From 6ba7cd4ec17b7ada30afd27444fc187d50a706ae Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Sun, 28 Sep 2014 22:40:04 +0200
Subject: Move workout file and give it a proper title.

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 td2011-1.tex | 266 -----------------------------------------------------------
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index bfe7f8f..0000000
--- a/td2011-1.tex
+++ /dev/null
@@ -1,266 +0,0 @@
-%% This is a LaTeX document.  Hey, Emacs, -*- latex -*- , get it?
-\documentclass[10pt]{article}
-\usepackage[francais]{babel}
-\usepackage[utf8]{inputenc}
-\usepackage[T1]{fontenc}
-\usepackage{times}
-% A tribute to the worthy AMS:
-\usepackage{amsmath}
-\usepackage{amsfonts}
-\usepackage{amssymb}
-\usepackage{amsthm}
-%
-\usepackage{mathrsfs}
-\usepackage{wasysym}
-\makeatletter\relax\let\Square\@undefined\relax\makeatother
-\usepackage{bbding}
-\usepackage{url}
-%
-\newcommand{\limp}{\mathrel{\Rightarrow}}
-\newcommand{\liff}{\mathrel{\Longleftrightarrow}}
-\newcommand{\pgcd}{\operatorname{pgcd}}
-\newcommand{\ppcm}{\operatorname{ppcm}}
-\newcommand{\signe}{\operatorname{signe}}
-\newcommand{\tee}{\mathbin{\top}}
-\newcommand{\Frob}{\operatorname{Fr}}
-\newcommand{\quadres}[2]{\Big(\frac{\strut #1}{\strut #2}\Big)}
-\newcommand{\dothis}{\leavevmode\hbox to0pt{\hskip-\parindent\HandRight{}\hskip0ptplus1fil}}
-\DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~}
-%
-%
-%
-\begin{document}
-\pretolerance=10000
-\tolerance=8000
-
-\textbf{Résidus et non-résidus quadratiques.}
-
-On fixe provisoirement un entier $N \geq 1$.
-
-On dit qu'un élément $a \in (\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^\times$ est un
-\emph{résidu quadratique} lorsque $a$ est un carré modulo $N$,
-c'est-à-dire lorsqu'il existe $b \in \mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$ tel que
-$a = b^2$.
-
-\dothis On a nécessairement $b \in
-(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^\times$ dans ce cas : pourquoi ?
-
-A contrario, si $a \in (\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^\times$ ne vérifie pas
-cette condition, on dit que $a$ est un \emph{non-résidu quadratique}.
-
-{\footnotesize Exemple : Les carrés de $\bar 0,\bar 1,\bar 2,\bar
-  3,\bar 4,\bar 5,\bar 6,\bar 7,\bar 8$ modulo $9$ sont respectivement
-  $\bar 0,\bar 1,\bar 4,\bar 0,\bar 7,\bar 7,\bar 0,\bar 4,\bar 1$ ;
-  par conséquent, on dira que $\bar 1,\bar 4,\bar 7$ sont des résidus
-  quadratiques modulo $9$, et que $\bar 2,\bar 5,\bar 8$ sont des
-  non-résidus quadratiques (quant à $\bar 0,\bar 3,\bar 6$, ils sont
-  non-inversibles et ne sont ni qualifiés de résidus quadratiques ni
-  de non-résidus quadratiques).\par}
-
-\medbreak
-
-\textbf{Le symbole de Legendre.}
-
-Si $p$ est un nombre premier impair et $a \in \mathbb{Z}$, on définit
-le \emph{symbole de Legendre} $\quadres{a}{p}$ (attention, il ne
-s'agit pas du quotient $a/b$, c'est juste une notation malheureuse)
-comme l'entier valant :
-\begin{itemize}
-\item[$\bullet$]$+1$ si la classe de $a$ modulo $p$ est un résidu
-  quadratique,
-\item[$\bullet$]$-1$ si la classe de $a$ modulo $p$ est un non-résidu
-  quadratique, et
-\item[$\bullet$]$0$ si la classe de $a$ modulo $p$ est nulle
-  (c'est-à-dire lorsque $p|a$).
