From 766b3d03711d4937daf642d60b289af73718e3d0 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: david <david>
Date: Tue, 14 Oct 2008 11:15:34 +0000
Subject: Quotient rings of polynomials.  Start finite fields.

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 \maketitle
 {\footnotesize
 \begin{center}
-CVS: \verb=$Id: rappels-maths.tex,v 1.5 2008-10-14 11:04:11 david Exp $=
+CVS: \verb=$Id: rappels-maths.tex,v 1.6 2008-10-14 11:15:34 david Exp $=
 \end{center}
 \par}
 \pretolerance=10000
@@ -988,6 +988,43 @@ est l'ordre du z
 PGCD, algorithme d'Euclide, relations de Bézout, Euclide étendu :
 exactement analogue aux entiers.
 
+%
+\subsection{Anneaux $k[t]/(P)$}
+
+Analogues exacts de $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$.  Vision abstraite :
+$f\equiv g\pmod{P}$ ssi $P$ divise $f-g$, et on quotiente.  Vision
+concrète : se ramener à $\deg f < \deg P$ par division euclidienne
+après chaque opération.
+
+Élément très important : $\bar t$.
+
+C'est un espace vectoriel de dimension $\deg P$ sur $k$.  Si $k$ est
+fini alors $k[t]/(P)$ l'est.
+
+Théorème chinois : si $P$ et $Q$ sont premiers entre eux, on a
+$k[t]/(PQ) \cong (k[t]/(P)) \times (k[t]/(Q))$ (même démo qu'avant,
+avec un petit peu d'algèbre linéaire).
+
+Exemple idiot : $k[t]/(t) \cong k$.  Exemples moins idiot :
+$\mathbb{R}[t]/(t^2+1) \cong \mathbb{C}$, et $\mathbb{R}[t]/(t^2-1)
+\cong \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ (théorème chinois ; noter que ce
+n'est pas un corps).
+
+Exercice : dresser les tables de $\mathbb{F}_2[t]/(t^2+t+1)$.
+
+%
+\section{Corps finis}
+
+\subsection{Sous-corps premier et caractéristique}
+
+Caractéristique d'un corps : c'est l'ordre additif de $1$ si celui-ci
+est fini (sinon on convient que c'est $0$).
+
+Tout corps fini contient un $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, qui en est un
+sous-corps $\mathbb{F}_p$ : on dit que c'est le sous-corps premier.
+Le corps est alors un espace vectoriel dessus : si $d$ est sa
+dimension, son nombre d'éléments est $p^d$.
+
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