%% This is a LaTeX document.  Hey, Emacs, -*- latex -*- , get it?
\documentclass[mathserif,a4paper,aspectratio=169]{beamer}
%\documentclass[a4paper]{article}
%\usepackage[envcountsect,noxcolor]{beamerarticle}
\usepackage[shorthands=off,french]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~}
\DeclareUnicodeCharacter{2026}{...}
\DeclareUnicodeCharacter{1E25}{\d{h}}
% Beamer theme:
\usetheme{Goettingen}
%\usecolortheme{albatross}
%\usecolortheme{lily}
%\setbeamercovered{transparent}
% A tribute to the worthy AMS:
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}
%
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{mathpartir}
%
\usepackage{graphicx}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{arrows,automata,calc}
%
\newcommand{\itempoint}{\strut\hbox{\color{beamerstructure}\donotcoloroutermaths$\blacktriangleright$}\nobreak\hskip.5em plus.5em\relax}
\renewcommand{\thefootnote}{\textdagger}
\newcommand{\dbllangle}{\mathopen{\langle\!\langle}}
\newcommand{\dblrangle}{\mathclose{\rangle\!\rangle}}
%
%
%
\title{Typage simple}
\subtitle{INF110 (Logique et Fondements de l'Informatique)}
\author[David Madore]{David A. Madore\\
{\footnotesize Télécom Paris}\\
\texttt{david.madore@enst.fr}}
\date{2023–2024}
\mode<presentation>{%
\beamertemplatenavigationsymbolsempty
\usenavigationsymbolstemplate{\vbox{\hbox{\footnotesize\hyperlinkslideprev{$\leftarrow$}\insertframenumber/\inserttotalframenumber\hyperlinkslidenext{$\rightarrow$}}}}
}
\setbeamercolor{myhighlight}{fg=black,bg=white!90!green}
\begin{document}
\mode<article>{\maketitle}
%
\setlength\abovedisplayskip{2pt plus 2pt minus 2pt}
\setlength\belowdisplayskip{2pt plus 2pt minus 2pt}
%
\begin{frame}
\titlepage
{\footnotesize\center{\url{http://perso.enst.fr/madore/inf110/transp-inf110.pdf}}\par}
{\tiny
\immediate\write18{sh ./vc > vcline.tex}
\begin{center}
Git: \input{vcline.tex}
\end{center}
\immediate\write18{echo ' (stale)' >> vcline.tex}
\par}
\end{frame}
%
\section*{Plan}
\begin{frame}
\frametitle{Plan}
\tableofcontents
\end{frame}
%
\section{Généralités sur le typage}
\begin{frame}
\frametitle{Qu'est-ce que le typage ?}

{\footnotesize Philosophie opposée du « codage de Gödel » en
  calculabilité, lequel représente toute donnée finie par un
  entier.\par}

\medskip

\itempoint Informellement, un \textbf{système de typage} est une façon
d'affecter à toute \alert{expression} et/ou \alert{valeur} manipulée
par un langage informatique un \textbf{type} qui contraint son usage
{\footnotesize (p.ex., « entier », « fonction », « chaîne de
  caractères »)}.

\medskip

\textbf{Buts :}
\begin{itemize}
\item attraper plus tôt des \textbf{erreurs de programmation}
  {\footnotesize (« ajouter un entier et une chaîne de caractères »
    est probablement une erreur, ou demande une conversion
    explicite)},
\item éviter des \textbf{plantages ou problèmes de sécurité}
  {\footnotesize (exécution d'un entier)},
\item garantir certaines \textbf{propriétés du comportement} des
  programmes ($\rightarrow$ analyse statique), forcément de façon
  limitée (cf. théorème de Rice), p.ex., la \alert{terminaison},
\item aider à l'\textbf{optimisation} {\footnotesize (fonction pure :
  sans effet de bord)}.
\end{itemize}

\medskip

{\footnotesize Cf. systèmes d'unités (homogénéité) en physique.\par}

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Variétés de typage}

Il y a autant de systèmes de typage que de langages de programmation !

