From 2c0256cb192f4579ba7ae9c4d57886a5af93c043 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "David A. Madore" Date: Mon, 24 Oct 2011 15:39:14 +0200 Subject: Re-encode as utf-8. --- exercices2.tex | 263 +++++++++++++++++++++++++++++---------------------------- 1 file changed, 132 insertions(+), 131 deletions(-) (limited to 'exercices2.tex') diff --git a/exercices2.tex b/exercices2.tex index c36ddd2..7cee362 100644 --- a/exercices2.tex +++ b/exercices2.tex @@ -1,7 +1,7 @@ %% This is a LaTeX document. Hey, Emacs, -*- latex -*- , get it? \documentclass[12pt]{article} \usepackage[francais]{babel} -\usepackage[latin1]{inputenc} +\usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{times} % A tribute to the worthy AMS: @@ -25,12 +25,13 @@ \newcommand{\signe}{\operatorname{signe}} \newcommand{\tee}{\mathbin{\top}} \newcommand{\Frob}{\operatorname{Fr}} +\DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~} % \newif\ifcorrige \corrigetrue \newenvironment{corrige}% {\ifcorrige\relax\else\setbox0=\vbox\bgroup\fi% -\smallbreak\noindent{\underbar{\textit{Corrigé.}}\quad}} +\smallbreak\noindent{\underbar{\textit{Corrigé.}}\quad}} {{\hbox{}\nobreak\hfill\checkmark}% \ifcorrige\relax\else\egroup\fi\par} % @@ -38,9 +39,9 @@ % \begin{document} \ifcorrige -\title{INFMDI720\\Exercices --- Corrigé\\{\normalsize Rappels mathématiques pour la cryptographie}} +\title{INFMDI720\\Exercices --- Corrigé\\{\normalsize Rappels mathématiques pour la cryptographie}} \else -\title{INFMDI720\\Exercices\\{\normalsize Rappels mathématiques pour la cryptographie}} +\title{INFMDI720\\Exercices\\{\normalsize Rappels mathématiques pour la cryptographie}} \fi \author{} \date{} @@ -54,42 +55,42 @@ \exercice -Déterminer une relation de Bézout entre les polynômes $A = t^7 - t^6 + +Déterminer une relation de Bézout entre les polynômes $A = t^7 - t^6 + t^4 - t + 1$ et $B = t^6 + t^5 - t^4 + t^3 + t^2 + 1$ dans $\mathbb{F}_3[t]$. Quel est l'inverse de $\bar B$ dans -$\mathbb{F}_3[t]/(A)$ ? +$\mathbb{F}_3[t]/(A)$ ? \begin{corrige} -On calcule les divisions euclidiennes successives : $t^7 - t^6 + t^4 - +On calcule les divisions euclidiennes successives : $t^7 - t^6 + t^4 - t + 1 = (t+1)\penalty0 (t^6+t^5-t^4+t^3+t^2+1) + (t^4+t^3-t^2+t)$, puis $t^6 + t^5 - t^4 + t^3 + t^2 + 1 = t^2(t^4+t^3-t^2+t) + (t^2+1)$, puis $t^4 + t^3 - t^2 + t = (t^2+t+1)\penalty0 (t^2+1) - 1$. Le pgcd -de $A$ et $B$ est donc $1$ (ou $-1$, mais on a choisi de le prendre +de $A$ et $B$ est donc $1$ (ou $-1$, mais on a choisi de le prendre unitaire). -On calcule alors des relations $UP + VQ = D$ comme suit : +On calcule alors des relations $UP + VQ = D$ comme suit : \begin{itemize} -\item[$\bullet$] $U= -1$ ; $P= t^4+t^3-t^2+t$ ; $V= t^2+t+1$ ; $Q= - t^2+1$ ; $D= 1$ (d'après la dernière division effectuée). -\item[$\bullet$] $U= -t^2$ ; $P= t^4+t^3-t^2+t$ ; $V= 1$ ; $Q= - t^6+t^5-t^4+t^3+t^2+1$ ; $D= t^2+1$ (d'après l'avant-dernière - division effectuée). -\item[$\bullet$] $U= -t^2(t^2+t+1)-1 = -t^4-t^3-t^2-1$ ; $P= - t^4+t^3-t^2+t$ ; $V= t^2+t+1$ ; $Q= t^6+t^5-t^4+t^3+t^2+1$ ; $D= 1$ - (en remplaçant la valeur de $t^2+1$ donnée par la dernière égalité à - la place du $Q$ de