From e5e54d60e7c38852fbd70ceaa0e849d6272435fd Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Tue, 8 Nov 2011 13:03:48 +0100
Subject: Another exercise.

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 exercices2b.tex | 62 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-
 1 file changed, 61 insertions(+), 1 deletion(-)

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index 656c670..546c295 100644
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+++ b/exercices2b.tex
@@ -26,7 +26,7 @@
 \newcommand{\ppcm}{\operatorname{ppcm}}
 \newcommand{\signe}{\operatorname{signe}}
 \newcommand{\tee}{\mathbin{\top}}
-\newcommand{\Frob}{\operatorname{Fr}}
+\newcommand{\Frob}{\operatorname{Frob}}
 \newcommand{\dothis}{\leavevmode\hbox to0pt{\hskip-\parindent\HandRight{}\hskip0ptplus1fil}}
 \DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~}
 %
@@ -97,6 +97,66 @@ y$ en général.
 
 \dothis Calculer $250 \otimes 250$.
 
+%
+%
+%
+
+\exercice
+
+Soit $q = p^d$ une puissance d'un nombre premier $p$.
+
+(A) On appelle \emph{trace absolue} dans $\mathbb{F}_q$ (ou bien trace
+dans $\mathbb{F}_q$ sur $\mathbb{F}_p$) l'application $\mathrm{tr}
+\colon \mathbb{F}_q \to \mathbb{F}_q$ qui envoie un élément $x \in
+\mathbb{F}_q$ sur la somme $\sum_{i=0}^{d-1} \Frob^i(x)$ des $d$
+itérées consécutives du Frobenius, où comme d'habitude $\Frob^i(x)$
+désigne $x^{p^i}$.
+
+(0) Montrer que $\mathrm{tr}(x+y) = \mathrm{tr}(x) + \mathrm{tr}(y)$
+pour tous $x,y \in \mathbb{F}_q$ et que $\mathrm{tr}(cx) =
+c\,\mathrm{tr}(x)$ si $c \in \mathbb{F}_p$ et $x \in \mathbb{F}_q$.
+
+(1) Montrer que $\mathrm{tr}$ prend en fait des valeurs dans
+$\mathbb{F}_p$.  (On pourra pour cela chercher à calculer
+$\Frob(\mathrm{tr}(x))$.)
+
+(2) Expliquer pourquoi $\mathrm{tr}(x)$ est un polynôme de $x$ (dont
+on calculera le degré).
+
+(3) Montrer qu'il existe $x \in \mathbb{F}_q$ tel que $\mathrm{tr}(x)
+\neq 0$.
+
+(4) En déduire que $\mathrm{tr}$ prend toutes les valeurs
+de $\mathbb{F}_p$ (i.e., qu'il s'agit d'une fonction surjective ; on
+pourra par exemple commencer par montrer qu'elle prend la valeur $1$).
+
+\smallbreak
+
+(B) On appelle \emph{norme absolue} dans $\mathbb{F}_q$ (ou bien norme
+dans $\mathbb{F}_q$ sur $\mathbb{F}_p$) l'application $\mathrm{N}
+\colon \mathbb{F}_q \to \mathbb{F}_q$ qui envoie un élément $x \in
+\mathbb{F}_q$ sur le produit $\prod_{i=0}^{d-1} \Frob^i(x)$ des $d$
+itérées consécutives du Frobenius, où comme d'habitude $\Frob^i(x)$
+désigne $x^{p^i}$.
+
+(0) Montrer que $\mathrm{N}(xy) = \mathrm{N}(x)\,\mathrm{N}(y)$ pour
+tous $x,y \in \mathbb{F}_q$.
+
+(1) Montrer que $\mathrm{N}$ prend en fait des valeurs dans
+$\mathbb{F}_p$.  (On pourra pour cela chercher à calculer
+$\Frob(\mathrm{N}(x))$.)
+
+(2) Exprimer $\mathrm{N}(x)$ comme une certaine puissance de $x$ (dont
+on calculera l'exposant).
+
+(3) Montrer que $\mathrm{N}(x) = 0$ si et seulement si $x=0$.
+
+(4) Montrer que $\mathrm{N}$ prend toutes les valeurs
+de $\mathbb{F}_p$ (i.e., qu'il s'agit d'une fonction surjective ; on
+pourra considérer $\mathrm{N}(g)$ pour $g$ un élément primitif de
+$\mathbb{F}_q^\times$, et montrer qu'il est d'ordre $p-1$ dans
+$\mathbb{F}_p^\times$).
+
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cgit v1.2.3