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%
\title{Calculabilité}
\subtitle{INF110 (Logique et Fondements de l'Informatique)}
\author[David Madore]{David A. Madore\\
{\footnotesize Télécom Paris}\\
\texttt{david.madore@enst.fr}}
\date{2023–2024}
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\begin{document}
\mode<article>{\maketitle}
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%
\begin{frame}
\titlepage
{\footnotesize\center{\url{http://perso.enst.fr/madore/inf110/transp-inf110.pdf}}\par}
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\end{frame}
%
\section*{Plan}
\begin{frame}
\frametitle{Plan}
\tableofcontents
\end{frame}
%
\section{Introduction}
\begin{frame}
\frametitle{Qu'est-ce que la calculabilité ?}

\itempoint À l'interface entre \textbf{logique mathématique} et
\textbf{informatique théorique}
\begin{itemize}
\item née de préoccupations venues de la logique (Hilbert, Gödel),
\item à l'origine des 1\textsuperscript{ers} concepts informatiques
  ($\lambda$-calcul, machine de Turing).
\end{itemize}

\bigskip

\itempoint But : étudier les limites de ce que \textbf{peut ou ne peut
  pas faire un algorithme}
\begin{itemize}
\item sans limite de ressources (temps, mémoire juste « finis »),
\item sans préoccupation d'efficacité ($\neq$ complexité, algorithmique),
\item y compris résultats négatifs (« \emph{aucun} algorithme ne peut… »),
\item voire relatifs (calculabilité relative),
\item admettant diverses généralisations (calculabilité supérieure).
\end{itemize}

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Quelques noms}

\itempoint Muḥammad ibn Mūsá al-\b{H}wārizmī (v.780–v.850) :
$\rightsquigarrow$« algorithme »

\itempoint Blaise Pascal (1623–1662) : machine à calculer
$\rightsquigarrow$automates

\itempoint Charles Babbage (1791–1871) : \textit{Analytical Engine} (Turing-complète !)

\itempoint Ada (née Byron) Countess of Lovelace (1815–1852) : programmation

\itempoint Richard Dedekind (1831–1916) : définitions primitives récursives

\itempoint David Hilbert (1862–1943) : \textit{Entscheidungsproblem}
(décider la vérité)

\itempoint Jacques Herbrand (1908–1931) : fonctions générales récursives

\itempoint Kurt Gödel (1906–1978) : incomplétude en logique

\itempoint Alonzo Church (1903–1995) : $\lambda$-calcul

\itempoint Alan M. Turing (1912–1954) : machine de Turing, problème de l'arrêt

\itempoint Emil Post (1897–1954) : ensembles calculablement énumérables

\itempoint Stephen C. Kleene (1909–1994) : $\mu$-récursion, th. de récursion, forme normale

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Fonction calculable}

« Définition » : une fonction $f$ est \textbf{calculable}
quand il existe un algorithme qui
\begin{itemize}
\item prenant en entrée un $x$ du domaine de définition de $f$,
\item \textbf{termine en temps fini},
\item et renvoie la valeur $f(x)$.
\end{itemize}

\bigskip

Difficultés :
\begin{itemize}
\item Comment définir ce qu'est un algorithme ?
\item Quel type de valeurs ?
\item Et si l'algorithme ne termine pas ?
\item Distinction entre intention (l'algorithme) et extension (la fonction).
\end{itemize}

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Sans préoccupation d'efficacité}

\itempoint La calculabilité \alert{ne s'intéresse pas à l'efficacité}
des algorithmes qu'elle étudie, uniquement leur \textbf{terminaison en
  temps fini}.

\medskip

P.ex. : pour savoir si $n$ est premier, on peut tester si $i\times
j=n$ pour tout $i$ et $j$ allant de $2$ à $n-1$.  (Hyper inefficace ?
On s'en fout.)

\bigskip

\itempoint La calculabilité \alert{n'a pas peur des grands entiers}.

\medskip

P.ex. : \textbf{fonction d'Ackermann} définie par :
\[
\begin{aligned}
A(m,n,0) &= m+n \\
A(m,1,k+1) &= m \\
A(m,n+1,k+1) &= A(m,\,A(m,n,k+1),\,k)
\end{aligned}
\]
définition algorithmique (par appels récursifs), donc calculable.

\smallskip

Mais $A(2,6,3) = 2^{2^{2^{2^{2^2}}}} = 2^{2^{65\,536}}$ et $A(2,4,4) =
A(2,65\,536,3)$ est inimaginablement grand (et que dire de
$A(100,100,100)$ ?).

$\Rightarrow$ Ingérable sur un vrai ordinateur.

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Approches de la calculabilité}

\itempoint Approche informelle : \textbf{algorithme = calcul
  finitiste} mené par un humain ou une machine, selon des instructions
précises, en temps fini, sur des données finies

\medskip

\itempoint Approche pragmatique : tout ce qui peut être fait sur un
langage de programmation « Turing-complet » (Python, Java, C, Caml…)
idéalisé
\begin{itemize}
\item sans limites d'implémentation (p.ex., entiers arbitraires !),
\item sans source de hasard ou de non-déterminisme.
\end{itemize}

\medskip

\itempoint Approches formelles, p.ex. :
\begin{itemize}
\item fonctions générales récursives (Herbrand-Gödel-Kleene),
\item $\lambda$-calcul (Church) ($\leftrightarrow$ langages fonctionnels),
\item machine de Turing (Turing),
\item machines à registres (Post…).
\end{itemize}

\bigskip

\itempoint\textbf{« Thèse » de Church-Turing} : \alert{tout ceci
  donne la même chose}.

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Thèse de Church-Turing}

\itempoint\textbf{Théorème} (Post, Turing) : les fonctions (disons
$\mathbb{N} \dasharrow \mathbb{N}$) \textbf{(1)} générales récursives,
\textbf{(2)} exprimables en $\lambda$-calcul, et
\textbf{(3)} calculables par machine de Turing, coïncident toutes.

\smallskip

$\Rightarrow$ On parle de \alert{calculabilité au sens de Church-Turing}.

\bigskip

\itempoint\textbf{Observation} : tous les langages de programmation
informatiques généraux usuels, idéalisés, calculent aussi exactement
ces fonctions ($\rightarrow$ « Turing-complets »).

\bigskip

\itempoint\textbf{Thèse philosophique} : la calculabilité de C-T
définit précisément la notion d'algorithme finitiste.

\bigskip

\itempoint\textbf{Conjecture physique} : la calculabilité de C-T
correspond aux calculs réalisables mécaniquement dans l'Univers (en
temps/énergie finis mais illimités).

{\footnotesize $\uparrow$ (même avec un ordinateur quantique)}

\bigskip

Pour toutes ces raisons, le sujet mérite d'être étudié !

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Données finies}

Un algorithme travaille sur des \textbf{données finies}.

\medskip

Qu'est-ce qu'une « donnée finie » ?  Tout objet représentable
informatiquement : booléen, entier, chaîne de caractères, structure,
liste/tableau de ces choses, ou même plus complexe (p.ex., graphe).

\medskip

$\rightarrow$ Comment y voir plus clair ?

\bigskip

Deux approches opposées :
\begin{itemize}
\item\textbf{typage} : distinguer toutes ces sortes de données,
\item\textbf{codage de Gödel} : tout représenter comme des entiers !
\end{itemize}

\bigskip

Le typage est plus élégant, plus satisfaisant, plus proche de
l'informatique réelle.

\smallskip

Le codage de Gödel simplifie l'approche/définition de la calculabilité
(on étudie juste des fonctions $\mathbb{N} \dasharrow \mathbb{N}$).

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Codage de Gödel (« tout est un entier »)}

\itempoint Représenter \textbf{n'importe quelle donnée finie par un
  entier}.

\bigskip

\itempoint Codage des couples : par exemple,
\[
\langle m,n\rangle := m + \frac{1}{2}(m+n)(m+n+1)
\]
définit une bijection calculable $\mathbb{N}^2 \to \mathbb{N}$
(calculable dans les deux sens).

\bigskip

\itempoint Codage des listes finies : par exemple,
\[
\dbllangle a_0,\ldots,a_{k-1}\dblrangle
:= \langle a_0, \langle a_1, \langle\cdots,\langle a_{k-1},0\rangle+1\cdots\rangle+1\rangle+1
\]
définit une bijection calculable $\{\text{suites finies dans $\mathbb{N}$}\} \to \mathbb{N}$ {\footnotesize (avec $\dbllangle\dblrangle := 0$)}.

\bigskip

\itempoint Il sera aussi utile de représenter les \alert{programmes} par des
entiers.

\bigskip

\itempoint Les détails précis du codage sont \textbf{sans importance}.

\bigskip

\itempoint\textcolor{orange}{Ne pas utiliser dans la vraie vie} (hors calculabilité) !

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Fonctions partielles}

\itempoint Même si on s'intéresse à des algorithmes qui
\textbf{terminent}, la définition de la calculabilité \alert{doit
  forcément} passer aussi par ceux qui ne terminent pas.

{\footnotesize (Aucun langage Turing-complet ne peut exprimer
  uniquement des algorithmes qui terminent toujours, à cause de
  l'indécidabilité du problème de l'arrêt.)\par}

\bigskip

\itempoint Lorsque l'algorithme censé calculer $f(n)$ ne termine pas,
on dira que $f$ n'est pas définie en $n$, et on notera $f(n)\uparrow$.
Au contraire, s'il termine, on note $f(n)\downarrow$.

