From 21bd01d5abb493044b51eb66c9ac21555a5af691 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Tue, 27 Sep 2011 18:07:55 +0200
Subject: Additions/clarifications/corrections.

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 rappels-maths.tex | 41 ++++++++++++++++++++++++++++++-----------
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index 60660fd..15c307f 100644
--- a/rappels-maths.tex
+++ b/rappels-maths.tex
@@ -356,11 +356,16 @@ entiers est
 \subsection{Entiers premiers entre eux}
 
 Lorsque $\pgcd(m_1,\ldots,m_\ell)=1$, on dit que les $m_i$ sont
-\textbf{premiers entre eux} \emph{dans leur ensemble}.
+\textbf{premiers entre eux} \emph{dans leur ensemble}.  Cela signifie
+qu'il n'existe aucun nombre premier (ou : aucun nombre autre que $\pm
+1$) qui divise tous les $m_i$ à la fois.
 
 Lorsque $\pgcd(m_i,m_j)=1$ pour tous $i\neq j$, on dit que les $m_i$
 sont premiers entre eux \emph{deux à deux}.
 
+Bien entendu, pour seulement deux nombres, ces définitions coïncident,
+et on dit simplement qu'ils sont premiers entre eux.
+
 Exemple : $6, 10, 15$ sont premiers entre eux dans leur ensemble, mais
 pas deux à deux.
 
@@ -368,17 +373,27 @@ pas deux 
 eux, être multiple de $m$ et de $n$ équivaut à être multiple de $mn$.
 
 \textbf{Dirichlet :} La probabilité pour que deux entiers « tirés au
-  hasard » soient premiers entre eux est $\frac{6}{\pi^2}$.
+  hasard » soient premiers entre eux est $\frac{6}{\pi^2}$
+(c'est-à-dire que la probabilité que deux entiers tirés au hasard
+entre $0$ et $N-1$ soient premiers entre eux tend vers
+$\frac{6}{\pi^2}$ quand $N \to +\infty$).
 
 %
 \subsection{PPCM}
 
-Définition analogue au pgcd.  Exemple : le ppcm de $6$ et $10$
-est $30$ ; le ppcm de $6$, $10$ et $15$ est aussi $30$.  Lien avec la
-DFP (pour un nombre fini d'entiers).  Le ppcm d'une famille infinie
+Définition analogue au pgcd (un ppcm de $m_1,\ldots,m_\ell$ est un
+multiple commun à tous les $m_i$ qui divise n'importe quel autre
+multiple commun ; par convention, on prend celui qui est positif).
+Exemple : le ppcm de $6$ et $10$ est $30$ ; le ppcm de $6$, $10$ et
+$15$ est aussi $30$.  Lien avec la DFP (pour un nombre fini
+d'entiers) : $v_p(\ppcm(m_1,\ldots,m_\ell)) =
+\max(v_p(m_1),\ldots,v_p(m_\ell))$.  Le ppcm d'une famille infinie
 d'entiers est défini, mais parfois surprenant (quel est le ppcm de
 tous les nombres premiers ?).
 
+Remarque : pour deux nombres, on a $\ppcm(m,m') \times \pgcd(m,m') =
+|mm'|$.
+
 %
 \subsection{Relation de Bézout}
 
@@ -406,9 +421,10 @@ Si $au + bv = \pm 1$ on dit parfois que les rationnels $a/b$ et $-v/u$
 \medbreak
 
 Plus généralement, si $\pgcd(a,b) = d$, on peut trouver $u$ et $v$
-tels que $au+bv = d$ (en fait, $a/d$ et $b$ sont premiers entre eux,
-et si $(a/d)u+bv' = 1$ est une relation de Bézout entre eux, alors on
-a $au+b(v'd) = d$).
+tels que $au+bv = d$ (en fait, il existe $d',d''$ avec $d=d'd''$ tels
+que $a/d'$ et $b/d''$ soient premiers entre eux, et si
+$(a/d')u_0+(b/d'')v_0 = 1$ est une relation de Bézout entre eux, alors
+on a $a(d''u_0)+b(d'v_0) = d$).
 
 %
 \subsection{Algorithme d'Euclide}
@@ -494,6 +510,9 @@ Si $x$ et $x'$ sont entiers, on dit que $x$ et $x'$ sont
 $x-x'$ est multiple de $m$.  Relation réflexive, symétrique,
 transitive.
 
+Dire $x \equiv 0 \pmod{m}$ signifie simplement que $x$ est multiple
+de $m$.
+
 Compatibilité avec les opérations : (à $m$ fixé,) si $x\equiv x'$ et
 $y \equiv y'$ alors $x+y \equiv x'+y'$ et $xy \equiv x'y'$.  À $m$
 variable : si $m|m'$ alors $x \equiv x' \pmod{m'}$ implique $x\equiv
@@ -719,9 +738,9 @@ G
   suffit, pour cela, que $x$ et $y$ soient « compatibles »,
   c'est-à-dire congrus modulo $d = \pgcd(m,n)$).  Lorsque $x$ et $y$
   sont compatibles, alors on retrouve une unique classe modulo
-  $\ppcm(m,n)$ (pour faire le calcul en pratique, diviser l'un des
-  deux nombres $m,n$ par $d$ pour se ramener à deux nombres premiers
-  entre eux).
+  $\ppcm(m,n)$ (pour faire le calcul en pratique, diviser les nombres
+  $m,n$ par $d',d''$ tels que $d'd''=d$ pour se ramener à deux nombres
+  $m/d'$ et $n/d''$ premiers entre eux).
 \item Si $m_1,\ldots,m_k$ sont premiers entre eux \emph{deux à deux},
   alors la donnée d'une classe modulo le produit $m_1\cdots m_k$
   équivaut à la donnée de classes modulo chacun des $m_i$ (pour faire
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cgit v1.2.3

