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--- a/transp-inf110-03-super.tex
+++ /dev/null
@@ -1,681 +0,0 @@
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-\title{Logique(s) et typage(s) d'ordre(s) supérieur(s)}
-\subtitle{INF110 (Logique et Fondements de l'Informatique)}
-\author[David Madore]{David A. Madore\\
-{\footnotesize Télécom Paris}\\
-\texttt{david.madore@enst.fr}}
-\date{2023–2024}
-\mode<presentation>{%
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-\begin{document}
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-%
-\begin{frame}
-\titlepage
-{\footnotesize\center{\url{http://perso.enst.fr/madore/inf110/transp-inf110.pdf}}\par}
-{\tiny
-\immediate\write18{sh ./vc > vcline.tex}
-\begin{center}
-Git: \input{vcline.tex}
-\end{center}
-\immediate\write18{echo ' (stale)' >> vcline.tex}
-\par}
-\end{frame}
-%
-\section*{Plan}
-\begin{frame}
-\frametitle{Plan}
-\tableofcontents
-\end{frame}
-%
-\section{Les quantificateurs : discussion informelle}
-\begin{frame}
-\frametitle{Limitations du calcul propositionnel}
-
-\itempoint On a parlé pour l'instant de \textbf{calcul
-  propositionnel}, qui ne connaît que les affirmations logiques et les
-connecteurs propositionnels $\Rightarrow,\land,\lor,\top,\bot$.
-
-\medskip
-
-\itempoint Mais il y a deux notations logiques essentielles en
-mathématiques au-delà de ces connecteurs : les
-\textbf{quantificateurs} $\forall,\exists$, qui :
-\begin{itemize}
-\item prennent une formule $P(x)$ dépendant d'une variable $x$ libre,
-\item lient cette variable pour former une nouvelle formule $\forall
-  x. P(x)$ ou $\exists x. P(x)$.
-\end{itemize}
-
-\medskip
-
-\itempoint Intuitivement, il faut penser à $\forall$ et $\exists$
-comme des « $\land$ et $\lor$ en famille », c'est-à-dire que :
-\begin{itemize}
-\item $\forall x.P(x)$, parfois noté $\bigwedge_x P(x)$ est à $P\land
-  Q$ ce que $\prod_i p_i$ est à $p\times q$,
-\item $\exists x.P(x)$, parfois noté $\bigvee_x P(x)$ est à $P\lor Q$
-  ce que $\sum_i p_i$ est à $p + q$.
-\end{itemize}
-
-\medskip
-
-\itempoint Il existe de \alert{nombreux systèmes logiques} différant
-notamment en \alert{ce qu'on a le droit de quantifier} (qui sont les
-$x$ ici ?).
-
-\smallskip
-
-\textcolor{brown}{Commençons par une discussion informelle de
-  $\forall$ et $\exists$.}
-
-\end{frame}
-%
-\begin{frame}
-\frametitle{L'interprétation BHK des quantificateurs}
-
-On a déjà vu l'interprétation informelle des connecteurs, on introduit
-maintenant les quantificateurs :
-
-\begin{itemize}
-\item {\color{darkgray} un témoignage de $P\land Q$, est un témoignage
-  de $P$ et un de $Q$,}
-\item {\color{darkgray} un témoignage de $P\lor Q$, est un témoignage
-  de $P$ ou un de $Q$, et la donnée duquel des deux on a choisi,}
-\item {\color{darkgray} un témoignage de $P\Rightarrow Q$ est un moyen
-  de transformer un témoignage de $P$ en un témoignage de $Q$,}
-\item {\color{darkgray} un témoignage de $\top$ est trivial,} \quad
-  \itempoint {\color{darkgray} un témoignage de $\bot$ n'existe pas,}
-\item un témoignage de $\forall x.P(x)$ est un moyen
-  de transformer un $x$ quelconque en un témoignage de $P(x)$,
-\item un témoignage de $\exists x.P(x)$ est la donnée d'un certain
-  $x_0$ et d'un témoignage de $P(x_0)$.
-\end{itemize}
-
-\end{frame}
-%
-\begin{frame}
-\frametitle{Curry-Howard pour le $\forall$}
-
-\itempoint On a vu que Curry-Howard fait correspondre
-\alert{conjonction logique} $P\land Q$ {\footnotesize (« un témoignage
-  de $P$ et un de $Q$ »)} avec \alert{type produit} $\sigma\times\tau$
-      {\footnotesize (« une valeur de $\sigma$ et une de $\tau$ »)}.