\bigskip

\itempoint Notation : $f\colon \mathbb{N} \dasharrow \mathbb{N}$ :
une fonction $D \to \mathbb{N}$ définie sur une partie $D \subseteq
\mathbb{N}$.

\itempoint Notation : $f(n) \downarrow$ signifie « $n \in D$ », et $f(n)
\uparrow$ signifie « $n \not\in D$ ».

\itempoint Notation : $f(n) \downarrow = g(m)$ signifie
« $f(n)\downarrow$ et $g(m)\downarrow$ et $f(n) = g(m)$ ».

\itempoint Convention : $f(n) = g(m)$ signifie « $f(n)\downarrow$ ssi
$g(m)\downarrow$, et $f(n) = g(m)$ si $f(n)\downarrow$ ».  (Certains
préfèrent écrire $f(n) \simeq g(m)$ pour ça.)

\medskip

\itempoint Convention : si $g_i(\underline{x})\uparrow$ pour un $i$,
on convient que
$h(g_1(\underline{x}),\ldots,g_k(\underline{x}))\uparrow$.

\medskip

\itempoint Terminologie : une fonction $f\colon \mathbb{N} \to
\mathbb{N}$ est dite \textbf{totale}.

{\footnotesize Une fonction totale est un \alert{cas particulier} de
  fonction partielle !\par}

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Terminologie à venir (avant-goût)}

\itempoint Une fonction partielle $f\colon \mathbb{N} \dasharrow
\mathbb{N}$ est dite \textbf{calculable} (partielle) lorsqu'il existe
un algorithme qui prend $n$ en entrée et :
\begin{itemize}
\item termine (en temps fini) et renvoie $f(n)$ lorsque $f(n)\downarrow$,
\item ne termine pas lorsque $f(n)\uparrow$.
\end{itemize}

\bigskip

\itempoint Une partie $A \subseteq \mathbb{N}$ est dite
\textbf{décidable} lorsque sa fonction indicatrice
$\mathbb{N}\to\mathbb{N}$
\[
\mathbf{1}_A\colon n \mapsto \left\{
\begin{array}{ll}
1&\text{~si~}n\in A\\
0&\text{~si~}n\not\in A\\
\end{array}
\right.
\]
est calculable (répondre « oui » ou « non » selon que $n\in A$ ou $n\not\in A$).

\bigskip

\itempoint Une partie $A \subseteq \mathbb{N}$ est dite
\textbf{semi-décidable} lorsque sa fonction partielle « semi-indicatrice »
$\mathbb{N}\dasharrow\mathbb{N}$ (d'ensemble de définition $A$)
\[
n \mapsto \left\{
\begin{array}{ll}
1&\text{~si~}n\in A\\
\uparrow&\text{~si~}n\not\in A\\
\end{array}
\right.
\]
est calculable (répondre « oui » ou « ... » selon que $n\in A$ ou $n\not\in A$).

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Point terminologique : « récursif »}

Le mot « récursif » et ses cognats (« récursion », « récursivité ») a
plusieurs sens \alert{apparentés mais non identiques} :
\begin{itemize}
\item « récursif » = « défini par récurrence » (Dedekind 1888)
  $\rightarrow$ fonctions primitives récursives, générales
  récursives (cf. après) ;
\item « récursif » = « calculable » (par glissement à cause de la
  définition de la calculabilité par les fonctions générales
  récursives) ;
\item « récursif » = « faisant appel à lui-même dans sa définition »
  (appels récursifs, récursivité en informatique).
\end{itemize}

\bigskip

On va définir les fonctions « \textbf{primitives récursives} »
(1\textsuperscript{er} sens) et « \textbf{(générales) récursives} »
(1\textsuperscript{er} et aussi 2\textsuperscript{e} sens) ci-après.

\medskip

Pour le 3\textsuperscript{e} sens, on dira « appels récursifs ».

\end{frame}
%
\section{Fonctions primitives récursives}
\begin{frame}
\frametitle{Fonctions primitives récursives : aperçu}

\itempoint Avant de définir les fonctions générales récursives
($\cong$ calculables), on va commencer par les \textbf{primitives
  récursives}, plus restreintes.

{\footnotesize« primitive\alert{ment} récursives » ?\par}

\bigskip

\itempoint Historiquement antérieures à la calculabilité de
Church-Turing.

\bigskip

\itempoint Pédagogiquement utile comme « échauffement ».

\bigskip

\itempoint À cheval entre calculabilité (\textbf{PR} est une petite
classe de calculabilité) et complexité (c'est une grosse classe de
complexité).

\bigskip

\itempoint Correspond à des programmes à \textbf{boucles bornées a
  priori}.

\bigskip

\itempoint Énormément d'algorithmes usuels sont p.r.

\bigskip

\itempoint Mais pas tous : p.ex. la fonction d'Ackermann n'est pas p.r.

\end{frame}
%
\begin{frame}
\label{primitive-recursive-definition}
\frametitle{Fonctions primitives récursives : définition}

\itempoint $\textbf{PR}$ est la plus petite classe de fonctions
$\mathbb{N}^k \dasharrow \mathbb{N}$ (en fait $\mathbb{N}^k \to
\mathbb{N}$), pour $k$ variable qui :
\begin{itemize}
\item contient les projections $\underline{x} := (x_1,\ldots,x_k)
  \mapsto x_i$ ;
\item contient les constantes $\underline{x} \mapsto c$ ;
\item contient la fonction successeur $x \mapsto x+1$ ;
\item est stable par composition : si $g_1,\ldots,g_\ell\colon
  \mathbb{N}^k \dasharrow \mathbb{N}$ et $h\colon \mathbb{N}^\ell
  \dasharrow \mathbb{N}$ sont p.r. alors $\underline{x} \mapsto
  h(g_1(\underline{x}),\ldots, g_\ell(\underline{x}))$ est p.r. ;
\item est stable par récursion primitive : si $g\colon \mathbb{N}^k
  \dasharrow \mathbb{N}$ et $h\colon \mathbb{N}^{k+2} \dasharrow
  \mathbb{N}$ sont p.r., alors $f\colon \mathbb{N}^{k+1} \dasharrow
  \mathbb{N}$ est p.r., où :
\[
\begin{aligned}
f(\underline{x},0) &= g(\underline{x})\\
f(\underline{x},z+1) &= h(\underline{x},f(\underline{x},z),z)
\end{aligned}
\]
\end{itemize}

\medskip

{\footnotesize Les fonctions p.r. sont automatiq\textsuperscript{t}
  totales, mais il est commode de garder la définition avec
  $\dasharrow$.\par}

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Fonctions primitives récursives : exemples}

\itempoint $f\colon (x,z) \mapsto x+z$ est p.r. :
\[
\begin{aligned}
f(x,0) &= x\\
f(x,z+1) &= f(x,z)+1
\end{aligned}
\]
{\footnotesize où $x \mapsto x$ et $(x,y,z) \mapsto y+1$ sont p.r.\par}

\medskip

\itempoint $f\colon (x,z) \mapsto x\cdot z$ est p.r. :
\[
\begin{aligned}
f(x,0) &= 0\\
f(x,z+1) &= f(x,z)+x
\end{aligned}
\]

\medskip

\itempoint $f\colon (x,z) \mapsto x^z$ est p.r.

\bigskip

\itempoint $f\colon (x,y,0) \mapsto x, \; (x,y,z) \mapsto y\text{~si~}z\geq 1$ est p.r. :
\[
\begin{aligned}
f(x,y,0) &= x\\
f(x,y,z+1) &= y
\end{aligned}
\]

\medskip

\itempoint $(u,v) \mapsto \max(u-v,0)$ est p.r. (exercice !)
ou même $u\% v$.

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Fonctions primitives récursives : programmation}

Les fonctions p.r. sont celles définies par un \textbf{langage de
  programmation à boucles bornées}, c'est-à-dire que :
\begin{itemize}
\item les variables sont des entiers naturels (illimités !),
\item les manipulations de base sont permises (constantes,
  affectations, test d'égalité, conditionnelles),
\item les opérations arithmétiques basiques sont disponibles,
\item on peut faire des appels de fonctions \alert{sans appels récursifs},
\item on ne peut faire que des boucles \alert{de nombre borné
  \textit{a priori}} d'itérations.
\end{itemize}

\medskip

Les programmes dans un tel langage \textbf{terminent forcément par
  construction}.

\bigskip

\textbf{N.B.} $(m,n) \mapsto \langle m,n\rangle := m +
\frac{1}{2}(m+n)(m+n+1)$ et $\langle m,n\rangle \mapsto m$ et $\langle
m,n\rangle \mapsto n$ sont p.r.

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Fonctions primitives récursives : lien avec la complexité}

En anticipant sur la notion de machine de Turing :

\medskip

\itempoint La fonction $(M,C) \mapsto C'$ qui à une machine de Turing
$M$ et une configuration (= ruban+état) $C$ de $M$ associe la
configuration suivante \textbf{est p.r.}

\medskip

\itempoint Conséquence : la fonction $(n,M,C) \mapsto C^{(n)}$ qui à
$n\in\mathbb{N}$ et une machine de Turing $M$ et une configuration $C$
de $M$ associe la configuration atteinte après $n$ étapes d'exécution,
\textbf{est p.r.}

{\footnotesize (Par récursion primitive sur le point précédent.)}

\medskip

\itempoint Conséquence : une fonction calculable en complexité
p.r. par une machine de Turing est elle-même p.r.

