] (s00) -- node[auto]{$a$} (s01);
\draw[->] (s01) -- node[auto]{$a$} (s02);
\draw[->] (s10) -- node[auto]{$a$} (s11);
\draw[->] (s11) -- node[auto]{$a$} (s12);
\draw[->] (s20) -- node[auto]{$a$} (s21);
\draw[->] (s21) -- node[auto]{$a$} (s22);
\draw[->] (s02) to[loop right] node[auto]{$a$} (s02);
\draw[->] (s12) to[loop right] node[auto]{$a$} (s12);
\draw[->] (s22) to[loop right] node[auto]{$a$} (s22);
\draw[->] (s00) -- node[auto]{$b$} (s10);
\draw[->] (s10) -- node[auto]{$b$} (s20);
\draw[->] (s01) -- node[auto]{$b$} (s11);
\draw[->] (s11) -- node[auto]{$b$} (s21);
\draw[->] (s02) -- node[auto]{$b$} (s12);
\draw[->] (s12) -- node[auto]{$b$} (s22);
\draw[->] (s20) to[loop below] node[auto]{$b$} (s20);
\draw[->] (s21) to[loop below] node[auto]{$b$} (s21);
\draw[->] (s22) to[loop below] node[auto]{$b$} (s22);
\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour la commodité de la suite de la correction, on renomme les états
de cet automate de la façon suivante :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex,line join=bevel,automaton]
\node (s00) at (0bp,0bp) [draw,rounded corners,state,initial] {$00$};
\node (s01) at (75bp,0bp) [draw,rounded corners,state,accepting by double] {$01$};
\node (s02) at (150bp,0bp) [draw,rounded corners,state] {$02$};
\node (s10) at (0bp,-50bp) [draw,rounded corners,state,accepting by double] {$10$};
\node (s11) at (75bp,-50bp) [draw,rounded corners,state,accepting by double] {$11$};
\node (s12) at (150bp,-50bp) [draw,rounded corners,state,accepting by double] {$12$};
\node (s20) at (0bp,-100bp) [draw,rounded corners,state] {$20$};
\node (s21) at (75bp,-100bp) [draw,rounded corners,state,accepting by double] {$21$};
\node (s22) at (150bp,-100bp) [draw,rounded corners,state] {$22$};
\draw[->] (s00) -- node[auto]{$a$} (s01);
\draw[->] (s01) -- node[auto]{$a$} (s02);
\draw[->] (s10) -- node[auto]{$a$} (s11);
\draw[->] (s11) -- node[auto]{$a$} (s12);
\draw[->] (s20) -- node[auto]{$a$} (s21);
\draw[->] (s21) -- node[auto]{$a$} (s22);
\draw[->] (s02) to[loop right] node[auto]{$a$} (s02);
\draw[->] (s12) to[loop right] node[auto]{$a$} (s12);
\draw[->] (s22) to[loop right] node[auto]{$a$} (s22);
\draw[->] (s00) -- node[auto]{$b$} (s10);
\draw[->] (s10) -- node[auto]{$b$} (s20);
\draw[->] (s01) -- node[auto]{$b$} (s11);
\draw[->] (s11) -- node[auto]{$b$} (s21);
\draw[->] (s02) -- node[auto]{$b$} (s12);
\draw[->] (s12) -- node[auto]{$b$} (s22);
\draw[->] (s20) to[loop below] node[auto]{$b$} (s20);
\draw[->] (s21) to[loop below] node[auto]{$b$} (s21);
\draw[->] (s22) to[loop below] node[auto]{$b$} (s22);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\smallbreak

(4) L'automate obtenu est déjà minimal.  En effet, l'algorithme de
minimisation commence par séparer les classes $\{01,10,11,12,21\}$
(états finaux) et $\{00,02,20,22\}$ (états non-finaux) ; ensuite, la
transition étiquetée par $a$ sépare la classe $\{01,10,11,12,21\}$ en
$\{01,21\}$ (qui vont vers un état non-final) et $\{10,11,12\}$ (qui
vont vers un état final), et la classe $\{00,02,20,22\}$ en
$\{00,20\}$ (qui vont vers un état final) et $\{02,22\}$ (qui vont
vers un non-final).  La transition étiquetée par $b$ sépare ensuite en
deux chacune des trois classes $\{00,20\}$, $\{01,21\}$ et $\{02,22\}$
(car le premier élément va dans la classe $\{10,11,12\}$ tandis que le
second reste dans la même classe) et sépare en trois la classe
$\{10,11,12\}$.  On a donc séparé chacun des états.

\smallbreak

(5) Pour reconnaître le complémentaire du langage reconnu par un
automate fini déterministe complet, il suffit d'échanger états finaux
et non-finaux : on peut donc prendre l'automate dessiné en (3) avec,
cette fois, la convention que les états simplement entourés sont
finaux (et les doublement entourés sont non-finaux).

\emph{Attention :} échanger états finaux et non-finaux ne marche pas
pour reconnaître le complémentaire du langage reconnu par un automate
non-déterministe (car la négation de « il existe un chemin qui va vers
un état final » est « aucun chemin ne va vers un état final » et pas
« il existe un chemin qui va vers un état non-final »).