\medskip

\itempoint Typage \textbf{statique} (à compilation) vs
\textbf{dynamique} (à exécution) ou mixte.

{\footnotesize Mixte = « graduel ».  On préfère : erreur de
  compilation $>$ erreur à l'exécution $>$ plantage.\par}

\medskip

\itempoint Typage \textbf{inféré} par le langage ou \textbf{annoté}
par le programmeur.

{\footnotesize Type = promesse donnée par le langage au
  programmeur ou par le programmeur au langage ?\par}

\medskip

\itempoint Typage « sûr » ou partiel/contournable (\textit{cast} de
la valeur, manipulation de la représentation mémoire, suppression ou
report à l'exécution de vérification).

\medskip

\itempoint Typage superficiel {\footnotesize (« ceci est une liste »)}
ou complexe {\footnotesize (« ceci est une liste d'entiers »)}.

\medskip

\itempoint Diverses annotations possibles {\footnotesize (« cette
  fonction est pure », « soulève une exception »)}.

\medskip

\itempoint Liens avec les mécanismes de sécurité (qui peut faire
quoi ?), de gestion de la mémoire (système de typage linéaire),
l'évaluation (exceptions), la mutabilité.

\medskip

\itempoint Les types sont-ils citoyens de première classe
           {\footnotesize (:= manipulables dans le langage)} ?

{\footnotesize Juvénal : « Quis custodiet ipsos custodes? » Quel est
  le type des types eux-mêmes ?\par}

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Opérations de base sur les types}

En plus de types de base (p.ex. $\texttt{Nat}$ = entiers,
$\texttt{Bool}$ = booléens), les opérations suivantes sur les types
sont \emph{souvent} proposées par les systèmes de typage :

\bigskip

\itempoint Types \textbf{produits} (= paires, triplets, $k$-uplets).
P.ex. $\texttt{Nat} \times \texttt{Bool}$ = type des paires formées
d'un entier et d'un booléen.

\smallskip

Composantes éventuellement nommées $\rightarrow$ structures
(= enregistrements).

\smallskip

Produit vide = type trivial, $\texttt{Unit}$ (une seule valeur).

\bigskip

\itempoint Types \textbf{sommes} (= unions).  P.ex. $\texttt{Nat} +
\texttt{Bool}$ = type pouvant contenir un entier \emph{ou} un booléen,
avec un \alert{sélecteur} de cas.

\smallskip

Cas particulier : $\texttt{Unit} + \cdots + \texttt{Unit}$ = type
« énumération » (pur sélecteur).

\smallskip

Somme vide = type inhabité (impossible : aucune valeur).

\bigskip

\itempoint Types \textbf{fonctions} (= exponentielles).
P.ex. $\texttt{Nat} \rightarrow \texttt{Bool}$ (f\textsuperscript{n}
de $\texttt{Nat}$ vers $\texttt{Bool}$).

\bigskip

\itempoint Types \textbf{listes}.  P.ex. $\texttt{List}~\texttt{Nat}$
= type des listes d'entiers.

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Quelques fonctionnalités fréquentes}

\itempoint \textbf{Sous-typage} = les valeurs d'un type sont
automatiquement des valeurs possibles d'un autre.

\bigskip

\itempoint \textbf{Polymorphisme} = utilisation de plusieurs types
possibles, voire de n'importe quel type (cf. transp. suivant).
P.ex. la fonction « identité » $(\forall\mathtt{t})\; \mathtt{t}
\rightarrow \mathtt{t}$.

\bigskip

\itempoint \textbf{Constructeurs de types} = fabriquent un type à
partir d'un (ou plusieurs) autres.  P.ex. $\texttt{List}$ (fabrique le
type « liste de $\mathtt{t}$ » à partir de $\mathtt{t}$).