-\end{itemize}
-
-{\footnotesize Exemple : Modulo $p=7$, les résidus quadratiques sont
-  $\bar 1 = \bar 1^2$, $\bar 2 = \bar 3^2$ et $\bar 4 = \bar 2^2$, et
-  les nonrésidus quadratiques sont $\bar 3, \bar 5, \bar 6$.  Par
-  conséquent, on a $\quadres{1}{7} = \quadres{2}{7} = \quadres{4}{7} =
-  \quadres{8}{7} = \quadres{9}{7} = +1$ et $\quadres{3}{7} =
-  \quadres{5}{7} = \quadres{6}{7} = \quadres{10}{7} = \quadres{-1}{7}
-  = -1$, et bien sûr $\quadres{0}{7} = \quadres{7}{7} =
-  \quadres{-14}{7} = 0$.\par}
-
-\smallbreak
-
-\dothis Calculer le symbole de Legendre $\quadres{a}{11}$ pour
-tout $a$ entre $0$ et $10$.
-
-\medbreak
-
-\textbf{Critère d'Euler.}
-
-On suppose que $p$ est premier impair.
-
-\dothis Quelles sont toutes les solutions de l'équation $c^2 = 1$
-dans $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ ?
-
-\dothis Si $a \in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times$, que vaut
-$(a^{(p-1)/2})^2$ dans $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ ?  En déduire que si
-$a$ est un entier non multiple de $p$, alors $a^{(p-1)/2}$ est
-toujours congru soit à $+1$ soit à $-1$ modulo $p$.  Et que dire si
-$a$ est multiple de $p$ ?
-
-\dothis Si $b \in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times$, que vaut
-$(b^2)^{(p-1)/2}$ dans $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ ?  En déduire que si
-$a$ est un résidu quadratique modulo $p$, alors $a^{(p-1)/2}$ est
-congru à $+1$ modulo $p$.
-
-\dothis Si $a$ est un résidu quadratique modulo $p$, combien y
-a-t-il de $b \in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ tels que $a = b^2$ ?  En
-déduire que le nombre de résidus quadratiques dans
-$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ vaut \emph{au plus} $(p-1)/2$.
-
-\dothis Quel est le degré du polynôme $t^{(p-1)/2} \in
-\mathbb{F}_p[t]$ ?  Combien de fois au maximum peut-il prendre la
-valeur $+1$ ou bien la valeur $-1$ ?
-
-\dothis Déduire des questions précédentes que
-\[
-\quadres{a}{p} \equiv a^{(p-1)/2} \pmod{p}
-\tag{*}
-\]
-pour tout $p$ premier impair et $a \in \mathbb{Z}$ (\emph{critère
-  d'Euler}).
-
-\dothis Remarquer que $\quadres{-1}{p} = (-1)^{(p-1)/2}$.  En déduire
-une condition nécessaire et suffisante simple sur un nombre premier
-impair $p$ permettant de savoir si $-1$ est ou non un résidu
-quadratique modulo $p$.  (Discuter selon la congruence modulo $4$.)
-
-\dothis Montrer par ailleurs que le symbole de Legendre est
-multiplicatif :
-\[
-\quadres{ab}{p} = \quadres{a}{p}\,\quadres{b}{p}
-\]
-(pour tous $a,b \in \mathbb{Z}$, à $p$ premier impair fixé).
-
-\medbreak
-
-\textbf{La « formule complémentaire ».}
-
-On appelle « formule complémentaire » l'affirmation
-\[
-\quadres{2}{p} = (-1)^{(p^2-1)/8}
-\]
-(où $p$ est, de nouveau, un nombre premier impair).
-
-\dothis Réexprimer la formule complémentaire comme une affirmation
-indiquant si $2$ est un résidu quadratique ou non, en fonction de la
-congruence de $p$ modulo $8$.
-
-\dothis En admettant la formule complémentaire, écrire une affirmation
-indiquant si $-2$ est un résidu quadratique ou non, en fonction de la
-congruence de $p$ modulo $8$.
-
-\smallbreak
-
-\emph{On se propose maintenant de démontrer la formule
-  complémentaire.}
-
-Rermarquons que chaque élément de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ est congru
-à un et un seul des entiers $-\frac{p-1}{2},\ldots,
--2,-1,0,1,2,3,\ldots, \frac{p-3}{2}, \frac{p-1}{2}$ (autrement dit, il
-s'agit d'un ensemble de représentants des classes de congruence
-modulo $p$ --- différent de l'ensemble $0,1,2,\ldots,p-1$ qu'on
-utilise plus souvent, mais tout aussi valable).
-
-On introduit la terminologie provisoire suivante : un élément de
-$(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times$ (ou un entier non multiple de $p$)
-sera dit \emph{pseudopositif} lorsqu'il est congru modulo $p$ à l'un
-des entiers $1,2,3,\ldots, \frac{p-3}{2}, \frac{p-1}{2}$, et
-\emph{pseudonégatif} lorsqu'il est congru modulo $p$ à l'un des
-entiers $-1,-2,\ldots, -\frac{p-1}{2}$.  (Par exemple, modulo $11$,
-les nombres $1$, $2$ et $5$ sont pseudopositifs, en revanche $6$ est
-pseudonégatif puisque c'est $-5$, et $10$ est pseudonégatif puisque
-c'est $-1$.)
