From 2c0256cb192f4579ba7ae9c4d57886a5af93c043 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Mon, 24 Oct 2011 15:39:14 +0200
Subject: Re-encode as utf-8.

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 exercices2.tex | 263 +++++++++++++++++++++++++++++----------------------------
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index c36ddd2..7cee362 100644
--- a/exercices2.tex
+++ b/exercices2.tex
@@ -1,7 +1,7 @@
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 \documentclass[12pt]{article}
 \usepackage[francais]{babel}
-\usepackage[latin1]{inputenc}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
 \usepackage[T1]{fontenc}
 \usepackage{times}
 % A tribute to the worthy AMS:
@@ -25,12 +25,13 @@
 \newcommand{\signe}{\operatorname{signe}}
 \newcommand{\tee}{\mathbin{\top}}
 \newcommand{\Frob}{\operatorname{Fr}}
+\DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~}
 %
 \newif\ifcorrige
 \corrigetrue
 \newenvironment{corrige}%
 {\ifcorrige\relax\else\setbox0=\vbox\bgroup\fi%
-\smallbreak\noindent{\underbar{\textit{Corrigé.}}\quad}}
+\smallbreak\noindent{\underbar{\textit{CorrigÃ©.}}\quad}}
 {{\hbox{}\nobreak\hfill\checkmark}%
 \ifcorrige\relax\else\egroup\fi\par}
 %
@@ -38,9 +39,9 @@
 %
 \begin{document}
 \ifcorrige
-\title{INFMDI720\\Exercices --- Corrigé\\{\normalsize Rappels mathématiques pour la cryptographie}}
+\title{INFMDI720\\Exercices --- CorrigÃ©\\{\normalsize Rappels mathÃ©matiques pour la cryptographie}}
 \else
-\title{INFMDI720\\Exercices\\{\normalsize Rappels mathématiques pour la cryptographie}}
+\title{INFMDI720\\Exercices\\{\normalsize Rappels mathÃ©matiques pour la cryptographie}}
 \fi
 \author{}
 \date{}
@@ -54,42 +55,42 @@
 
 \exercice
 
-Déterminer une relation de Bézout entre les polynômes $A = t^7 - t^6 +
+DÃ©terminer une relation de BÃ©zout entre les polynÃ´mes $A = t^7 - t^6 +
 t^4 - t + 1$ et $B = t^6 + t^5 - t^4 + t^3 + t^2 + 1$ dans
 $\mathbb{F}_3[t]$.  Quel est l'inverse de $\bar B$ dans
-$\mathbb{F}_3[t]/(A)$ ?
+$\mathbb{F}_3[t]/(A)$Â ?
 
 \begin{corrige}
-On calcule les divisions euclidiennes successives : $t^7 - t^6 + t^4 -
+On calcule les divisions euclidiennes successivesÂ : $t^7 - t^6 + t^4 -
 t + 1 = (t+1)\penalty0 (t^6+t^5-t^4+t^3+t^2+1) + (t^4+t^3-t^2+t)$,
 puis $t^6 + t^5 - t^4 + t^3 + t^2 + 1 = t^2(t^4+t^3-t^2+t) + (t^2+1)$,
 puis $t^4 + t^3 - t^2 + t = (t^2+t+1)\penalty0 (t^2+1) - 1$.  Le pgcd
-de $A$ et $B$ est donc $1$ (ou $-1$, mais on a choisi de le prendre
+de $A$ et $B$ est doncÂ $1$ (ou $-1$, mais on a choisi de le prendre
 unitaire).
 
-On calcule alors des relations $UP + VQ = D$ comme suit :
+On calcule alors des relations $UP + VQ = D$ comme suitÂ :
 