\bigskip

\itempoint \textbf{Types récursifs} = construits par les opérateurs
(produits, sommes, fonctions, constructeurs…) à partir des types
définis eux-mêmes.  P.ex. $\texttt{Tree} =
\texttt{List}~\texttt{Tree}$.

\bigskip

\itempoint \textbf{Types dépendants} = un type à partir d'une valeur.
P.ex. $k \mapsto \texttt{Nat}^k$.

\bigskip

\itempoint \textbf{Types opaques} (abstraits, privés…) = types dont
les valeurs sont cachées, l'usage est limité à une interface publique.

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Polymorphisme}

On distingue deux (trois ?) sortes de polymorphismes :

\medskip

\itempoint Polymorphisme \textbf{paramétrique} (ou « génériques ») :
la même fonction \alert{s'applique à l'identique} à une donnée de
n'importe quel type.

\smallskip

Exemples :
\begin{itemize}
\item $\texttt{head} : (\forall\mathtt{t})\; \texttt{List}~\mathtt{t} \to \mathtt{t}$ (renvoie le premier élément d'une liste)
\item $\lambda xy.\langle x,y\rangle :
  (\forall\mathtt{u},\mathtt{v})\; \mathtt{u} \to \mathtt{v} \to
  \mathtt{u}\times \mathtt{v}$ (fabrique un couple)
\item $\lambda xyz.xz(yz) :
  (\forall\mathtt{u},\mathtt{v},\mathtt{w})\; (\mathtt{u} \to
  \mathtt{v} \to \mathtt{w}) \to (\mathtt{u} \to
  \mathtt{v}) \to \mathtt{u} \to
  \mathtt{w}$
\end{itemize}

\smallskip

Pas seulement pour les fonctions !  $\texttt{[]} :
(\forall\mathtt{t})\; \texttt{List}~\mathtt{t}$ (liste vide)

\smallskip

{\footnotesize Et même : $\texttt{while~true~do~pass~done} :
  (\forall\mathtt{t})\; \mathtt{t}$ (boule infinie)\par}

\bigskip

\itempoint Polymorphisme \textbf{ad hoc} (ou « surcharge » /
« \textit{overloading} ») : la fonction \alert{agit différemment} en
fonction du type de son argument (connu à la compilation !).

\bigskip

{\footnotesize Le sous-typage est parfois considéré comme une forme de
  polymorphisme, voire la coercion (\textit{cast}).  Les limites de
  ces notions sont floues.\par}

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Tâches d'un système de typage}

\itempoint \textbf{Vérification} de type : vérifier qu'une expression
\emph{annotée} a bien le type prétendu par les annotations.

\bigskip

\itempoint \textbf{Inférence} (« reconstruction » / « assignation »)
de type : calculer le type de l'expression \alert{en l'absence
  d'annotations} (ou avec annotations partielles).

\medskip

Algorithme important : \textbf{Hindley-Milner} (inférence de type dans
les langages fonctionnels à polymorphisme paramétrique).  Utilisé
dans OCaml, Haskell, etc.

\medskip

\textbf{N.B.} Dans un système de typage trop complexe, l'inférence
(voire la vérification !) \textcolor{orange}{peut devenir indécidable}
(notamment si types de première classe / dépendant de valeurs
arbitraires à l'exécution).

\bigskip

{\footnotesize Rarement utile en informatique mais essentiel en
  logique ($\cong$ recherche de preuves) :\par}

\itempoint \textbf{Habitation} de type : trouver un \alert{terme}
(=expression) ayant un type donné.

{\footnotesize P.ex. : y a-t-il un terme de type
  $(\forall\mathtt{p},\mathtt{q})\; ((\mathtt{p} \to \mathtt{q}) \to
  \mathtt{p}) \to \mathtt{p}$ ?\par}

{\footnotesize \textbf{N.B.} Dans les langages usuels, \alert{tous}
  les types sont habités par une boucle infinie (« \texttt{while true
    do pass done} » ou « \texttt{let rec f () = f () in f ()} »),
  \alert{même} le type vide.\par}

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Utilisations du typage au-delà des valeurs stockées}

\itempoint Annotation des \textbf{exceptions soulevables} (fréquent,
p.ex. Java).