\smallskip

{\footnotesize (Calculer une borne p.r. sur le nombre d'étapes, puis
  appliquer le point précédent.)}

\medskip

\itempoint Réciproquement : une p.r. est calculable en complexité p.r.

\medskip

\itempoint Moralité : p.r. $\Leftrightarrow$ de complexité p.r.

\smallskip

{\footnotesize Notamment $\textbf{EXPTIME} \subseteq \textbf{PR}$.\par}

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Fonctions primitives récursives : limitations}

{\footnotesize La classe $\textbf{PR}$ est « à cheval » entre la
  calculabilité et la complexité.\par}

\bigskip

Rappel : la \textbf{fonction d'Ackermann} (pour $m=2$) définie par :
\[
\begin{aligned}
A(2,n,0) &= 2+n \\
A(2,1,k+1) &= 2 \\
A(2,n+1,k+1) &= A(2,\,A(2,n,k+1),\,k)
\end{aligned}
\]
devrait être calculable.  Mais cette définition \alert{n'est pas une
  récursion primitive} (pourquoi ?).

\bigskip

\itempoint On peut montrer que : si $f \colon \mathbb{N}^k \to
\mathbb{N}$ est p.r., il existe $r$ tel que
\[
f(x_1,\ldots,x_k) \leq A(2,\, (x_1+\cdots+x_k+2),\, r)
\]

\medskip

\itempoint Notamment, $r \mapsto A(2, 2, r)$ \textbf{n'est pas p.r.}

\medskip

Pourtant, \alert{elle est bien définie par un algorithme} clair (et
terminant clairement).

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Fonctions primitives récursives : numérotation (idée)}

\itempoint On veut \alert{coder} les fonctions p.r. {\footnotesize (et
  plus tard : gén\textsuperscript{ales} récursives)} \alert{par des
  entiers}.

\bigskip

\itempoint Pour (certains) entiers $e \in \mathbb{N}$, on va définir
$\psi_e^{(k)}\colon \mathbb{N}^k \to \mathbb{N}$ primitive récursive,
la fonction p.r. \alert{codée} par $e$ ou ayant $e$ comme
\textbf{code} (source).

\bigskip

\itempoint Toute fonction p.r. $f\colon \mathbb{N}^k \to \mathbb{N}$
sera un $\psi_e^{(k)}$ pour un certain $e$.

\smallskip

\itempoint Ce $e$ décrit la manière dont $f$ est construite selon la
définition de $\mathbf{PR}$
(cf. transp. \ref{primitive-recursive-definition}).

\smallskip

\itempoint Il faut l'imaginer comme le \alert{code source} de $f$ (au
sens informatique).

\smallskip

\itempoint Il n'est \alert{pas du tout unique} : $f = \psi_{e_1}^{(k)}
= \psi_{e_2}^{(k)} = \cdots$

\bigskip

{\footnotesize

\itempoint On va ensuite se demander si $(e,\underline{x}) \mapsto
\psi_e^{(k)}(\underline{x})$ est \alert{elle-même p.r.} (divulgâchis :
\alert{non}).

\par}

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Fonctions primitives récursives : numérotation (définition)}

On définit $\psi_e^{(k)}\colon \mathbb{N}^k \dasharrow \mathbb{N}$ par
induction suivant la déf\textsuperscript{n} de $\mathbf{PR}$
(cf. transp. \ref{primitive-recursive-definition}) :
\begin{itemize}
\item si $e = \dbllangle 0, k, i\dblrangle$ alors
  $\psi_e^{(k)}(x_1\ldots,x_k) = x_i$ (projections) ;
\item si $e = \dbllangle 1, k, c\dblrangle$ alors
  $\psi_e^{(k)}(x_1\ldots,x_k) = c$ (constantes) ;
\item si $e = \dbllangle 2\dblrangle$ alors
  $\psi_e^{(k)}(x) = x+1$ (successeur) ;
\item si $e = \dbllangle 3, k, d, c_1,\ldots,c_\ell\dblrangle$ et $g_i
  := \psi_{c_i}^{(k)}$ et $h := \psi_d^{(\ell)}$, alors
  $\psi_e^{(k)} \colon \underline{x} \mapsto
  h(g_1(\underline{x}),\ldots, g_\ell(\underline{x}))$ (composition) ;
\item si $e = \dbllangle 4, k, d, c\dblrangle$ et $g :=
  \psi_c^{(k)}$ et $h := \psi_d^{(k+2)}$, alors (récursion primitive)
\[
\begin{aligned}
\psi_e^{(k+1)}(\underline{x},0) &= g(\underline{x})\\
\psi_e^{(k+1)}(\underline{x},z+1) &= h(\underline{x},f(\underline{x},z),z)
\end{aligned}
\]
\end{itemize}
(Autres cas non définis, i.e., donnent $\uparrow$.)

\bigskip

\itempoint Alors $f\colon \mathbb{N}^k \dasharrow \mathbb{N}$ est
p.r. \alert{ssi} $\exists e \in\mathbb{N}.\,(f = \psi_e^{(k)})$.

{\tiny P.ex., $e = \dbllangle 4,1,\dbllangle 3,3,\dbllangle
  2\dblrangle,\dbllangle 0,3,2\dblrangle\dblrangle,\dbllangle
  0,1,1\dblrangle\dblrangle$ définit $\psi^{(2)}_e(x,z) = x+z$ sauf
  erreur (probable) de ma part.\par}

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Manipulation de programmes (version p.r.)}

\itempoint Penser à $e$ dans $\psi_e^{(k)}$ comme un programme écrit
en « langage p.r. ».

\medskip

\itempoint La fonction $\psi_e^{(k)}\colon \mathbb{N}^k \dasharrow
\mathbb{N}$ « interprète » le programme $e$.

\medskip

\itempoint Une fonction p.r. a généralement \alert{beaucoup d'indices} :
$\psi_{e_1}^{(k)} = \psi_{e_2}^{(k)} = \cdots$ (programmes équivalents).

\medskip

\centerline{*}

\bigskip

La numérotation (transp. précédent) rend p.r. beaucoup de
manipulations usuelles de programmes (composition, récursion, etc.).
Notamment :

\medskip

\itempoint\textbf{Théorème s-m-n} (Kleene) : il existe $s_{m,n} \colon
\mathbb{N}^{m+1} \to \mathbb{N}$ p.r. telle que
\[
(\forall e,\underline{x},\underline{y})\quad
\psi^{(n)}_{s_{m,n}(e,x_1,\ldots,x_m)}(y_1,\ldots,y_n) =
\psi^{(m+n)}_e(x_1,\ldots,x_m,\,y_1,\ldots,y_n)
\]

{\footnotesize\underline{Preuve :} $s_{m,n}(e,\underline{x}) =
  \dbllangle 3, n, e, \dbllangle 1, n, x_1\dblrangle, \ldots,
  \dbllangle 1, n, x_m\dblrangle, \; \dbllangle 0, n, 1\dblrangle,
  \ldots, \dbllangle 0, n, n\dblrangle \dblrangle$ avec nos
  conventions (composition de fonctions constantes et de
  projections).\qed\par}

\medskip

\emph{En clair :} $s_{m,n}$ prend un programme $e$ qui prend $m+n$
arguments en entrée et « fixe » la valeur des $m$ premiers arguments à
$x_1,\ldots,x_m$, les $n$ arguments suivants ($y_1,\ldots,y_n$) étant
gardés variables.

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Digression : l'astuce de Quine (intuition)}

{\footnotesize Le nom de Willard Van Orman Quine (1908–2000) a été
  associé à cette astuce par Douglas Hofstadter.  En fait, l'astuce
  est plutôt due à Cantor, Gödel, Turing ou Kleene.\par}

\smallskip

\textcolor{teal}{Les mots suivants suivis des mêmes mots entre
  guillemets forment une phrase intéressante : « les mots suivants
  suivis des mêmes mots entre guillemets forment une phrase
  intéressante ».}

\bigskip

Pseudocode :

\smallskip

{\footnotesize\texttt{%
str="somefunc(code) \{ /*...*/ \}\textbackslash nsomefunc(\textbackslash"str=\textbackslash"+quote(str)+str);\textbackslash n";\\
somefunc(code) \{ /*...*/ \}\\
somefunc("str="+quote(str)+str);
}\par}

\smallskip

$\Rightarrow$ La fonction \texttt{somefunc} (arbitraire) est appelée
avec le code source du programme \alert{tout entier}.

\medskip

{\footnotesize\textbf{Exercice :} utiliser cette astuce pour écrire un
  programme écrivant son propre code source.\par}

\bigskip

\textcolor{blue}{\textbf{Moralité :}} \alert{on peut toujours donner aux programmes
  accès à leur code source}, même si ce n'est pas prévu par le
langage.

