%% This is a LaTeX document.  Hey, Emacs, -*- latex -*- , get it?
\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{times}
% A tribute to the worthy AMS:
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}
%
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{url}
%
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{comcnt}{Tout}
\newcommand\exercice{%
\refstepcounter{comcnt}\bigbreak\noindent\textbf{Exercice~\thecomcnt.}}
\newcommand{\limp}{\mathrel{\Rightarrow}}
\newcommand{\liff}{\mathrel{\Longleftrightarrow}}
\newcommand{\pgcd}{\operatorname{pgcd}}
\newcommand{\ppcm}{\operatorname{ppcm}}
\newcommand{\signe}{\operatorname{signe}}
\newcommand{\tee}{\mathbin{\top}}
\newcommand{\Frob}{\operatorname{Frob}}
\DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~}
%
\newif\ifcorrige
\corrigetrue
\newenvironment{corrige}%
{\ifcorrige\relax\else\setbox0=\vbox\bgroup\fi%
\smallbreak\noindent{\underbar{\textit{Corrigé.}}\quad}}
{{\hbox{}\nobreak\hfill\checkmark}%
\ifcorrige\relax\else\egroup\fi\par}
%
%
%
\begin{document}
\ifcorrige
\title{INFMDI720\\Contrôle de connaissance --- Corrigé\\{\normalsize Rappels mathématiques pour la cryptographie}}
\else
\title{INFMDI720\\Contrôle de connaissance\\{\normalsize Rappels mathématiques pour la cryptographie}}
\fi
\author{}
\date{22 novembre 2011}
\maketitle
\pretolerance=10000
\tolerance=8000

\vskip1truein\relax

\textbf{Consignes :}

Les exercices sont complètement indépendants.  Ils pourront être
traités dans un ordre quelconque, mais on demande de faire apparaître
de façon très visible dans les copies où commence chaque exercice.

Il n'est pas nécessaire de faire des réponses longues.

L'usage de tous les documents (notes de cours manuscrites ou
imprimées, livres) est autorisé.

L'usage des calculatrices électroniques est interdit.

Durée : 2h

\newpage

%
%
%

\exercice

(1a) Rappeler pourquoi, si $x$ n'est pas multiple de $13$, alors
$x^{12} \equiv 1 \pmod{13}$, et pourquoi, si $x$ n'est pas multiple de
$19$, alors $x^{18} \equiv 1 \pmod{19}$.

\begin{corrige}
Cela découle, dans les deux cas, du petit théorème de Fermat ($x^{p-1}
\equiv 1 \pmod{p}$ si $p$ est premier et $x$ non multiple de $p$).
\end{corrige}

(1b) En déduire que, si $x$ n'est pas multiple de $13$, alors $x^{36}
\equiv 1 \pmod{13}$, et que, si $x$ n'est pas multiple de $19$, alors
$x^{36} \equiv 1 \pmod{19}$.

\begin{corrige}
On a $36 = 12\times 3$ ; donc, si on a $x^{12} \equiv 1 \pmod{13}$
(pour $x$ non multiple de $13$), alors en particulier $x^{36} =
x^{12\times 3} = (x^{12})^3 \equiv 1 \pmod{13}$.  De la même façon,
puisque $36 = 18\times 2$, le fait que $x^{18} \equiv 1 \pmod{19}$
entraîne $x^{36} \equiv 1 \pmod{19}$.
\end{corrige}

(2) Conclure de la question précédente que si $x$ est premier avec
$247$, alors $x^{36} \equiv 1 \pmod{247}$ (remarque : $247 = 13 \times
19$).

\begin{corrige}
Dire que $x$ est premier avec $247 = 13 \times 19$ signifie que $x$
n'est multiple ni de $13$ ni de $19$.  D'après la question précédente,
on a alors $x^{36} \equiv 1$ modulo $13$ et modulo $19$.  Le théorème
chinois implique, vu que $13$ et $19$ sont premiers entre eux, que
cette congruence $x^{36} \equiv 1$ vaut encore modulo $13\times 19 =
247$.  (Ou, de façon équivalente, $x^{36} - 1$ est multiple de $13$ et
de $19$, donc de $247$.)
\end{corrige}