\bigskip

\itempoint Annotation de la \textbf{mutabilité} par le type.
P.ex. $\texttt{Nat}$ = type d'un entier (immuable) mais
$\texttt{Ref~Nat}$ = type d'une \alert{référence} vers un entier
(mutable).

\bigskip

\itempoint Annotation des \textbf{effets de bord} par le type.  P.ex.,
en Haskell, $\texttt{Char}$ = caractère = fonction de zéro argument
renvoyant un caractère (fonction pure : toujours le même retour), mais
$\texttt{IO~Char}$ = \alert{action} avec effets de bord renvoyant un
caractère ($\texttt{IO}$ est un constructeur de type appelé « monade »
I/O).

\bigskip

\itempoint Typage \textbf{linéaire} (forme de typage
« sous-structurel ») ou types à unicité : assure qu'une valeur est
utilisée \alert{une et une seule fois} dans un calcul (ni duplication
ni perte sauf manœuvre spéciale).

\smallskip

Permet d'optimiser la gestion de la mémoire (Rust) et/ou d'annoter les
effets de bord (Clean).

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Quelques exemples (1)}

Les langages impératifs \emph{tendent} à avoir des systèmes de typage
moins complexes que les langages fonctionnels.

\medskip

{\footnotesize Éviter les termes de typage « faible » et « fort », qui
  veulent tout (ou rien) dire.\par}

\medskip

\itempoint Assembleur (langage machine) : aucun typage (tout est
donnée binaire).

{\footnotesize Idem : machine de Turing, fonctions générales
  récursives (tout est entier), $\lambda$-calcul non typé (tout est
  fonction).\par}

\medskip

\itempoint C : annoté, vérifié à la compilation (\emph{aucune}
vérification à l'exécution), moyennement complexe et contournable
(pointeurs génériques \texttt{void*}).

\medskip

\itempoint Python, JavaScript, Perl, Scheme, etc. : typage vérifié à
l'exécution, superficiel.  Suffisant pour éviter les comportements
indéfinis.

\medskip

\itempoint Java : annoté, mixte compilation/exécution (double
vérification), initialement superficiel (listes non typées), puis
introduction de « génériques » ($\rightarrow$ polymorphisme
paramétrique) avec Java 5, puis diverses sortes d'inférence.

\medskip

\itempoint Rust : interaction avec la gestion de la mémoire
($\approx$ typage linéaire).

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Quelques exemples (2)}

{\footnotesize Qqs exemples de langages, généralement fonctionnels,
  ayant un système de typage (très) complexe, mélangeant plusieurs
  fonctionnalités évoquées (interactions parfois délicates !) :\par}

\medskip

\itempoint OCaml : inférence de type à la H-M, types récursifs,
polymor\textsuperscript{sme} paramétrique.

\smallskip

Système de « modules » (« signatures » $\approx$ interfaces
abstraites, « foncteurs » entre signatures…), comparable aux
« classes » des langages orientés objet.

\medskip

\itempoint Haskell : beaucoup de similarité avec OCaml :

\smallskip

+ polymorphisme ad hoc : « classes de type », comparable aux
« modules » de OCaml, aux « classes » des langages orientés objet.

\smallskip

+ purement fonctionnel (toutes les fonctions sont « pures ») : les
effets de bord sont enrobés dans des « monades ».

\medskip

\itempoint Mercury (langage de type fonctionnel+logique, inspiré de
Haskell+Prolog) : typage comparable à Haskell ; + sous-typage,
linéarité.

\medskip

\itempoint Idris : langage fonctionnel + assistant de preuve.

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Quelques curiosités}

\itempoint En F\#, les unités de mesure sont intégrées au système de
typage, qui peut donc vérifier l'homogénéité physique.