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Le théorème de récursion de Kleene (version p.r.)}

Version formelle de l'astuce de Quine

\smallskip

\itempoint\textbf{Théorème} (Kleene) : si $h \colon \mathbb{N}^{k+1}
\dasharrow \mathbb{N}$ est p.r., il existe $e$ tel que
\[
(\forall\underline{x})\quad \psi^{(k)}_e(\underline{x}) = h(e,\underline{x})
\]
Plus précisément, il existe $b \colon \mathbb{N}^2 \to \mathbb{N}$
p.r. telle que
\[
(\forall\underline{x})\quad \psi^{(k)}_e(\underline{x}) = \psi^{(k+1)}_d(e,\underline{x})
\text{~si~}e := b(k,d)
\]

\bigskip

\underline{Preuve :} soit $s := s_{m,1}$ donné par le théorème s-m-n.
La fonction $(t,\underline{x}) \mapsto h(s(t,t),\underline{x})$ est
p.r., disons $= \psi_c^{(k+1)}(\underline{x})$.  Alors
\[
\psi_{s(c,c)}^{(k)}(\underline{x})
= \psi_{c}^{(k+1)}(c, \underline{x})
= h(s(c,c),\underline{x})
\]
donc $e := s(c,c)$ convient.  Les fonctions $d \mapsto c \mapsto e$
sont p.r.\qed

\bigskip

\textcolor{blue}{\textbf{Moralité :}} \alert{on peut donner aux
  programmes accès à leur propre numéro} (= « code source », ici $e$),
cela ne change rien.

\end{frame}
%
\begin{frame}
\label{primitive-recursive-no-universality}
\frametitle{Fonctions primitives récursives : absence d'universalité}

\itempoint\textbf{Théorème :} il n'existe pas de fonction
p.r. $u\colon \mathbb{N}^2 \to \mathbb{N}$ telle que $u(e,x) =
\psi^{(1)}_e(x)$ si $\psi^{(1)}_e(x)\downarrow$.

\bigskip

\underline{Preuve :} par l'absurde : si un tel $u$ existe, alors
$(e,x) \mapsto u(e,x)+1$ est p.r.  Par le théorème de récursion de
Kleene, il existe $e$ tel que $\psi^{(1)}_e(x) = u(e,x) + 1$, ce qui
contredit $u(e,x) = \psi^{(1)}_e(x)$.\qed

\medskip

\centerline{*}

\medskip

\textcolor{blue}{\textbf{Moralité :}} \alert{un interpréteur du
  langage p.r. ne peut pas être p.r.} (preuve : on peut interpréter
l'interpréteur s'interprétant lui-même, en ajoutant $1$ au résultat
ceci donne un paradoxe ; c'est un argument diagonal de Cantor).

\bigskip

\itempoint Cet argument dépend du théorème s-m-n et du fait que les
fonctions p.r. sont \alert{totales}.  Pour définir une théorie
satisfaisante de la calculabilité, on va sacrifier la totalité pour
sauver le théorème s-m-n.

{\footnotesize Cette même preuve deviendra alors la preuve de
  l'indécidabilité du problème de l'arrêt.\par}

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Fonctions primitives récursives : absence d'universalité (variante)}

Rappel : la \textbf{fonction d'Ackermann} est définie par :
\[
\begin{aligned}
A(m,n,0) &= m+n \\
A(m,1,k+1) &= m \\
A(m,n+1,k+1) &= A(m,\,A(m,n,k+1),\,k)
\end{aligned}
\]

\bigskip

\itempoint Pour un $k$ \alert{fixé}, la fonction $(m,n) \mapsto
A(m,n,k)$ est p.r. (par récurrence sur $k$, récursion primitive sur
$A(m,n,k-1)$).

\bigskip

\itempoint Il existe même $k \mapsto a(k)$ p.r. telle que
$\psi^{(2)}_{a(k)}(m,n) = A(m,n,k)$.

\smallskip

I.e., on peut calculer de façon p.r. en $k$ le \alert{code} d'un
programme p.r. qui calcule $(m,n) \mapsto A(m,n,k)$.

\bigskip

\itempoint Si (une extension de) $(e,n) \mapsto \psi^{(1)}_e(n)$ était
p.r., on pourrait calculer $(n,k) \mapsto
\psi^{(1)}_{s_{1,1}(a(k),2)}(n) = \psi^{(2)}_{a(k)}(2,n) = A(2,n,k)$,
or elle n'est pas p.r.

\end{frame}
%
\section{Fonctions générales récursives}
\begin{frame}
\frametitle{Fonctions générales récursives : aperçu}

\itempoint On a vu que les fonctions p.r. sont \alert{limitées} et ne
couvrent pas la notion générale d'algorithme :
\begin{itemize}
\item les algorithmes p.r. terminent toujours car
\item le langage ne permet pas de boucles non bornées ;
\item concrètement, il n'implémente pas la fonction d'Ackermann ;
\item il ne peut pas s'interpréter lui-même.
\end{itemize}

\bigskip

\itempoint On veut modifier la définition des fonctions p.r. pour
lever ces limitations.  On va \alert{autoriser les boucles infinies}.

$\rightarrow$ Fonctions \textbf{générales récursives} ou simplement
« \textbf{récursives} ».

Ce seront aussi nos fonctions \textbf{calculables} !

\bigskip

\itempoint En ce faisant, on obtient forcément des cas de
non-terminaisons, donc on doit passer par des \alert{fonctions
  partielles}.

\bigskip

{\footnotesize\textbf{N.B.} Terminologie fluctuante : fonctions
  « générales récursives » ? juste « récursives » ? « récursives
  partielles » ?  « calculables » ? « calculables partielles » ?\par}

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{L'opérateur $\mu$ de Kleene}

\textbf{Définition :} $\mu g(\underline{x})$ est le plus petit $z$ tel
que $g(z,\underline{x}) = 0$ et $g(i,\underline{x})\downarrow$ pour
$0\leq i<z$, s'il existe.

\bigskip

Autrement dit, $\mu g(\underline{x}) = z$ signifie
\begin{itemize}
\item $g(z,\underline{x}) = 0$,
\item $g(i,\underline{x})>0$ (sous-entendant
  $g(i,\underline{x})\downarrow$) pour tout $0\leq i<z$.
\end{itemize}

\bigskip

Concrètement, penser à $\mu g$ comme la fonction

\texttt{i=0;  while (true) \{ if (g(i,x)==0) \{ return i; \}  i++; \}}

\bigskip

\itempoint Ceci permet toute sorte de \alert{recherche non bornée}.

\end{frame}
%
\begin{frame}
\label{general-recursive-definition}
\frametitle{Fonctions générales récursives : définition}

\itempoint $\textbf{R}$ est la plus petite classe de fonctions
$\mathbb{N}^k \dasharrow \mathbb{N}$, pour $k$ variable qui :
\begin{itemize}
\item contient les projections $\underline{x} := (x_1,\ldots,x_k)
  \mapsto x_i$ ;
\item contient les constantes $\underline{x} \mapsto c$ ;
\item contient la fonction successeur $x \mapsto x+1$ ;
\item est stable par composition : si $g_1,\ldots,g_\ell\colon
  \mathbb{N}^k \dasharrow \mathbb{N}$ et $h\colon \mathbb{N}^\ell
  \dasharrow \mathbb{N}$ sont récursives alors $\underline{x} \mapsto
  h(g_1(\underline{x}),\ldots, g_\ell(\underline{x}))$ est récursive ;
\item est stable par récursion primitive : si $g\colon \mathbb{N}^k
  \dasharrow \mathbb{N}$ et $h\colon \mathbb{N}^{k+2} \dasharrow
  \mathbb{N}$ sont récursives, alors $f\colon \mathbb{N}^{k+1}
  \dasharrow \mathbb{N}$ est récursive, où :
\[
\begin{aligned}
f(\underline{x},0) &= g(\underline{x})\\
f(\underline{x},z+1) &= h(\underline{x},f(\underline{x},z),z)
\end{aligned}
\]
\item est stable par l'opérateur $\mu$ : si $g\colon \mathbb{N}^{k+1}
  \dasharrow \mathbb{N}$ est récursive, alors $\mu g\colon
  \mathbb{N}^k \dasharrow \mathbb{N}$ est récursive
  (\alert{$\leftarrow$ nouveau !}).
\end{itemize}

\medskip

Cette fois le langage \alert{permet les boucles non bornées} !

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Fonctions générales récursives : numérotation (idée)}

\itempoint On veut \alert{coder} les fonctions générales récursives
\alert{par des entiers}.

\smallskip

{\footnotesize Exactement comme on l'a fait pour les fonctions p.r.,
  on change juste la notation de $\psi$ en $\varphi$.\par}

\bigskip

\itempoint Pour (certains) entiers $e \in \mathbb{N}$, on va définir
$\varphi_e^{(k)}\colon \mathbb{N}^k \dasharrow \mathbb{N}$ générale
récursive, la fonction récursive \alert{codée} par $e$ ou ayant $e$
comme \textbf{code} (source).

\bigskip

\itempoint Toute fonction récursive (partielle !) $f\colon
\mathbb{N}^k \dasharrow \mathbb{N}$ sera un $\varphi_e^{(k)}$ pour un
certain $e$.

\smallskip

\itempoint Ce $e$ décrit la manière dont $f$ est construite selon la
définition de $\mathbf{R}$
(cf. transp. \ref{general-recursive-definition}).

