{\maketitle} % \setlength\abovedisplayskip{2pt plus 2pt minus 2pt} \setlength\belowdisplayskip{2pt plus 2pt minus 2pt} % \begin{frame} \titlepage {\footnotesize\center{\url{http://perso.enst.fr/madore/inf110/transp-inf110.pdf}}\par} {\tiny \immediate\write18{sh ./vc > vcline.tex} \begin{center} Git: \input{vcline.tex} \end{center} \immediate\write18{echo ' (stale)' >> vcline.tex} \par} \end{frame} % \section*{Plan} \begin{frame} \frametitle{Plan} \tableofcontents \end{frame} % \section{Introduction} \begin{frame} \frametitle{Qu'est-ce que la calculabilité ?} \itempoint À l'interface entre \textbf{logique mathématique} et \textbf{informatique théorique} \begin{itemize} \item née de préoccupations venues de la logique (Hilbert, Gödel), \item à l'origine des 1\textsuperscript{ers} concepts informatiques ($\lambda$-calcul, machine de Turing). \end{itemize} \bigskip \itempoint But : étudier les limites de ce que \textbf{peut ou ne peut pas faire un algorithme} \begin{itemize} \item sans limite de ressources (temps, mémoire juste « finis »), \item sans préoccupation d'efficacité ($\neq$ complexité, algorithmique), \item y compris résultats négatifs (« \emph{aucun} algorithme ne peut… »), \item voire relatifs (calculabilité relative), \item admettant diverses généralisations (calculabilité supérieure). \end{itemize} \end{frame} % \begin{frame} \frametitle{Quelques noms} \itempoint Muḥammad ibn Mūsá al-\b{H}wārizmī (v.780–v.850) : $\rightsquigarrow$« algorithme » \itempoint Blaise Pascal (1623–1662) : machine à calculer $\rightsquigarrow$automates \itempoint Charles Babbage (1791–1871) : \textit{Analytical Engine} (Turing-complète !) \itempoint Ada (née Byron) Countess of Lovelace (1815–1852) : programmation \itempoint Richard Dedekind (1831–1916) : définitions primitives récursives \itempoint David Hilbert (1862–1943) : \textit{Entscheidungsproblem} (décider la vérité) \itempoint Jacques Herbrand (1908–1931) : fonctions générales récursives \itempoint Kurt Gödel (1906–1978) : incomplétude en logique \itempoint Alonzo Church (1903–1995) : $\lambda$-calcul \itempoint Alan M. Turing (1912–1954) : machine de Turing, problème de l'arrêt \itempoint Emil Post (1897–1954) : ensembles calculablement énumérables \itempoint Stephen C. Kleene (1909–1994) : $\mu$-récursion, th. de récursion, forme normale \end{frame} % \begin{frame} \frametitle{Fonction calculable} « Définition » : une fonction $f$ est \textbf{calculable} quand il existe un algorithme qui \begin{itemize} \item prenant en entrée un $x$ du domaine de définition de $f$, \item \textbf{termine en temps fini}, \item et renvoie la valeur $f(x)$. \end{itemize} \bigskip Difficultés : \begin{itemize} \item Comment définir ce qu'est un algorithme ? \item Quel type de valeurs ? \item Et si l'algorithme ne termine pas ? \item Distinction entre intention (l'algorithme) et extension (la fonction). \end{itemize} \end{frame} % \begin{frame} \frametitle{Sans préoccupation d'efficacité} \itempoint La calculabilité \alert{ne s'intéresse pas à l'efficacité} des algorithmes qu'elle étudie, uniquement leur \textbf{terminaison en temps fini}. \medskip P.ex. : pour savoir si $n$ est premier, on peut tester si $i\times j=n$ pour tout $i$ et $j$ allant de $2$ à $n-1$. (Hyper inefficace ? On s'en fout.) \bigskip \itempoint La calculabilité \alert{n'a pas peur des grands entiers}. \medskip P.ex. : \textbf{fonction d'Ackermann} définie par : \[ \begin{aligned} A(m,n,0) &= m+n \\ A(m,1,k+1) &= m \\ A(m,n+1,k+1) &= A(m,\,A(m,n,k+1),\,k) \end{aligned} \] définition algorithmique par récursion, donc calculable. \smallskip Mais $A(2,6,3) = 2^{2^{2^{2^{2^2}}}} = 2^{2^{65\,536}}$ et $A(2,4,4) = A(2,65\,536,3)$ est inimaginablement grand (et que dire de $A(100,100,100)$ ?). $\Rightarrow$ Ingérable sur un vrai ordinateur. \end{frame} % \begin{frame} \frametitle{Approches de la calculabilité} \itempoint Approche informelle : \textbf{algorithme = calcul finitiste} mené par un humain ou une machine, selon des instructions précises, en temps fini, sur des données finies \medskip \itempoint Approche pragmatique : tout ce qui peut être fait sur un langage de programmation « Turing-complet » (Python, Java, C, Caml…) idéalisé \begin{itemize} \item sans limites d'implémentation (p.ex., entiers arbitraires !), \item sans source de hasard ou de non-déterminisme. \end{itemize} \medskip \itempoint Approches formelles, p.ex. : \begin{itemize} \item fonctions générales récursives (Herbrand-Gödel-Kleene), \item $\lambda$-calcul (Church) ($\leftrightarrow$ langages fonctionnels), \item machine de Turing (Turing), \item machines à registres (Post…). \end{itemize} \bigskip \itempoint\textbf{« Thèse » de Church-Turing} : \alert{tout ceci donne la même chose}. \end{frame} % \begin{frame} \frametitle{Thèse de Church-Turing} \itempoint\textbf{Théorème} (Post, Turing) : les fonctions (disons $\mathbb{N} \dasharrow \mathbb{N}$) \textbf{(1)} générales récursives, \textbf{(2)} exprimables en $\lambda$-calcul, et \textbf{(3)} calculables par machine de Turing, coïncident toutes. \smallskip $\Rightarrow$ On parle de \alert{calculabilité au sens de Church-Turing}. \bigskip \itempoint\textbf{Observation} : tous les langages de programmation informatiques généraux usuels, idéalisés, calculent aussi exactement ces fonctions. \bigskip \itempoint\textbf{Thèse philosophique} : la calculabilité de C-T définit précisément la notion d'algorithme finitiste. \bigskip \itempoint\textbf{Conjecture physique} : la calculabilité de C-T correspond aux calculs réalisables mécaniquement dans l'Univers (en temps/énergie finis mais illimités). {\footnotesize $\uparrow$ (même avec un ordinateur quantique)} \bigskip Pour toutes ces raisons, le sujet mérite d'être étudié ! \end{frame} % \begin{frame} \frametitle{Données finies} Un algorithme travaille sur des \textbf{données finies}. \medskip Qu'est-ce qu'une « donnée finie » ? Tout objet représentable informatiquement : booléen, entier, chaîne de caractères, structure, liste/tableau de ces choses, ou même plus complexe (p.ex., graphe). \medskip $\rightarrow$ Comment y voir plus clair ? \bigskip Deux approches opposées : \begin{itemize} \item\textbf{typage} : distinguer toutes ces données, \item\textbf{codage de Gödel} : tout représenter comme des entiers ! \end{itemize} \bigskip Le typage est plus élégant, plus satisfaisant, plus proche de l'informatique réelle. \smallskip Le codage de Gödel simplifie l'approche/définition de la calculabilité (on étudie juste des fonctions $\mathbb{N} \dasharrow \mathbb{N}$). \end{frame} % \begin{frame} \frametitle{Codage