From 2c0256cb192f4579ba7ae9c4d57886a5af93c043 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Mon, 24 Oct 2011 15:39:14 +0200
Subject: Re-encode as utf-8.

---
 exercices.tex | 276 +++++++++++++++++++++++++++++-----------------------------
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(limited to 'exercices.tex')

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index 69b61d6..d512820 100644
--- a/exercices.tex
+++ b/exercices.tex
@@ -1,7 +1,8 @@
 %% This is a LaTeX document.  Hey, Emacs, -*- latex -*- , get it?
 \documentclass[12pt]{article}
 \usepackage[francais]{babel}
-\usepackage[latin1]{inputenc}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[T1]{fontenc}
 \usepackage{times}
 % A tribute to the worthy AMS:
 \usepackage{amsmath}
@@ -24,12 +25,13 @@
 \newcommand{\signe}{\operatorname{signe}}
 \newcommand{\tee}{\mathbin{\top}}
 \newcommand{\Frob}{\operatorname{Fr}}
+\DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~}
 %
 \newif\ifcorrige
 \corrigetrue
 \newenvironment{corrige}%
 {\ifcorrige\relax\else\setbox0=\vbox\bgroup\fi%
-\smallbreak\noindent{\underbar{\textit{Corrigé.}}\quad}}
+\smallbreak\noindent{\underbar{\textit{CorrigÃ©.}}\quad}}
 {{\hbox{}\nobreak\hfill\checkmark}%
 \ifcorrige\relax\else\egroup\fi\par}
 %
@@ -37,9 +39,9 @@
 %
 \begin{document}
 \ifcorrige
-\title{INFMDI720\\Exercices --- Corrigé\\{\normalsize Rappels mathématiques pour la cryptographie}}
+\title{INFMDI720\\Exercices --- CorrigÃ©\\{\normalsize Rappels mathÃ©matiques pour la cryptographie}}
 \else
-\title{INFMDI720\\Exercices\\{\normalsize Rappels mathématiques pour la cryptographie}}
+\title{INFMDI720\\Exercices\\{\normalsize Rappels mathÃ©matiques pour la cryptographie}}
 \fi
 \author{}
 \date{}
@@ -53,115 +55,115 @@
 
 \exercice
 
-(A) Quel entier entre $0$ et $100$ est congru à $19$ modulo $13$ et à
-$13$ modulo $19$ ?
+(A)Â Quel entier entre $0$ etÂ $100$ est congru Ã  $19$ moduloÂ $13$ et Ã 
+$13$ moduloÂ $19$Â ?
 
