From f97882e820c7f15710d2774db728867ae406266c Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: david <david>
Date: Tue, 17 Nov 2009 20:44:48 +0000
Subject: Correct 4(B).

---
 controle-20091124.tex | 20 ++++++++++++++++++++
 1 file changed, 20 insertions(+)

diff --git a/controle-20091124.tex b/controle-20091124.tex
index f29d01c..b527022 100644
--- a/controle-20091124.tex
+++ b/controle-20091124.tex
@@ -520,6 +520,26 @@ dire de $\mathbb{F}_3[t]/(t^2 + t)$
 possibles.)
 
 \begin{corrige}
+(B) (1) Le polynôme $f = t^2 + t \in \mathbb{F}_3[t]$ s'annule en $0$
+  et en $-1$ : ce sont les deux racines de $f$, et on a donc $f =
+  t(t+1)$, qui est la décomposition en facteurs irréductibles de ce
+  polynôme.
+
+\leavevmode\hphantom{(B)} (2) On peut dire que puisque $f = t^2 + t$
+n'est pas irréductible, l'anneau $\mathbb{F}_3[t]/(f)$ n'est pas un
+corps : et d'ailleurs ni $\bar t$ ni $\bar t + 1$ n'est inversible
+dans cet anneau puisque leur produit est $\bar t^2 + \bar t = 0$ (ce
+n'est pas un anneau intègre).  On peut aussi être plus précis :
+puisque $f = t(t+1)$, le théorème chinois assure que
+$\mathbb{F}_3[t]/(f) \cong \mathbb{F}_3[t]/(t) \times
+\mathbb{F}_3[t]/(t+1)$ (où $\cong$ signifie « isomorphe »),
+c'est-à-dire en fait $\mathbb{F}_3[t]/(f) \cong \mathbb{F}_3 \times
+\mathbb{F}_3$ avec un isomorphisme $\mathbb{F}_3[t]/(f) \to
+\mathbb{F}_3 \times \mathbb{F}_3$ qui envoie la classe dans
+$\mathbb{F}_3[t]/(f)$ d'un polynôme $u \in \mathbb{F}_3[t]$ sur le
+couple $(u(0), u(-1))$ formé des valeurs en $0$ et $-1$ de $u$ ; le
+fait qu'on ait $\bar t \cdot (\bar t + 1) = 0$ se traduit,
+\textit{via} cet isomorphism, en $(0,-1)\cdot (1,0) = (0,0)$.
 \end{corrige}
 
 \ifcorrige\medbreak\else\relax\fi
-- 
cgit v1.2.3