de Gödel (« tout est un entier »)} \itempoint Représenter \textbf{n'importe quelle donnée finie par un entier}. \bigskip \itempoint Codage des couples : par exemple, \[ \langle m,n\rangle := m + \frac{1}{2}(m+n)(m+n+1) \] définit une bijection calculable $\mathbb{N}^2 \to \mathbb{N}$. \bigskip \itempoint Codage des listes finies : par exemple, \[ \dbllangle a_0,\ldots,a_{k-1}\dblrangle := \langle a_0, \langle a_1, \langle\cdots,\langle a_{k-1},0\rangle+1\cdots\rangle+1\rangle+1 \] définit une bijection calculable $\{\text{suites finies dans $\mathbb{N}$}\} \to \mathbb{N}$ {\footnotesize (avec $\dbllangle\dblrangle := 0$)}. \bigskip \itempoint Il sera aussi utile de représenter les programmes par des entiers. \bigskip \itempoint Les détails du codage sont \textbf{sans importance}. \bigskip \itempoint\textcolor{orange}{Ne pas utiliser dans la vraie vie} (hors calculabilité) ! \end{frame} % \begin{frame} \frametitle{Fonctions partielles} \itempoint Même si on s'intéresse à des algorithmes qui \textbf{terminent}, la définition de la calculabilité \alert{doit forcément} passer aussi par ceux qui ne terminent pas. {\footnotesize (Aucun langage Turing-complet ne peut exprimer uniquement des algorithmes qui terminent toujours, à cause de l'indécidabilité du problème de l'arrêt.)\par} \bigskip \itempoint Lorsque l'algorithme censé calculer $f(n)$ ne termine pas, on dira que $f$ n'est pas définie en $n$, et on notera $f(n)\uparrow$. Au contraire, s'il termine, on note $f(n)\downarrow$. \bigskip \itempoint Notation : $f\colon \mathbb{N} \dasharrow \mathbb{N}$ : une fonction $D \to \mathbb{N}$ définie sur une partie $D \subseteq \mathbb{N}$. \itempoint Notation : $f(n) \downarrow$ signifie « $n \in D$ », et $f(n) \uparrow$ signifie « $n \not\in D$ ». \itempoint Notation : $f(n) \downarrow = g(m)$ signifie « $f(n)\downarrow$ et $g(m)\downarrow$ et $f(n) = g(m)$ ». \itempoint Convention : $f(n) = g(m)$ signifie « $f(n)\downarrow$ ssi $g(m)\downarrow$, et $f(n) = g(m)$ si $f(n)\downarrow$ ». (Certains préfèrent écrire $f(n) \simeq g(m)$ pour ça.) \medskip \itempoint Convention : si $g_i(\underline{x})\uparrow$ pour un $i$, on convient que $h(g_1(\underline{x}),\ldots,g_k(\underline{x}))\uparrow$. \medskip \itempoint Terminologie : une fonction $f\colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ est dite \textbf{totale}. \end{frame} % \begin{frame} \frametitle{Terminologie à venir (avant-goût)} \itempoint Une fonction partielle $f\colon \mathbb{N} \dasharrow \mathbb{N}$ est dite \textbf{calculable partielle} lorsqu'il existe un algorithme qui prend $n$ en entrée et : \begin{itemize} \item termine (en temps fini) et renvoie $f(n)$ lorsque $f(n)\downarrow$, \item ne termine pas lorsque $f(n)\uparrow$. \end{itemize} \bigskip \itempoint Une partie $A \subseteq \mathbb{N}$ est dite \textbf{décidable} lorsque sa fonction indicatrice $\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ \[ \mathbf{1}_A\colon n \mapsto \left\{ \begin{array}{ll} 1&\text{~si~}n\in A\\ 0&\text{~si~}n\not\in A\\ \end{array} \right. \] est calculable (répondre « oui » ou « non » selon que $n\in A$ ou $n\not\in A$). \bigskip \itempoint Une partie $A \subseteq \mathbb{N}$ est dite \textbf{semi-décidable} lorsque sa fonction « semi-indicatrice » $\mathbb{N}\dasharrow\mathbb{N}$ (d'ensemble de définition $A$) \[ n \mapsto \left\{ \begin{array}{ll} 1&\text{~si~}n\in A\\ \uparrow&\text{~si~}n\not\in A\\ \end{array} \right. \] est calculable (répondre « oui » ou « ... » selon que $n\in A$ ou $n\not\in A$). \end{frame} % \section{Fonctions primitives récursives} \begin{frame} \frametitle{Fonctions primitives récursives : aperçu} \itempoint Avant de définir les fonctions générales récursives ($\cong$ calculables), on va commencer par les \textbf{primitives récursives}, plus restreintes. {\footnotesize« primitive\alert{ment} récursives » ?\par} \bigskip \itempoint Historiquement antérieures à la calculabilité de Church-Turing. \bigskip \itempoint Pédagogiquement utile comme « échauffement ». \bigskip \itempoint À cheval entre calculabilité (\textbf{PR} est une petite classe de calculabilité) et complexité (c'est une grosse classe de complexité). \bigskip \itempoint Correspond à des programmes à \textbf{boucles bornées a priori}. \bigskip \itempoint Énormément d'algorithmes usuels sont p.r. \bigskip \itempoint Mais p.ex. la fonction d'Ackermann n'est pas p.r. \end{frame} % \begin{frame} \label{primitive-recursive-definition} \frametitle{Fonctions primitives récursives : définition} \itempoint $\textbf{PR}$ est la plus petite classe de fonctions $\mathbb{N}^k \dasharrow \mathbb{N}$ (en fait $\mathbb{N}^k \to \mathbb{N}$), pour $k$ variable qui : \begin{itemize} \item contient les projections $\underline{x} := (x_1,\ldots,x_k) \mapsto x_i$ ; \item contient les constantes $\underline{x} \mapsto c$ ; \item contient la fonction successeur $x \mapsto x+1$ ; \item est stable par composition : si $g_1,\ldots,g_\ell\colon \mathbb{N}^k \dasharrow \mathbb{N}$ et $h\colon \mathbb{N}^\ell \dasharrow \mathbb{N}$ sont p.r. alors $\underline{x} \mapsto h(g_1(\underline{x}),\ldots, g_\ell(\underline{x}))$ est p.r. ; \item est stable par récursion primitive : si $g\colon \mathbb{N}^k \dasharrow \mathbb{N}$ et $h\colon \mathbb{N}^{k+2} \dasharrow \mathbb{N}$ sont p.r., alors $f\colon \mathbb{N}^{k+1} \dasharrow \mathbb{N}$ est p.r., où : \[ \begin{aligned} f(\underline{x},0) &= g(\underline{x})\\ f(\underline{x},z+1) &= h(\underline{x},f(\underline{x},z),z) \end{aligned} \] \end{itemize} \medskip {\footnotesize Les fonctions p.r. sont automatiq\textsuperscript{t} totales, mais il est commode de garder la définition avec $\dasharrow$.\par} \end{frame} % \begin{frame} \frametitle{Fonctions primitives récursives : exemples} \itempoint $f\colon (x,z) \mapsto x+z$ est p.r. : \[ \begin{aligned} f(x,0) &= x\\ f(x,z+1) &= f(x,z)+1 \end{aligned} \] {\footnotesize où $x \mapsto x$ et $(x,y,z) \mapsto y+1$ sont p.r.\par} \medskip \itempoint $f\colon (x,z) \mapsto x\cdot z$ est p.r. : \[ \begin{aligned} f(x,0) &= 0\\ f(x,z+1) &= f(x,z)+x \end{aligned} \] \medskip \itempoint $f\colon (x,z) \mapsto x^z$ est p.r. \bigskip \itempoint $f\colon (x,y,0) \mapsto x, \; (x,y,z) \mapsto y\text{~si~}z\geq 1$ est p.r. : \[ \begin{aligned} f(x,y,0) &= x\\ f(x,y,z+1) &= y \end{aligned} \] \medskip \itempoint $(u,v) \mapsto \max(u-v,0)$ est p.r. (exercice !) ou même $u\% v$. \end{frame} % \begin{frame} \frametitle{Fonctions primitives récursives : programmation} Les fonctions p.r. sont celles définies par un \textbf{langage de