 \begin{corrige}
-(A) Commençons par trouver un entier qui convient.  On pourrait se
+(A)Â CommenÃ§ons par trouver un entier qui convient.  On pourrait se
   rendre compte que $19+13 = 32$ convient pour des raisons de
-  symétrie.  Pour procéder de façon plus systématique, cherchons une
-  relation de Bézout entre $19$ et $13$, qui sont visiblement premiers
-  entre eux (et ceci va de toute façon le confirmer) : on a $19 = 1\times 13 +
-  6$ puis $13 = 2\times 6 + 1$ donc le pgcd est bien $1$, et on a $1 =
-  13 - 2\times 6 = 3\times 13 - 2\times 19$.  Ainsi, d'après un
-  résultat du cours (version « effective » du théorème chinois), un
-  nombre congru à $19$ (soit $6$) modulo $13$ et à $13$ modulo $19$
-  est donné par $3 \times 13 \times 13 - 2 \times 19 \times 6$ : ceci
+  symÃ©trie.  Pour procÃ©der de faÃ§on plus systÃ©matique, cherchons une
+  relation de BÃ©zout entre $19$ etÂ $13$, qui sont visiblement premiers
+  entre eux (et ceci va de toute faÃ§on le confirmer)Â : on a $19 = 1\times 13 +
+  6$ puis $13 = 2\times 6 + 1$ donc le pgcd est bienÂ $1$, et on a $1 =
+  13 - 2\times 6 = 3\times 13 - 2\times 19$.  Ainsi, d'aprÃ¨s un
+  rÃ©sultat du cours (version Â«Â effectiveÂ Â» du thÃ©orÃ¨me chinois), un
+  nombre congru Ã  $19$ (soitÂ $6$) moduloÂ $13$ et Ã  $13$ moduloÂ $19$
+  est donnÃ© par $3 \times 13 \times 13 - 2 \times 19 \times 6$Â : ceci
   vaut $279$, mais pour simplifier les calculs on pouvait calculer
   $3\times 13 \equiv 1 \pmod{19}$ et $-2 \times 6 \equiv 1 \pmod{13}$,
-  donc il reste $13 + 19 = 32$.  En tout état de cause, comme $13$ et
-  $19$ sont premiers entre eux, les nombres congrus à $x$ modulo $13$
-  et à $y$ modulo $19$, quels que soient $x$ et $y$ entiers, forment
-  une unique classe de congruence modulo $13 \times 19 = 247$ (qu'il
-  n'était pas vraiment nécessaire de calculer, seul importe que ce
-  soit $>100$, ce qui est évident), donc dès qu'on a trouvé un nombre
-  vérifiant les congruences demandées (en l'occurrence $32$), on sait
-  que les autres sont les nombres qui lui sont congrus modulo $13
+  donc il reste $13 + 19 = 32$.  En tout Ã©tat de cause, comme $13$ et
+  $19$ sont premiers entre eux, les nombres congrus Ã  $x$ moduloÂ $13$
+  et Ã  $y$ moduloÂ $19$, quels que soient $x$ etÂ $y$ entiers, forment
+  une unique classe de congruence moduloÂ $13 \times 19 = 247$ (qu'il
+  n'Ã©tait pas vraiment nÃ©cessaire de calculer, seul importe que ce
+  soitÂ $>100$, ce qui est Ã©vident), donc dÃ¨s qu'on a trouvÃ© un nombre
+  vÃ©rifiant les congruences demandÃ©es (en l'occurrenceÂ $32$), on sait
+  que les autres sont les nombres qui lui sont congrus moduloÂ $13
   \times 19$, et en particulier il n'y en a pas d'autre entre $0$
-  et $100$.
+  etÂ $100$.
 \end{corrige}
 
 \ifcorrige\medbreak\else\relax\fi
 
-(B) Quel entier à trois chiffres en base $10$ se termine par $23$ et
-est multiple de $19$ ?
+(B)Â Quel entier Ã  trois chiffres en baseÂ $10$ se termine parÂ $23$ et
+est multiple deÂ $19$Â ?
 
 \begin{corrige}
-(B) Se terminer par $23$ en base $10$ signifie être congru à $23$
-  modulo $100$.  Cherchons une relation de Bézout entre $100$ et $19$
-  qui sont premiers entre eux : on a $100 = 5\times 19 + 5$ et $19 =
+(B)Â Se terminer parÂ $23$ en baseÂ $10$ signifie Ãªtre congru Ã  $23$
+  moduloÂ $100$.  Cherchons une relation de BÃ©zout entre $100$ etÂ $19$
+  qui sont premiers entre euxÂ : on a $100 = 5\times 19 + 5$ et $19 =
   3\times 5 + 4$ et $5 = 1\times 4 + 1$ donc $1 = 5 - 4 = 4 \times 5 - 19 = 4
-  \times 100 - 21 \times 19$.  Ainsi, d'après un résultat du cours
-  (version « effective » du théorème chinois), un nombre congru à $23$
-  modulo $100$ et à $0$ modulo $19$ (i.e., divisible par $19$) est
-  donné par $- 21 \times 19 \times 23$ : ceci vaut $-9177$, mais pour
+  \times 100 - 21 \times 19$.  Ainsi, d'aprÃ¨s un rÃ©sultat du cours
+  (version Â«Â effectiveÂ Â» du thÃ©orÃ¨me chinois), un nombre congru Ã  $23$
+  moduloÂ $100$ et Ã  $0$ moduloÂ $19$ (i.e., divisible parÂ $19$) est
+  donnÃ© par $- 21 \times 19 \times 23$Â : ceci vaut $-9177$, mais pour
   simplifier les calculs on pouvait calculer $-21\times 23 \equiv -83
   \equiv 17 \pmod{100}$ et ainsi $- 21 \times 19 \times 23 \equiv 17
-  \times 19 = 323 \pmod{1900}$.  Le nombre $323$ répond aux conditions
-  demandées, et comme tout les entiers congrus à $23$ modulo $100$ et
-  à $0$ modulo $19$ forment une unique classe de congruence
-  modulo $1900$, on a trouvé le seul nombre à trois chiffres.
+  \times 19 = 323 \pmod{1900}$.  Le nombre $323$ rÃ©pond aux conditions
+  demandÃ©es, et comme tout les entiers congrus Ã  $23$ moduloÂ $100$ et
+  Ã  $0$ moduloÂ $19$ forment une unique classe de congruence
+  moduloÂ $1900$, on a trouvÃ© le seul nombre Ã  trois chiffres.
 \end{corrige}
 