\bigskip

\itempoint En Rust, le système de typage évite non seulement les
fuites de mémoire mais aussi certains problèmes de concurrence
(absence de \textit{race condition} sur les données).

\bigskip

\itempoint Certains langages spécialisés assurent, éventuellement en
lien avec leur système de typage, des propriétés diverses de leurs
programmes : terminaison garantie en temps polynomial (Bellantoni \&
Cook 1992), voire constant (langage Usuba), validation XML (langage
CDuce), absence de fuite d'information (langage Flow Caml), etc.

\bigskip

\itempoint En Idris, le système de typage est aussi un système de
preuve (cf. Curry-Howard après) et permet de certifier des invariants
quelconques d'un programme (p.ex., correction d'un algorithme de tri).

\end{frame}
%
\begin{frame}
\label{typing-and-termination}
\frametitle{Typage et terminaison}

Un système de typage \alert{peut} garantir que \textbf{tout programme
  bien typé termine}.

\bigskip

Ce \alert{n'est pas le cas} pour les langages de programmation usuels
(en OCaml, Haskell, etc., un programme bien typé peut faire une boucle
infinie).

\bigskip

Si on veut que le système de typage soit décidable, ceci met forcément
des \alert{limites sur l'expressivité} du langage
($\leftarrow$ indécidabilité du problème de l'arrêt).

\bigskip

Notamment, le langage ne permettra pas d'écrire son propre
interpréteur (même argument « diagonal » que pour les fonctions p.r.
par thm. de réc\textsuperscript{sion} de Kleene).

\bigskip

Notamment aussi : pas de boucle illimitée, pas d'appels récursifs
\emph{non contraints}, pas de type tel que $\mathtt{t} \,\cong\,
(\mathtt{t}\rightarrow \mathtt{t})$.  Aucun terme de type vide !

\bigskip

Néanmoins, le langage peut être \alert{beaucoup plus puissant} que les
fonctions p.r.

\bigskip

Exemple de tel langage : Coq.

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{La correspondance de Curry-Howard (avant-goût)}

Idée générale : établir une analogie, voire une correspondance précise
entre
\begin{itemize}
\item \textbf{types} et \textbf{termes} de ces types dans un système
  de typage,
\item \textbf{propositions} et \textbf{preuves} de ces propositions
  dans un système logique.
\end{itemize}

\smallskip

P.ex., la preuve évidente de l'affirmation $(A \land B) \Rightarrow A$
(« si $A$ et $B$ sont vraies alors $A$ est vraie ») correspond à la
« première projection » de type $a \times b \rightarrow a$.

\smallskip

{\footnotesize Ceci « explique » que le type d'un terme tel que
  $\lambda xy.x$, soit $u \to v \to u$, soit une vérité logique, en
  l'occurrence $U \Rightarrow V \Rightarrow U$ (« si $U$ est vrai
  alors, si $V$ est vrai alors $U$ est vrai »).\par}

\bigskip

Beaucoup de variations sur cette correspondance, mais il y a des
restrictions :
\begin{itemize}
\item le langage informatique doit garantir la terminaison, sinon cela
  reviendrait à permettre les preuves circulaires,
\item la logique concernée est plutôt « intuitionniste » (sans tiers
  exclu),
\item diverses subtilités notamment dans la correspondance entre types
  sommes paramétriques (types $\Sigma$) et $\exists$ côté logique.
\end{itemize}

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Paradoxe de Curry (interlude distrayant)}

{\footnotesize Variante plus sophistiquée de « cette phrase est
  fausse ».  C'est un exemple de preuve circulaire
  ($\leftrightarrow$ combinateur $\mathsf{Y}$ de Curry par la
  correspondance de C-H), invalide en logique.\par}

\medskip

Je tiens l'affirmation : « \textcolor{teal}{si j'ai raison, alors je
  suis un grand génie} ».

\begin{itemize}
\item clairement, si j'ai raison, je suis un grand génie ;
\item mais c'était justement mon affirmation : donc j'ai raison ;
\item donc je suis un grand génie. \qedsymbol
\end{itemize}