programmation à boucles bornées}, c'est-à-dire que : \begin{itemize} \item les variables sont des entiers naturels (illimités !), \item les manipulations de base sont permises (constantes, affectations, test d'égalité, conditionnelles), \item les opérations arithmétiques basiques sont disponibles, \item on peut faire des appels de fonctions \alert{sans récursion}, \item on ne peut faire que des boucles \alert{de nombre borné \textit{a priori}} d'itérations. \end{itemize} \medskip Les programmes dans un tel langage \textbf{terminent forcément par construction}. \bigskip \textbf{N.B.} $(m,n) \mapsto \langle m,n\rangle := m + \frac{1}{2}(m+n)(m+n+1)$ et $\langle m,n\rangle \mapsto m$ et $\langle m,n\rangle \mapsto n$ sont p.r. \end{frame} % \begin{frame} \frametitle{Fonctions primitives récursives : lien avec la complexité} En anticipant sur la notion de machine de Turing : \medskip \itempoint La fonction $(M,C) \mapsto C'$ qui à une machine de Turing $M$ et une configuration (= ruban+état) $C$ de $M$ associe la configuration atteinte après $1$ étape d'exécution, \textbf{est p.r.} \medskip \itempoint Conséquence : la fonction $(n,M,C) \mapsto C^{(n)}$ qui à $n\in\mathbb{N}$ et une machine de Turing $M$ et une configuration $C$ de $M$ associe la configuration atteinte après $n$ étapes d'exécution, \textbf{est p.r.} {\footnotesize (Par récursion primitive sur le point précédent.)} \medskip \itempoint Conséquence : une fonction calculable en complexité p.r. par une machine de Turing est elle-même p.r. \smallskip {\footnotesize (Calculer une borne p.r. sur le nombre d'étapes, puis appliquer le point précédent.)} \medskip \itempoint Réciproquement : une p.r. est calculable en complexité p.r. \medskip \itempoint Moralité : p.r. $\Leftrightarrow$ de complexité p.r. \smallskip {\footnotesize Notamment $\textbf{EXPTIME} \subseteq \textbf{PR}$.\par} \end{frame} % \begin{frame} \frametitle{Fonctions primitives récursives : limitations} {\footnotesize La classe $\textbf{PR}$ est « à cheval » entre la calculabilité et la complexité.\par} \bigskip Rappel : la \textbf{fonction d'Ackermann} (pour $m=2$) définie par : \[ \begin{aligned} A(2,n,0) &= 2+n \\ A(2,1,k+1) &= 2 \\ A(2,n+1,k+1) &= A(2,\,A(2,n,k+1),\,k) \end{aligned} \] devrait être calculable. Mais cette définition \alert{n'est pas une récursion primitive} (pourquoi ?). \bigskip \itempoint On peut montrer que : si $f \colon \mathbb{N}^k \to \mathbb{N}$ est p.r., il existe $r$ tel que \[ f(x_1,\ldots,x_k) \leq A(2,\, (x_1+\cdots+x_k+2),\, r) \] \medskip \itempoint Notamment, $r \mapsto A(2, 2, r)$ \textbf{n'est pas p.r.} \medskip Pourtant, \alert{elle est bien définie par un algorithme} clair (et terminant clairement). \end{frame} % \begin{frame} \frametitle{Fonctions primitives récursives : numérotation} On définit $\psi_e^{(k)}\colon \mathbb{N}^k \dasharrow \mathbb{N}$ par induction suivant la déf\textsuperscript{n} de $\mathbf{PR}$ (cf. transp. \ref{primitive-recursive-definition}) : \begin{itemize} \item si $e = \dbllangle 0, k, i\dblrangle$ alors $\psi_e^{(k)}(x_1\ldots,x_k) = x_i$ (projections) ; \item si $e = \dbllangle 1, k, c\dblrangle$ alors $\psi_e^{(k)}(x_1\ldots,x_k) = c$ (constantes) ; \item si $e = \dbllangle 2\dblrangle$ alors $\psi_e^{(k)}(x) = x+1$ (successeur) ; \item si $e = \dbllangle 3, k, d, c_1,\ldots,c_\ell\dblrangle$ et $g_i := \psi_{c_i}^{(k)}$ et $h := \psi_d^{(\ell)}$, alors $\psi_e^{(k)} \colon \underline{x} \mapsto h(g_1(\underline{x}),\ldots, g_\ell(\underline{x}))$ (composition) ; \item si $e = \dbllangle 4, k, d, c\dblrangle$ et $g := \psi_c^{(k)}$ et $h := \psi_d^{(k+2)}$, alors (récursion primitive) \[ \begin{aligned} \psi_e^{(k+1)}(\underline{x},0) &= g(\underline{x})\\ \psi_e^{(k+1)}(\underline{x},z+1) &= h(\underline{x},f(\underline{x},z),z) \end{aligned} \] \end{itemize} (Autres cas non définis, i.e., donnent $\uparrow$.) \bigskip \itempoint Alors $f\colon \mathbb{N}^k \dasharrow \mathbb{N}$ est p.r. \alert{ssi} $\exists e \in\mathbb{N}.\,(f = \psi_e^{(k)})$. {\tiny P.ex., $e = \dbllangle 4,1,\dbllangle 3,3,\dbllangle 2\dblrangle,\dbllangle 0,3,2\dblrangle\dblrangle,\dbllangle 0,1,1\dblrangle\dblrangle$ définit $\psi^{(2)}_e(x,z) = x+z$ sauf erreur (probable) de ma part.\par} \end{frame} % \begin{frame} \frametitle{Manipulation de programmes (version p.r.)} \itempoint Penser à $e$ dans $\psi_e^{(k)}$ comme un programme écrit en « langage p.r. ». \medskip \itempoint La fonction $\psi_e^{(k)}\colon \mathbb{N}^k \dasharrow \mathbb{N}$ « interprète » le programme $e$. \medskip \centerline{*} \bigskip La numérotation (transp. précédent) rend p.r. beaucoup de manipulations usuelles de programmes (composition, récursion, etc.). Notamment : \medskip \itempoint\textbf{Théorème s-m-n} (Kleene) : il existe $s_{m,n} \colon \mathbb{N}^{m+1} \to \mathbb{N}$ p.r. telle que \[ \psi^{(n)}_{s_{m,n}(e,x_1,\ldots,x_m)}(y_1,\ldots,y_n) = \psi^{(m+n)}_e(x_1,\ldots,x_m,\,y_1,\ldots,y_n) \] {\footnotesize\underline{Preuve :} $s_{m,n}(e,\underline{x}) = \dbllangle 3, n, e, \dbllangle 1, n, x_1\dblrangle, \ldots, \dbllangle 1, n, x_m\dblrangle, \; \dbllangle 0, n, 1\dblrangle, \ldots, \dbllangle 0, n, n\dblrangle \dblrangle$ avec nos conventions (composition de fonctions constantes et de projections).\qed\par} \medskip \emph{En clair :} $s_{m,n}$ prend un programme $e$ qui prend $m+n$ arguments en entrée et « fixe » la valeur des $m$ premiers arguments à $x_1,\ldots,x_m$, les $n$ arguments suivants ($y_1,\ldots,y_n$) étant gardés variables. \end{frame} % \begin{frame} \frametitle{Digression : l'astuce de Quine (intuition)} {\footnotesize Le nom de Willard Van Orman Quine (1908–2000) a été associé à cette astuce par Douglas Hofstadter. En fait, l'astuce est plutôt due à Cantor, Turing ou Kleene.\par} \smallskip \textcolor{teal}{Les mots suivants suivis des mêmes mots entre guillemets forment une phrase intéressante : « les mots suivants suivis des mêmes mots entre guillemets forment une phrase intéressante ».} \bigskip Pseudocode : \smallskip {\footnotesize\texttt{% str="somefunc(code) \{ /*...*/ \}\textbackslash nsomefunc(\textbackslash"str=\textbackslash"+quote(str)+str);\textbackslash n";\\ somefunc(code) \{ /*...*/ \}\\ somefunc("str="+quote(str)+str); }\par} \smallskip $\Rightarrow$ La fonction \texttt{somefunc} (arbitraire) est appelée avec le code source du programme tout entier. \medskip {\footnotesize\textbf{Exercice :} utiliser cette astuce pour écrire un programme écrivant son propre code source.