 \ifcorrige\medbreak\else\relax\fi
 
-(C) Quel entier entre $0$ et $100$ est congru respectivement à
-$1,2,3,4$ modulo $2,3,5,7$ ?  (C'est-à-dire : congru à $1$ modulo $2$,
-et à $2$ modulo $3$, et à $3$ modulo $5$, et à $4$ modulo $7$.)
+(C)Â Quel entier entre $0$ etÂ $100$ est congru respectivement Ã 
+$1,2,3,4$ modulo $2,3,5,7$Â ?  (C'est-Ã -direÂ : congru Ã  $1$ moduloÂ $2$,
+et Ã  $2$ moduloÂ $3$, et Ã  $3$ moduloÂ $5$, et Ã  $4$ moduloÂ $7$.)
 
 \begin{corrige}
-(C) Les nombres $2,3,5,7$ sont premiers entre eux deux à deux.
-  Commençons par trouver des solutions à deux congruences
-  simultanées : comme les nombres sont assez petits, il est plus
-  simple de le faire par tâtonnement : par exemple, $5$ est congru à
-  $1$ modulo $2$ et à $2$ modulo $3$, cela se trouve immédiatement en
-  parcourant les entiers de $0$ à $5$ ou plus astucieusement ceux qui
-  vérifient une des deux congruences pour chercher ceux qui vérifient
+(C)Â Les nombres $2,3,5,7$ sont premiers entre eux deux Ã  deux.
+  CommenÃ§ons par trouver des solutions Ã  deux congruences
+  simultanÃ©esÂ : comme les nombres sont assez petits, il est plus
+  simple de le faire par tÃ¢tonnementÂ : par exemple, $5$ est congru Ã 
+  $1$ moduloÂ $2$ et Ã  $2$ moduloÂ $3$, cela se trouve immÃ©diatement en
+  parcourant les entiers de $0$ Ã  $5$ ou plus astucieusement ceux qui
+  vÃ©rifient une des deux congruences pour chercher ceux qui vÃ©rifient
   l'autre.  Comme on va vouloir mettre ensuite ensemble deux
-  congruences de ce genre, il vaut mieux les trouver de même taille
-  et, si possible, vérifiant une relation de Bézout simple : le plus
-  économique est donc de mettre $2$ avec $7$ et $3$ avec $5$, ce qui a
-  le bon goût que $1\times 15 - 1\times 14 = 1$ est une relation de Bézout évidente
-  entre $3\times 5$ et $2\times 7$.  Par tâtonnement, on trouve que
-  $11$ (et exactement les nombres de sa classe modulo $14$) est congru
-  à $1$ modulo $2$ et à $4$ modulo $7$, et que $8$ (et exactement les
-  nombres de sa classe modulo $15$) est congru à $2$ modulo $3$ et à
-  $3$ modulo $5$.  Avec la relation de Bézout $1\times 15 - 1\times 14
-  = 1$, toujours en appliquant la même version « effective » du
-  théorème chinois, on voit que les entiers vérifiant les quatre
-  congruences demandées sont exactement la classe de $1\times 15\times
+  congruences de ce genre, il vaut mieux les trouver de mÃªme taille
+  et, si possible, vÃ©rifiant une relation de BÃ©zout simpleÂ : le plus
+  Ã©conomique est donc de mettre $2$ avecÂ $7$ et $3$ avec $5$, ce qui a
+  le bon goÃ»t que $1\times 15 - 1\times 14 = 1$ est une relation de BÃ©zout Ã©vidente
+  entre $3\times 5$ et $2\times 7$.  Par tÃ¢tonnement, on trouve que
+  $11$ (et exactement les nombres de sa classe moduloÂ $14$) est congru
+  Ã  $1$ moduloÂ $2$ et Ã  $4$ moduloÂ $7$, et que $8$ (et exactement les
+  nombres de sa classe moduloÂ $15$) est congru Ã  $2$ moduloÂ $3$ et Ã 
+  $3$ moduloÂ $5$.  Avec la relation de BÃ©zout $1\times 15 - 1\times 14
+  = 1$, toujours en appliquant la mÃªme version Â«Â effectiveÂ Â» du
+  thÃ©orÃ¨me chinois, on voit que les entiers vÃ©rifiant les quatre
+  congruences demandÃ©es sont exactement la classe de $1\times 15\times
   11 - 1\times 14\times 8 = 53$ modulo $15 \times 14 = 210$, donc le
-  seul entre $0$ et $100$ est $53$.
+  seul entre $0$ et $100$ estÂ $53$.
 \end{corrige}
 