l'égalité précédente). -\item[$\bullet$] $U= 1$ ; $P= t^7-t^6+t^4-t+1$ ; $V= -(t+1)$ ; $Q= - t^6+t^5-t^4+t^3+t^2+1$ ; $D= t^4+t^3-t^2+t$ (d'après la première - division effectuée). -\item[$\bullet$] $U= -t^4-t^3-t^2-1$ ; $P= t^7-t^6+t^4-t+1$ ; $V= - (t^2+t+1) - (-t^4-t^3-t^2-1)\penalty0 (t+1) = t^5-t^4-t^3-t^2-t-1$ ; - $Q= t^6+t^5-t^4+t^3+t^2+1$ ; $D= 1$ (en remplaçant la valeur de - $t^4+t^3-t^2+t$ donnée par la dernière égalité à la place du $P$ de - l'égalité précédente. +\item[$\bullet$] $U= -1$ ; $P= t^4+t^3-t^2+t$ ; $V= t^2+t+1$ ; $Q= + t^2+1$ ; $D= 1$ (d'après la dernière division effectuée). +\item[$\bullet$] $U= -t^2$ ; $P= t^4+t^3-t^2+t$ ; $V= 1$ ; $Q= + t^6+t^5-t^4+t^3+t^2+1$ ; $D= t^2+1$ (d'après l'avant-dernière + division effectuée). +\item[$\bullet$] $U= -t^2(t^2+t+1)-1 = -t^4-t^3-t^2-1$ ; $P= + t^4+t^3-t^2+t$ ; $V= t^2+t+1$ ; $Q= t^6+t^5-t^4+t^3+t^2+1$ ; $D= 1$ + (en remplaçant la valeur de $t^2+1$ donnée par la dernière égalité à + la place du $Q$ de l'égalité précédente). +\item[$\bullet$] $U= 1$ ; $P= t^7-t^6+t^4-t+1$ ; $V= -(t+1)$ ; $Q= + t^6+t^5-t^4+t^3+t^2+1$ ; $D= t^4+t^3-t^2+t$ (d'après la première + division effectuée). +\item[$\bullet$] $U= -t^4-t^3-t^2-1$ ; $P= t^7-t^6+t^4-t+1$ ; $V= + (t^2+t+1) - (-t^4-t^3-t^2-1)\penalty0 (t+1) = t^5-t^4-t^3-t^2-t-1$ ; + $Q= t^6+t^5-t^4+t^3+t^2+1$ ; $D= 1$ (en remplaçant la valeur de + $t^4+t^3-t^2+t$ donnée par la dernière égalité à la place du $P$ de + l'égalité précédente. \end{itemize} -On a donc trouvé la relation de Bézout : $(-t^4-t^3-t^2-1) \penalty0 +On a donc trouvé la relation de Bézout : $(-t^4-t^3-t^2-1) \penalty0 (t^7-t^6+t^4-t+1) + (t^5-t^4-t^3-t^2-t-1) \penalty0 (t^6+t^5-t^4+t^3+t^2+1) = 1$. @@ -104,54 +105,54 @@ t^3-\bar t^2-\bar t-1$. \exercice -(A) On admet que le polynôme $P := t^4 + t^3 + t^2 + t + 1 \in -\mathbb{F}_3[t]$ est irréductible. Combien d'éléments a $F := -\mathbb{F}_3[t]/(P)$ ? +(A) On admet que le polynôme $P := t^4 + t^3 + t^2 + t + 1 \in +\mathbb{F}_3[t]$ est irréductible. Combien d'éléments a $F := +\mathbb{F}_3[t]/(P)$ ? -(B) Quel est l'ordre (additif) de $\bar t$ dans le groupe additif -de $F$ ? +(B) Quel est l'ordre (additif) de $\bar t$ dans le groupe additif +de $F$ ? -(C) Calculer $\bar t^4$ et $\bar t^5$. Quel est l'ordre +(C) Calculer $\bar t^4$ et $\bar t^5$. Quel est l'ordre (multiplicatif) de $\bar t$ dans le groupe multiplicatif $F^\times$ -des éléments non-nuls de $F$ ? L'élément $\bar t$ est-il primitif ? -Le polynôme $P$ est-il primitif ? +des éléments non-nuls de $F$ ? L'élément $\bar t$ est-il primitif ? +Le polynôme $P$ est-il primitif ? -(D) Quels sont les conjugués de $\bar t$ (=ses images successives par -le morphisme de Frobenius) ? Quel est le degré de $\bar t$ ? +(D) Quels sont les conjugués de $\bar t$ (=ses images successives par +le morphisme de Frobenius) ? Quel est le degré de $\bar t$ ? \begin{corrige} -(A) Le nombre d'éléments de $F$ est $3^{\deg P} = 3^4 = 81$ (comme le - nombre de polynômes de degré $<4$ sur $\mathbb{F}_3$). On peut donc +(A) Le nombre d'éléments de $F$ est $3^{\deg P} = 3^4 = 81$ (comme le + nombre de polynômes de degré $<4$ sur $\mathbb{F}_3$). On peut donc noter $F = \mathbb{F}_{81}$. Il s'agit d'un corps, puisque $P$ est - irréductible. - -(B) Les multiples additifs de $\bar t$ sont $0$, $\bar t$ et $2\bar t - = -\bar t$, après quoi on retombe sur $0$ (la caractéristique de $F$ - est $3$). L'ordre additif de $\bar t$, comme celui de n'importe - quel élément non nul dans un corps de caractéristique $3$, est - donc $3$. - -(C) On a $\bar t^4 = -\bar t^3 - \bar t^2 - \bar t - 1$ comme il - résulte d'une division euclidienne (évidente) de $t^4$ par $P$. Par - conséquent, $\bar t^5 = -\bar t^4 - \bar t^3 - \bar t^2 - \bar t = - 1$ (on peut aussi faire la division euclidienne de $t^5$ par $P$). - Ceci signifie que l'ordre multiplicatif de $\bar t$ divise $5$, - c'est-à-dire qu'il vaut $1$ ou $5$. Comme il ne vaut pas $1$ - (puisque $\bar t$ ne vaut pas $1$), il vaut $5$. De fait, les - puissances de $\bar t$ sont : $1$, $\bar t$, $\bar t^2$, $\bar t^3$ - et $-\bar t^3 - \bar t^2 - \bar t - 1$, après quoi on retombe - sur $1$. Comme $F^\times$ a $80$ éléments, $\bar t$ n'est pas - primitif (un élément primitif est un élément d'ordre - multiplicatif $80$). Ceci signifie précisément que le polynôme $P$ + irréductible. + +(B) Les multiples additifs de $\bar t$ sont $0$, $\bar t$ et $2\bar t + = -\bar t$, après quoi on retombe sur $0$ (la caractéristique de $F$ + est $3$). L'ordre additif de $\bar t$, comme celui de n'importe + quel élément non nul dans un corps de caractéristique $3$, est + donc $3$. + +(C) On a $\bar t^4 = -\bar t^3 - \bar t^2 - \bar t - 1$ comme il + résulte d'une division euclidienne (évidente) de $t^4$ par $P$. Par + conséquent, $\bar t^5 = -\bar t^4 - \bar t^3 - \bar t^2 - \bar t = + 1$ (on peut aussi faire la division euclidienne de $t^5$ par $P$). + Ceci signifie que l'ordre multiplicatif de $\bar t$ divise $5$, + c'est-à-dire qu'il vaut $1$ ou $5$. Comme il ne vaut pas $1$ + (puisque $\bar t$ ne vaut pas $1$), il vaut $5$. De fait, les + puissances de $\bar t$ sont : $1$, $\bar t$, $\bar t^2$, $\bar t^3$ + et $-\bar t^3 - \bar t^2 - \bar t - 1$, après quoi on retombe + sur $1$. Comme $F^\times$ a $80$ éléments, $\bar t$ n'est pas + primitif (un élément primitif est un élément d'ordre + multiplicatif $80$). Ceci signifie précisément que le polynôme $P$ n'est pas primitif. -(D) Le morphisme de Frobenius est l'application $x \mapsto x^3$ - dans $F$. Les conjugués de $\bar t$, c'est-à-dire ses images - successives par le Frobenius sont : $\bar t$ lui-même, $\bar t^3$, +(D) Le morphisme de Frobenius est l'application $x \mapsto x^3$ + dans $F$. Les conjugués de $\bar t$, c'est-à-dire ses images + successives par le Frobenius sont : $\bar t$ lui-même, $\bar t^3$, puis $\bar t^9 = \bar t^4 = -\bar t^3 - \bar t^2 - \bar t - 1$ (car - $\bar t^5 = 1$ à ce qu'on a vu), et ensuite on retombe sur $\bar - t^{81} = \bar t$. Le degré de $\bar t$ est $4$ (c'est forcément le - degré de $P$). + $\bar t^5 = 1$ à ce qu'on a vu), et ensuite on retombe sur $\bar + t^{81} = \bar t$. Le degré de $\bar t$ est $4$ (c'est forcément le + degré de $P$). \end{corrige} % @@ -160,29 +161,29 @@ le morphisme de Frobenius) \exercice -(A) On admet que le polynôme $P := t^4 + t + 1 \in \mathbb{F}_2[t]$ -est