 \begin{itemize}
-\item[$\bullet$] $U= -1$ ; $P= t^4+t^3-t^2+t$ ; $V= t^2+t+1$ ; $Q=
-  t^2+1$ ; $D= 1$ (d'après la dernière division effectuée).
-\item[$\bullet$] $U= -t^2$ ; $P= t^4+t^3-t^2+t$ ; $V= 1$ ; $Q=
-  t^6+t^5-t^4+t^3+t^2+1$ ; $D= t^2+1$ (d'après l'avant-dernière
-  division effectuée).
-\item[$\bullet$] $U= -t^2(t^2+t+1)-1 = -t^4-t^3-t^2-1$ ; $P=
-  t^4+t^3-t^2+t$ ; $V= t^2+t+1$ ; $Q= t^6+t^5-t^4+t^3+t^2+1$ ; $D= 1$
-  (en remplaçant la valeur de $t^2+1$ donnée par la dernière égalité à
-  la place du $Q$ de l'égalité précédente).
-\item[$\bullet$] $U= 1$ ; $P= t^7-t^6+t^4-t+1$ ; $V= -(t+1)$ ; $Q=
-  t^6+t^5-t^4+t^3+t^2+1$ ; $D= t^4+t^3-t^2+t$ (d'après la première
-  division effectuée).
-\item[$\bullet$] $U= -t^4-t^3-t^2-1$ ; $P= t^7-t^6+t^4-t+1$ ; $V=
-  (t^2+t+1) - (-t^4-t^3-t^2-1)\penalty0 (t+1) = t^5-t^4-t^3-t^2-t-1$ ;
-  $Q= t^6+t^5-t^4+t^3+t^2+1$ ; $D= 1$ (en remplaçant la valeur de
-  $t^4+t^3-t^2+t$ donnée par la dernière égalité à la place du $P$ de
-  l'égalité précédente.
+\item[$\bullet$] $U= -1$Â ; $P= t^4+t^3-t^2+t$Â ; $V= t^2+t+1$Â ; $Q=
+  t^2+1$Â ; $D= 1$ (d'aprÃ¨s la derniÃ¨re division effectuÃ©e).
+\item[$\bullet$] $U= -t^2$Â ; $P= t^4+t^3-t^2+t$Â ; $V= 1$Â ; $Q=
+  t^6+t^5-t^4+t^3+t^2+1$Â ; $D= t^2+1$ (d'aprÃ¨s l'avant-derniÃ¨re
+  division effectuÃ©e).
+\item[$\bullet$] $U= -t^2(t^2+t+1)-1 = -t^4-t^3-t^2-1$Â ; $P=
+  t^4+t^3-t^2+t$Â ; $V= t^2+t+1$Â ; $Q= t^6+t^5-t^4+t^3+t^2+1$Â ; $D= 1$
+  (en remplaÃ§ant la valeur de $t^2+1$ donnÃ©e par la derniÃ¨re Ã©galitÃ© Ã 
+  la place du $Q$ de l'Ã©galitÃ© prÃ©cÃ©dente).
+\item[$\bullet$] $U= 1$Â ; $P= t^7-t^6+t^4-t+1$Â ; $V= -(t+1)$Â ; $Q=
+  t^6+t^5-t^4+t^3+t^2+1$Â ; $D= t^4+t^3-t^2+t$ (d'aprÃ¨s la premiÃ¨re
+  division effectuÃ©e).
+\item[$\bullet$] $U= -t^4-t^3-t^2-1$Â ; $P= t^7-t^6+t^4-t+1$Â ; $V=
+  (t^2+t+1) - (-t^4-t^3-t^2-1)\penalty0 (t+1) = t^5-t^4-t^3-t^2-t-1$Â ;
+  $Q= t^6+t^5-t^4+t^3+t^2+1$Â ; $D= 1$ (en remplaÃ§ant la valeur de
+  $t^4+t^3-t^2+t$ donnÃ©e par la derniÃ¨re Ã©galitÃ© Ã  la place du $P$ de
+  l'Ã©galitÃ© prÃ©cÃ©dente.
 \end{itemize}
 
-On a donc trouvé la relation de Bézout : $(-t^4-t^3-t^2-1) \penalty0
+On a donc trouvÃ© la relation de BÃ©zoutÂ : $(-t^4-t^3-t^2-1) \penalty0
 (t^7-t^6+t^4-t+1) + (t^5-t^4-t^3-t^2-t-1) \penalty0
 (t^6+t^5-t^4+t^3+t^2+1) = 1$.
 
@@ -104,54 +105,54 @@ t^3-\bar t^2-\bar t-1$.
 
 \exercice
 
-(A) On admet que le polynôme $P := t^4 + t^3 + t^2 + t + 1 \in
-\mathbb{F}_3[t]$ est irréductible.  Combien d'éléments a $F :=
-\mathbb{F}_3[t]/(P)$ ?
+(A)Â On admet que le polynÃ´me $P := t^4 + t^3 + t^2 + t + 1 \in
+\mathbb{F}_3[t]$ est irrÃ©ductible.  Combien d'Ã©lÃ©ments a $F :=
+\mathbb{F}_3[t]/(P)$Â ?
 