 \ifcorrige\medbreak\else\relax\fi
 
-(D) Déterminer tous les entiers entre $0$ et $2009$ congrus à $1$
-modulo chacun des nombres $7$, $11$ et $13$.  (C'est-à-dire : congrus
-à $1$ modulo $7$, et à $1$ modulo $11$, et à $1$ modulo $13$.)
-(Indication : y-t-il un nombre évident qui répond à cette condition ?)
+(D)Â DÃ©terminer tous les entiers entre $0$ et $2009$ congrus Ã  $1$
+modulo chacun des nombres $7$, $11$ etÂ $13$.  (C'est-Ã -direÂ : congrus
+Ã  $1$ moduloÂ $7$, et Ã  $1$ moduloÂ $11$, et Ã  $1$ moduloÂ $13$.)
+(IndicationÂ : y-t-il un nombre Ã©vident qui rÃ©pond Ã  cette conditionÂ ?)
 
 \begin{corrige}
-(D) Comme le suggère l'indication, il y a un nombre évident congru à
-  $1$ modulo $7$ et $11$ et $13$ à la fois, c'est $1$ lui-même.  Le
-  théorème chinois assure que, comme $7$ et $11$ et $13$ sont premiers
-  entre eux deux à deux, les entiers congrus à $1$ modulo chacun d'eux
+(D)Â Comme le suggÃ¨re l'indication, il y a un nombre Ã©vident congru Ã 
+  $1$ modulo $7$ et $11$ et $13$ Ã  la fois, c'est $1$ lui-mÃªme.  Le
+  thÃ©orÃ¨me chinois assure que, comme $7$ et $11$ et $13$ sont premiers
+  entre eux deux Ã  deux, les entiers congrus Ã  $1$ modulo chacun d'eux
   forment une classe de congruence modulo $7 \times 11 \times 13 =
-  1001$.  Les nombres entre $0$ et $2009$ vérifiant les congruences
-  demandées sont donc : $1$, $1002$ et $2003$.
+  1001$.  Les nombres entre $0$ et $2009$ vÃ©rifiant les congruences
+  demandÃ©es sont doncÂ : $1$, $1002$ et $2003$.
 \end{corrige}
 
 \ifcorrige\medbreak\else\relax\fi
 
-(E) Déterminer tous les entiers entre $0$ et $100\,000$ congrus à
-$192$ modulo $300$ et à $169$ modulo $305$.
+(E)Â DÃ©terminer tous les entiers entre $0$ et $100\,000$ congrus Ã 
+$192$ moduloÂ $300$ et Ã  $169$ moduloÂ $305$.
 
