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\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
%\usepackage{ucs}
\usepackage{times}
% A tribute to the worthy AMS:
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}
%
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{url}
%
\usepackage{graphics}
\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
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\usetikzlibrary{arrows,automata,positioning}
\usepackage{hyperref}
%
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{comcnt}{Tout}
\newcommand\thingy{%
\refstepcounter{comcnt}\smallskip\noindent\textbf{\thecomcnt.} }
\newcommand\exercice{%
\refstepcounter{comcnt}\bigskip\noindent\textbf{Exercice~\thecomcnt.}\par\nobreak}
\renewcommand{\qedsymbol}{\smiley}
%
\DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~}
\DeclareUnicodeCharacter{03B5}{$\varepsilon$}
%
\DeclareMathSymbol{\tiret}{\mathord}{operators}{"7C}
\DeclareMathSymbol{\traitdunion}{\mathord}{operators}{"2D}
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%
\DeclareFontFamily{U}{manual}{}
\DeclareFontShape{U}{manual}{m}{n}{ <-> manfnt }{}
\newcommand{\manfntsymbol}[1]{%
{\fontencoding{U}\fontfamily{manual}\selectfont\symbol{#1}}}
\newcommand{\dbend}{\manfntsymbol{127}}% Z-shaped
\newcommand{\danger}{\noindent\hangindent\parindent\hangafter=-2%
\hbox to0pt{\hskip-\hangindent\dbend\hfill}}
%
\newcommand{\spaceout}{\hskip1emplus2emminus.5em}
\newif\ifcorrige
\corrigetrue
\newenvironment{corrige}%
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\smallbreak\noindent{\underbar{\textit{Corrigé.}}\quad}}
{{\hbox{}\nobreak\hfill\checkmark}%
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\newenvironment{commentaire}%
{\ifcorrige\relax\else\setbox0=\vbox\bgroup\fi%
\smallbreak\noindent{\underbar{\textit{Commentaires.}}\quad}}
{{\hbox{}\nobreak\hfill\maltese}%
\ifcorrige\par\smallbreak\else\egroup\par\fi}
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% NOTE: compile dot files with
% dot2tex --figonly -f tikz --tikzedgelabels --graphstyle=automaton file.dot > file.tex
\tikzstyle{automaton}=[>=stealth',initial text={},thick,every loop/.style={min distance=7mm,looseness=5}]
\tikzstyle{state}=[]
\tikzstyle{final}=[accepting by arrow]
%
%
%
\begin{document}
\ifcorrige
\title{INF105\\Contrôle de connaissances — Corrigé\\{\normalsize Théorie des langages}}
\else
\title{INF105\\Contrôle de connaissances\\{\normalsize Théorie des langages}}
\fi
\author{}
\date{23 janvier 2020}
\maketitle
\pretolerance=8000
\tolerance=50000
\vskip1truein\relax
\noindent\textbf{Consignes.}
Les exercices sont totalement indépendants. Ils pourront être traités
dans un ordre quelconque, mais on demande de faire apparaître de façon
très visible dans les copies où commence chaque exercice.
\medbreak
L'usage de tous les documents (notes de cours manuscrites ou
imprimées, feuilles d'exercices, livres) est autorisé.
L'usage des appareils électroniques est interdit.
\medbreak
Durée : 1h30
Barème \emph{indicatif} : \textcolor{red}{(à remplir)}.
\ifcorrige
Ce corrigé comporte \textcolor{red}{(à remplir)} pages (page de garde incluse)
\else
Cet énoncé comporte \textcolor{red}{(à remplir)} pages (page de garde incluse)
\fi
\vfill
{\tiny\noindent
\immediate\write18{sh ./vc > vcline.tex}
Git: \input{vcline.tex}
\immediate\write18{echo ' (stale)' >> vcline.tex}
\par}
\pagebreak
%
%
%
\exercice
Dans cet exercice, on pose $\Sigma = \{a\}$ (alphabet à une seule lettre).
On considère l'expression rationnelle $r$ suivante : $(aaa|aaaaa){*}$
(sur l'alphabet $\Sigma$). On appelle $L := L(r)$ le langage qu'elle
dénote et $M := \Sigma^* \setminus L$ son complémentaire.
(1) Traiter l'une \emph{ou} l'autre des questions suivantes :
(i) construire l'automate de Glushkov $\mathscr{A}_1$ de $r$ ;
(ii) construire l'automate de Thompson de $r$, puis éliminer les
transitions spontanées (= $\varepsilon$-transitions) de ce dernier (on
retirera les états devenus inutiles) : on appellera $\mathscr{A}_1$
l'automate ainsi obtenu.
(Dans les deux cas, on obtient le même automate $\mathscr{A}_1$, ayant
$9$ états. À défaut de donner l'automate de Glushkov ou de Thompson,
donner un NFA reconnaissant $L$ pourra apporter une partie des
points.)
(2) Déterminiser l'automate $\mathscr{A}_1$. On appellera
$\mathscr{A}_2$ l'automate (déterministe complet) en question.
(On obtient un automate $\mathscr{A}_2$ ayant $14$ états. On
n'hésitera pas à introduire des notations simplificatrices si on le
juge utile ; il pourra être judicieux de réfléchir au préalable à une
façon de nommer les états de $\mathscr{A}_1$ qui rend la construction
de $\mathscr{A}_2$ plus facile à mener sans se tromper.)
Pour simplifier les questions suivantes (ainsi que le travail du
correcteur), on renommera si nécessaire les états de $\mathscr{A}_2$
de façon que, autant que possible, l'état résultant de la lecture du
mot $a^k$ par l'automate soit numéroté $k$.
(3) Minimiser l'automate $\mathscr{A}_2$. On appellera
$\mathscr{A}_3$ l'automate canonique ainsi obtenu.
(On obtient un automate ayant $9$ états.)
(4) Construire un automate $\mathscr{A}_4$ reconnaissant le langage $M
:= \Sigma^*\setminus L$ complémentaire de $L$. Ce langage $M$ est
fini : énumérer exhaustivement les mots qu'il contient.
(5) Quels sont les entiers naturels ne pouvant pas s'écrire sous la
forme $3m+5n$ avec $m,n\in\mathbb{N}$ ?
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\end{document}
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