-(B) Quel est l'ordre (additif) de $\bar t$ dans le groupe additif
-de $F$ ?
+(B)Â Quel est l'ordre (additif) de $\bar t$ dans le groupe additif
+deÂ $F$Â ?
 
-(C) Calculer $\bar t^4$ et $\bar t^5$.  Quel est l'ordre
+(C)Â Calculer $\bar t^4$ et $\bar t^5$.  Quel est l'ordre
 (multiplicatif) de $\bar t$ dans le groupe multiplicatif $F^\times$
-des éléments non-nuls de $F$ ?  L'élément $\bar t$ est-il primitif ?
-Le polynôme $P$ est-il primitif ?
+des Ã©lÃ©ments non-nuls deÂ $F$Â ?  L'Ã©lÃ©ment $\bar t$ est-il primitifÂ ?
+Le polynÃ´me $P$ est-il primitifÂ ?
 
-(D) Quels sont les conjugués de $\bar t$ (=ses images successives par
-le morphisme de Frobenius) ?  Quel est le degré de $\bar t$ ?
+(D)Â Quels sont les conjuguÃ©s de $\bar t$ (=ses images successives par
+le morphisme de Frobenius)Â ?  Quel est le degrÃ© deÂ $\bar t$Â ?
 
 \begin{corrige}
-(A) Le nombre d'éléments de $F$ est $3^{\deg P} = 3^4 = 81$ (comme le
-  nombre de polynômes de degré $<4$ sur $\mathbb{F}_3$).  On peut donc
+(A)Â Le nombre d'Ã©lÃ©ments de $F$ est $3^{\deg P} = 3^4 = 81$ (comme le
+  nombre de polynÃ´mes de degrÃ© $<4$ surÂ $\mathbb{F}_3$).  On peut donc
   noter $F = \mathbb{F}_{81}$.  Il s'agit d'un corps, puisque $P$ est
-  irréductible.
-
-(B) Les multiples additifs de $\bar t$ sont $0$, $\bar t$ et $2\bar t
-  = -\bar t$, après quoi on retombe sur $0$ (la caractéristique de $F$
-  est $3$).  L'ordre additif de $\bar t$, comme celui de n'importe
-  quel élément non nul dans un corps de caractéristique $3$, est
-  donc $3$.
-
-(C) On a $\bar t^4 = -\bar t^3 - \bar t^2 - \bar t - 1$ comme il
-  résulte d'une division euclidienne (évidente) de $t^4$ par $P$.  Par
-  conséquent, $\bar t^5 = -\bar t^4 - \bar t^3 - \bar t^2 - \bar t =
-  1$ (on peut aussi faire la division euclidienne de $t^5$ par $P$).
-  Ceci signifie que l'ordre multiplicatif de $\bar t$ divise $5$,
-  c'est-à-dire qu'il vaut $1$ ou $5$.  Comme il ne vaut pas $1$
-  (puisque $\bar t$ ne vaut pas $1$), il vaut $5$.  De fait, les
-  puissances de $\bar t$ sont : $1$, $\bar t$, $\bar t^2$, $\bar t^3$
-  et $-\bar t^3 - \bar t^2 - \bar t - 1$, après quoi on retombe
-  sur $1$.  Comme $F^\times$ a $80$ éléments, $\bar t$ n'est pas
-  primitif (un élément primitif est un élément d'ordre
-  multiplicatif $80$).  Ceci signifie précisément que le polynôme $P$
+  irrÃ©ductible.
+
+(B)Â Les multiples additifs de $\bar t$ sont $0$, $\bar t$ et $2\bar t
+  = -\bar t$, aprÃ¨s quoi on retombe surÂ $0$ (la caractÃ©ristique deÂ $F$
+  estÂ $3$).  L'ordre additif de $\bar t$, comme celui de n'importe
+  quel Ã©lÃ©ment non nul dans un corps de caractÃ©ristiqueÂ $3$, est
+  doncÂ $3$.
+
+(C)Â On a $\bar t^4 = -\bar t^3 - \bar t^2 - \bar t - 1$ comme il
+  rÃ©sulte d'une division euclidienne (Ã©vidente) de $t^4$ parÂ $P$.  Par
+  consÃ©quent, $\bar t^5 = -\bar t^4 - \bar t^3 - \bar t^2 - \bar t =
+  1$ (on peut aussi faire la division euclidienne de $t^5$ parÂ $P$).
+  Ceci signifie que l'ordre multiplicatif de $\bar t$ diviseÂ $5$,
+  c'est-Ã -dire qu'il vaut $1$ ou $5$.  Comme il ne vaut pasÂ $1$
+  (puisque $\bar t$ ne vaut pasÂ $1$), il vautÂ $5$.  De fait, les
+  puissances de $\bar t$ sontÂ : $1$, $\bar t$, $\bar t^2$, $\bar t^3$
+  et $-\bar t^3 - \bar t^2 - \bar t - 1$, aprÃ¨s quoi on retombe
+  surÂ $1$.  Comme $F^\times$ a $80$ Ã©lÃ©ments, $\bar t$ n'est pas
+  primitif (un Ã©lÃ©ment primitif est un Ã©lÃ©ment d'ordre
+  multiplicatifÂ $80$).  Ceci signifie prÃ©cisÃ©ment que le polynÃ´me $P$
   n'est pas primitif.
 