-
-\medskip
-
-\itempoint De façon analogue, la \alert{quantification universelle}
-$\forall x. P(x)$ {\footnotesize (« une façon de transformer $x$ en un
-  témoignage de $P(x)$ »)}, qui est une sorte de \emph{conjonction en
-famille} $\bigwedge_x P(x)$, correspondra au \alert{type produit en
-  famille} $\prod_x \sigma(x)$ {\footnotesize (« fonction renvoyant
-  une valeur de $\sigma(x)$ pour chaque $x$ »)}.
-
-\medskip
-
-\itempoint Ceci présuppose l'existence de \alert{familles de types} $x
-\mapsto \sigma(x)$ (= types dépendant de quelque chose) dont on puisse
-prendre le produit.
-
-\medskip
-
-\itempoint Une preuve de $\forall x.P(x)$ correspondra à un terme de
-forme $\lambda(x:{?}).\,(\cdots)$, où le type de $(\cdots)$ correspond
-à $P(x)$.
-
-\medskip
-
-\itempoint Remarquer que $\forall x.P$, si $P$ ne dépend pas de $x$,
-« ressemble » à $I \Rightarrow P$ de la même manière que $\prod_{i\in
-  I} X = X^I$.  {\footnotesize (Les détails dépendent de la nature de
-  la quantification.)}
-
-\end{frame}
-%
-\begin{frame}
-\frametitle{Curry-Howard pour le $\exists$}
-
-\itempoint On a vu que Curry-Howard fait correspondre
-\alert{conjonction logique} $P\lor Q$ {\footnotesize (« un témoignage
-  de $P$ ou un de $Q$, avec la donnée duquel on a choisi »)} avec
-\alert{type somme} $\sigma+\tau$ {\footnotesize (« une valeur de
-  $\sigma$ ou une de $\tau$, avec un sélecteur entre les deux »)}.
-
-\medskip
-
-\itempoint De façon analogue, la \alert{quantification existentielle}
-$\exists x. P(x)$ {\footnotesize (« la donnée d'un $x_0$ et d'un
-  témoignage de $P(x_0)$ »)}, qui est une sorte de \emph{disjonction
-en famille} $\bigvee_x P(x)$, correspondra au \alert{type somme en
-  famille} $\sum_x \sigma(x)$ {\footnotesize (« donnée d'un $x_0$ et
-  d'une valeur de type $\sigma(x_0)$ »)}.
-
-\medskip
-
-\itempoint Une preuve de $\exists x.P(x)$ correspondra à un terme de
-forme $\langle x_0, \cdots\rangle$, où le type de $(\cdots)$
-correspond à $P(x_0)$.  {\footnotesize (De nouveau, il faut des
-  « familles de types ».)}
-
-\medskip
-
-\itempoint Remarquer que $\exists x.P$, si $P$ ne dépend pas de $x$,
-« ressemble » à $I \times P$ de la même manière que $\sum_{i\in I} X =
-I\times X$.  {\footnotesize (Les détails dépendent de la nature de la
-  quantification.)}
-
-\medskip
-
-\itempoint Mais Curry-Howard atteint ses limites : il n'est pas dit
-que d'une preuve de $\exists x.P(x)$ on \alert{puisse extraire} le
-$x_0$ correspondant dans autre chose qu'une preuve.  {\footnotesize
-  (Les détails dépendent du système logique précis considéré {\tiny et
-    si Martin-Löf est dans la salle}.)}
-
-\end{frame}
-%
-\begin{frame}
-\frametitle{Le problème du $\exists$ et des types sommes}
-
-Doit-on croire à ceci (pour $U$ et $V$ deux types) ?