irréductible. Combien d'éléments a $F := \mathbb{F}_2[t]/(P)$ ? +(A) On admet que le polynôme $P := t^4 + t + 1 \in \mathbb{F}_2[t]$ +est irréductible. Combien d'éléments a $F := \mathbb{F}_2[t]/(P)$ ? -(B) Dresser la liste des puissances successives de $\bar t$ dans $F$. -Quel est l'ordre de $\bar t$ ? Est-il primitif ? Quel est l'inverse -de $\bar t$ ? Quels sont tous les éléments primitifs de $F$ ? Quel -est l'ordre multiplicatif de $\bar t^3$ ? Même question pour $\bar +(B) Dresser la liste des puissances successives de $\bar t$ dans $F$. +Quel est l'ordre de $\bar t$ ? Est-il primitif ? Quel est l'inverse +de $\bar t$ ? Quels sont tous les éléments primitifs de $F$ ? Quel +est l'ordre multiplicatif de $\bar t^3$ ? Même question pour $\bar t^5$. -(C) Quels sont les conjugués de $\bar t$ ? Quel est son degré ? -Mêmes questions pour $\bar t^3$. Mêmes questions pour $\bar t^5$. +(C) Quels sont les conjugués de $\bar t$ ? Quel est son degré ? +Mêmes questions pour $\bar t^3$. Mêmes questions pour $\bar t^5$. -(D) Quels sont les éléments de l'unique corps à $4$ éléments contenu -dans $F$ ? +(D) Quels sont les éléments de l'unique corps à $4$ éléments contenu +dans $F$ ? \begin{corrige} -(A) Le nombre d'éléments de $F$ est $2^{\deg P} = 2^4 = 16$ (comme le - nombre de polynômes de degré $<4$ sur $\mathbb{F}_2$). On peut donc +(A) Le nombre d'éléments de $F$ est $2^{\deg P} = 2^4 = 16$ (comme le + nombre de polynômes de degré $<4$ sur $\mathbb{F}_2$). On peut donc noter $F = \mathbb{F}_{16}$. Il s'agit d'un corps, puisque $P$ est - irréductible. + irréductible. -(B) On calcule successivement en multipliant par $t$ et en se - rappelant que $t^4 \equiv t+1 \pmod{P}$ : +(B) On calcule successivement en multipliant par $t$ et en se + rappelant que $t^4 \equiv t+1 \pmod{P}$ : \begin{tabular}{r|l} $i$&$\bar t^i$\\\hline @@ -204,52 +205,52 @@ $14$&$\bar t^4+\bar t^3+\bar t = \bar t^3+1$\\\hline $15$&$\bar t^4+\bar t = 1$\\ \end{tabular} -L'ordre de $\bar t$ est donc $15$, il est primitif puisque $\#F^\times -= \#F-1 = 15$, tous les éléments non-nuls de $F$ ont été listés -ci-dessus et on a même, plus précisément, établi un isomorphisme de +L'ordre de $\bar t$ est donc $15$, il est primitif puisque $\#F^\times += \#F-1 = 15$, tous les éléments non-nuls de $F$ ont été listés +ci-dessus et on a même, plus précisément, établi un isomorphisme de groupes $(\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}) \to F^\times$ par $\bar\imath -\mapsto \bar t^i$. Cet isomorphisme permet de répondre facilement aux -questions suivantes : l'inverse de $\bar t$ est celui qui correspond à -l'opposé de $1$, soit $\bar t^{14} = \bar t^3+1$. Les éléments -primitifs sont ceux qui correspondent aux générateurs de -$\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}$ (c'est-à-dire les classes des nombres +\mapsto \bar t^i$. Cet isomorphisme permet de répondre facilement aux +questions suivantes : l'inverse de $\bar t$ est celui qui correspond à +l'opposé de $1$, soit $\bar t^{14} = \bar t^3+1$. Les éléments +primitifs sont ceux qui correspondent aux générateurs de +$\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}$ (c'est-à-dire les