\smallskip

\itempoint Il faut l'imaginer comme le \alert{code source} de $f$ (au
sens informatique).

\smallskip

\itempoint Il n'est \alert{pas du tout unique} : $f = \varphi_{e_1}^{(k)}
= \varphi_{e_2}^{(k)} = \cdots$

\bigskip

{\footnotesize

\itempoint On va ensuite se demander si $(e,\underline{x}) \mapsto
\varphi_e^{(k)}(\underline{x})$ est \alert{elle-même récursive}
(divulgâchis : \alert{oui}, contrairement au cas p.r.).

\par}

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Fonctions générales récursives : numérotation (définition)}

On définit $\varphi_e^{(k)}\colon \mathbb{N}^k \dasharrow \mathbb{N}$ par
induction suivant la déf\textsuperscript{n} de $\mathbf{R}$
(cf. transp. \ref{general-recursive-definition}) :
\begin{itemize}
\item si $e = \dbllangle 0, k, i\dblrangle$ alors
  $\varphi_e^{(k)}(x_1\ldots,x_k) = x_i$ (projections) ;
\item si $e = \dbllangle 1, k, c\dblrangle$ alors
  $\varphi_e^{(k)}(x_1\ldots,x_k) = c$ (constantes) ;
\item si $e = \dbllangle 2\dblrangle$ alors
  $\varphi_e^{(k)}(x) = x+1$ (successeur) ;
\item si $e = \dbllangle 3, k, d, c_1,\ldots,c_\ell\dblrangle$ et $g_i
  := \varphi_{c_i}^{(k)}$ et $h := \varphi_d^{(\ell)}$, alors
  $\varphi_e^{(k)} \colon \underline{x} \mapsto
  h(g_1(\underline{x}),\ldots, g_\ell(\underline{x}))$ (composition) ;
\item si $e = \dbllangle 4, k, d, c\dblrangle$ et $g :=
  \varphi_c^{(k)}$ et $h := \varphi_d^{(k+2)}$, alors (récursion primitive)
\[
\begin{aligned}
\varphi_e^{(k+1)}(\underline{x},0) &= g(\underline{x})\\
\varphi_e^{(k+1)}(\underline{x},z+1) &= h(\underline{x},f(\underline{x},z),z)
\end{aligned}
\]
\item si $e = \dbllangle 5, k, c\dblrangle$ et $g :=
  \varphi_c^{(k+1)}$, alors $\varphi_e^{(k)} = \mu g$.
\end{itemize}
(Autres cas non définis, i.e., donnent $\uparrow$.)

\bigskip

\itempoint Alors $f\colon \mathbb{N}^k \dasharrow \mathbb{N}$ est
récursive \alert{ssi} $\exists e \in\mathbb{N}.\,(f = \varphi_e^{(k)})$.

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Fonctions générales récursives : universalité}

Cette fois, \alert{il existe bien} une fonction récursive universelle,
c'est-à-dire :

\smallskip

\itempoint $(e,\underline{x}) \mapsto \varphi_e^{(k)}(\underline{x})$
est récursive : $\exists u_k \in
\mathbb{N}.\,(\varphi_{u_k}^{(k+1)}(e, \underline{x}) =
\varphi_e^{(k)}(\underline{x}))$.

{\footnotesize Variante : $\exists u.\,(\varphi_{u}^{(1)}(\dbllangle
  e, \underline{x}\dblrangle) = \varphi_e^{(k)}(\underline{x}))$ en
  codant programme $e$ et arguments $\underline{x}$ en un entier.\par}

\bigskip

Qu'est-ce que ça nous dit ?

\medskip

\itempoint\textcolor{blue}{Mathématiquement}, que $\varphi^{(k)}$ est
elle-même récursive en tous ses arguments, y compris l'indice de
numérotation.

\medskip

\itempoint\textcolor{blue}{Informatiquement}, qu'il existe un
\alert{interpréteur} $u$ du langage général récursif dans le langage
général récursif.

\medskip

\itempoint\textcolor{blue}{Philosophiquement}, que la notion
d'« exécuter un algorithme » est \alert{elle-même algorithmique}.

\bigskip

\textcolor{brown}{Mais comment le prouver ?}  On va esquisser une
méthode par \textbf{arbres de calcul}.

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Arbres de calcul pour les fonctions récursives}

Un \textbf{arbre de calcul} de $\varphi_e^{(k)}(\underline{x})$ de
résultat $y$ est un arbre (fini, enraciné, ordonné, étiqueté par des
entiers naturels) qui « atteste » que $\varphi_e^{(k)}(\underline{x})
= y$ en détaillant les étapes du calcul.

\medskip

\begin{itemize}
\item La racine est étiquetée « $\varphi_e^{(k)}(\underline{x}) = y$ »
  ou plutôt « $\dbllangle e, \dbllangle \underline{x}\dblrangle,
  y\dblrangle$ ».
\item Le sous-arbre porté par chaque fils de la racine est lui-même un
  arbre de calcul pour une sous-expression utilisée dans le calcul de
  $f(\underline{x}) = y$.
\item Pour les cas projection, constante, successeur, il n'y a pas de
  fils.
\item Pour la composition
  $h(g_1(\underline{x}),\ldots,g_\ell(\underline{x}))$, les fils
  portent des arbres de calcul attestant
  $g_1(\underline{x})=v_1,\ldots,g_\ell(\underline{x})=v_\ell$ et
  $h(\underline{v})=y$.
\item Pour la récursion primitive $f(\underline{x},z)$, on a soit un
  seul fils arbre de calcul attestant $g(\underline{x})=y$ lorsque
  $z=0$ soit deux fils arbres de calcul attestant
  $f(\underline{x},z')=v$ et $h(\underline{x},v,z')=y$ lorsque
  $z=z'+1$.
\item Pour $f = \mu g$, on a des fils attestant
  $g(0,\underline{x})=v_0,\ldots,g(y,\underline{x})=v_y$.
\end{itemize}

\medskip

On a $\varphi_e^{(k)}(\underline{x}) = y$ \alert{ssi} il en existe un
arbre de calcul qui l'atteste.

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Arbres de calcul : formalisation}

Formellement :

{\footnotesize
\begin{itemize}
\item la racine est étiquetée $\dbllangle e, \dbllangle
  \underline{x}\dblrangle, y\dblrangle$,
\item soit $e$ est $\dbllangle 0, k, i\dblrangle$ ou $\dbllangle 1, k,
  c\dblrangle$ ou $\dbllangle 2\dblrangle$, elle n'a pas de
  fils, et $y$ vaut resp\textsuperscript{t} $x_i$, $c$ ou $x+1$,
\item soit $e = \dbllangle 3, k, d, c_1,\ldots,c_\ell\dblrangle$ et
  les fils portent des arbres de calculs attestant
  $\varphi_{c_1}^{(k)}(\underline{x})=v_1$, ...,
  $\varphi_{c_\ell}^{(k)}(\underline{x})=v_\ell$ et
  $\varphi_d^{(\ell)}(\underline{v})=y$.
\item soit $e = \dbllangle 4, k', d, c\dblrangle$ où $k'=k-1$ et
\begin{itemize}\footnotesize
\item soit $x_k = 0$ et l'unique fils porte arbre de calcul attestant
  $\varphi_{c}^{(k')}(x_1,\ldots,x_{k'})=y$,
\item soit $x_k = z+1$ et les deus fils portent arbres de calcul
  attestant $\varphi_{e}^{(k'+1)}(x_1,\ldots,x_{k'},z)=v$ et
  $\varphi_{d}^{(k'+2)}(x_1,\ldots,x_{k'},v,z)=y$.
\end{itemize}
\item soit $e = \dbllangle 5, k, c\dblrangle$ et les fils portent des
  arbres de calcul attestant $\varphi_{c}^{(k+1)}(0,x_1,\ldots,x_k)=v_0$,
  ..., $\varphi_{c}^{(k+1)}(y,x_1,\ldots,x_k)=v_y$ où $v_y=0$ et
  $v_0,\ldots,v_{y-1} > 0$.
\end{itemize}
\par}

On encode l'arbre $\mathscr{T}$ par l'entier
$\operatorname{code}(\mathscr{T}) := \dbllangle n,
\operatorname{code}(\mathscr{T}_1), \ldots,
\operatorname{code}(\mathscr{T}_s)\dblrangle$ où $n$ est l'étiquette
de la racine et $\mathscr{T}_1,\ldots,\mathscr{T}_s$ les codes des
sous-arbres portés par les fils de celle-ci.

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Arbres de calcul $\Rightarrow$ universalité}

Les points-clés :
\begin{itemize}
\item On a $\varphi_e^{(k)}(\underline{x}) = y$ \alert{ssi} il existe
  un arbre de calcul $\mathscr{T}$ l'attestant.
\item Vérifier si $\mathscr{T}$ est un arbre de calcul valable est
  \alert{primitif récursif} en $\operatorname{code}(\mathscr{T})$.
  (On peut vérifier les règles à chaque nœud avec des boucles
  bornées.)
\item De même, extraire $e,\underline{x},y$ de $\mathscr{T}$ est
  primitif récursif.
\end{itemize}

\bigskip

D'où l'algorithme « universel » pour calculer
$\varphi_e^{(k)}(\underline{x})$ en fonction de $e,\underline{x}$ :
\begin{itemize}
\item parcourir $n=0,1,2,3,4,\ldots$ (boucle non bornée),
\item pour chacun, tester s'il code un arbre de calcul valable de
  $\varphi_e^{(k)}(\underline{x})$,
\item si oui, terminer et renvoyer le $y$ contenu.
\end{itemize}

La boucle non-bornée est précisément ce que permet $\mu$.  Tout le
reste est p.r.

