From b3fa3018b1b5883c6d4385602d1f64db1c673188 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Thu, 22 Nov 2012 20:03:07 +0100
Subject: More stuff for exam. Probably not very good.
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controle-20121127.tex | 56 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
1 file changed, 56 insertions(+)
diff --git a/controle-20121127.tex b/controle-20121127.tex
index e030222..f332e5b 100644
--- a/controle-20121127.tex
+++ b/controle-20121127.tex
@@ -121,6 +121,62 @@ pas de calculer ces valeurs, uniquement de calculer leur nombre,
c'est-à-dire, si on préfère, le cardinal de l'image de $x \mapsto
x^{256}$ sur $\mathbb{Z}/65535\mathbb{Z}$.)
+%
+%
+%
+
+\exercice
+
+Soit $f = t^8 + t^4 + t^3 + t^2 + 1 \in \mathbb{F}_2[t]$. On admet
+que ce polynôme est irréductible. On pose $E = \mathbb{F}_2[t]/(f)$.
+
+(1) Combien d'éléments $E$ a-t-il ? Combien d'éléments $E^\times$ (le
+groupe des inversibles de $E$) a-t-il ?
+
+On désignera par $\alpha \in E$ (plutôt que $\bar t$) la classe de $t$
+modulo $f$.
+
+(2) Que peut-on dire \textit{a priori} de l'ordre multiplicatif
+de $\alpha$ ?
+
+(3) Calculer les valeurs de $\alpha^i$ dans $E$ (c'est-à-dire la
+classe de $t^i$ modulo $f$) pour $i \leq 17$.
+
+Pour permettre de vérifier les calculs, on donne le dernier résultat :
+$\alpha^{17} = \alpha^7 + \alpha^4 + \alpha^3$. On notera aussi
+$\beta$ cet élément $\alpha^{17} \in E$.
+
+(4) Calculer de même les valeurs de $\alpha^i$ les valeurs suivantes
+de $i$ : $34$, $51$, $68$ et $85$ (c'est-à-dire les multiples de $17$
+jusqu'à $85$ inclus).
+
+Pour permettre de vérifier les calculs, on donne le dernier résultat :
+$\alpha^{85} = \alpha^7 + \alpha^6 + \alpha^4 + \alpha^2 + \alpha$.
+
+(5) Que vaut l'ordre multiplicatif de $\alpha$ ? (Remarque : $255 = 3
+\times 5 \times 17$.) Quel est l'ordre multiplicatif de $\beta =
+\alpha^{17}$ ?
+
+(6) Que vaut $\beta^{16}$ ?
+
+(7) Vérifier que $\beta^4 + \beta + 1 = 0$.
+
+On pose $g = t^4 + t + 1 \in \mathbb{F}_2[t]$, et $K =
+\mathbb{F}_2[t]/(g)$.
+
+On appelle $\Phi\colon \mathbb{F}_2[t] \to E$ l'application $P \mapsto
+P(\beta)$ qui à un polynôme $P \in \mathbb{F}_2[t]$ associe la valeur
+de celui-ci en $\beta$. Par exemple, la question (7) signifie que
+$\Phi(g) = 0$.
+
+(8) Pourquoi a-t-on $\Phi(h) = \Phi(h')$ si $h \equiv h' \pmod{g}$ ?
+En déduire qu'on peut définir une application $\varphi \colon K \to E$
+qui envoie la classe (modulo $g$) d'un polynôme $h \in
+\mathbb{F}_2[t]$ sur $\Phi(h) \in E$.
+
+On désignera par $\gamma \in K$ (plutôt que $\bar t$) la classe de $t$
+modulo $g$.
+
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cgit v1.2.3