-
-On appelle $\mathscr{P} = \prod_{i=1}^{(p-1)/2} \bar\imath$ le produit
-des éléments pseudopositifs de $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times$ (cela
-vaut $((p-1)/2)!$ modulo $p$, mais peu importe).
-
-\dothis Remarquer que $\prod_{i=1}^{(p-1)/2} (2\bar\imath) =
-2^{(p-1)/2} \mathscr{P}$ (modulo $p$).
-
-\dothis Pour quels $i$ entre $1$ et $(p-1)/2$ l'élément
-$2\bar\imath$ de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ est-il pseudopositif
-(resp. pseudonégatif) ?  (Attention, tout se passe modulo $p$.)
-
-Pour $i$ allant de $1$ à $(p-1)/2$, on écrit $2\bar\imath = \pm
-\bar\jmath$, où le signe est choisi de sorte que $\bar\jmath$ soit
-pseudopositif.
-
-\dothis Montrer que $\bar\jmath$ prendra une et une seule fois
-chaque valeur pseudopositive.
-
-\dothis Montrer que $\prod_{i=1}^{(p-1)/2} (2\bar\imath) = (-1)^A
-\mathscr{P}$ où $A$ est le nombre d'entiers entre $\frac{p}{4}$ et
-$\frac{p}{2}$.
-
-\dothis En discutant séparément selon la valeur possible de $p$
-modulo $8$, montrer que $(-1)^A = (-1)^{(p^2-1)/8}$.
-
-\dothis En déduire la formule complémentaire.
-
-\medbreak
-
-\textbf{La loi de réciprocité quadratique.}
-
-On appelle « loi de réciprocité quadratique » l'affirmation
-\[
-\quadres{q}{p} \, \quadres{p}{q} = (-1)^{(p-1)(q-1)/4}
-\]
-où $p$ et $q$ sont deux nombres premiers impairs.
-
-\dothis Montrer que la loi de réciprocité quadratique est
-équivalente à l'affirmation suivante (pour $p$ et $q$ deux nombres
-premiers impairs) :
-\begin{itemize}
-\item si l'un des nombres $p$ ou $q$ est congru à $1$ modulo $4$,
-  alors $\quadres{q}{p} = \quadres{p}{q}$,
-\item si les nombres $p$ et $q$ sont tous les deux congrus à $3$
-  modulo $4$, alors on a : $\quadres{q}{p} = - \quadres{p}{q}$.
-\end{itemize}
-
-\smallbreak
-
-On \emph{admet} maintenant la loi de réciprocité quadratique.
-
-\dothis Écrire une affirmation indiquant si $5$ est un résidu
-quadratique ou non mod $p$, en fonction de la congruence de $p$ modulo $5$.
-Écrire une affirmation indiquant si $3$ est un résidu quadratique ou
-non mod $p$, en fonction de la congruence de $p$ modulo $12$.  Écrire une
-affirmation indiquant si $-5$ est un résidu quadratique ou non mod $p$, en
-fonction de la congruence de $p$ modulo $20$.  Écrire une affirmation
-indiquant si $6$ est un résidu quadratique ou non mod $p$, en fonction de la
-congruence de $p$ modulo $24$.
-
-\dothis Le nombre $97$ est-il un résidu quadratique modulo $103$ ?
-(Les nombres $97$ et $103$ sont tous les deux premiers.)
-
-\medbreak
-
-\textbf{Quelques chinoiseries pour finir.}
-
-(Cette partie est indépendante de la précédente.)
-
-On suppose que $p$ et $q$ sont deux nombres premiers impairs distincts.
-
-\dothis Combien y a-t-il de solutions de l'équation $c^2 = 1$
-dans $\mathbb{Z}/pq\mathbb{Z}$ ?
-
-\dothis À titre d'exemple, résoudre $c^2 = 1$ dans
-$\mathbb{Z}/143\mathbb{Z}$.
-
-\dothis Combien y a-t-il de résidus quadratiques modulo $pq$ ?
-
-\dothis Le nombre $-1$ est-il un résidu quadratique modulo
-$303\,386\,723 = 17\,417 \times 17\,419$ (sachant que les nombres
-$17417$ et $17419$ sont tous les deux premiers) ?
-
-%
-%
-%
-\end{document}
-- 
cgit v1.2.3