$\Rightarrow$ Ceci montre l'existence de $u$.

\bigskip

\textcolor{orange}{Ne pas coder un interpréteur comme ça dans la vraie vie !}

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Théorème de la forme normale}

On a montré un peu plus que l'universalité : on peut exécuter
n'importe quel algorithme avec une \alert{unique boucle non bornée}.
Plus exactement :

\bigskip

\itempoint\textbf{Théorème de la forme normale} (Kleene) : il existe
un prédicat p.r. $T$ sur $\mathbb{N}^3$ et une fonction p.r. $U \colon
\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ tels que :
\[
\varphi_e^{(k)}(x_1,\ldots,x_k)
= U(\mu T(e,\dbllangle x_1,\ldots,x_k\dblrangle))
\]

Précisément, $T(n, e,\dbllangle x_1,\ldots,x_k\dblrangle)$ teste si
$n$ est le code d'un arbre de calcul valable de
$\varphi_e^{(k)}(\underline{x})$, et $U$ extrait le résultat de cet
arbre.

\medskip

\centerline{*}

\medskip

Exemple d'application : \textbf{lancement en parallèle} :
\[
U(\mu(T(e_1,\dbllangle\underline{x}\dblrangle)\text{~ou~}T(e_2,\dbllangle\underline{x}\dblrangle)))
\]
définit (de façon p.r. en $e_1,e_2$) un $e$ tel que
\[
\varphi_e(\underline{x}){\downarrow} \;\Longleftrightarrow\;
\varphi_{e_1}(\underline{x}){\downarrow}\text{~ou~}
\varphi_{e_2}(\underline{x}){\downarrow}
\]

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Théorème s-m-n (version générale récursive)}

Exactement comme la version p.r. :

\smallskip

\itempoint\textbf{Théorème s-m-n} (Kleene) : il existe $s_{m,n} \colon
\mathbb{N}^{m+1} \to \mathbb{N}$ p.r. telle que
\[
(\forall e,\underline{x},\underline{y})\quad
\varphi^{(n)}_{s_{m,n}(e,x_1,\ldots,x_m)}(y_1,\ldots,y_n) =
\varphi^{(m+n)}_e(x_1,\ldots,x_m,\,y_1,\ldots,y_n)
\]

\bigskip

Noter que $s_{m,n}$ est \alert{p.r.} même si on s'intéresse ici aux
fonctions générales récursives.

\medskip

Les manipulations de programmes sont typiquement p.r. (même si les
programmes manipulés sont des fonctions générales récursives).

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Le théorème de récursion de Kleene (version générale récursive)}

Exactement comme la version p.r. :

\smallskip

\itempoint\textbf{Théorème} (Kleene) : si $h \colon \mathbb{N}^{k+1}
\dasharrow \mathbb{N}$ est récursive, il existe $e$ tel que
\[
(\forall\underline{x})\quad \varphi^{(k)}_e(\underline{x}) =
h(e,\underline{x})
\]
Plus précisément, il existe $b \colon \mathbb{N}^2 \to \mathbb{N}$
p.r. telle que
\[
(\forall\underline{x})\quad \varphi^{(k)}_e(\underline{x}) = \varphi^{(k+1)}_d(e,\underline{x})
\text{~si~}e := b(k,d)
\]

\bigskip

\underline{Même preuve :} soit $s := s_{m,1}$ donné par le théorème
s-m-n.  La fonction $(t,\underline{x}) \mapsto
h(s(t,t),\underline{x})$ est p.r., disons $=
\varphi_c^{(k+1)}(\underline{x})$.  Alors
\[
\varphi_{s(c,c)}^{(k)}(\underline{x})
= \varphi_{c}^{(k+1)}(c, \underline{x})
= h(s(c,c),\underline{x})
\]
donc $e := s(c,c)$ convient.  Les fonctions $d \mapsto c \mapsto e$
sont p.r.\qed

\bigskip

\textcolor{blue}{\textbf{Moralité :}} \alert{on peut donner aux programmes accès à leur
  propre numéro} (= « code source »), cela ne change rien.

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Le théorème du point fixe de Kleene-Rogers}

Reformulation du théorème de récursion utilisant l'universalité :

\smallskip

\itempoint\textbf{Théorème} (Kleene-Rogers) : si $F \colon \mathbb{N}
\to \mathbb{N}$ est récursive \emph{totale} et $k\in\mathbb{N}$, il
existe $e$ tel que
\[
\varphi_e^{(k)} = \varphi_{F(e)}^{(k)}
\]

\bigskip

\underline{Preuve :} $h\colon (e,\underline{x}) \mapsto
\varphi_{F(e)}^{(k)}(\underline{x})$ est récursive car $e \mapsto
F(e)$ l'est et que $(e',\underline{x}) \mapsto
\varphi_{e'}^{(k)}(\underline{x})$ l'est (universalité).  Par le
théorème de récursion, il existe $e$ tel que
$\varphi^{(k)}_e(\underline{x}) = h(e,\underline{x}) =
\varphi_{F(e)}^{(k)}(\underline{x})$.\qed

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Récursion !}

Le langage des fonctions générales récursives,
\textcolor{orange}{malgré le nom} ne permet pas les définitions par
appels récursifs.

\smallskip

{\footnotesize Uniquement des opérations élémentaires, appels de
  fonctions précédemment définies, boucles.\par}

\bigskip

Comment permettre quand même les appels récursifs ?

\smallskip

\alert{Par le théorème de récursion de Kleene !} (ou théorème du point fixe) :

\begin{itemize}
\item je veux définir (comme fonction générale récursive) une fonction
  $f$ dont la définition fait appel à $f$ elle-même :
\item par le théorème de récursion de Kleene (« astuce de Quine »), je
  peux supposer que $f$ a accès à son propre numéro (« code source »),
\item je convertis chaque appel à $f$ depuis $f$ en un appel à la
  fonction universelle (interpréteur) sur le numéro de $f$.
\end{itemize}

\bigskip

\textcolor{orange}{Ne pas implémenter la récursion comme ça dans la vraie vie !}

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{\textit{Kids, don't try this at home !}}

Pseudocode :

\smallskip

{\footnotesize\texttt{%
fibonacci(n) \{\\
str = "self = \textbackslash"fibonacci(n) \{\textbackslash \textbackslash nstr = \textbackslash" + quote(str) + str;\textbackslash n\textbackslash\\
if (n==0 || n==1) return n;\textbackslash n\textbackslash\\
return interpret(self, n-1) + interpret(self, n-2);\textbackslash n\textbackslash\\
\}";\\
self = "fibonacci(n) \{\textbackslash nstr = " + quote(str) + str;\\
if (n==0 || n==1) return n;\\
return interpret(self, n-1) + interpret(self, n-2);\\
\}
}\par}

\medskip

\centerline{*}

\medskip

\textbf{Défi :} trouver explicitement un $e$ tel que $\varphi^{(3)}_e$
soit la fonction d'Ackermann.

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Le problème de l'arrêt}

{\footnotesize Le terme « problème de l'arrêt » prendra plus de sens
  pour les machines de Turing.\par}

\medskip

\itempoint\textbf{Problème :} donné un programme $e$ (mettons d'arité
$k=1$) et une entrée $x$ à ce programme, comment savoir si
l'algorithme $e$ termine (c'est-à-dire $\varphi^{(1)}_e(x)\downarrow$)
ou non ($\varphi^{(1)}_e(x)\uparrow$) sur cette entrée ?

\medskip

Cette question est-elle \alert{algorithmique} ?

\bigskip

\textbf{Réponse} de Turing : \alert{non}.

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{L'indécidabilité du problème de l'arrêt}

\itempoint\textbf{Théorème} (Turing) : il n'existe pas de fonction
récursive $h\colon \mathbb{N}^2 \to \mathbb{N}$ telle que $h(e,x) = 1$
si $\varphi^{(1)}_e(x)\downarrow$ et $h(e,x) = 0$ si
$\varphi^{(1)}_e(x)\uparrow$.

\bigskip

\underline{Preuve :} par l'absurde : si un tel $h$ existe, alors la
fonction
\[
v\colon (e,x) \mapsto \left\{
\begin{array}{ll}
42&\text{~si~}h(e,x) = 0\\
\uparrow&\text{~si~}h(e,x) = 1\\
\end{array}
\right.
\]
est générale récursive (tester is $h(e,x)=0$, si oui renvoyer $42$,
sinon faire une boucle infinie, p.ex. $\mu(x\mapsto 1)$).

Par le théorème de récursion de Kleene, il existe $e$ tel que
$\varphi^{(1)}_e(x) = v(e,x)$.