(3) Que vaut $\varphi(247)$ (où bien sûr $\varphi$ désigne
l'indicatrice d'Euler) ?

\begin{corrige}
On a $\varphi(13\times 19) = (13-1)\times(19-1) = 12\times 18 = 216$.
\end{corrige}

(4) En oubliant provisoirement les questions (1) et (2), quel théorème
connu permettait d'énoncer le fait que $x^N \equiv 1 \pmod{247}$ si
$x$ est premier avec $247$, pour un certain $N$ (à préciser) ne
dépendant pas de $x$ ?  Comparer ce résultat avec celui de la
question (2), et commenter (lequel est le plus fort ?).

\begin{corrige}
Le théorème d'Euler assure que $x^{\varphi(247)} \equiv 1 \pmod{247}$
pour tout $x$ premier avec $247$, c'est-à-dire $x^{216} \equiv 1
\pmod{247}$ (bref, $N=216$ convient).  La question (2) affirmait la
même chose pour $N=36$.  Cette dernière est donc plus forte (comme
$36$ divise $216$, le fait que $x^{36} \equiv 1$ entraîne
automatiquement $x^{216} \equiv 1$).
\end{corrige}

(5) Rappeler pourquoi il existe $g_1$ (resp. $g_2$) un élément de
$(\mathbb{Z}/13\mathbb{Z})^\times$
(resp. $(\mathbb{Z}/19\mathbb{Z})^\times$) dont l'ordre multiplicatif
vaut exactement $12$ (resp. $18$) : comment appelle-t-on un tel
élément ?

\begin{corrige}
Un tel élément s'appelle un élément primitif.  Il existe car $13$
(resp. $19$) est premier.
\end{corrige}

(6) Rappeler pourquoi il existe $h \in
(\mathbb{Z}/247\mathbb{Z})^\times$ tel que $h \equiv g_1 \pmod{13}$ et
$h \equiv g_2 \pmod{19}$.

\begin{corrige}
Un tel $h$ existe d'après le théorème chinois, qui garantit que la
donnée d'une congruence quelconque modulo $13$ et d'une congruence
quelconque modulo $19$ peut toujours s'écrire comme une unique
congruence modulo $13\times 19 = 247$ (de nouveau, parce que $13$ et
$19$ sont premiers entre eux).
\end{corrige}

(7) Montrer que l'ordre multiplicatif (modulo $247$) d'un tel $h$ vaut
exactement $36$.  Quel est l'ordre multiplicatif maximal possible d'un
élément de $(\mathbb{Z}/247\mathbb{Z})^\times$ ?

\begin{corrige}
Supposons que $h^s \equiv 1 \pmod{247}$ pour un certain entier $s$.
Alors, en réduisant modulo $13$, puisque $h \equiv g_1 \pmod{13}$, on
a $g_1^s \equiv 1 \pmod{13}$, ce qui, vu que $g_1$ est d'ordre
exactement $12$, entraîne que $s$ est multiple de $12$.  De même,
$g_2^s \equiv 1 \pmod{19}$, ce qui entraîne que $s$ est multiple
de $18$.  On en conclut que $s$ est multiple de $\ppcm(12,18) = 36$.

On a vu en (2) que l'ordre multiplicatif de tout élément de
$(\mathbb{Z}/247\mathbb{Z})^\times$ divise $36$, on vient de voir
qu'il existe des éléments d'ordre $36$, donc l'ordre maximal possible
est $36$.
\end{corrige}

(8) Dresser la table des puissances de $2$ modulo $13$ puis
modulo $19$.

\begin{corrige}
Modulo $13$, on calcule (de proche en proche) :

{\noindent\footnotesize
\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
$s$&$0$&$1$&$2$&$3$&$4$&$5$&$6$&$7$&$8$&$9$&$10$&$11$\\\hline
$2^s$&$1$&$2$&$4$&$8$&$3$&$6$&$12$&$11$&$9$&$5$&$10$&$7$\\
\end{tabular}
\par}

Ces douze puissances sont distinctes (après quoi on retombe sur $1$),
donc $2$ est primitif modulo $13$.