classes des nombres premiers avec $15$, soit $\bar 1$, $\bar 2$, $\bar 4$, $\bar 7$, $\bar 8$, $\bar{11}$, $\bar{13}$, $\bar{14}$), donc $\bar t$, $\bar t^2$, $\bar t^4 = \bar t+1$, $\bar t^7 = \bar t^3+\bar t+1$, $\bar t^8 = \bar t^2+1$, $\bar t^{11} = \bar t^3+\bar t^2+\bar t$, $\bar t^{13} = \bar t^3+\bar t^2+1$ et $\bar t^{14} = \bar t^3+1$. L'ordre -(multiplicatif) de $\bar t^3$ dans $F^\times$ est le même que l'ordre -(additif) de $3$ dans $\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}$, soit $5$, et de même -l'ordre multiplicatif de $\bar t^5$ dans $F^\times$ est $3$. - -(C) Le morphisme de Frobenius est l'application $x \mapsto x^2$ -dans $F$. Les conjugués de $\bar t$, c'est-à-dire ses images -successives par le Frobenius sont : $\bar t$ lui-même, $\bar t^2$, -$\bar t^4 = \bar t+1$, $\bar t^8 = \bar t^2+1$ après quoi on retombe -sur $\bar t^{16} = \bar t$. Le degré de $\bar t$ est $4$ (c'est -forcément le degré de $P$). Pour ce qui est du degré de $\bar t^3$, -ses images successives par le Frobenius sont : $\bar t^3$ lui-même, +(multiplicatif) de $\bar t^3$ dans $F^\times$ est le même que l'ordre +(additif) de $3$ dans $\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}$, soit $5$, et de même +l'ordre multiplicatif de $\bar t^5$ dans $F^\times$ est $3$. + +(C) Le morphisme de Frobenius est l'application $x \mapsto x^2$ +dans $F$. Les conjugués de $\bar t$, c'est-à-dire ses images +successives par le Frobenius sont : $\bar t$ lui-même, $\bar t^2$, +$\bar t^4 = \bar t+1$, $\bar t^8 = \bar t^2+1$ après quoi on retombe +sur $\bar t^{16} = \bar t$. Le degré de $\bar t$ est $4$ (c'est +forcément le degré de $P$). Pour ce qui est du degré de $\bar t^3$, +ses images successives par le Frobenius sont : $\bar t^3$ lui-même, $\bar t^6 = \bar t^3+\bar t^2$, $\bar t^{12} = \bar t^3+\bar t^2+\bar -t+1$ et $\bar t^{24} = \bar t^9 = \bar t^3+\bar t$, après quoi on -retombe sur $\bar t^{48} = \bar t^3$ ; donc le degré de $\bar t^3$ est -également $4$. Enfin, pour calculer le degré de $\bar t^5$, on a ses -images successives qui sont $\bar t^5 = \bar t^2+\bar t$ lui-même et +t+1$ et $\bar t^{24} = \bar t^9 = \bar t^3+\bar t$, après quoi on +retombe sur $\bar t^{48} = \bar t^3$ ; donc le degré de $\bar t^3$ est +également $4$. Enfin, pour calculer le degré de $\bar t^5$, on a ses +images successives qui sont $\bar t^5 = \bar t^2+\bar t$ lui-même et $\bar t^{10} = \bar t^2+\bar t+1$, puis $\bar t^{20} = \bar t^5$, donc -il n'y a que deux conjugués (en comptant $\bar t^5$ lui-même), et son -degré est $2$. - -(D) On sait que $\mathbb{F}_4$ est contenu dans $F = \mathbb{F}_{16}$ -car $16$ est une puissance de $4$, et on sait qu'alors $\mathbb{F}_4 = -\{x\in F : x^4=x\}$. Une façon de trouver ces éléments est de -réécrire $x^4 = x$ comme $(x^2)^2 = x$ (on retombe sur $x$ après deux -applications du Frobenius : ou encore, le degré de $x$ est $1$ -ou $2$) ; les éléments vérifiant ceci sont $0$ et $1$, bien sûr, et +il n'y a que deux conjugués (en comptant $\bar t^5$ lui-même), et son +degré est $2$. + +(D) On sait que $\mathbb{F}_4$ est contenu dans $F = \mathbb{F}_{16}$ +car $16$ est une puissance de $4$, et on sait