%% This is a LaTeX document. Hey, Emacs, -*- latex -*- , get it? \documentclass[12pt]{article} \usepackage[francais]{babel} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{times} % A tribute to the worthy AMS: \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsthm} % \usepackage{mathrsfs} \usepackage{wasysym} \usepackage{url} % \theoremstyle{definition} \newtheorem{comcnt}{Tout} \newcommand\exercice{% \refstepcounter{comcnt}\bigbreak\noindent\textbf{Exercice~\thecomcnt.}} \newcommand{\limp}{\mathrel{\Rightarrow}} \newcommand{\liff}{\mathrel{\Longleftrightarrow}} \newcommand{\pgcd}{\operatorname{pgcd}} \newcommand{\ppcm}{\operatorname{ppcm}} \newcommand{\signe}{\operatorname{signe}} \newcommand{\tee}{\mathbin{\top}} \newcommand{\Frob}{\operatorname{Fr}} % % % \begin{document} \title{INFMDI720\\Contr�le de connaissance\\{\normalsize Rappels math�matiques pour la cryptographie}} \author{} \date{2 d�cembre 2008} \maketitle \pretolerance=10000 \tolerance=8000 \vskip1truein\relax \textbf{Consignes�:} L'usage de tous les documents (notes de cours manuscrites ou imprim�es, livres) est autoris�e. L'usage des calculatrices �lectroniques n'est pas autoris�e. \newpage % % % \exercice Le calendrier religieux maya (ou Tzolkin) est la combinaison de deux cycles ind�pendant, l'un de $13$�jours num�rot�s de 1��13, l'autre de $20$�jours portant des noms de dieux (dans l'ordre�: ��Ahau��, ��Imix��, ��Ik��, ��Akbal��, ��Kan��, ��Chicchan��, ��Cimi��, ��Manik��, ��Lamat��, ��Muluc��, ��Oc��, ��Chuen��, ��Eb��, ��Ben��, ��Ix��, ��Men��, ��Cib��, ��Caban��, ��Etznab�� et ��Caunac��). Ces deux cycles sont compl�tement ind�pendants, c'est-�-dire que si un jour est num�rot� ��11�Ahau��, le lendemain sera ��12�Imix��, puis ��13�Ik��, puis ��1�Akbal��, ��2�Kan�� et ainsi de suite jusqu'� ��4�Caunac�� auquel suit ��5�Ahau��, etc. Il n'existe aucune irr�gularit�. (1)�Quelle est le nombre de jours d'un cycle du Tzolkin�? Autrement dit, au bout de combien de jours apr�s un jour donn� retombe-t-on pour la premi�re fois sur un jour ayant le m�me num�ro et le m�me nom�? (2)�Sachant que le 2�d�cembre�2008 est d�nomm� ��6�Ahau��, d�terminer quand aura lieu le prochain jour ��10�Oc�� au calendrier religieux maya. (3)�Les Mayas utilisaient �galement un calendrier civil (ou Haab) de $365$�jours exactement\footnote{Ce calendrier �tait lui-m�me organis� en mois, mais cela ne nous importe pas ici.}, qui se r�p�tait lui aussi sans irr�gularit�, et compl�tement ind�pendamment du calendrier religieux Tzolkin. Quelle est la longueur approximative en ann�es d'un cycle complet des deux calendriers�? Autrement dit, combien d'ann�es faut-il attendre approximativement, � partir d'un jour donn�, pour retrouver pour la premi�re fois un jour ayant la m�me d�nomination dans les deux calendriers (Tzolkin et Haab) � la fois�? % % % \end{document}