Modulo $19$, on calcule (de proche en proche) :

{\noindent\footnotesize
\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
$s$&$0$&$1$&$2$&$3$&$4$&$5$&$6$&$7$&$8$&$9$&$10$&$11$&$12$&$13$&$14$&$15$&$16$&$17$\\\hline
$2^s$&$1$&$2$&$4$&$8$&$16$&$13$&$7$&$14$&$9$&$18$&$17$&$15$&$11$&$3$&$6$&$12$&$5$&$10$\\
\end{tabular}
\par}

Ces dix-huit puissances sont distinctes (après quoi on retombe
sur $1$), donc $2$ est primitif modulo $19$.
\end{corrige}

(9) Montrer que $2$ est d'ordre multiplicatif $36$ modulo $247$.

\begin{corrige}
On vient de voir que $g_1 = 2$ est primitif modulo $13$ et que $g_2 =
2$ l'est modulo $19$, donc $h = 2$ est primitif modulo $13\times 19 =
247$ d'après la question (7).
\end{corrige}

(10) Montrer que l'élément $\bar 3 \in
(\mathbb{Z}/247\mathbb{Z})^\times$ \emph{n'est pas} une puissance
de $2$ (on justifiera la réponse).

\begin{corrige}
Si $2^s \equiv 3 \pmod{247}$, on a $2^s \equiv 3 \pmod{13}$ et $2^s
\equiv 3 \pmod{19}$.  La première partie donne $s \equiv 4 \pmod{12}$
d'après la table des puissances de $2$ modulo $13$ qu'on a calculée.
La seconde condition donne $s \equiv 13 \pmod{18}$ d'après la table
des puissances de $2$ modulo $18$.  Ces deux conditions ne sont pas
compatibles (la première implique que $s$ est pair, la seconde, que
$s$ est impair) : la prémisse est donc absurde, c'est-à-dire que $3$
n'est pas une puissance de $2$ modulo $247$.
\end{corrige}

%
%
%

\exercice

Soit $p$ un nombre premier tel que $p \equiv 3 \pmod{4}$.

(1) Montrer que $(p-1)/2$ est impair.  Que vaut $(-1)^{(p-1)/2}$ ?

\begin{corrige}
On peut écrire $p = 3 + 4k$ avec $k \in \mathbb{Z}$, donc $p-1 = 2 +
4k$ donc $(p-1)/2 = 1 + 2k$, ce qui montre que $(p-1)/2$ est impair
(i.e., $p\equiv 1\pmod{2}$).  On a donc $(-1)^{(p-1)/2} = -1$.
\end{corrige}

(2) Si $z \in \mathbb{F}_p^\times$, que vaut $(z^2)^{(p-1)/2}$ ?  En
déduire qu'il n'existe pas de $z \in \mathbb{F}_p$ tel que $z^2 = -1$.

\begin{corrige}
Si $z \in \mathbb{F}_p^\times$, on a $(z^2)^{(p-1)/2} = z^{p-1} = 1$
dans $\mathbb{F}_p$ d'après le petit théorème de Fermat.  Il n'existe
donc pas de $z\in \mathbb{F}_p^\times$ tel que $z^2 = -1$ (car on
vient de voir que $(-1)^{(p-1)/2} = -1 \neq 1$) ; par ailleurs, si
$z=0$ on a $z^2 = 0\neq -1$ donc il n'existe pas de $z\in
\mathbb{F}_p$ tel que $z^2 = -1$.
\end{corrige}

(3) Déduire de la question précédente que le polynôme $t^2 + 1 \in
\mathbb{F}_p[t]$ est irréductible.

\begin{corrige}
Le polynôme $t^2 + 1$ étant de degré $2$, la seule façon dont il
pourrait être réductible serait qu'il le fût comme produit de deux
facteurs de degré $1$, c'est-à-dire qu'il eût deux racines.  Or la
question précédente signifie précisément que $t^2 + 1$ n'a pas de
racine dans $\mathbb{F}_p$.
\end{corrige}

On pose maintenant $E = \mathbb{F}_p[t]/(t^2+1)$.