-(D) Le morphisme de Frobenius est l'application $x \mapsto x^3$
-  dans $F$.  Les conjugués de $\bar t$, c'est-à-dire ses images
-  successives par le Frobenius sont : $\bar t$ lui-même, $\bar t^3$,
+(D)Â Le morphisme de Frobenius est l'application $x \mapsto x^3$
+  dansÂ $F$.  Les conjuguÃ©s de $\bar t$, c'est-Ã -dire ses images
+  successives par le Frobenius sontÂ : $\bar t$ lui-mÃªme, $\bar t^3$,
   puis $\bar t^9 = \bar t^4 = -\bar t^3 - \bar t^2 - \bar t - 1$ (car
-  $\bar t^5 = 1$ à ce qu'on a vu), et ensuite on retombe sur $\bar
-  t^{81} = \bar t$.  Le degré de $\bar t$ est $4$ (c'est forcément le
-  degré de $P$).
+  $\bar t^5 = 1$ Ã  ce qu'on a vu), et ensuite on retombe sur $\bar
+  t^{81} = \bar t$.  Le degrÃ© de $\bar t$ estÂ $4$ (c'est forcÃ©ment le
+  degrÃ© deÂ $P$).
 \end{corrige}
 
 %
@@ -160,29 +161,29 @@ le morphisme de Frobenius)
 
 \exercice
 
-(A) On admet que le polynôme $P := t^4 + t + 1 \in \mathbb{F}_2[t]$
-est irréductible.  Combien d'éléments a $F := \mathbb{F}_2[t]/(P)$ ?
+(A)Â On admet que le polynÃ´me $P := t^4 + t + 1 \in \mathbb{F}_2[t]$
+est irrÃ©ductible.  Combien d'Ã©lÃ©ments a $F := \mathbb{F}_2[t]/(P)$Â ?
 
-(B) Dresser la liste des puissances successives de $\bar t$ dans $F$.
-Quel est l'ordre de $\bar t$ ?  Est-il primitif ?  Quel est l'inverse
-de $\bar t$ ?  Quels sont tous les éléments primitifs de $F$ ?  Quel
-est l'ordre multiplicatif de $\bar t^3$ ?  Même question pour $\bar
+(B)Â Dresser la liste des puissances successives de $\bar t$ dansÂ $F$.
+Quel est l'ordre deÂ $\bar t$Â ?  Est-il primitifÂ ?  Quel est l'inverse
+deÂ $\bar t$Â ?  Quels sont tous les Ã©lÃ©ments primitifs deÂ $F$Â ?  Quel
+est l'ordre multiplicatif de $\bar t^3$Â ?  MÃªme question pour $\bar
 t^5$.
 
-(C) Quels sont les conjugués de $\bar t$ ?  Quel est son degré ?
-Mêmes questions pour $\bar t^3$.  Mêmes questions pour $\bar t^5$.
+(C)Â Quels sont les conjuguÃ©s de $\bar t$Â ?  Quel est son degrÃ©Â ?
+MÃªmes questions pour $\bar t^3$.  MÃªmes questions pour $\bar t^5$.
 