-\[
-(\forall(x:U).\,\exists(y:V).\,P(x,y))
-\Rightarrow
-(\exists(f:U\Rightarrow V).\,\forall(x:U).\,P(x,f(x)))
-\]
-
-\medskip
-
-{\footnotesize (Cet énoncé porte le nom d'\alert{axiome du choix} :
-  c'est un analogue pour la théorie des types de l'axiome du choix (de
-  Zermelo) en théorie des ensembles.)\par}
-
-\medskip
-
-\itempoint Si on voit $\forall$ et $\exists$ comme des types produit
-et \alert{somme} en famille respectivement, \alert{oui} :
-$\forall(x:U).\,\exists(y:V).\,P(x,y)$ représente une fonction qui
-prend un $x$ de type $U$ et renvoie un $y$ de type $V$ ainsi qu'un
-$P(x,y)$ correspondant : on peut collecter tous ces $y$ en une
-fonction $f : U \Rightarrow V$.
-
-\medskip
-
-\itempoint Si on voit $\exists$ comme un quantificateur
-\alert{logique}, alors \alert{non} : le $y$ renvoyé par $\exists$ ne
-peut servir qu'à l'intérieur d'une preuve, pas être collecté en une
-fonction.
-
-\medskip
-
-\itempoint C'est ici la différence principale entre des systèmes comme
-Coq (où l'énoncé ci-dessus ne sera pas prouvable pour $P : U\times V
-\to \mathit{Prop}$) et les systèmes à la Martin-Löf comme Agda (où
-Curry-Howard est suivi « jusqu'au bout » : il n'y a pas de $\exists$
-uniquement logique).
-
-\end{frame}
-%
-\begin{frame}
-\frametitle{Imprédicativité}
-
-\itempoint On appelle \textbf{imprédicativité} la possibilité de
-définir une proposition ou un type en quantifiant sur toutes les
-propositions ou types \alert{y compris celui qu'on définit} : c'est
-une forme de circularité.
-
-\medskip
-
-\itempoint P.ex., $\forall (Z:*).\, (Z \Rightarrow A)$ représente le
-type des fonctions capables de renvoyer un type $A$ à partir d'un type
-$Z$ quelconque, y compris celui qu'on définit.
-
-\smallskip
-
-Cette imprédicativité est utile pour définir des constructions sur les
-types.
-
-\medskip
-
-{\footnotesize
-
-Exemples (informellement, et en notant « $*$ » le « type des types »
-imprédicatif) :
-\begin{itemize}
-\item $A \; \cong \; \forall (Z:*).\, (Z \Rightarrow A)$ : donné une
-  valeur $x$ de type $A$ on peut en fabriquer une de type
-  $Z\Rightarrow A$ comme $\lambda(z:Z).\, x$ pour tout type $Z$, mais
-  réciproquement, donné une valeur de type $\forall (Z:*).\, (Z
-  \Rightarrow A)$ on peut l'appliquer à $Z = \top$ pour obtenir une
-  valeur de type $A$.
-\item $A \; \cong \; \forall (Z:*).\, ((A \Rightarrow Z) \Rightarrow
-  Z)$ : dans un sens on fabrique $\lambda(k:A \Rightarrow Z).\, kx$
-  comme pour le CPS, dans l'autre sens, appliquer à $Z = A$ et
-  l'identité.
-\item $\bot \; \cong \; \forall (Z:*).\, Z$
-\quad\itempoint $A\land B \; \cong \; \forall (Z:*).\, ((A \Rightarrow B
-  \Rightarrow Z) \Rightarrow Z)$
-\item $A\lor B \; \cong \; \forall (Z:*).\, ((A \Rightarrow Z)
-  \Rightarrow (B\Rightarrow Z) \Rightarrow Z)$
-\end{itemize}
-
-\par}
-
-\medskip
-
-\itempoint Cela \alert{peut} donner des incohérences logiques
-(paradoxe de Girard).
-
-\end{frame}
-%
-\section{Logique du premier ordre}
-\begin{frame}
-\frametitle{Logique du premier ordre : principe}
-
-\itempoint La \textbf{logique du premier ordre} ou \textbf{calcul des
-  prédicats} est la plus simple qui ajoute les quantificateurs.  Les
-« choses » sur lesquelles on a le droit de quantifier s'appellent des
-\textbf{individus}.
-
-\medskip
-
-\itempoint Côté typage, elle n'est pas très heureuse : les
-« individus » apparaissent comme un type unique, \textit{ad hoc},
-qu'on ne peut presque pas manipuler (la logique ne permet pas de faire
-des couples, fonctions, etc., des individus).