\smallbreak

(6) Puisque $L$ est le langage formé des mots ayant comportant
exactement un $a$ ou (inclusif) exactement un $b$, son complémentaire
$\overline{L}$ est formé des mots ayant un nombre différent de $1$
de $a$ \emph{et} un nombre différent de $1$ de $b$ ; si on préfère, il
s'agit du langage comportant ($0$ ou au moins $2$ fois la lettre $a$)
\emph{et} ($0$ ou au moins $2$ fois la lettre $b$).

\smallbreak

(7) L'élimination des états n'est pas trop complexe car l'automate a
très peu de boucles.  Éliminons simultanément tous les états
non-finaux ($01$, $10$, $11$, $12$ et $21$), et profitons-en pour
créer un nouvel (et unique) état final $F$ :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex,line join=bevel,automaton]
\node (s00) at (0bp,0bp) [draw,rounded corners,state,initial] {$00$};
\node (s02) at (100bp,0bp) [draw,rounded corners,state] {$02$};
\node (s20) at (0bp,-60bp) [draw,rounded corners,state] {$20$};
\node (s22) at (100bp,-60bp) [draw,rounded corners,state] {$22$};
\node (F) at (160bp,-60bp) [draw,circle,state,final] {$F$};
\draw[->] (s00) -- node[auto]{$aa$} (s02);
\draw[->] (s20) -- node[auto]{$ab{*}a$} (s22);
\draw[->] (s02) to[loop above] node[auto]{$a$} (s02);
\draw[->] (s00) -- node[auto]{$bb$} (s20);
\draw[->] (s02) -- node[auto]{$ba{*}b$} (s22);
\draw[->] (s20) to[loop left] node[auto]{$b$} (s20);
\draw[->] (s22) to[loop below] node[auto]{$a|b$} (s22);
\draw[->] (s22) -- node[auto]{$\varepsilon$} (F);
\draw[->] (s00) -- node[auto]{$r$} (s22);
\draw[->,out=0,in=90] (s02) to node[auto]{$\varepsilon$} (F);
\draw[->,out=270,in=270] (s20) to node[auto,below]{$\varepsilon$} (F);
\draw[->] (s00) to[out=45,in=180] (100bp,40bp) to[out=0,in=45] node[auto,above]{$\varepsilon$} (F);
\end{tikzpicture}
\end{center}
où $r := abaa{*}b \,|\, abbb{*}a \,|\, baaa{*}b \,|\, babb{*}a$
(correspondant aux quatre façons de passer de $00$ à $22$ dans le
graphe ci-dessus).  Éliminons l'état $02$ et l'état $20$ :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex,line join=bevel,automaton]
\node (s00) at (0bp,0bp) [draw,rounded corners,state,initial] {$00$};
\node (s22) at (100bp,-60bp) [draw,rounded corners,state] {$22$};
\node (F) at (160bp,-60bp) [draw,circle,state,final] {$F$};
\draw[->] (s22) -- node[auto]{$\varepsilon$} (F);
\draw[->] (s22) to[loop above] node[auto]{$a|b$} (s22);
\draw[->] (s00) -- node[auto]{$r'$} (s22);
\draw[->,out=0,in=90] (s00) to node[auto]{$\varepsilon|aaa{*}|bbb{*}$} (F);
\end{tikzpicture}
\end{center}
où $r' := r \penalty0\,|\, aaa{*}ba{*}b \penalty0\,|\, bbb{*}ab{*}a =
abaa{*}b \penalty0\,|\, abbb{*}a \penalty0\,|\, baaa{*}b
\penalty0\,|\, babb{*}a \penalty0\,|\, aaa{*}ba{*}b \penalty0\,|\,
bbb{*}ab{*}a$.  On obtient finalement l'expression rationnelle
suivante pour $\overline{L}$ :
\[
\varepsilon\,|\,aaa{*}\,|\,bbb{*}\,|\,(abaa{*}b \,|\,
abbb{*}a \,|\, baaa{*}b \,|\, babb{*}a
\,|\, aaa{*}ba{*}b \,|\, bbb{*}ab{*}a)(a|b){*}
\]
Pour comprendre cette expression rationnelle, la disjonction de plus
haut niveau correspond aux quatre possibilités : (i) $0$ fois la
lettre $a$ et $0$ fois la lettre $b$, (ii) au moins $2$ fois la lettre
$a$ et $0$ fois la lettre $b$, (iii) $0$ fois la lettre $a$ et au
moins $2$ fois la lettre $b$, et (iv) au moins $2$ fois la lettre $a$
et au moins $2$ fois la lettre $b$.  Pour mieux comprendre
l'expression du cas (iv), on peut remarquer que $abaa{*}b
\penalty0\,|\, baaa{*}b \penalty0\,|\, aaa{*}ba{*}b$ dénote le langage
formé des mots comportant au moins deux $a$ et exactement deux $b$ et
qui finissent par un $b$, et symétriquement $abbb{*}a \penalty0\,|\,
babb{*}a \penalty0\,|\,bbb{*}ab{*}a$ dénote le langage formé des mots
comportant au moins deux $b$ et exactement deux $a$ et qui finissent
par un $a$ : l'expression du cas (iv) correspond donc à écrire un mot
ayant au moins deux $a$ et au moins deux $b$ comme le premier préfixe
qui vérifie cette propriété suivi d'un suffixe quelconque.
\end{corrige}



%
%
%
\end{document}