-(D) Quels sont les éléments de l'unique corps à $4$ éléments contenu
-dans $F$ ?
+(D)Â Quels sont les Ã©lÃ©ments de l'unique corps Ã  $4$ Ã©lÃ©ments contenu
+dansÂ $F$Â ?
 
 \begin{corrige}
-(A) Le nombre d'éléments de $F$ est $2^{\deg P} = 2^4 = 16$ (comme le
-  nombre de polynômes de degré $<4$ sur $\mathbb{F}_2$).  On peut donc
+(A)Â Le nombre d'Ã©lÃ©ments de $F$ est $2^{\deg P} = 2^4 = 16$ (comme le
+  nombre de polynÃ´mes de degrÃ© $<4$ surÂ $\mathbb{F}_2$).  On peut donc
   noter $F = \mathbb{F}_{16}$.  Il s'agit d'un corps, puisque $P$ est
-  irréductible.
+  irrÃ©ductible.
 
-(B) On calcule successivement en multipliant par $t$ et en se
-  rappelant que $t^4 \equiv t+1 \pmod{P}$ :
+(B)Â On calcule successivement en multipliant par $t$ et en se
+  rappelant que $t^4 \equiv t+1 \pmod{P}$Â :
 
 \begin{tabular}{r|l}
 $i$&$\bar t^i$\\\hline
@@ -204,52 +205,52 @@ $14$&$\bar t^4+\bar t^3+\bar t = \bar t^3+1$\\\hline
 $15$&$\bar t^4+\bar t = 1$\\
 \end{tabular}
 