-
-\medskip
-
-\itempoint Néanmoins, elle a une \alert{grande importance
-  mathématique} car le dogme « orthodoxe » est que :
-\begin{center}
-Les mathématiques se font dans la « théorie des ensembles\\de
-Zermelo-Fraenkel en logique du premier ordre » ($\mathsf{ZFC}$).
-\end{center}
-
-Le manque d'expressivité de la logique (pas de couples, fonctions,
-etc.) est \alert{compensé par la théorie elle-même} (constructions
-ensemblistes des couples, fonctions, etc.).
-
-\medskip
-
-{\footnotesize\itempoint La \alert{sémantique} (Tarskienne) de la
-  logique du premier ordre a aussi des propriétés agréables (théorème
-  de complétude de Gödel).\par}
-
-\end{frame}
-%
-\begin{frame}
-\frametitle{Logique du premier ordre : sortes de variables et syntaxe}
-
-\itempoint En (pure) logique du premier ordre, on a diverses sortes de
-variables :
-\begin{itemize}
-\item les \textbf{variables d'individus} ($x$, $y$, $z$...) en nombre
-  illimité,
-\item les \textbf{variables de prédicats} $n$-aires, ou de
-  \textbf{relations} $n$-aires [entre individus] ($A^{(n)}$,
-  $B^{(n)}$, $C^{(n)}$...), pour chaque entier naturel $n$.
-\end{itemize}
-
-\medskip
-
-\itempoint L'indication d'arité des variables de prédicats est
-généralement omise (elle peut se lire sur la formule).
-
-\medskip
-
-\itempoint Une \textbf{formule} (logique) est (inductivement) :
-\begin{itemize}
-\item l'application $A^{(n)}(x_1,\ldots,x_n)$ d'une variable
-  propositionnelle à $n$ variables d'individus,
-\item l'application d'un connecteur : $(P\Rightarrow Q)$, $(P\land
-  Q)$, $(P\lor Q)$ où $P,Q$ sont deux formules, ou encore $\top$,
-  $\bot$,
-\item une quantification : $\forall x.P$ ou $\exists x.P$, qui
-  \alert{lie} la variable d'individu $x$ dans $P$.
-\end{itemize}
-
-\medskip
-
-\itempoint\alert{On ne peut quantifier que sur les individus
-  (« premier ordre »).}
-
-\end{frame}
-%
-\begin{frame}
-\frametitle{Exemples de formules du premier ordre}
-
-\itempoint Les \textbf{formules propositionnelles} sont encore des
-formules du premier ordre, en interprétant chaque variable
-propositionnelle comme une variable de prédicat $0$-aire
-(« nullaire ») : $A\land B \Rightarrow B\land A$ par exemple.
-
-\bigskip
-
-Autres exemples (qui seront par ailleurs tous démontrables) :
-\begin{itemize}
-\item $(\forall x.A(x)) \land (\exists x.\top) \Rightarrow (\exists
-  x.A(x))$ (ici, $A$ est un prédicat unaire)
-\item $(\forall x.\neg A(x)) \Leftrightarrow (\neg\exists x.A(x))$ (idem)
-\item $(\exists x.\neg A(x)) \Rightarrow (\neg\forall x.A(x))$ (idem)
-\item $(\exists x.A) \Leftrightarrow (\exists x.\top) \land A$ (ici,
-  $A$ est un prédicat \alert{nullaire})
-\item $(\forall x.A) \Leftrightarrow ((\exists x.\top) \Rightarrow A)$
-  (idem)
-\item $(\exists x.\forall y.B(x,y))\Rightarrow (\forall y.\exists
-  x.B(x,y))$ (ici, $B$ est un prédicat binaire)
-\end{itemize}
-
-\bigskip
-
-\textbf{N.B.} On a suivi la convention que $\forall,\exists$ ont une
-priorité plus faible que les connecteurs
-$\Rightarrow,\lor,\land,\neg$.  Tout le monde n'est pas d'accord avec
-cette convention !
-
-\smallskip
-
-\textbf{N.B.2 :} Il serait peut-être préférable de noter $Bxy$ que
-$B(x,y)$.