{\footnotesize Remplacer « j'ai raison » par « cette phrase est
  vraie » (voire utiliser l'astuce de Quine pour éviter « cette
  phrase ») et « je suis un grand génie » par absolument n'importe
  quoi.\par}

\bigskip

\itempoint Ce qui est correct : \alert{si on peut construire} un
énoncé $A$ tel que $A \Leftrightarrow (A \Rightarrow B)$ (ici $A$ est
l'affirmation tenue et $B$ est la conclusion voulue) alors $B$ vaut :
\[
(A \Leftrightarrow (A \Rightarrow B)) \, \Rightarrow \, B
\]

{\footnotesize (Preuve correcte : supposons $A$ : par hypothèse, ceci
  signifie $A \Rightarrow B$ ; on a donc $B$ ; tout ceci prouve $A
  \Rightarrow B$.  Bref on a $A \Rightarrow B$.  Mais par hypothèse
  c'est $A$.  Donc $A$ vaut.  Donc $B$ aussi.)\par}

\medskip

\itempoint Ce qui est \textcolor{orange}{fallacieux} : la supposition
tacite qu'on peut construire un tel $A$.

{\footnotesize L'astuce de Quine permet de faire une auto-référence
  sur la syntaxe, pas sur la vérité.\par}

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Théories des types pour la logique (très bref aperçu)}

\itempoint Langages spécialisés pour servir à la fois à l'écriture de
programmes informatiques et de preuves mathématiques ; ils peuvent
être soit sous forme de systèmes abstraits, soit sous forme
d'implémentation informatique (« assistants de preuve » : Coq, Agda,
Lean…).

\bigskip

\itempoint Dans tous les cas il s'agit de langages assurant la
terminaison des programmes (cf. transp. \ref{typing-and-termination}),
ou, puisqu'il s'agit de variantes du $\lambda$-calcul, la
\emph{normalisation forte}.  Le type vide doit être inhabité !

\bigskip

Quelques grandes familles (chacune avec énormément de variantes) :
\begin{itemize}
\item théories des types à la Martin-Löf (« MLTT ») : suit jusqu'au
  bout la correspondance de Curry-Howard (\emph{aucune} distinction
  entre types et propositions ; {\footnotesize pas de $\exists$ mais
    plutôt un $\Sigma$}), $\rightarrow$ Agda ;
\item variantes du « calcul des constructions » (« CoC »),
  $\rightarrow$ Coq ;
\item théorie homotopique des types (« HoTT ») : « égalité = isomorphisme ».
\end{itemize}

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Le $\lambda$-cube de Barendregt (très bref aperçu)}

Il s'agit d'un ensemble de $8 = 2^3$ théories des types pour la
logique : la plus faible est le « $\lambda$-calcul simplement typé »
($\lambda_\rightarrow$, décrit plus loin), la plus forte le « calcul
des constructions » (« CoC »).

\medskip

Chaque théorie du cube est caractérisée par l'absence ou la présence
de chacune des $3$ fonctionnalités suivantes ($\lambda_\rightarrow$
n'a aucune des trois, CoC a les trois) :

\begin{itemize}
\item \textcolor{blue}{termes pouvant dépendre de types}, ou
  polymorphisme paramétrique « explicitement quantifié » (p.ex. $\prod
  t.\; (t \rightarrow t)$) ;
\item \textcolor{blue}{types pouvant dépendre de types}, ou
  constructeurs de types ;
\item \textcolor{blue}{types pouvant dépendre de termes}, ou « types
  dépendants », correspondant côté logique à la quantification sur les
  individus.
\end{itemize}

\medskip

{\footnotesize On peut ensuite encore ajouter des fonctionnalités :
  par exemple, Coq est basé sur le « calcul des constructions
  inductives » qui ajoute au calcul des constructions des mécanismes
  systématiques pour former des types (positivement !) récursifs.\par}

\end{frame}
%
\section{Le \texorpdfstring{$\lambda$}{lambda}-calcul simplement typé}
\begin{frame}
\frametitle{Le $\lambda$-calcul simplement typé : description sommaire}

\itempoint Le $\lambda$-calcul simplement typé (=: $\lambda$CST ou
$\lambda_\rightarrow$) est une variante typée du $\lambda$-calcul,
assurant la propriété de terminaison (normalisation forte).