-L'ordre de $\bar t$ est donc $15$, il est primitif puisque $\#F^\times
-= \#F-1 = 15$, tous les éléments non-nuls de $F$ ont été listés
-ci-dessus et on a même, plus précisément, établi un isomorphisme de
+L'ordre de $\bar t$ est doncÂ $15$, il est primitif puisque $\#F^\times
+= \#F-1 = 15$, tous les Ã©lÃ©ments non-nuls deÂ $F$ ont Ã©tÃ© listÃ©s
+ci-dessus et on a mÃªme, plus prÃ©cisÃ©ment, Ã©tabli un isomorphisme de
 groupes $(\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}) \to F^\times$ par $\bar\imath
-\mapsto \bar t^i$.  Cet isomorphisme permet de répondre facilement aux
-questions suivantes : l'inverse de $\bar t$ est celui qui correspond à
-l'opposé de $1$, soit $\bar t^{14} = \bar t^3+1$.  Les éléments
-primitifs sont ceux qui correspondent aux générateurs de
-$\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}$ (c'est-à-dire les classes des nombres
+\mapsto \bar t^i$.  Cet isomorphisme permet de rÃ©pondre facilement aux
+questions suivantesÂ : l'inverse de $\bar t$ est celui qui correspond Ã 
+l'opposÃ© de $1$, soit $\bar t^{14} = \bar t^3+1$.  Les Ã©lÃ©ments
+primitifs sont ceux qui correspondent aux gÃ©nÃ©rateurs de
+$\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}$ (c'est-Ã -dire les classes des nombres
 premiers avec $15$, soit $\bar 1$, $\bar 2$, $\bar 4$, $\bar 7$, $\bar
 8$, $\bar{11}$, $\bar{13}$, $\bar{14}$), donc $\bar t$, $\bar t^2$,
 $\bar t^4 = \bar t+1$, $\bar t^7 = \bar t^3+\bar t+1$, $\bar t^8 =
 \bar t^2+1$, $\bar t^{11} = \bar t^3+\bar t^2+\bar t$, $\bar t^{13} =
 \bar t^3+\bar t^2+1$ et $\bar t^{14} = \bar t^3+1$.  L'ordre
-(multiplicatif) de $\bar t^3$ dans $F^\times$ est le même que l'ordre
-(additif) de $3$ dans $\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}$, soit $5$, et de même
-l'ordre multiplicatif de $\bar t^5$ dans $F^\times$ est $3$.
-
-(C) Le morphisme de Frobenius est l'application $x \mapsto x^2$
-dans $F$.  Les conjugués de $\bar t$, c'est-à-dire ses images
-successives par le Frobenius sont : $\bar t$ lui-même, $\bar t^2$,
-$\bar t^4 = \bar t+1$, $\bar t^8 = \bar t^2+1$ après quoi on retombe
-sur $\bar t^{16} = \bar t$.  Le degré de $\bar t$ est $4$ (c'est
-forcément le degré de $P$).  Pour ce qui est du degré de $\bar t^3$,
-ses images successives par le Frobenius sont : $\bar t^3$ lui-même,
+(multiplicatif) de $\bar t^3$ dansÂ $F^\times$ est le mÃªme que l'ordre
+(additif) de $3$ dans $\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}$, soitÂ $5$, et de mÃªme
+l'ordre multiplicatif de $\bar t^5$ dansÂ $F^\times$ estÂ $3$.
+
+(C)Â Le morphisme de Frobenius est l'application $x \mapsto x^2$
+dansÂ $F$.  Les conjuguÃ©s de $\bar t$, c'est-Ã -dire ses images
+successives par le Frobenius sontÂ : $\bar t$ lui-mÃªme, $\bar t^2$,
+$\bar t^4 = \bar t+1$, $\bar t^8 = \bar t^2+1$ aprÃ¨s quoi on retombe
+sur $\bar t^{16} = \bar t$.  Le degrÃ© de $\bar t$ estÂ $4$ (c'est
+forcÃ©ment le degrÃ© deÂ $P$).  Pour ce qui est du degrÃ© de $\bar t^3$,
+ses images successives par le Frobenius sontÂ : $\bar t^3$ lui-mÃªme,
 $\bar t^6 = \bar t^3+\bar t^2$, $\bar t^{12} = \bar t^3+\bar t^2+\bar
-t+1$ et $\bar t^{24} = \bar t^9 = \bar t^3+\bar t$, après quoi on
-retombe sur $\bar t^{48} = \bar t^3$ ; donc le degré de $\bar t^3$ est
-également $4$.  Enfin, pour calculer le degré de $\bar t^5$, on a ses
-images successives qui sont $\bar t^5 = \bar t^2+\bar t$ lui-même et
+t+1$ et $\bar t^{24} = \bar t^9 = \bar t^3+\bar t$, aprÃ¨s quoi on
+retombe sur $\bar t^{48} = \bar t^3$Â ; donc le degrÃ© de $\bar t^3$ est
+Ã©galementÂ $4$.  Enfin, pour calculer le degrÃ© de $\bar t^5$, on a ses
+images successives qui sont $\bar t^5 = \bar t^2+\bar t$ lui-mÃªme et
 $\bar t^{10} = \bar t^2+\bar t+1$, puis $\bar t^{20} = \bar t^5$, donc
-il n'y a que deux conjugués (en comptant $\bar t^5$ lui-même), et son
-degré est $2$.
-
-(D) On sait que $\mathbb{F}_4$ est contenu dans $F = \mathbb{F}_{16}$
-car $16$ est une puissance de $4$, et on sait qu'alors $\mathbb{F}_4 =
-\{x\in F : x^4=x\}$.  Une façon de trouver ces éléments est de
-réécrire $x^4 = x$ comme $(x^2)^2 = x$ (on retombe sur $x$ après deux
-applications du Frobenius : ou encore, le degré de $x$ est $1$
-ou $2$) ; les éléments vérifiant ceci sont $0$ et $1$, bien sûr, et
+il n'y a que deux conjuguÃ©s (en comptant $\bar t^5$ lui-mÃªme), et son
+degrÃ© estÂ $2$.
+
+(D)Â On sait que $\mathbb{F}_4$ est contenu dansÂ $F = \mathbb{F}_{16}$
+car $16$ est une puissance deÂ $4$, et on sait qu'alors $\mathbb{F}_4 =
+\{x\in F : x^4=x\}$.  Une faÃ§on de trouver ces Ã©lÃ©ments est de
+rÃ©Ã©crire $x^4 = x$ comme $(x^2)^2 = x$ (on retombe surÂ $x$ aprÃ¨s deux
+applications du FrobeniusÂ : ou encore, le degrÃ© de $x$ est $1$
+ouÂ $2$)Â ; les Ã©lÃ©ments vÃ©rifiant ceci sont $0$ et $1$, bien sÃ»r, et
 aussi $\bar t^5 = \bar t^2+\bar t$ comme on vient de le voir, et
-forcément $\bar t^5 + 1 = \bar t^2+\bar t+1$ (puisqu'un corps est
-stable ar addition).  Une autre façon de résoudre $x^4 = x$ est de le
-réécrire comme $x=0$ ou bien $x^3 = 1$, c'est-à-dire qu'il s'agit de
-$0$ et des éléments d'ordre divisant $3$, donc, d'après l'isomorphisme
-déjà déterminé, $\bar t^5 = \bar t^2+\bar t$ et $\bar t^{10} = \bar
+forcÃ©ment $\bar t^5 + 1 = \bar t^2+\bar t+1$ (puisqu'un corps est
+stable ar addition).  Une autre faÃ§on de rÃ©soudre $x^4 = x$ est de le
+rÃ©Ã©crire comme $x=0$ ou bien $x^3 = 1$, c'est-Ã -dire qu'il s'agit de
+$0$ et des Ã©lÃ©ments d'ordre divisantÂ $3$, donc, d'aprÃ¨s l'isomorphisme
+dÃ©jÃ  dÃ©terminÃ©, $\bar t^5 = \bar t^2+\bar t$ et $\bar t^{10} = \bar
 t^2+\bar t+1$.
 \end{corrige}
 