-
-\end{frame}
-%
-\begin{frame}
-\frametitle{Logique du premier ordre : aperçu des règles}
-
-\begin{tabular}{c|c|c}
-&Intro&Élim\\\hline
-$\Rightarrow$
-&\scalebox{0.65}{$\inferrule{\Gamma,{\color{mydarkgreen}P}\vdash Q}{\Gamma\vdash P\Rightarrow Q}$}
-&\scalebox{0.65}{$\inferrule{\Gamma\vdash P\Rightarrow Q\\\Gamma\vdash P}{\Gamma\vdash Q}$}
-\\\hline
-$\land$
-&\scalebox{0.65}{$\inferrule{\Gamma\vdash Q_1\\\Gamma\vdash Q_2}{\Gamma\vdash Q_1\land Q_2}$}
-&\scalebox{0.65}{$\inferrule{\Gamma\vdash Q_1\land Q_2}{\Gamma\vdash Q_1}$}
-\quad\scalebox{0.65}{$\inferrule{\Gamma\vdash Q_1\land Q_2}{\Gamma\vdash Q_2}$}
-\\\hline
-$\lor$
-&\scalebox{0.65}{$\inferrule{\Gamma\vdash Q_1}{\Gamma\vdash Q_1\lor Q_2}$}
-\quad\scalebox{0.65}{$\inferrule{\Gamma\vdash Q_2}{\Gamma\vdash Q_1\lor Q_2}$}
-&\scalebox{0.65}{$\inferrule{\Gamma\vdash P_1\lor P_2\\\Gamma,{\color{mydarkgreen}P_1}\vdash Q\\\Gamma,{\color{mydarkgreen}P_2}\vdash Q}{\Gamma\vdash Q}$}
-\\\hline
-$\top$
-&\scalebox{0.65}{$\inferrule{\strut}{\Gamma\vdash \top}$}
-&\scalebox{0.65}{(néant)}
-\\\hline
-$\bot$
-&\scalebox{0.65}{(néant)}
-&\scalebox{0.65}{$\inferrule{\Gamma\vdash \bot}{\Gamma\vdash Q}$
-(ou pour la logique classique : $\inferrule{\Gamma,\neg Q\vdash \bot}{\Gamma\vdash Q}$)}
-\\\hline
-$\forall$
-&$\inferrule{\Gamma, {\color{mydarkgreen}x}\vdash Q}{\Gamma\vdash \forall x. Q}$ ($x$ \alert{frais})
-&$\inferrule{\Gamma\vdash \forall x. Q}{\Gamma\vdash Q[x\backslash t]}$
-(v.l. de $t$ sont ds $\Gamma$)
-\\\hline
-$\exists$
-&$\inferrule{\Gamma\vdash Q[x\backslash t]}{\Gamma\vdash \exists x. Q}$
-(v.l. de $t$ sont ds $\Gamma$)
-&$\inferrule{\Gamma\vdash \exists x. P\\\Gamma, {\color{mydarkgreen}x}, {\color{mydarkgreen}P}\vdash Q}{\Gamma\vdash Q}$
-($x$ \alert{frais})
-\\
-\end{tabular}
-
-\smallskip
-
-\itempoint « $x$ frais » = « $x$ n'apparaît nulle part ailleurs »,
-cf. transp. suivants.
-
-\smallskip
-
-\itempoint $\Gamma$ peut contenir des formules et des variables
-d'individus « introduites libres ».
-
-\smallskip
-
-\itempoint « v.l. de $t$ sont ds $\Gamma$ » = les variables libres de
-$t$ doivent être dans $\Gamma$,
-cf. transp. \ref{caveat-inhabited-domain}.
-
-\end{frame}
-%
-\begin{frame}
-\frametitle{Règles d'introduction et d'élimination de $\forall$}
-
-\itempoint \underline{Introduction du $\forall$ :} pour montrer
-$\forall x. Q$, on s'arrange (quitte à renommer la variable liée) pour
-que $x$ soit « frais », c'est-à-dire qu'il n'apparaisse (libre) dans
-\alert{aucune hypothèse} en cours ($\Gamma$) : si on montre $Q$ sur ce
-$x$ « arbitraire », on peut conclure $\forall x. Q$.
