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From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Wed, 16 Nov 2011 20:19:17 +0100
Subject: More questions.

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 controle-20111122.tex | 109 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-
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index bbc1c7a..4a85454 100644
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+++ b/controle-20111122.tex
@@ -28,7 +28,7 @@
 \DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~}
 %
 \newif\ifcorrige
-\corrigetrue
+\corrigefalse
 \newenvironment{corrige}%
 {\ifcorrige\relax\else\setbox0=\vbox\bgroup\fi%
 \smallbreak\noindent{\underbar{\textit{Corrigé.}}\quad}}
@@ -181,6 +181,113 @@ factorisant, c'est-à-dire que ce produit vaut $u + v\sqrt{-1}$ avec $u
 = u_1 u_2 - v_1 v_2$ et $v = u_1 v_2 + v_1 u_2$.
 \end{corrige}
 
+(8) Que vaut $(\sqrt{-1})^4$ ?  Déterminer $(\sqrt{-1})^r$ en
+discutant suivant la valeur de l'entier $r$ modulo $4$.
+
+\begin{corrige}
+On a $(\sqrt{-1})^4 = (-1)^2 = 1$ : si on veut, l'élément $\sqrt{-1}$
+de $E^\times$ est d'ordre (multiplicatif) $4$.  Par conséquent, la
+valeur de $(\sqrt{-1})^r$ ne dépend que de la classe de $r$
+modulo $4$.  Selon que $r$ est congru à $0$, $1$, $2$ ou $3$
+modulo $4$, la valeur en question est respectivement $(\sqrt{-1})^0 =
+1$, $(\sqrt{-1})^1 = \sqrt{-1}$, $(\sqrt{-1})^2 = -1$, ou
+$(\sqrt{-1})^3 = -\sqrt{-1}$.
+\end{corrige}
+
+On rappelle que $\Frob \colon E \to E$ désigne l'application $x
+\mapsto x^p$.
+
+(9) D'après la question précédente, que vaut $\Frob(\sqrt{-1})$ ?
+
+\begin{corrige}
+On a $p \equiv 3 \pmod{4}$ par hypothèse, donc $\Frob(\sqrt{-1}) =
+(\sqrt{-1})^p = -\sqrt{-1}$ d'après la question (8).
+\end{corrige}
+
+On rappelle pour la question suivante que $\Frob(x+y) =
+\Frob(x)+\Frob(y)$ et $\Frob(xy) = \Frob(x)\,\Frob(y)$ pour tous
+$x,y\in E$ (« le Frobenius est un morphisme de corps »), et aussi que
+$\Frob(a) = a$ si et seulement si $a \in \mathbb{F}_p$ (petit théorème
+de Fermat).
+
+(10) Que vaut $\Frob(u + v\sqrt{-1})$ si $u,v \in \mathbb{F}_p$ ?
+
+\begin{corrige}
+On vient de voir que $\Frob(\sqrt{-1}) = -\sqrt{-1}$, et par ailleurs
+$\Frob(u) = u$ et $\Frob(v) = v$ puisque $u,v \in \mathbb{F}_p$.  En
+utilisant les propriétés rappelées, on a donc $\Frob(u+v\sqrt{-1}) =
+u-v\sqrt{-1}$.
+\end{corrige}
+
+(11) En utilisant notamment la question précédente, montrer que l'on
+a : $(u+v\sqrt{-1})^{p+1} = u^2 + v^2$ pour tous $u,v \in
+\mathbb{F}_p$.
+
+\begin{corrige}
+On vient de voir que $\Frob(u+v\sqrt{-1}) = u-v\sqrt{-1}$.  On a
+$(u+v\sqrt{-1})^{p+1} = (u+v\sqrt{-1}) \, (u+v\sqrt{-1})^p =
+(u+v\sqrt{-1}) \, \Frob(u+v\sqrt{-1}) = (u+v\sqrt{-1}) \,
+(u-v\sqrt{-1}) = u^2 + v^2$ (en utilisant les formules de la
+question (7)).