 \begin{corrige}
-(E) Un entier congru à $192$ modulo $300$ est (comme $5|300$) congru à
-  $192 \equiv 2$ modulo $5$, et un entier congru à $169$ modulo $305$
-  est (comme $5|305$) congru à $169 \equiv 4$ modulo $5$.  Comme $2
-  \not\equiv 4 \pmod{5}$, il n'existe \emph{aucun} entier vérifiant
-  les deux congruences demandées.
+(E)Â Un entier congru Ã  $192$ moduloÂ $300$ est (comme $5|300$) congru Ã 
+  $192 \equiv 2$ moduloÂ $5$, et un entier congru Ã  $169$ moduloÂ $305$
+  est (comme $5|305$) congru Ã  $169 \equiv 4$ moduloÂ $5$.  Comme $2
+  \not\equiv 4 \pmod{5}$, il n'existe \emph{aucun} entier vÃ©rifiant
+  les deux congruences demandÃ©es.
 \end{corrige}
 
 %
@@ -170,16 +172,16 @@ $192$ modulo
 
 \exercice
 
-(A) Pour chaque élément de $\mathbb{Z}/18\mathbb{Z}$, calculer son
+(A)Â Pour chaque Ã©lÃ©ment de $\mathbb{Z}/18\mathbb{Z}$, calculer son
 ordre additif et, si cela a un sens, son ordre multiplicatif.  Quels
-sont les entiers primitifs modulo $18$ ?
+sont les entiers primitifs moduloÂ $18$Â ?
 
-(B) Dresser la table d'un isomorphisme entre le groupe additif
-$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ (pour un $n$ à déterminer) et le groupe
+(B)Â Dresser la table d'un isomorphisme entre le groupe additif
+$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ (pour un $n$ Ã  dÃ©terminer) et le groupe
 multiplicatif $(\mathbb{Z}/18\mathbb{Z})^\times$.
 
-(C) Que vaut $7^{333\,333}$ modulo $18$ ?  Que vaut $5^{6\,000\,004}$
-modulo $18$ ?
+(C)Â Que vaut $7^{333\,333}$ moduloÂ $18$Â ?  Que vaut $5^{6\,000\,004}$
+moduloÂ $18$Â ?
 
 \begin{corrige}
 (A)\strut\par{\footnotesize
@@ -206,27 +208,27 @@ $\bar{17}$&$18$&$2$\\
 \end{tabular}
 \par}
 
-Il existe donc des éléments primitifs, il en existe
-$\varphi(\varphi(18)) = \varphi(6) = 2$, à savoir $\bar 5$ et
-$\bar{11}$.  (Les entiers primitifs modulo $18$ sont donc ceux congrus
-à $5$ ou $11$ modulo $18$.)
+Il existe donc des Ã©lÃ©ments primitifs, il en existe
+$\varphi(\varphi(18)) = \varphi(6) = 2$, Ã  savoir $\bar 5$ et
+$\bar{11}$.  (Les entiers primitifs moduloÂ $18$ sont donc ceux congrus
+Ã  $5$ ou $11$ moduloÂ $18$.)
 
-(B) Une fois choisi un élément primitif, disons $g = \bar 5$,
+(B)Â Une fois choisi un Ã©lÃ©ment primitif, disons $g = \bar 5$,
 l'isomorphisme $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \to
-(\mathbb{Z}/18\mathbb{Z})^\times$ est donné par $\bar k \mapsto g^k$,
-soit ici :
+(\mathbb{Z}/18\mathbb{Z})^\times$ est donnÃ© par $\bar k \mapsto g^k$,
+soit iciÂ :
 
 \begin{tabular}{c|cccccc}
 $\bar k \in \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$&$\bar 0$&$\bar 1$&$\bar 2$&$\bar 3$&$\bar 4$&$\bar 5$\\\hline
 $g^k \in (\mathbb{Z}/18\mathbb{Z})^\times$&$\bar 1$&$\bar 5$&$\bar 7$&$\bar{17}$&$\bar{13}$&$\bar{11}$\\
 \end{tabular}
 