\medskip

\itempoint Il a une seule opération sur les types, le type
\textbf{fonction} : donnés deux types $\sigma,\tau$, on a un type
$\sigma\to\tau$ pour les fonctions de l'un vers l'autre.

\medskip

\itempoint L'application et l'abstraction doivent respecter le
typage :
\begin{itemize}
\item si $P$ a pour type $\sigma\to\tau$ et $Q$ a type $\sigma$ alors $PQ$
  a pour type $\tau$,
\item si $E$ a pour type $\tau$ en faisant intervenir une variable $v$
  libre de type $\sigma$ alors $\lambda(v:\sigma).E$ a pour type
  $\sigma\to\tau$.
\end{itemize}

\medskip

\itempoint On notera « $x_1:\sigma_1,\ldots,x_k:\sigma_k \vdash
E:\tau$ » pour dire « $E$ est bien typé avec pour type $\tau$ lorsque
$x_1,\ldots,x_k$ sont des variables libres de types
$\sigma_1,\ldots,\sigma_k$ :
\begin{itemize}
\item $x_1:\sigma_1,\ldots,x_k:\sigma_k$ s'appelle un
  \textbf{contexte} de typage (souvent $\Gamma$),
\item $\Gamma \vdash E:\tau$ s'appelle un \textbf{jugement} de typage.
\end{itemize}

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Types et prétermes}

\itempoint Un \textbf{type} du $\lambda$CST est (inductivement) :
\begin{itemize}
\item une \textbf{variable de type} ($\alpha$, $\beta$, $\gamma$... en nombre illimité),
\item un \textbf{type fonction} $(\sigma\to\tau)$ où $\sigma$ et $\tau$
  sont deux types.
\end{itemize}

\bigskip

\itempoint Un \textbf{préterme} du $\lambda$CST est (inductivement) :
\begin{itemize}
\item une \textbf{variable de terme} ($a$, $b$, $c$... en nombre illimité),
\item une \textbf{application} $(PQ)$ où $P$ et $Q$ sont deux termes,
\item une \textbf{abstraction} $\lambda(v:\sigma).E$ où $v$ est une
  variable, $\sigma$ un type et $E$ un terme.
\end{itemize}

\medskip

\itempoint Conventions d'écriture :
\begin{itemize}
\item « $\rho\to\sigma\to\tau$ » signifie
  « $(\rho\to(\sigma\to\tau))$ » ; « $xyz$ » signifie
  « $((xy)z)$ » ;
\item on note « $\lambda (x:\sigma,t:\tau).E$ » pour « $\lambda
  (x:\sigma). \lambda (t:\tau). E$ » ;
\item l'abstraction est moins prioritaire que l'application ;
\item on considère les termes à renommage près des variables liées
  {\footnotesize ($\alpha$-conversion)}.
\end{itemize}

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Règles de typage}

\itempoint Un \textbf{typage} est la donnée d'un préterme $M$ et d'un
type $\sigma$.  On note « $M:\sigma$ ».

\medskip

\itempoint Un \textbf{contexte} est un ensemble fini $\Gamma$ de
typages $x_i:\sigma_i$ où $x_1,\ldots,x_k$ sont des \alert{variables}
de terme \alert{distinctes}.  On le note
« $x_1:\sigma_1,\ldots,x_k:\sigma_k$ ».

\medskip

\itempoint Un \textbf{jugement} de typage est la donnée d'un contexte
$\Gamma$ et d'un typage $E:\tau$, sujet aux règles ci-dessous.  On
note $\Gamma \vdash E:\tau$ (ou juste $\vdash E:\tau$ si $\Gamma =
\varnothing$), et on dit que $E$ est un « \textbf{terme} de type
$\tau$ dans le contexte $\Gamma$ ».