(4) Combien d'éléments a $E$ ?  Que peut-on dire de sa structure
algébrique (est-ce un anneau, un corps...) ?  Quel autre nom (à part
« $E$ ») pourrait-on lui donner ?  Quelle est la forme générale d'un
élément de $E$ ?

\begin{corrige}
Les éléments de $E$ sont au nombre de $p^{\deg(t^2+1)} = p^2$ et se
voient comme des polynômes de degré $<2$, c'est-à-dire $\leq 1$, à
coefficients dans $\mathbb{F}_p$, autrement dit de la forme $u + v\bar
t$ avec $u,v \in \mathbb{F}_p$ (uniquement déterminés).  Par ailleurs,
comme $t^2+1$ est irréductible, on peut dire que $E$ est un corps, et
il mériterait de se noter $\mathbb{F}_{p^2}$ (c'est \emph{le} corps
fini à $p^2$ éléments).
\end{corrige}

On notera « $\sqrt{-1}$ » l'élément $\bar t$ de $E$, c'est-à-dire, la
classe modulo $t^2+1$ de l'indéterminée $t$.  (On ne cherchera pas à
donner un sens à la notation $\sqrt{\phantom{-1}}$, encore moins à
faire un lien avec les nombres réels ou complexes : on se contentera
de prendre $\sqrt{-1}$ comme une notation pour $\bar t$.)

(5) Que vaut le carré $(\sqrt{-1})^2$ de l'élément qu'on vient de
décrire ?

\begin{corrige}
Modulo $t^2 + 1$, on a $t^2 = -1$, c'est-à-dire que $(\sqrt{-1})^2 =
-1$ dans $E$.
\end{corrige}

(6) Quelles sont toutes les solutions de l'équation $z^2 = -1$
dans $E$ ?  En déduire quelle est la factorisation du polynôme $t^2 +
1$ vu, cette fois, comme un élément de $E[t]$.

\begin{corrige}
On vient de voir que $(\sqrt{-1})^2 = -1$.  On en déduit
$(-\sqrt{-1})^2 = -1$.  On a donc trouvé deux solutions, $\sqrt{-1}$
et $-\sqrt{-1}$, de l'équation $z^2 = -1$, c'est-à-dire deux racines
du polynôme $t^2 + 1 \in E[t]$.  Comme il s'agit d'un polynôme (non
nul) de degré $2$, il ne peut pas admettre strictement plus que deux
racines, donc on a bien toutes les racines : les solutions de $z^2 =
-1$ sont exactement $\sqrt{-1}$ et $-\sqrt{-1}$, et la factorisation
de $t^2+1$ dans $E[t]$ s'écrit : $t^2 + 1 =
(t-\sqrt{-1})(t+\sqrt{-1})$.
\end{corrige}

(7) Expliquer pourquoi tout élément de $E$ s'écrit de la forme
$u+v\sqrt{-1}$ avec $u,v$ deux éléments de $\mathbb{F}_p$ (uniquement
déterminés).  Donner des formules permettant de calculer la somme
$(u_1+v_1\sqrt{-1}) + (u_2+v_2\sqrt{-1})$ et le produit
$(u_1+v_1\sqrt{-1}) \cdot (u_2+v_2\sqrt{-1})$ de deux éléments de $E$,
en les mettant sous la forme $u + v\sqrt{-1}$ (on demande donc de
calculer $u$ et $v$ de la somme et du produit en fonction de
$u_1,v_1,u_2,v_2$).

\begin{corrige}
On a déjà expliqué en réponse à la question (4) que tout élément
de $E$ s'écrit de la forme $u + v\bar t$ avec $u,v \in \mathbb{F}_p$
(uniquement déterminés), et on a choisi de noter $\bar t$
comme $\sqrt{-1}$.

