From d7c301214ccf4679e4e816a232a3e75c657ecb9a Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: david <david>
Date: Wed, 26 Nov 2008 17:35:18 +0000
Subject: Correct various mistakes.

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 rappels-maths.tex | 23 +++++++++++++----------
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@@ -41,7 +41,7 @@
 \maketitle
 {\footnotesize
 \begin{center}
-CVS: \verb=$Id: rappels-maths.tex,v 1.11 2008-10-21 16:11:12 david Exp $=
+CVS: \verb=$Id: rappels-maths.tex,v 1.12 2008-11-26 17:35:18 david Exp $=
 \end{center}
 \par}
 \pretolerance=10000
@@ -130,7 +130,7 @@ Sur leur r
 Il y en a une infinité (Euclide).
 
 Pour tout $x>1$, il y a toujours un nombre premier $p$ tel que
-$x\leq p < 2x$ (\v Ceby\v sëv : « postulat de Bertrand »).
+$x < p < 2x$ (\v Ceby\v sëv : « postulat de Bertrand »).
 
 Le nombre $\pi(x)$ de nombres premiers $\leq x$ est équivalent à
 $\frac{x}{\ln x}$ lorsque $x\to +\infty$ (Hadamard \& de la Vallée
@@ -571,8 +571,8 @@ verra plus loin comment la calculer.
 Note : on a deux involutions importantes sur
 $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times$ : l'une est $\bar a \mapsto -\bar
 a$, et l'autre est $\bar a \mapsto \bar a^{-1}$.  Comme la première
-n'a pas de point fixe, $\varphi(m)$ est toujours \emph{pair} (sauf
-pour $m=2$).
+n'a pas de point fixe (pour $m>2$), $\varphi(m)$ est toujours
+\emph{pair} (sauf pour $m=2$).
 
 Si $p$ est premier, alors tous les nombres entre $1$ et $p-1$ sont
 premiers avec $p$ : $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times = \{\bar
@@ -703,7 +703,7 @@ $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times$ (et de la question de savoir s'il y
 en a).
 
 Moralité : $\varphi(m)$ est aussi le nombre d'éléments d'un groupe
-cyclique (quelconque) d'ordre $m$ qui en sont générateur.
+cyclique (quelconque) d'ordre $m$ qui en sont un générateur.
 
 %
 \subsection{Théorème d'Euler}
@@ -724,7 +724,8 @@ l'ordre de $2$ dans $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$
 $(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z})^\times$ ?
 
 Cas particulier : « petit théorème de Fermat » : si $p$ est premier,
-alors pour tout entier $a$ on a
+alors $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$ lorsque $a$ n'est pas multiple
+de $p$ ; donc, pour tout entier $a$ on a
 \[
 a^p \equiv a \pmod{p}
 \]
@@ -1001,7 +1002,7 @@ apr
 Élément très important : $\bar t$.
 
 C'est un espace vectoriel de dimension $\deg P$ sur $k$.  Si $k$ est
-fini alors $k[t]/(P)$ l'est.
+fini alors $k[t]/(P)$ l'est (de cardinal $(\#k)^{\deg P}$).
 
 Théorème chinois : si $P$ et $Q$ sont premiers entre eux, on a
 $k[t]/(PQ) \cong (k[t]/(P)) \times (k[t]/(Q))$ (même démo qu'avant,
@@ -1044,7 +1045,7 @@ s'appelle la caract
 \subsection{Unicité}
 
 Dans un corps $F$ à $q$ éléments, on a $a^{q-1} = 1$ pour tout $a \in
-K^\times$ (par Lagrange) donc on a $a^q = a$ pour tout $a \in K$
+F^\times$ (par Lagrange) donc on a $a^q = a$ pour tout $a \in F$
 (« petit théorème de Fermat » généralisé).
 
 Comme le polynôme $t^q-t$, de degré $q$, ne peut avoir que $q$
@@ -1200,7 +1201,9 @@ les deux conditions suivantes sont v
 \begin{itemize}
 \item $f$ divise $t^{q^e}-t$, et
 \item $f$ est premier avec $t^{q^{e_1}}-t$ pour tout diviseur strict
-$e_1$ de $e$.
+  $e_1$ de $e$ (en fait, on peut se contenter de tester pour les
+  diviseurs stricts \emph{immédiats}, c'est-à-dire les $e_1 = e/\ell$
+  avec $\ell$ premier).
 \end{itemize}
 (Remarque : le premier s'écrit $t^{q^e}\equiv t \pmod{f}$, et pour le
 vérifier on applique un algorithme d'exponentiation
@@ -1278,7 +1281,7 @@ alors tous ses conjugu
 \ldots, g^{p^{d-1}}$ le sont aussi.  On peut donc aussi dire que leur
 polynôme minimal (commun) est primitif ; il est nécessairement de
 degré $d$.  Le nombre de polynômes irréductibles primitifs de
-degré $d$ sur $\mathbb{F}_p$ est donc $\frac{1}{d} \varphi(d)$.
+degré $d$ sur $\mathbb{F}_p$ est donc $\frac{1}{d} \varphi(p^d-1)$.
 
 Exemple : si $g \in \mathbb{F}_{16}^\times$ est primitif, alors
 $\{g,g^2,g^4,g^8\}$ est un ensemble complet de conjugués
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cgit v1.2.3