-(C) On vient de voir que l'ordre de $\bar 7$ dans
-$(\mathbb{Z}/18\mathbb{Z})^\times$ vaut $3$, donc $7^{3k} \equiv 1
-\pmod{18}$ pour tout $k$ et en particulier pour $k = 111\,111$, de
+(C)Â On vient de voir que l'ordre de $\bar 7$ dans
+$(\mathbb{Z}/18\mathbb{Z})^\times$ vautÂ $3$, donc $7^{3k} \equiv 1
+\pmod{18}$ pour toutÂ $k$ et en particulier pour $k = 111\,111$, de
 sorte que $7^{333\,333} \equiv 1 \pmod{18}$.  Pour ce qui est de
 $5^{6\,000\,004}$, il suffit de chercher la valeur en regard de
-$6\,000\,004$ modulo $6$ dans le tableau ci-dessus : on a $5^6 \equiv
+$6\,000\,004$ moduloÂ $6$ dans le tableau ci-dessusÂ : on a $5^6 \equiv
 1 \pmod{18}$ donc $5^{6\,000\,000} \equiv 1$ donc $5^{6\,000\,004}
 \equiv 5^4 \equiv 13 \pmod{18}$.
 \end{corrige}
@@ -237,34 +239,34 @@ $6\,000\,004$ modulo
 
 \exercice
 
-(A) Calculer $\varphi(3\,125)$.  Que vaut $2^{5\,000\,000}$
-modulo $3\,125$ ?
+(A)Â Calculer $\varphi(3\,125)$.  Que vaut $2^{5\,000\,000}$
+moduloÂ $3\,125$Â ?
 
-(B) Que vaut $2^{5\,000\,000}$ modulo $32$ ?
+(B)Â Que vaut $2^{5\,000\,000}$ moduloÂ $32$Â ?
 
-(C) Sachant que $293\times 32 - 3\times 3\,125 = 1$, quels sont les
-cinq derniers chiffres en base $10$ de $2^{5\,000\,000}$ ?
+(C)Â Sachant que $293\times 32 - 3\times 3\,125 = 1$, quels sont les
+cinq derniers chiffres en baseÂ $10$ de $2^{5\,000\,000}$Â ?
 
 \begin{corrige}
-(A) On a $3\,125 = 5^5$ donc $\varphi(3\,125) = 4\times 5^4 = 2\,500$.
-  Comme $2$ est premier avec $3\,125$, le théorème d'Euler entraîne
+(A)Â On a $3\,125 = 5^5$ donc $\varphi(3\,125) = 4\times 5^4 = 2\,500$.
+  Comme $2$ est premier avec $3\,125$, le thÃ©orÃ¨me d'Euler entraÃ®ne
   que $2^{2\,500} \equiv 1 \pmod{3\,125}$, donc $2^{5\,000\,000}
   \equiv 1 \pmod{3\,125}$ (puisque $2\,500\,|\,5\,000\,000$).
 
-(B) (Attention à ne pas chercher à appliquer le théorème d'Euler !
-  $2$ n'est pas du tout premier avec $32$...)  On a $32 = 2^5$ donc
-  $32 | 2^{5\,000\,000}$, c'est-à-dire que $2^{5\,000\,000} \equiv 0
+(B)Â (Attention Ã  ne pas chercher Ã  appliquer le thÃ©orÃ¨me d'EulerÂ !
+  $2$ n'est pas du tout premier avecÂ $32$...)  On a $32 = 2^5$ donc
+  $32 | 2^{5\,000\,000}$, c'est-Ã -dire que $2^{5\,000\,000} \equiv 0
   \pmod{32}$.
 