-
-\smallskip
-
-{\footnotesize (Rédaction : « soit $x$ arbitraire (…) on a $Q(x)$ ;
-  donc $\forall x. Q(x)$ ».)\par}
-
-\bigskip
-
-\itempoint \underline{Élimination du $\forall$ :} pour utiliser
-$\forall x. Q$, on peut l'appliquer à un $t$ quelconque (en général un
-\alert{terme}, mais ici nos seuls termes d'individus sont des
-variables), dont les variables libres \alert{doivent} apparaître dans
-$\Gamma$.
-
-\smallskip
-
-{\footnotesize (Rédaction : « on a $\forall x. Q(x)$ ; en particulier,
-  on a $Q(t)$ ».)\par}
-
-\end{frame}
-%
-\begin{frame}
-\frametitle{Règles d'introduction et d'élimination de $\exists$}
-
-\itempoint \underline{Introduction du $\exists$ :} pour montrer
-$\exists x. Q$, on peut le montrer sur un $t$ quelconque (en général
-un terme), dont les variables libres \alert{doivent} apparaître dans
-$\Gamma$.
-
-\smallskip
-
-{\footnotesize (Rédaction : « on a $Q(t)$ ; en particulier, on a
-  $\exists x. Q(x)$ ».)\par}
-
-\bigskip
-
-\itempoint \underline{Élimination du $\exists$ :} pour utiliser
-$\exists x. P$ pour montrer une conclusion $Q$, on s'arrange (quitte à
-renommer la variable liée) pour que $x$ soit « frais », c'est-à-dire
-qu'il n'apparaisse (libre) dans \alert{aucune hypothèse} en cours
-($\Gamma$) \alert{ni dans la conclusion} $Q$ : si on montre $Q$ à
-partir de $P$ sur ce $x$ « arbitraire », on peut conclure $Q$ à partir
-de $\exists x. P$.
-
-\smallskip
-
-{\footnotesize (Rédaction : « on a $\exists x. P(x)$ : soit $x$
-  arbitraire tel que $P(x)$ (…) on a $Q$ ; donc $Q$ ».)\par}
-
-\medskip
-
-Cette règle est désagréable comme celle d'élimination du $\lor$ (il
-faut démontrer la même conclusion $Q$ indépendamment du cas).  Elle
-est moins désagréable en calcul des séquents :
-\[
-\inferrule{\Gamma, x, P\vdash Q}{\Gamma, \exists x. P\vdash Q}
-\text{\quad($x$ \alert{frais})}
-\]
-
-\end{frame}
-%
-\begin{frame}
-\frametitle{Exemple de preuve en logique du premier ordre}
-
-{\footnotesize
-
-\[
-\inferrule*[left={$\Rightarrow$Int}]{
-\inferrule*[Left={$\forall$Int}]{
-\inferrule*[Left={$\exists$Élim}]{
-\inferrule*[Left={Ax}]{ }{\exists x.\forall y.B(x,y) \vdash \exists x.\forall y.B(x,y)}
-\\
-\inferrule*[Right={$\exists$Int}]{
-\inferrule*[Right={$\forall$Élim}]{
-\inferrule*[Right=Ax]{ }{x,\;\forall y.B(x,y),\;y' \vdash \forall y.B(x,y)}
-}{x,\;\forall y.B(x,y),\;y' \vdash B(x,y')}
-}{x,\;\forall y.B(x,y),\;y' \vdash \exists x'.B(x',y')}
-}{\exists x.\forall y.B(x,y),\;y' \vdash \exists x'.B(x',y')}
-}{\exists x.\forall y.B(x,y) \vdash \forall y'.\exists x'.B(x',y')}
-}{\vdash (\exists x.\forall y.B(x,y))\Rightarrow (\forall y'.\exists x'.B(x',y'))}
-\]
-
-}
-
-Présentation avec les seules conclusions :
-
-{\footnotesize
-
-\[
-\inferrule*[left={$\Rightarrow$Int(\textcolor{mydarkgreen}{$u$})}]{
-\inferrule*[Left={$\forall$Int(\textcolor{mydarkgreen}{$y'$})}]{
-\inferrule*[Left={$\exists$Élim(\textcolor{mydarkgreen}{$x$},\textcolor{mydarkgreen}{$v$})}]{
-\inferrule*[Left={\textcolor{mydarkgreen}{$u$}}]{ }{\exists x.\forall y.B(x,y)}