\par} \bigskip \textbf{Moralité :} \alert{on peut toujours donner aux programmes accès à leur code source}, même si ce n'est pas prévu par le langage. \end{frame} % \begin{frame} \frametitle{Le théorème de récursion de Kleene (version p.r.)} Version formelle de l'astuce de Quine {\footnotesize (aussi appelé « théorème du point fixe » de Kleene)\par} \smallskip \itempoint\textbf{Théorème} (Kleene) : si $h \colon \mathbb{N}^{k+1} \dasharrow \mathbb{N}$ est p.r., il existe $e$ tel que \[ \psi^{(k)}_e(\underline{x}) = h(e,\underline{x}) \] Plus précisément, il existe $b \colon \mathbb{N}^2 \to \mathbb{N}$ p.r. telle que \[ \psi^{(k)}_e(\underline{x}) = \psi^{(k+1)}_d(e,\underline{x}) \text{~si~}e := b(k,d) \] \bigskip \underline{Preuve :} soit $s := s_{m,1}$ donné par le théorème s-m-n. La fonction $(t,\underline{x}) \mapsto h(s(t,t),\underline{x})$ est p.r., disons $= \psi_c^{(k+1)}(\underline{x})$. Alors \[ \psi_{s(c,c)}^{(k)}(\underline{x}) = \psi_{c}^{(k+1)}(c, \underline{x}) = h(s(c,c),\underline{x}) \] donc $e := s(c,c)$ convient. Les fonctions $d \mapsto c \mapsto e$ sont p.r.\qed \bigskip \textbf{Moralité :} \alert{on peut donner aux programmes accès à leur propre numéro} (= « code source »), cela ne change rien. \end{frame} % \begin{frame} \frametitle{Fonctions primitives récursives : pas d'universalité} \itempoint\textbf{Théorème :} il n'existe pas de fonction p.r. $u\colon \mathbb{N}^2 \to \mathbb{N}$ telle que $u(e,x) = \psi^{(1)}_e(x)$ si $\psi^{(1)}_e(x)\downarrow$. \bigskip \underline{Preuve :} par l'absurde : si un tel $u$ existe, alors $(e,x) \mapsto u(e,x)+1$ est p.r. Par le théorème de récursion de Kleene, il existe $e$ tel que $\psi^{(1)}_e(x) = u(e,x) + 1$, ce qui contredit $u(e,x) = \psi^{(1)}_e(x)$.\qed \medskip \centerline{*} \medskip \textbf{Moralité :} \alert{un interpréteur du langage p.r. ne peut pas être p.r.} (preuve : on peut interpréter l'interpréteur s'interprétant lui-même, en ajoutant un au résultat, ce qui donne un paradoxe ; c'est un argument diagonal de Cantor). \bigskip \itempoint Cet argument dépend du théorème s-m-n et du fait que les fonctions p.r. sont \alert{totales}. Pour définir une théorie satisfaisante de la calculabilité, on va sacrifier la totalité pour sauver le théorème s-m-n. {\footnotesize Cette même preuve donnera alors la preuve de l'indécidabilité du problème de l'arrêt.\par} \end{frame} % \begin{frame} \frametitle{Fonctions primitives récursives : pas d'universalité (variante)} Rappel : la \textbf{fonction d'Ackermann} est définie par : \[ \begin{aligned} A(m,n,0) &= m+n \\ A(m,1,k+1) &= m \\ A(m,n+1,k+1) &= A(m,\,A(m,n,k+1),\,k) \end{aligned} \] \bigskip \itempoint Pour un $k$ \alert{fixé}, la fonction $(m,n) \mapsto A(m,n,k)$ est p.r. (par récurrence sur $k$, récursion primitive sur $A(m,n,k-1)$). \bigskip \itempoint Il existe même $k \mapsto a(k)$ p.r. telle que $\psi^{(2)}_{a(k)}(m,n) = A(m,n,k)$. \smallskip I.e., on peut calculer de façon p.r. en $k$ le code d'un programme p.r. qui calcule $(m,n) \mapsto A(m,n,k)$. \bigskip \itempoint Si (une extension de) $(e,n) \mapsto \psi^{(1)}_e(n)$ était p.r., on pourrait calculer $(n,k) \mapsto \psi^{(1)}_{s_{1,1}(a(k),2)}(n) = \psi^{(2)}_{a(k)}(2,n) = A(2,n,k)$, or elle n'est pas p.r. \end{frame} % \section{Fonctions générales récursives} \begin{frame} \frametitle{Fonctions générales récursives : aperçu} \itempoint On a vu