-(C) Trouver les cinq derniers chiffres de $2^{5\,000\,000}$ en
-  base $10$ revient à calculer ce nombre modulo $100\,000 = 10^5 = 2^5
+(C)Â Trouver les cinq derniers chiffres de $2^{5\,000\,000}$ en
+  baseÂ $10$ revient Ã  calculer ce nombre modulo $100\,000 = 10^5 = 2^5
   \times 5^5 = 32 \times 3\,125$.  On vient de le calculer modulo $32$
-  (il vaut $0$) et modulo $3\,125$ (il vaut $1$).  Le théorème chinois
+  (il vautÂ $0$) et modulo $3\,125$ (il vaut $1$).  Le thÃ©orÃ¨me chinois
   assure donc que $2^{5\,000\,000}$ est, modulo $100\,000$, l'unique
   classe de congruence possible qui vaut $0$ modulo $32$ et $1$
-  modulo $3\,125$.  C'est donc $293\times 32 = 1 + 3\times 3\,125 =
+  moduloÂ $3\,125$.  C'est donc $293\times 32 = 1 + 3\times 3\,125 =
   9\,376$.  Les cinq derniers chiffres de $2^{5\,000\,000}$ en
-  base $10$ sont donc : $09376$.
+  baseÂ $10$ sont doncÂ : $09376$.
 \end{corrige}
 
 %
@@ -275,55 +277,55 @@ cinq derniers chiffres en base
 
 Les nombres $593$ et $1\,187$ sont premiers.
 
-(A) Expliquer brièvement pourquoi, si $b^2 = \bar 1$ avec $b \in
+(A)Â Expliquer briÃ¨vement pourquoi, si $b^2 = \bar 1$ avec $b \in
 \mathbb{Z}/1187\mathbb{Z}$ alors $b = \bar 1$ ou $b = -\bar 1$
-(indication : factoriser $b^2 - \bar 1$).
+(indicationÂ : factoriser $b^2 - \bar 1$).
 
-(B) Quelles sont les valeurs possibles de $a^{593}$ modulo $1\,187$
-(pour $a$ un entier quelconque) ?
+(B)Â Quelles sont les valeurs possibles de $a^{593}$ moduloÂ $1\,187$
+(pour $a$ un entier quelconque)Â ?
 
-(C) Montrer que $a^{593} \equiv -1 \pmod{1\,187}$ si et seulement si
-$a$ est primitif modulo $1\,187$ \emph{ou} $a \equiv -1
+(C)Â Montrer que $a^{593} \equiv -1 \pmod{1\,187}$ si et seulement si
+$a$ est primitif moduloÂ $1\,187$ \emph{ou} $a \equiv -1
 \pmod{1\,187}$.
 
 \begin{corrige}
-(A) Si $b^2 = \bar 1$ avec $b \in \mathbb{Z}/1187\mathbb{Z}$, alors
+(A)Â Si $b^2 = \bar 1$ avec $b \in \mathbb{Z}/1187\mathbb{Z}$, alors
   $(b-\bar 1)(b+\bar 1) = b^2 - \bar 1 = \bar 0$.  Comme
   $\mathbb{Z}/1187\mathbb{Z}$ est un corps (et en particulier, un
-  anneau intègre), un produit ne peut être nul que si un des deux
+  anneau intÃ¨gre), un produit ne peut Ãªtre nul que si un des deux
   facteurs est nul, donc soit $b - \bar 1 = \bar 0$, soit $b + \bar 1
-  = \bar 0$, c'est-à-dire soit $b = \bar 1$ soit $b = -\bar 1$.
+  = \bar 0$, c'est-Ã -dire soit $b = \bar 1$ soit $b = -\bar 1$.
 