Pour la somme, on a $(u_1+v_1\sqrt{-1}) + (u_2+v_2\sqrt{-1}) =
(u_1+u_2) + (v_1+v_2)\sqrt{-1}$ en factorisant, c'est-à-dire qu'elle
vaut $u + v\sqrt{-1}$ avec $u = u_1+u_2$ et $v = v_1+v_2$.

Pour le produit, on a $(u_1+v_1\sqrt{-1}) \cdot (u_2+v_2\sqrt{-1}) =
u_1 u_2 + u_1 v_2 \sqrt{-1} + v_1 u_2 \sqrt{-1} + v_1 v_2
(\sqrt{-1})^2$ en développant, soit $(u_1 u_2 - v_1 v_2) + (u_1 v_2 +
v_1 u_2) \sqrt{-1}$ en utilisant $(\sqrt{-1})^2 = -1$ et en
factorisant, c'est-à-dire que ce produit vaut $u + v\sqrt{-1}$ avec $u
= u_1 u_2 - v_1 v_2$ et $v = u_1 v_2 + v_1 u_2$.
\end{corrige}

(8) Que vaut $(\sqrt{-1})^4$ ?  Déterminer $(\sqrt{-1})^r$ en
discutant suivant la valeur de l'entier $r$ modulo $4$.

\begin{corrige}
On a $(\sqrt{-1})^4 = (-1)^2 = 1$ : si on veut, l'élément $\sqrt{-1}$
de $E^\times$ est d'ordre (multiplicatif) $4$.  Par conséquent, la
valeur de $(\sqrt{-1})^r$ ne dépend que de la classe de $r$
modulo $4$.  Selon que $r$ est congru à $0$, $1$, $2$ ou $3$
modulo $4$, la valeur en question est respectivement $(\sqrt{-1})^0 =
1$, $(\sqrt{-1})^1 = \sqrt{-1}$, $(\sqrt{-1})^2 = -1$, ou
$(\sqrt{-1})^3 = -\sqrt{-1}$.
\end{corrige}

On rappelle que $\Frob \colon E \to E$ désigne l'application $x
\mapsto x^p$.

(9) D'après la question précédente, que vaut $\Frob(\sqrt{-1})$ ?

\begin{corrige}
On a $p \equiv 3 \pmod{4}$ par hypothèse, donc $\Frob(\sqrt{-1}) =
(\sqrt{-1})^p = -\sqrt{-1}$ d'après la question (8).
\end{corrige}

On rappelle pour la question suivante que $\Frob(x+y) =
\Frob(x)+\Frob(y)$ et $\Frob(xy) = \Frob(x)\,\Frob(y)$ pour tous
$x,y\in E$ (« le Frobenius est un morphisme de corps »), et aussi que
$\Frob(a) = a$ si et seulement si $a \in \mathbb{F}_p$ (petit théorème
de Fermat).

(10) Que vaut $\Frob(u + v\sqrt{-1})$ si $u,v \in \mathbb{F}_p$ ?

\begin{corrige}
On vient de voir que $\Frob(\sqrt{-1}) = -\sqrt{-1}$, et par ailleurs
$\Frob(u) = u$ et $\Frob(v) = v$ puisque $u,v \in \mathbb{F}_p$.  En
utilisant les propriétés rappelées, on a donc $\Frob(u+v\sqrt{-1}) =
u-v\sqrt{-1}$.
\end{corrige}

(11) En utilisant notamment la question précédente, montrer que l'on
a : $(u+v\sqrt{-1})^{p+1} = u^2 + v^2$ pour tous $u,v \in
\mathbb{F}_p$.

\begin{corrige}
On vient de voir que $\Frob(u+v\sqrt{-1}) = u-v\sqrt{-1}$.  On a
$(u+v\sqrt{-1})^{p+1} = (u+v\sqrt{-1}) \, (u+v\sqrt{-1})^p =
(u+v\sqrt{-1}) \, \Frob(u+v\sqrt{-1}) = (u+v\sqrt{-1}) \,
(u-v\sqrt{-1}) = u^2 + v^2$ (en utilisant les formules de la
question (7)).
\end{corrige}