que les fonctions p.r. sont \alert{limitées} et ne couvrent pas la notion générale d'algorithme : \begin{itemize} \item les algorithmes p.r. terminent toujours car \item le langage ne permet pas de boucles non bornées ; \item concrètement, il n'implémente pas la fonction d'Ackermann ; \item il ne peut pas s'interpréter lui-même. \end{itemize} \bigskip \itempoint On veut modifier la définition des fonctions p.r. pour lever ces limitations. On va \alert{autoriser les boucles infinies}. \bigskip \itempoint En ce faisant, on obtient forcément des cas de non-terminaisons, donc on doit passer par des \alert{fonctions partielles}. \bigskip {\footnotesize\textbf{N.B.} Terminologie confuse : fonctions « générales récursives » ? juste « récursives » ? « récursives partielles » ? « calculables » ? « calculables partielles » ?\par} \end{frame} % \begin{frame} \frametitle{L'opérateur $\mu$ de Kleene} \textbf{Définition :} $\mu g(\underline{x})$ est le plus petit $z$ tel que $g(z,\underline{x}) = 0$ et $g(i,\underline{x})\downarrow$ pour $0\leq i0$ (sous-entendant $g(i,\underline{x})\downarrow$) pour tout $0\leq i 0$. \end{itemize} \par} On encode l'arbre $\mathscr{T}$ par l'entier $\operatorname{code}(\mathscr{T}) := \dbllangle n, \operatorname{code}(\mathscr{T}_1), \ldots, \operatorname{code}(\mathscr{T}_s)\dblrangle$ où $n$ est l'étiquette de la racine et $\mathscr{T}_1,\ldots,\mathscr{T}_s$ les codes des sous-arbres portés par les fils de celle-ci. \end{frame} % \begin{frame} \frametitle{Arbres de calcul $\Rightarrow$ universalité} Les points-clés : \begin{itemize} \item On a $\varphi_e^{(k)}(\underline{x}) = y$ \alert{ssi} il existe un arbre de calcul $\mathscr{T}$ l'attestant. \item Vérifier si $\mathscr{T}$ est un arbre de calcul valable est \alert{primitif récursif} en $\operatorname{code}(\mathscr{T})$. (On peut vérifier les règles à chaque nœud avec des boucles bornées.) \item De même, extraire $e,\underline{x},y$ de $\mathscr{T}$ est primitif récursif. \end{itemize} \bigskip D'où l'algorithme « universel » pour calculer $\varphi_e^{(k)}(\underline{x})$ en fonction de $e,\underline{x}$ : \begin{itemize} \item parcourir $n=0,1,2,3,4,\ldots$, \item pour chacun, tester s'il code un arbre de calcul valable de $\varphi_e^{(k)}(\underline{x})$, \item si oui, terminer et renvoyer le $y$ contenu. \end{itemize} La boucle non-bornée est précisément ce que permet $\mu$. Tout le reste est p.r. $\Rightarrow$ Ceci montre l'existence de $u$. \bigskip \textcolor{orange}{Ne pas coder un interpréteur comme ça dans la vraie vie !} \end{frame} % \begin{frame} \frametitle{Théorème de la forme normale} On a montré un peu plus que l'universalité : on peut exécuter n'importe quel algorithme avec une \alert{unique boucle non bornée}. Plus exactement : \bigskip \itempoint\textbf{Théorème de la forme normale} (Kleene) : il existe un prédicat p.r. $T$ sur $\mathbb{N}^3$ et une fonction p.r. $U \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ tels que : \[ \varphi_e^{(k)}(x_1,\ldots,x_k) = U(\mu T(e,\dbllangle x_1,\ldots,x_k\dblrangle)) \] Précisément, $T(n, e,\dbllangle x_1,\ldots,x_k\dblrangle)$ teste si $n$ est le code d'un arbre de calcul valable de $\varphi_e^{(k)}(\underline{x})$, et $U$ extrait le résultat de cet arbre. \end{frame} % \end{document}