+\end{corrige}
+
+(12) Rappeler pourquoi il existe un élément $g$ de $E^\times$ d'ordre
+multiplicatif $p^2-1$ (on ne demande pas de démontrer ce fait, mais de
+citer un théorème qui l'affirme) ; comment appelle-t-on un tel
+élément ?
+
+\begin{corrige}
+Un tel élément s'appelle un élément primitif.  Il existe car le groupe
+multiplicatif $E^\times$ des éléments non nuls de $E$,
+d'ordre $p^2-1$, est cyclique (comme l'est le groupe multiplicatif
+pour n'importe quel corps fini).
+\end{corrige}
+
+Pour $r$ entier, on définit $u_r,v_r$, éléments de $\mathbb{F}_p$, par
+la formule : $u_r + v_r\sqrt{-1} = g^{r(p-1)}$, où $g$ est un élément
+comme dans la question précédente.
+
+(13) Que vaut $u_r^2 + v_r^2$ ?  Expliquer pourquoi les $(u_r,v_r)$
+avec $0 \leq r \leq p$ sont deux-à-deux distincts.
+
+\begin{corrige}
+D'après (11), on a $u_r^2 + v_r^2 = (g^{r(p-1)})^{p+1} =
+g^{r(p^2-1)}$.  Mais $g^{p^2-1} = 1$ puisque $g \in E^\times$.  On a
+donc $u_r^2 + v_r^2 = 1$.
+
+Si $0 \leq r \leq p$, c'est-à-dire $0 \leq r < p+1$, alors $0 \leq
+r(p-1) < p^2-1$.  Puisque $g$ est d'ordre exactement $p^2-1$, les
+$g^s$ pour $0 \leq s < p^2-1$ sont deux-à-deux distincts, et en
+particulire les $g^{r(p-1)}$ pour $0 \leq r < p+1$ le sont.  Comme par
+ailleurs $u_r$ et $v_r$ déterminent complètement $u_r + v_r
+\sqrt{-1}$, les couples $(u_r,v_r)$ avec $0 \leq r \leq p$ sont
+eux-mêmes deux-à-deux distincts.
+\end{corrige}
+
+(14) Réciproquement, si $u,v$ dans $\mathbb{F}_p$ vérifient $u^2 + v^2
+= 1$, montrer que $u + v\sqrt{-1}$ peut s'écrire sous la forme
+$g^{r(p-1)}$ (on a donc $(u,v) = (u_r,v_r)$) pour un certain $r$ qu'on
+peut trouver vérifiant $0 \leq r \leq p$.
+
+\begin{corrige}
+Comme $g$ est primitif, on peut écrire $u + v\sqrt{-1} = g^s$ pour un
+certain $s$ vérifiant $0 \leq s < p^2-1$.  L'hypothèse $u^2 + v^2 = 1$
+assure que $(u+v\sqrt{-1})^{p+1} = 1$ (d'après (11)), c'est-à-dire
+$g^{s(p+1)} = 1$.  Autrement dit, $s(p+1)$ est multiple de $p^2-1$.
+Quitte à diviser par $p+1$, on voit donc que $s$ est multiple
+de $p-1$, c'est-à-dire qu'on peut écrire $s = r(p-1)$, et on a alors
+bien $u + v\sqrt{-1} = g^{r(p-1)}$ avec $0 \leq r < p+1$ (puiqsue $r =
+\frac{s}{p-1}$).
+\end{corrige}
+
+(15) Des questions précédentes, déduire le nombre de solutions $(u,v)$
+dans $\mathbb{F}_p$ de l'équation $u^2 + v^2 = 1$.
+
+\begin{corrige}
+On a montré que ces solutions étaient les $(u_r,v_r)$ avec $0\leq r
+\leq p$, qui sont distinctes.  Il y en a donc $p+1$.
+\end{corrige}
+
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cgit v1.2.3

