From 5069fb30da57dcb5207cd7c95ad126bf13829a84 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Tue, 19 Oct 2010 00:25:39 +0200
Subject: Another exercise.

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 exercices2.tex | 33 +++++++++++++++++++++++++++++++++
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(limited to 'exercices2.tex')

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index 89f8b69..c36ddd2 100644
--- a/exercices2.tex
+++ b/exercices2.tex
@@ -253,6 +253,39 @@ d
 t^2+\bar t+1$.
 \end{corrige}
 
+%
+%
+%
+
+\exercice
+
+Calculer le pgcd dans $\mathbb{F}_{11}[t]$ de $t^2 - 2$ et $t^{11}-t$.
+En déduire que $2$ n'est pas un carré dans $\mathbb{F}_{11}$
+(c'est-à-dire qu'il n'existe pas de $\alpha \in \mathbb{F}_{11}$ tel
+que $\alpha^2 = 2$ ; indication : de quels polynômes intéressants
+$\alpha$ serait-il racine ?).
+
+\begin{corrige}
+On calcule les divisions euclidiennes successives : $t^{11}-t = (t^9 +
+2t^7 + 4t^5 - 3t^3 + 5t)\penalty0 (t^2-2) + 9t$, puis $t^2-2 =
+(5t)(9t) - 2$, le dernier reste est une constante donc le pgcd
+vaut $1$.
+
+S'il y avait un $\alpha \in \mathbb{F}_{11}$ tel que $\alpha^2 = 2$,
+alors il serait racine à la fois de $t^2 - 2$ en vertu de
+$\alpha^2=2$, et $t^{11} - t$ en vertu de $\alpha\in\mathbb{F}_{11}$
+(et du petit théorème de Fermat).  C'est-à-dire que $t-\alpha$ serait
+un facteur commu à $t^2-2$ et $t^{11}-t$, et on vient de voir qu'il
+n'y en a pas.
+
+\emph{Remarque :} Vérifier que $t^2-2$ et $t^{11}-t$ sont premiers
+entre eux est une des parties du critère de Rabin pour vérifier que
+$t^2-2$ est irréductible.  Ici, il n'y a pas besoin d'en faire plus :
+comme $t^2-2$ n'a pas de racine, cela signifie qu'il n'a pas de
+facteur de degré $1$, et comme il est de degré $2$, il est
+irréductible.
+\end{corrige}
+
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cgit v1.2.3