(12) Rappeler pourquoi il existe un élément $g$ de $E^\times$ d'ordre
multiplicatif $p^2-1$ (on ne demande pas de démontrer ce fait, mais de
citer un théorème qui l'affirme) ; comment appelle-t-on un tel
élément ?

\begin{corrige}
Un tel élément s'appelle un élément primitif.  Il existe car le groupe
multiplicatif $E^\times$ des éléments non nuls de $E$,
d'ordre $p^2-1$, est cyclique (comme l'est le groupe multiplicatif
pour n'importe quel corps fini).
\end{corrige}

Pour $r$ entier, on définit $u_r,v_r$, éléments de $\mathbb{F}_p$, par
la formule : $u_r + v_r\sqrt{-1} = g^{r(p-1)}$, où $g$ est un élément
comme dans la question précédente.

(13) Que vaut $u_r^2 + v_r^2$ ?  Expliquer pourquoi les $(u_r,v_r)$
avec $0 \leq r \leq p$ sont deux-à-deux distincts.

\begin{corrige}
D'après (11), on a $u_r^2 + v_r^2 = (g^{r(p-1)})^{p+1} =
g^{r(p^2-1)}$.  Mais $g^{p^2-1} = 1$ puisque $g \in E^\times$.  On a
donc $u_r^2 + v_r^2 = 1$.

Si $0 \leq r \leq p$, c'est-à-dire $0 \leq r < p+1$, alors $0 \leq
r(p-1) < p^2-1$.  Puisque $g$ est d'ordre exactement $p^2-1$, les
$g^s$ pour $0 \leq s < p^2-1$ sont deux-à-deux distincts, et en
particulier les $g^{r(p-1)}$ pour $0 \leq r < p+1$ le sont.  Comme par
ailleurs $u_r$ et $v_r$ déterminent complètement $u_r + v_r
\sqrt{-1}$, les couples $(u_r,v_r)$ avec $0 \leq r \leq p$ sont
eux-mêmes deux-à-deux distincts.
\end{corrige}

(14) Réciproquement, si $u,v$ dans $\mathbb{F}_p$ vérifient $u^2 + v^2
= 1$, montrer que $u + v\sqrt{-1}$ peut s'écrire sous la forme
$g^{r(p-1)}$ (on a donc $(u,v) = (u_r,v_r)$) pour un certain $r$ qu'on
peut trouver vérifiant $0 \leq r \leq p$.  (On pourra commencer par
écrire $u + v\sqrt{-1} = g^s$ pour un certain $s$, puis montrer que
celui-ci est un multiple de $p-1$ en utilisant $u^2 + v^2 = 1$.)

\begin{corrige}
Comme $g$ est primitif, on peut écrire $u + v\sqrt{-1} = g^s$ pour un
certain $s$ vérifiant $0 \leq s < p^2-1$.  L'hypothèse $u^2 + v^2 = 1$
assure que $(u+v\sqrt{-1})^{p+1} = 1$ (d'après (11)), c'est-à-dire
$g^{s(p+1)} = 1$.  Autrement dit, $s(p+1)$ est multiple de $p^2-1$.
Quitte à diviser par $p+1$, on voit donc que $s$ est multiple
de $p-1$, c'est-à-dire qu'on peut écrire $s = r(p-1)$, et on a alors
bien $u + v\sqrt{-1} = g^{r(p-1)}$ avec $0 \leq r < p+1$ (puiqsue $r =
\frac{s}{p-1}$).
\end{corrige}

(15) Des questions précédentes, déduire le nombre de solutions $(u,v)$
dans $\mathbb{F}_p$ de l'équation $u^2 + v^2 = 1$.

\begin{corrige}
On a montré que ces solutions étaient les $(u_r,v_r)$ avec $0\leq r
\leq p$, qui sont distinctes.  Il y en a donc $p+1$.
\end{corrige}

%
%
%
\end{document}
