From b5da32b74347537c8c17b7d73a9a74a846e46251 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Tue, 16 Nov 2010 15:08:06 +0100
Subject: Solve exercise 2.

---
 controle-20101123.tex | 28 ++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 28 insertions(+)

(limited to 'controle-20101123.tex')

diff --git a/controle-20101123.tex b/controle-20101123.tex
index 129d3a3..c884f88 100644
--- a/controle-20101123.tex
+++ b/controle-20101123.tex
@@ -167,6 +167,34 @@ ci-dessus.)
 
 (2) En déduire que $n^{561} \equiv n \pmod{561}$ pour tout entier $n$.
 
+\begin{corrige}
+(1) On sait que $n^2 \equiv 1 \pmod{3}$ pour tout entier $n$ non
+  multiple de $3$ (théorème d'Euler ou petit théorème de Fermat).
+  Comme $560$ est multiple de $2$, on a \textit{a fortiori} $n^{560}
+  \equiv 1 \pmod{3}$.  Ceci permet d'affirmer $n^{561} \equiv n
+  \pmod{3}$ lorsque $n$ n'est pas multiple de $3$ ; or la même égalité
+  vaut encore pour $n \equiv 0 \pmod{3}$ (c'est simplement $0=0$).  On
+  a bien prouvé $n^{561} \equiv n \pmod{3}$ pour tout $n$.
+
+De même : on sait que $n^{10} \equiv 1 \pmod{11}$ pour tout entier $n$
+non multiple de $11$.  Comme $560$ est multiple de $10$, on a
+\textit{a fortiori} $n^{560} \equiv 1 \pmod{11}$.  Ceci permet
+d'affirmer $n^{561} \equiv n \pmod{11}$ pour $n$ non multiple de $11$,
+et c'est encore vrai pour $n$ multiple de $11$.
+
+De même : on sait que $n^{16} \equiv 1 \pmod{17}$ pour tout entier $n$
+non multiple de $17$.  Comme $560$ est multiple de $16$, on a
+\textit{a fortiori} $n^{560} \equiv 1 \pmod{17}$.  Ceci permet
+d'affirmer $n^{561} \equiv n \pmod{17}$ pour $n$ non multiple de $17$,
+et c'est encore vrai pour $n$ multiple de $17$.
+
+(2) On a montré $n^{561} \equiv n \pmod{3}$ et $n^{561} \equiv n
+\pmod{11}$ et $n^{561} \equiv n \pmod{17}$ pour tout entier $n$.
+Comme $3,11,17$ sont premiers entre eux deux à deux, le théorème
+chinois assure qu'on a alors la congruence $n^{561} \equiv n$
+modulo $3\times 11\times 17 = 561$.
+\end{corrige}
+
 %
 %
 %
-- 
cgit v1.2.3