qu'alors $\mathbb{F}_4 = +\{x\in F : x^4=x\}$. Une façon de trouver ces éléments est de +réécrire $x^4 = x$ comme $(x^2)^2 = x$ (on retombe sur $x$ après deux +applications du Frobenius : ou encore, le degré de $x$ est $1$ +ou $2$) ; les éléments vérifiant ceci sont $0$ et $1$, bien sûr, et aussi $\bar t^5 = \bar t^2+\bar t$ comme on vient de le voir, et -forcément $\bar t^5 + 1 = \bar t^2+\bar t+1$ (puisqu'un corps est -stable ar addition). Une autre façon de résoudre $x^4 = x$ est de le -réécrire comme $x=0$ ou bien $x^3 = 1$, c'est-à-dire qu'il s'agit de -$0$ et des éléments d'ordre divisant $3$, donc, d'après l'isomorphisme -déjà déterminé, $\bar t^5 = \bar t^2+\bar t$ et $\bar t^{10} = \bar +forcément $\bar t^5 + 1 = \bar t^2+\bar t+1$ (puisqu'un corps est +stable ar addition). Une autre façon de résoudre $x^4 = x$ est de le +réécrire comme $x=0$ ou bien $x^3 = 1$, c'est-à-dire qu'il s'agit de +$0$ et des éléments d'ordre divisant $3$, donc, d'après l'isomorphisme +déjà déterminé, $\bar t^5 = \bar t^2+\bar t$ et $\bar t^{10} = \bar t^2+\bar t+1$. \end{corrige} @@ -260,30 +261,30 @@ t^2+\bar t+1$. \exercice Calculer le pgcd dans $\mathbb{F}_{11}[t]$ de $t^2 - 2$ et $t^{11}-t$. -En déduire que $2$ n'est pas un carré dans $\mathbb{F}_{11}$ -(c'est-à-dire qu'il n'existe pas de $\alpha \in \mathbb{F}_{11}$ tel -que $\alpha^2 = 2$ ; indication : de quels polynômes intéressants -$\alpha$ serait-il racine ?). +En déduire que $2$ n'est pas un carré dans $\mathbb{F}_{11}$ +(c'est-à-dire qu'il n'existe pas de $\alpha \in \mathbb{F}_{11}$ tel +que $\alpha^2 = 2$ ; indication : de quels polynômes intéressants +$\alpha$ serait-il racine ?). \begin{corrige} -On calcule les divisions euclidiennes successives : $t^{11}-t = (t^9 + +On calcule les divisions euclidiennes successives : $t^{11}-t = (t^9 + 2t^7 + 4t^5 - 3t^3 + 5t)\penalty0 (t^2-2) + 9t$, puis $t^2-2 = (5t)(9t) - 2$, le dernier reste est une constante donc le pgcd -vaut $1$. +vaut $1$. S'il y avait un $\alpha \in \mathbb{F}_{11}$ tel que $\alpha^2 = 2$, -alors il serait racine à la fois de $t^2 - 2$ en vertu de +alors il serait racine à la fois de $t^2 - 2$ en vertu de $\alpha^2=2$, et $t^{11} - t$ en vertu de $\alpha\in\mathbb{F}_{11}$ -(et du petit théorème de Fermat). C'est-à-dire que $t-\alpha$ serait -un facteur commu à $t^2-2$ et $t^{11}-t$, et on vient de voir qu'il +(et du petit théorème de Fermat). C'est-à-dire que $t-\alpha$ serait +un facteur commu à $t^2-2$ et $t^{11}-t$, et on vient de voir qu'il n'y en a pas. -\emph{Remarque :} Vérifier que $t^2-2$ et $t^{11}-t$ sont premiers -entre eux est une des parties du critère de Rabin pour vérifier que -$t^2-2$ est irréductible. Ici, il n'y a pas besoin d'en faire plus : +\emph{Remarque :} Vérifier que $t^2-2$ et $t^{11}-t$ sont premiers +entre eux est une des parties du critère de Rabin pour vérifier que +$t^2-2$ est irréductible. Ici, il n'y a pas besoin d'en faire plus : comme $t^2-2$ n'a pas de racine, cela signifie qu'il n'a pas de -facteur de degré $1$, et comme il est de degré $2$, il est -irréductible. +facteur de degré $1$, et comme il est de degré $2$, il est +irréductible. \end{corrige} % -- cgit v1.2.3