@@ -260,30 +261,30 @@ t^2+\bar t+1$.
 \exercice
 
 Calculer le pgcd dans $\mathbb{F}_{11}[t]$ de $t^2 - 2$ et $t^{11}-t$.
-En déduire que $2$ n'est pas un carré dans $\mathbb{F}_{11}$
-(c'est-à-dire qu'il n'existe pas de $\alpha \in \mathbb{F}_{11}$ tel
-que $\alpha^2 = 2$ ; indication : de quels polynômes intéressants
-$\alpha$ serait-il racine ?).
+En dÃ©duire que $2$ n'est pas un carrÃ© dansÂ $\mathbb{F}_{11}$
+(c'est-Ã -dire qu'il n'existe pas de $\alpha \in \mathbb{F}_{11}$ tel
+que $\alpha^2 = 2$Â ; indicationÂ : de quels polynÃ´mes intÃ©ressants
+$\alpha$ serait-il racineÂ ?).
 
 \begin{corrige}
-On calcule les divisions euclidiennes successives : $t^{11}-t = (t^9 +
+On calcule les divisions euclidiennes successivesÂ : $t^{11}-t = (t^9 +
 2t^7 + 4t^5 - 3t^3 + 5t)\penalty0 (t^2-2) + 9t$, puis $t^2-2 =
 (5t)(9t) - 2$, le dernier reste est une constante donc le pgcd
-vaut $1$.
+vautÂ $1$.
 
 S'il y avait un $\alpha \in \mathbb{F}_{11}$ tel que $\alpha^2 = 2$,
-alors il serait racine à la fois de $t^2 - 2$ en vertu de
+alors il serait racine Ã  la fois de $t^2 - 2$ en vertu de
 $\alpha^2=2$, et $t^{11} - t$ en vertu de $\alpha\in\mathbb{F}_{11}$
-(et du petit théorème de Fermat).  C'est-à-dire que $t-\alpha$ serait
-un facteur commu à $t^2-2$ et $t^{11}-t$, et on vient de voir qu'il
+(et du petit thÃ©orÃ¨me de Fermat).  C'est-Ã -dire que $t-\alpha$ serait
+un facteur commu Ã  $t^2-2$ et $t^{11}-t$, et on vient de voir qu'il
 n'y en a pas.
 
-\emph{Remarque :} Vérifier que $t^2-2$ et $t^{11}-t$ sont premiers
-entre eux est une des parties du critère de Rabin pour vérifier que
-$t^2-2$ est irréductible.  Ici, il n'y a pas besoin d'en faire plus :
+\emph{RemarqueÂ :} VÃ©rifier que $t^2-2$ et $t^{11}-t$ sont premiers
+entre eux est une des parties du critÃ¨re de Rabin pour vÃ©rifier que
+$t^2-2$ est irrÃ©ductible.  Ici, il n'y a pas besoin d'en faire plusÂ :
 comme $t^2-2$ n'a pas de racine, cela signifie qu'il n'a pas de
-facteur de degré $1$, et comme il est de degré $2$, il est
-irréductible.
+facteur de degrÃ©Â $1$, et comme il est de degrÃ©Â $2$, il est
+irrÃ©ductible.
 \end{corrige}
 
 %
-- 
cgit v1.2.3

