From e004ef08abcd53afcaa59a38b1ab037286425252 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david@procyon.(none)>
Date: Mon, 15 Nov 2010 18:04:18 +0100
Subject: Another exercise (on finite fields).

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 controle-20101123.tex | 35 +++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 35 insertions(+)

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index 0ed9d5c..db39926 100644
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@@ -2,6 +2,7 @@
 \documentclass[12pt]{article}
 \usepackage[francais]{babel}
 \usepackage[latin1]{inputenc}
+\usepackage[T1]{fontenc}
 \usepackage{times}
 % A tribute to the worthy AMS:
 \usepackage{amsmath}
@@ -108,6 +109,40 @@ ci-dessus.)
 
 (2) En déduire que $n^{561} \equiv n \pmod{561}$ pour tout entier $n$.
 
+%
+%
+%
+
+\exercice
+
+On admet que le polynôme suivant dans $\mathbb{F}_2[t]$ est
+irréductible : $f := t^8 + t^4 + t^3 + t^2 + 1$.
+
+(1) Quel est le nombre d'éléments de $\mathbb{F}_2[t]/(f)$ ?  Que
+peut-on en dire et comment a-t-on l'habitude de le noter ?
+
+(2) Dans $\mathbb{F}_2[t]/(f)$, calculer les puissances $\bar t^i$ de
+l'élément $\bar t$ représenté par $t$, pour $i$ allant de $0$ à $20$
+inclus.  (Ici, « calculer » sous-entend qu'on demande comme d'habitude
+le représentant standard, c'est-à-dire celui donné par un polynôme de
+degré $<\deg f$.)
+
+(3) On a $255 = 3 \times 5 \times 17$.  L'élément $\bar t$ est-il
+primitif ?  Si non, quel est son ordre multiplicatif ?  Si oui,
+comment qualifie-t-on le polynôme $f$ du fait de cette propriété ?
+
+(4) Donner un élément primitif de $\mathbb{F}_2[t]/(f)$, différent de
+$\bar t$ (si on a répondu ci-dessus que $\bar t$ était primitif).
+Combien y en a-t-il ?
+
+(5) Quels sont les éléments $\bar\imath$ de $\mathbb{Z}/255\mathbb{Z}$
+vérifiant $15\bar\imath = \bar0$ ?  Quels sont les éléments de
+$\mathbb{F}_2[t]/(f)$ vérifiant $x^{16} = x$ ?  (Cette fois-ci, on ne
+demande pas nécessairement de les écrire sous la forme d'un
+représentant standard : n'importe quelle autre écriture conviendra.)
+Combien y en a-t-il et que peut-on dire de l'ensemble de ces
+éléments ?
+
 %
 %
 %
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cgit v1.2.3