Si $\varphi^{(1)}_e(x)\downarrow$ alors $h(e,x) = 1$ donc
$v(e,x)\uparrow$ donc $\varphi^{(1)}_e(x)\uparrow$, une contradiction.
Si $\varphi^{(1)}_e(x)\uparrow$ alors $h(e,x) = 0$ donc
$v(e,x)\downarrow$ donc $\varphi^{(1)}_e(x)\downarrow$, une
contradiction.\qed

\bigskip

\itempoint Intuition de la preuve : supposons que j'aie un moyen
algorithmique $h$ pour savoir si un algorithme termine ou pas, je peux
lui demander ce que « je » vais faire (astuce de Quine), et faire le
contraire, ce qui conduit à un paradoxe.

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{L'indécidabilité du problème de l'arrêt : redite}

{\footnotesize Notons $\varphi$ pour $\varphi^{(1)}$.\par}

\smallskip

\itempoint\textbf{Théorème} (Turing) : il n'existe pas de fonction
récursive $h\colon \mathbb{N}^2 \to \mathbb{N}$ telle que $h(e,x) = 1$
si $\varphi_e(x)\downarrow$ et $h(e,x) = 0$ si $\varphi_e(x)\uparrow$.

\bigskip

\underline{Preuve} (incluant celle du théorème de récursion) :
considérons la fonction $v\colon \mathbb{N} \dasharrow \mathbb{N}$ qui
à $e$ associe $42$ si $h(e,e)=0$ et $\uparrow$ (non définie) si
$h(e,e)=1$.

Supposons par l'absurde $h$ est calculable : alors cette fonction
(partielle) $v$ est calculable, disons $v = \varphi_c$.

Si $\varphi_c(c)\downarrow$ alors $h(c,c)=1$ donc $v(c)\uparrow$,
c'est-à-dire $\varphi_c(c)\uparrow$, une contradiction.  Si
$\varphi_c(c)\uparrow$ alors $h(c,c)=0$ donc $v(c)\downarrow$,
c'est-à-dire $\varphi_c(c)\downarrow$, une contradiction.\qed

\bigskip

C'est un \alert{argument diagonal} : on utilise $h$ pour construire
une fonction qui diffère en tout point de la diagonale $c \mapsto
\varphi_c(c)$, donc elle ne peut pas être une $\varphi_c$.

\medskip

Pour les fonctions p.r. (terminent toujours !), le même argument
diagonal donnait l'inexistence d'un programme universel
(transp. \ref{primitive-recursive-no-universality}).

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Comparaison fonctions primitives récursives et générales récursives}

\textcolor{purple}{Récapitulation :}

\medskip

\itempoint Les fonctions p.r. sont totales ; les générales récursives
sont possiblement partielles.

\medskip

\itempoint Les fonctions p.r. sont un langage limité (pas de boucle
non bornées a priori) ; les générales récursives coïncideront avec les
fonctions « calculables » (équivalence avec machines de Turing et
$\lambda$-calcul à voir).

\medskip

\itempoint Les fonctions p.r. ne permettent pas d'interpréter les
fonctions p.r. ; les générales récursives peuvent s'interpréter
elles-mêmes (universalité) et donc réaliser n'importe quelle sorte
d'appels récursifs.

\medskip

\itempoint Le problème de l'arrêt pour les fonctions p.r. est trivial
(elles sont totales !) ; pour les fonctions générales récursives, il
est indécidable (= pas calculable par une fonction générale
récursive).

\end{frame}
%
\section{Machines de Turing}
\begin{frame}
\frametitle{Machines de Turing : explication informelle}

La \textbf{machine de Turing} est une modélisation d'un ordinateur
extrêmement simple, réalisant des calculs indiscutablement finitistes.

\medskip

C'est une sorte d'automate doté d'un \textbf{état} interne pouvant
prendre un nombre fini de valeurs, et d'une mémoire illimitée sous
forme de \textbf{bande} linéaire divisée en cellules (indéfiniment
réécrivibles), chaque cellule pouvant contenir un \textbf{symbole}.

\medskip

La machine peut observer, outre son état interne, une unique case de
la bande, là où se trouve sa \textbf{tête de lecture/écriture}.

\medskip

Le \textbf{programme} de la machine indique, pour chaque combinaison
de l'état internet et du symbole lu par la tête :
\begin{itemize}
\item dans quel état passer,
\item quel symbole écrire à la place de la tête,
\item la direction dans laquelle déplacer la tête (gauche ou droite).
\end{itemize}

\medskip

La machine suit son programme jusqu'à tomber dans un état spécial $0$
(« arrêt »).

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Machines de Turing : définition}

Une \textbf{machine de Turing} (déterministe) à ($1$ bande,
$2$ symboles et) $m\geq 2$ états est la donnée de :
\begin{itemize}
\item un ensemble fini $Q$ de cardinal $m$ d'\textbf{états}, qu'on
  identifiera à $\{0,\ldots,m-1\}$,
\item un ensemble $\Sigma$ de (ici) $2$ \textbf{symboles de bande}
  qu'on identifiera à $\{0,1\}$,
\item une fonction
\[
\delta \colon (Q\setminus\{0\}) \times \Sigma \to Q \times \Sigma \times \{\texttt{L},\texttt{R}\}
\]
appelé \textbf{programme} de la machine.
\end{itemize}

{\footnotesize (Il y a donc $(4m)^{2(m-1)}$ machines à $m$ états.)\par}

\bigskip

Une \textbf{configuration} d'une telle machine est la donnée de :
\begin{itemize}
\item un élément $q \in Q$ appelé l'\textbf{état courant},
\item une fonction $\beta\colon \mathbb{Z} \to \Sigma$ ne prenant
  qu'\alert{un nombre fini} de valeurs $\neq 0$, appelée la
  \textbf{bande},
\item un entier $i \in \mathbb{Z}$ appelé la \textbf{position de la
  tête} sur la bande.
\end{itemize}

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Machines de Turing : exécution d'une étape}

Si $(q,\beta,i)$ est une configuration de la machine de Turing où
$q\neq 0$, et $\delta$ le programme, la \textbf{configuration
  suivante} est $(q',\beta',i')$ où :
\begin{itemize}
\item $(q',y,d) = \delta(q,\beta(i))$ est l'\textbf{instruction
  exécutée},
\item $q'$ est le \textbf{nouvel état},
\item $i' = i-1$ si $d=\texttt{L}$ et $i' = i+1$ si $d=\texttt{R}$,
\item $\beta'(j) = \beta(j)$ pour $j\neq i$ tandis que $\beta'(i) = y$.
\end{itemize}

\bigskip

\emph{En clair :} le programme indique, pour chaque configuration d'un
état $\neq 0$ et d'un symbole $x = \beta(i)$ lu sur la bande :
\begin{itemize}
\item le nouvel état $q'$ dans lequel passer,
\item le symbole $y$ à écrire à la place de $x$ à l'emplacement $i$ de
  la bande,
\item la direction dans laquelle déplacer la tête (gauche ou droite).
\end{itemize}

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Machines de Turing : exécution complète}

\itempoint Si $C = (q,\beta,i)$ est une configuration d'une machine de
Turing, la \textbf{trace d'exécution} à partir de $C$ est la suite
finie ou infinie $C^{(0)},C^{(1)},C^{(2)},\ldots$, où
\begin{itemize}
\item $C^{(0)} = C$ est la configuration donnée (configuration initiale),
\item si $C^{(n)} = (q^{(n)},\beta^{(n)},i^{(n)})$ avec $q^{(n)}=0$
  alors la suite s'arrête ici, on dit que \textbf{la machine
    s'arrête}, que $C^{(n)}$ est la \textbf{configuration finale}, et
  que l'exécution a duré $n$ \textbf{étapes},
\item sinon, $C^{(n+1)}$ est la configuration suivante (définie
  avant).
\end{itemize}

\bigskip

\emph{En clair :} la machine continue à exécuter des instructions tant
qu'elle n'est pas tombée dans l'état $0$.  Elle s'arrête quand elle
tombe dans l'état $0$.

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Simulation des machines de Turing par les fonctions récursives}

\itempoint On peut coder un programme et/ou une configuration sous
forme d'entiers naturels.

{\footnotesize Le ruban a un nombre \alert{fini} de symboles $\neq 0$,
  donc on peut le coder par la liste de leurs positions comptées,
  disons, à partir du symbole $\neq 0$ le plus à gauche.\par}

\bigskip

\itempoint La fonction $(M,C) \mapsto C'$ qui à une machine de Turing
$M$ et une configuration $C$ de $M$ associe la configuration suivante
\textbf{est p.r.}

\medskip

\itempoint Conséquence : la fonction $(n,M,C) \mapsto C^{(n)}$ qui à
$n\in\mathbb{N}$ et une machine de Turing $M$ et une configuration $C$
de $M$ associe la configuration atteinte après $n$ étapes d'exécution,
\textbf{est p.r.}

\medskip

\itempoint La fonction qui à $(M,C)$ associe la configuration finale
(et/ou le nombre d'étapes d'exécution) \alert{si la machine s'arrête},
et $\uparrow$ (non définie) si elle ne s'arrête pas, est
\textbf{générale récursive}.

\bigskip

\textcolor{blue}{\textbf{Moralité :}} les fonctions récursives peuvent
simuler les machines de Turing.