-\\
-\inferrule*[Right={$\exists$Int}]{
-\inferrule*[Right={$\forall$Élim}]{
-\inferrule*[Right={\textcolor{mydarkgreen}{$v$}}]{ }{\forall y.B(x,y)}
-}{B(x,y')}
-}{\exists x'.B(x',y')}
-}{\exists x'.B(x',y')}
-}{\forall y'.\exists x'.B(x',y')}
-}{(\exists x.\forall y.B(x,y))\Rightarrow (\forall y'.\exists x'.B(x',y'))}
-\]
-
-}
-
-\end{frame}
-%
-\begin{frame}
-\frametitle{Exemple de preuve : présentation drapeau}
-
-{\footnotesize
-\begin{flagderiv}[example-1st-order-proof]
-\assume{mainhyp}{\exists x.\forall y.B(x,y)}{}
-\assume{vary}{y'}{}
-\assume{exhyp}{x,\;\forall y.B(x,y)}{}
-\step{bare}{B(x,y')}{$\forall$Élim sur \ref{exhyp} et $y$}
-\step{exbare}{\exists x'.B(x',y')}{$\exists$Int sur $x$ et \ref{bare}}
-\conclude{extrude}{\exists x'.B(x',y')}{$\exists$Elim sur \ref{mainhyp} de \ref{exhyp} dans \ref{exbare}}
-\conclude{mainconc}{\forall y'.\exists x'.B(x',y')}{$\forall$Intro de \ref{vary} dans \ref{extrude}}
-\conclude{}{(\exists x.\forall y.B(x,y))\Rightarrow(\forall y'.\exists x'.B(x',y'))}{$\Rightarrow$Intro de \ref{mainhyp} dans \ref{mainconc}}
-\end{flagderiv}
-\par}
-
-\smallskip
-
-{\footnotesize « Supposons $\exists x.\forall y.B(x,y)$.  Considérons
-  un $y'$ arbitraire.  Considérons un $x$ tel que $\forall y.B(x,y)$.
-  En particulier, on a $B(x,y')$.  En particulier, $\exists
-  x'.B(x',y')$.  Or on pouvait trouver un tel $x$ car $\exists
-  x.\forall y.B(x,y)$, donc on a bien la conclusion $\exists
-  x'.B(x',y')$.  Le choix de $y'$ étant arbitraire, $\forall
-  y'. \exists x'. B(x',y')$.  Finalement, on a prouvé $(\exists
-  x.\forall y.B(x,y))\Rightarrow(\forall y'.\exists
-  x'.B(x',y'))$. »\par\strut\par}
-
-\end{frame}
-%
-\begin{frame}
-\label{caveat-inhabited-domain}
-\frametitle{Pourquoi des variables d'individus avec les hypothèses ?}
-
-\itempoint L'introduction d'une variable d'individu libre porte en
-elle l'hypothèse que \alert{l'univers des individus est habité}
-($\exists x. \top$).  Ce fait \alert{n'est pas prouvable} sans cette
-hypothèse.  On a $z \vdash \exists x.\top$ (ici $z$ variable qcque)
-mais \alert{on n'a pas} $\vdash \exists x.\top$.
-
-\medskip
-
-\itempoint Exiger que les variables d'individus libres dans le terme
-$t$ soient déjà dans $\Gamma$ permet d'écarter la démonstration
-\alert{incorrecte} suivante :
-\[
-\inferrule*[left={$\exists$Int}]{
-\inferrule*[Left={$\top$Int}]{ }{\vdash\top}
-}{\vdash\exists x.\top}
-\]
-
-\medskip
-
-\itempoint En revanche, celle-ci \alert{est correcte} (en utilisant le
-terme $z$ pour $t$ dans $\exists$Int) :
-\[
-\inferrule*[left={$\forall$Int}]{
-\inferrule*[Left={$\exists$Int}]{
-\inferrule*[Left={$\top$Int}]{ }{z\vdash\top}
-}{z\vdash\exists x.\top}
-}{\vdash\forall z.\exists x.\top}
-\]
-
-\medskip
-
-\textbf{N.B.} Ces problèmes n'ont rien à voir avec la logique
-intuitionniste, ils sont identiques en logique classique.  On
-\alert{n'a pas} non plus $\forall x.A(x) \Rightarrow \exists x.A(x)$.
-
-\end{frame}
-%
-\end{document}