\medskip

\textbf{Règles} de typage du $\lambda$CST : {\footnotesize (quels que
  soient $\Gamma,x,\sigma,\ldots$,)}
\begin{itemize}
\item \textcolor{olive}{(« variable »)} si $(x:\sigma) \in \Gamma$
  alors $\Gamma \vdash x:\sigma$ ;
\item \textcolor{olive}{(« application »)} si $\Gamma \vdash
  P:\sigma\to\tau$ et $\Gamma \vdash Q:\sigma$ alors $\Gamma \vdash
  PQ:\tau$ ;
\item \textcolor{olive}{(« abstraction »)} si $\Gamma, v:\sigma \vdash
  E:\tau$ alors $\Gamma \vdash \lambda(v:\sigma).E : \sigma\to\tau$.
\end{itemize}

\smallskip

{\footnotesize (Comprendre : l'ensemble des jugements de typage est
  l'ensemble engendré par les règles ci-dessus, i.e., le plus petit
  ensemble qui les respecte.)\par}

\medskip

\itempoint Une \textbf{dérivation} d'un jugement est un arbre
(d'instances de) règles qui aboutit au jugement considéré.

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Exemple de dérivation}

Montrons le jugement selon lequel
$\lambda(f:\beta\to\alpha\to\gamma). \lambda(x:\alpha). \lambda(y:\beta). fyx$
est un terme de type $(\beta\to\alpha\to\gamma) \to
(\alpha\to\beta\to\gamma)$ dans le contexte vide :

{\footnotesize
\[
\inferrule*[left=\llap{Abs}]{
\inferrule*[left=\llap{Abs}]{
\inferrule*[left=\llap{Abs}]{
\inferrule*[left=\llap{App}]{
\inferrule*[left=\llap{App}]{
\inferrule*[left=\llap{Var}]{\relax}{\mbox{$\begin{array}{cc}\scriptscriptstyle f:\beta\to\alpha\to\gamma,\\ \scriptscriptstyle x:\alpha,y:\beta\\ \end{array}$} \vdash f : \beta\to\alpha\to\gamma}
\\
\inferrule*[right=\rlap{Var}]{\relax}{\mbox{$\begin{array}{cc}\scriptscriptstyle f:\beta\to\alpha\to\gamma,\\ \scriptscriptstyle x:\alpha,y:\beta\\ \end{array}$} \vdash y : \beta}
}{\mbox{$\begin{array}{cc}\scriptscriptstyle f:\beta\to\alpha\to\gamma,\\ \scriptscriptstyle x:\alpha,y:\beta\\ \end{array}$} \vdash fy : \alpha\to\gamma}
\\
\inferrule*[right=\rlap{Var}]{\relax}{\mbox{$\begin{array}{cc}\scriptscriptstyle f:\beta\to\alpha\to\gamma,\\ \scriptscriptstyle x:\alpha,y:\beta\\ \end{array}$} \vdash x : \alpha}
}{f:\beta\to\alpha\to\gamma, x:\alpha, y:\beta \vdash fyx : \gamma}
}{f:\beta\to\alpha\to\gamma, x:\alpha \vdash \lambda(y:\beta). fyx : \beta\to\gamma}
}{f:\beta\to\alpha\to\gamma \vdash \lambda(x:\alpha). \lambda(y:\beta). fyx : \alpha\to\beta\to\gamma}
}{\vdash \lambda(f:\beta\to\alpha\to\gamma). \lambda(x:\alpha). \lambda(y:\beta). fyx : (\beta\to\alpha\to\gamma) \to (\alpha\to\beta\to\gamma)}
\]
\par}

Ceci est typographiquement abominable et hautement redondant, ce qui
explique qu'on écrive rarement de tels arbres complètement.

\end{frame}
%
\end{document}