-(B) On a $1\,186 = 2\times 593$.  Le théorème d'Euler ou de Fermat
+(B)Â On a $1\,186 = 2\times 593$.  Le thÃ©orÃ¨me d'Euler ou de Fermat
   assure que $a^{1\,186} \equiv 1 \pmod{1\,187}$ pour tout $a$ non
-  multiple de $1\,187$, c'est-à-dire $(a^{593})^2 \equiv 1
-  \pmod{1\,187}$ : d'après ce qu'on vient de voir, ceci signifie que
+  multiple de $1\,187$, c'est-Ã -dire $(a^{593})^2 \equiv 1
+  \pmod{1\,187}$Â : d'aprÃ¨s ce qu'on vient de voir, ceci signifie que
   $a^{593}\equiv 1$ ou $a^{593}\equiv -1$.  (Et ces deux cas se
   produisent effectivement, comme le montrent les exemples de $a=1$ et
-  $a=-1$.)  Enfin, si $a$ est multiple de $1\,187$, on a évidemment
+  $a=-1$.)  Enfin, si $a$ est multiple de $1\,187$, on a Ã©videmment
   $a^{593} \equiv 0^{593} = 0 \pmod{1\,187}$.  Les trois valeurs
-  possibles sont donc : $+1, -1, 0$.
+  possibles sont doncÂ : $+1, -1, 0$.
 
-(Remarquons que les deux sous-questions ci-dessus n'ont pas utilisé le
-  fait que $593$ était premier, et fonctionnaient également en
-  remplaçant $1\,187$ par n'importe quel nombre premier $p$ impair et
+(Remarquons que les deux sous-questions ci-dessus n'ont pas utilisÃ© le
+  fait que $593$ Ã©tait premier, et fonctionnaient Ã©galement en
+  remplaÃ§ant $1\,187$ par n'importe quel nombre premier $p$ impair et
   $593$ par $(p-1)/2$.)
 
-(C) Tout d'abord, si $a^{593} \not\equiv 0 \pmod{1\,187}$ alors $a$
-  n'est pas multiple de $1\,187$, c'est-à-dire qu'il est premier avec
+(C)Â Tout d'abord, si $a^{593} \not\equiv 0 \pmod{1\,187}$ alors $a$
+  n'est pas multiple de $1\,187$, c'est-Ã -dire qu'il est premier avec
   $1\,187$.  Lorsque c'est le cas, l'ordre multiplicatif de $a$ doit
-  diviser $\varphi(1\,187) = 2\times 593$ : les diviseurs de ce nombre
-  sont $1$, $2$, $593$ et $1\,186$.  Le seul élément (de n'importe
-  quel groupe, noté multiplicativement) dont l'ordre est $1$ est $1$
-  (le neutre) ; la première question montre que le seul élément de
-  $(\mathbb{Z}/1187\mathbb{Z})^\times$ dont l'ordre est $2$ est $-1$ ;
+  diviser $\varphi(1\,187) = 2\times 593$Â : les diviseurs de ce nombre
+  sont $1$, $2$, $593$ etÂ $1\,186$.  Le seul Ã©lÃ©ment (de n'importe
+  quel groupe, notÃ© multiplicativement) dont l'ordre est $1$ estÂ $1$
+  (le neutre)Â ; la premiÃ¨re question montre que le seul Ã©lÃ©ment de
+  $(\mathbb{Z}/1187\mathbb{Z})^\times$ dont l'ordre est $2$ est $-1$Â ;
   si l'ordre de $a$ est $593$ (en particulier, $a$ n'est pas
   primitif), alors $a^{593} \equiv 1 \pmod{1\,187}$.  Enfin, si
-  l'ordre de $a$ est $1\,186$, c'est-à-dire si $a$ est primitif, alors
-  $a^{593}$ ne peut pas valoir $1$, et doit donc valoir $-1$.  Tout
-  ceci mis ensemble, on a bien : $a^{593} \equiv -1 \pmod{1\,187}$ si
+  l'ordre de $a$ est $1\,186$, c'est-Ã -dire si $a$ est primitif, alors
+  $a^{593}$ ne peut pas valoirÂ $1$, et doit donc valoirÂ $-1$.  Tout
+  ceci mis ensemble, on a bienÂ : $a^{593} \equiv -1 \pmod{1\,187}$ si
   et seulement si $a \equiv -1 \pmod{1\,187}$ ou bien $a$ est primitif
-  modulo $1\,187$.
+  moduloÂ $1\,187$.
 \end{corrige}
 
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cgit v1.2.3