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Calculs sur machines de Turing : une convention}

On dira qu'une fonction $f\colon \mathbb{N}^k \dasharrow \mathbb{N}$
est \textbf{calculable par machine de Turing} lorsqu'il existe une
machine de Turing qui, pour tous $x_1,\ldots,x_k$ :
\begin{itemize}
\item part de la configuration initiale suivante : l'état est $1$, les
  symboles $\beta(j)$ du ruban pour $j<0$ sont arbitraires (tous $0$
  sauf un nombre fini), la tête est à l'emplacement $0$,
\item les symboles $\beta(j)$ pour $j\geq 0$ du ruban initial forment
  le mot suivant :
\[
0 1^{x_1} 0 1^{x_2} 0 \cdots 0 1^{x_k} 0
\]
(suivi d'une infinité de $0$), c'est-à-dire $\beta(0)=0$, $\beta(j)=1$
si $1\leq j\leq x_1$, $\beta(1+x_1)=0$, $\beta(j)=1$ si $2+x_1\leq
j\leq 1+x_1+x_2$, etc.,
\item si $f(x_1,\ldots,f_k)\uparrow$, la machine ne s'arrête pas,
\item si $f(x_1,\ldots,f_k){\downarrow} = y$, la machine s'arrête avec
  la tête à l'emplacement $0$ (le même qu'au départ), le ruban
  $\beta(j)$ non modifié pour $j<0$, et
\item les symboles $\beta(j)$ pour $j\geq 0$ du ruban final forment
  le mot $0 1^y 0$ (suivi d'une inifinité de $0$).
\end{itemize}

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Calculs par les machines de Turing des fonctions récursives}

\itempoint On peut montrer par induction suivant la
déf\textsuperscript{n} de $\mathbf{R}$ que \alert{toute fonction
  générale récursive est calculable par machine de Turing} avec les
conventions du transp. précédent.

\bigskip

\itempoint La démonstration est fastidieuse mais pas difficile : il
s'agit essentiellement de programmer en machine de Turing chacune des
formes de construction des fonctions générales récursives
(projections, constantes, successeur, composition, récursion
primitive, $\mu$-récursion).

\bigskip

\itempoint Les conventions faites, notamment le fait d'ignorer et de
ne pas modifier $\beta(j)$ pour $j<0$, permettent à l'induction de
fonctionner.

\smallskip

{\footnotesize Par exemple, pour la composition, on va utiliser cette
  propriété pour « sauvegarder » les $x_1,\ldots,x_k$ initiaux, ainsi
  que les valeurs de $g_j(\underline{x})$ calculées, lorsqu'on appelle
  chacune des fonctions $g_1,\ldots,g_\ell$ (à chaque fois, on les
  recopie $x_1,\ldots,x_k$ à droite des valeurs à ne pas toucher, et
  on appelle la machine calculant $g_j$ sur ces valeurs
  recopiées).\par}

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Équivalence entre machines de Turing et fonctions récursives}

\itempoint Toute fonction générale récursive $\mathbb{N}^k \dasharrow
\mathbb{N}$ est calculable par machine de Turing (sous les conventions
données).

\bigskip

\itempoint Réciproquement, toute fonction $\mathbb{N}^k \dasharrow
\mathbb{N}$ calculable par machine de Turing sous ces conventions est
générale récursive, car les fonctions récursives peuvent simuler les
machines de Turing, calculer une configuration initiale convenable, et
décoder la configuration finale.

\bigskip

\itempoint Bref, $f\colon \mathbb{N}^k \dasharrow \mathbb{N}$ est
calculable par machine de Turing \alert{ssi} elle est générale
récursive.

\bigskip

\itempoint De plus, cette équivalence est \alert{constructive} : il
existe des fonctions p.r. :
\begin{itemize}
\item l'une prend en entrée le numéro $e$ d'une fonction générale
  récursive (et l'arité $k$) et renvoie le code d'une machine de
  Turing qui calcule cette $\varphi_e^{(k)}$,
\item l'autre prend en entrée le code d'une machine de Turing qui
  calcule une fonction $f$ et son arité $k$, et renvoie un numéro $e$
  de $f$ dans les fonctions générales récursives $f =
  \varphi_e^{(k)}$.
\end{itemize}

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Machines de Turing : variations}

On a choisi ici une notion de machine de Turing assez restreinte
($1$ bande, $2$ symboles de bande).  Il existe toutes sortes de
variations :
\begin{itemize}
\item machines à plusieurs bandes (mais en onmbre fini ; le programme
  choisit en fonction du symbole lu sur chaque bande, et écrit et
  déplace chaque tête indépendamment), voire à plusieurs têtes par
  bande, parfois avec des bandes en lecture seule (pour les entrées),
  ou en écriture seule (pour les sorties),
\item autres symboles que $0$ et $1$ (mais en nombre fini),
\item machine non-déterministe (plusieurs instructions possibles dans
  une configuration donnée ; la machine termine si au moins l'un des
  chemins d'exécution termine).
\end{itemize}

\bigskip

Du point de vue \alert{calculabilité}, ces modifications ne rendent
pas la machine plus puissante, et, sauf, cas dégénérés (p.ex., un seul
symbole sur le ruban !) elles ne la rendent pas moins puissante non
plus.  Ceci confirme la robustesse du modèle de Church-Turing.

\smallskip

{\footnotesize Pour la \alert{complexité}, en revanche, c'est une
  autre affaire.\par}

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Machines de Turing : reprise de résultats déjà vus}

\itempoint\textbf{Universalité :} pour un codage raisonnable, il
existe une machine de Turing « universelle » qui prend en entrée sur
sa bande le programme d'une autre machine de Turing $M$, et une
configuration initiale $C$ pour celle-ci, et qui simule l'exécution de
$M$ sur $C$ (notamment, elle s'arrête ssi $M$ s'arrête).

\bigskip

\itempoint\textbf{Forme normale :} la fonction $(n,M,C) \mapsto
C^{(n)}$ qui à $n\in\mathbb{N}$ et une machine de Turing $M$ et une
configuration $C$ de $M$ associe la configuration après $n$ étapes
d'exécution, est p.r., et en particulier, calculable par une machine
de Turing.

\smallskip

$\Rightarrow$ En particulier, on peut tester algorithmiquement si une
machine de Turing donnée, depuis une configuration initiale donnée,
s'arrête \emph{en moins de $n$ étapes}.

\bigskip

\itempoint\textbf{Indécidabilité du problème de l'arrêt :} la fonction
qui à $(M,C)$ associe $1$ si la machine de Turing s'arrête en partant
de la configuration initiale $C$, et $0$ sinon, \alert{n'est pas
  calculable}.

\smallskip

$\Rightarrow$ On ne peut tester algorithmiquement si une machine de
Turing donnée, depuis une configuration initiale donnée, s'arrête « un
jour ».

\end{frame}
%
\section{Décidabilité et semi-décidabilité}
\begin{frame}
\frametitle{Terminologie calculable/décidable}

\itempoint Une fonction partielle $f\colon \mathbb{N}^k \dasharrow
\mathbb{N}$ est dite \textbf{calculable} (partielle) lorsqu'elle est
(c'est équivalent) :
\begin{itemize}
\item générale récursive,
\item calculable par machine de Turing,
\item \textcolor{brown}{à voir $\rightarrow$} exprimable dans le $\lambda$-calcul.
\end{itemize}

\bigskip

\itempoint Une partie $A \subseteq \mathbb{N}^k$ est dite
\textbf{décidable} lorsque sa fonction indicatrice
$\mathbb{N}^k\to\mathbb{N}$
\[
\mathbf{1}_A\colon n \mapsto \left\{
\begin{array}{ll}
1&\text{~si~}n\in A\\
0&\text{~si~}n\not\in A\\
\end{array}
\right.
\]
est calculable (répondre « oui » ou « non » selon que $n\in A$ ou $n\not\in A$).

\bigskip

\itempoint Une partie $A \subseteq \mathbb{N}^k$ est dite
\textbf{semi-décidable} lorsque sa fonction partielle « semi-indicatrice »
$\mathbb{N}\dasharrow\mathbb{N}$ (d'ensemble de définition $A$)
\[
n \mapsto \left\{
\begin{array}{ll}
1&\text{~si~}n\in A\\
\uparrow&\text{~si~}n\not\in A\\
\end{array}
\right.
\]
est calculable (répondre « oui » ou « ... » selon que $n\in A$ ou $n\not\in A$).

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Fluctuations terminologiques}

\itempoint Synonymes de \textbf{calculable} pour une fonction
partielle $\mathbb{N}^k \dasharrow \mathbb{N}$ :
\begin{itemize}
\item « semi-calculable » (réservant « calculable » pour les fonctions \emph{totales}),
\item « (générale) récursive ».
\end{itemize}

\bigskip

\itempoint Synonymes de \textbf{décidable} pour une partie $\subseteq
\mathbb{N}^k$ :
\begin{itemize}
\item « calculable »,
\item « récursive ».
\end{itemize}

\bigskip

\itempoint Synonymes de \textbf{semi-décidable} pour une partie $\subseteq
\mathbb{N}^k$ :
\begin{itemize}
\item « semi-calculable »,
\item « calculablement énumérable »,
\item « récursivement énumérable ».
\end{itemize}
{\footnotesize (La raison du « énumérable » sera expliquée après.)\par}

\end{frame}
%
% Add somewhere:
% - busy beaver
% - "Turing tarpit"
%
\end{document}
