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% A tribute to the worthy AMS:
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%
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{comcnt}{Tout}[subsection]
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\refstepcounter{comcnt}\smallbreak\noindent\textbf{\thecomcnt.} }
\newtheorem{defn}[comcnt]{Définition}
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\begin{document}
\title{Rappels maths pour crypto}
\author{David A. Madore}
\maketitle
{\footnotesize
\begin{center}
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%
\section{Entiers}

\subsection{L'anneau des entiers}

$\mathbb{Z}=\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\}$ ensemble des
entiers relatifs.  Sous-ensemble $\mathbb{N}$.

Opérations : $+$, $\times$ ; éléments remarquables : $0$, $1$.
Vérifient les propriétés suivantes :
\begin{itemize}
\item Associativité de $+$ : $x+(y+z) = (x+y)+z$
\item Neutralité de $0$ pour $+$ : $0+x = x+0 = x$
\item Existence d'opposés : (pour chaque $x$, il existe un élément
  noté $-x$ tel que) $x + (-x) = (-x) + x = 0$
\item Commutativité de $+$ : $y+x = x+y$
\item Distributivité de $\times$ sur $+$ : $x(y+z) = xy + xz$
\item Associativité de $\times$ : $x(yz) = (xy)z$
\item Neutralité de $1$ pour $\times$ : $1x = x1 = x$
\item Commutativité de $\times$ : $yx = xy$
\end{itemize}

Les trois premières propriétés signifient que $\mathbb{Z}$ est un
\emph{groupe} pour l'addition ; les quatre premières, que $\mathbb{Z}$
est un \emph{groupe abélien} pour l'addition ; les sept premières
propriétés signifient que $\mathbb{Z}$ est un \emph{anneau} ; les huit
propriétés réunies signifient que $\mathbb{Z}$ est un \textbf{anneau
  commutatif}.

Mieux : c'est un \emph{anneau intègre} : si $uv=0$ alors $u=0$ ou
$v=0$ (la réciproque est vraie dans n'importe quel anneau : $0x = x0 =
0$).

Éléments inversibles : un \textbf{inversible} ou une \textbf{unité}
(dans un anneau commutatif) est un élément $x$ tel qu'il existe $y$
tel que $xy = 1$.  Dans $\mathbb{Z}$, les inversibles sont $1$ et
$-1$.

Relation d'ordre...

%
\subsection{Écriture $b$-adique}

Si $b\geq 2$ est un entier naturel, tout entier naturel $A$ s'écrit de
façon unique $A = \sum_{i=0}^{+\infty} a_i b^i$ avec $0\leq a_i<b$
entiers naturels « presque tous nuls » (c'est-à-dire nuls sauf un
nombre fini : donc la somme peut en fait s'écrire $A =
\sum_{i=0}^{n-1} a_i b^i$).

Écriture usuelle : $b=10$.  Informatique : $b=2$.  Un nombre « de $n$
bits » signifie : inférieur à $2^n$.

Multiplier par $b$ revient à décaler tous les chiffres d'un cran vers
la gauche.

%
\subsection{Remarques sur la complexité des opérations}

Addition de nombres de $n$ bits : algorithme naïf en $O(n)$.

Multiplication : plus compliqué.

Algorithme naïf en $O(n^2)$ (appris à l'école primaire).

\emph{Multiplication de Karatsuba} : utilise récursivement
l'identité ${(a_1 w + a_0)} \penalty0 {(b_1 w + b_0)} = a_1 b_1 w^2 +
[(a_1+a_0)(b_1+b_0)-a_1 b_1-a_0 b_0] w + a_0 b_0$ pour une complexité
en $O(n^{\frac{\log 3}{\log 2}})$ (soit $O(n^{1.58\ldots})$).  Facile
à implémenter.

\emph{Multiplication de Strassen} : par transformée de Fourier
rapide, complexité en $O(n\,\log^2 n)$, difficile à implémenter.
Amélioration de Schönhage : $O(n\,\log n\,\log\log n)$ ---
complètement théorique.

%
\subsection{Divisiblité (exacte)}

Si $a$ et $b$ sont deux entiers, on dit que $b$ divise $a$, et on note
$b|a$, lorsqu'il existe $q \in \mathbb{Z}$ tel que $a = bq$.

Cette relation est réflexive (on a $a|a$ pour tout $a$) et transitive
(si $b|a$ et $c|b$ alors $c|a$).  Elle n'est pas tout à fait
antisymétrique, mais c'est vrai dans les entiers naturels : si $a$ et
$b$ sont des entiers naturels tels que $b|a$ et $a|b$ alors $b=a$
(dans les entiers relatifs, on peut aussi avoir $b=-a$).

Note : Les entiers $1$ et $-1$ divisent tous les entiers.  L'entier
$0$ est divisible par tous les entiers.

%
\subsection{Nombres premiers}

Un \textbf{nombre premier} $p$ est un entier (par convention :
positif) divisible seulement par $1$, $-1$, lui-même et son opposé ;
mais par convention, $1$ et $-1$ (et $0$...) ne sont pas premiers.

Les premiers nombres premiers sont donc : $2$, $3$, $5$, $7$, $11$,
$13$, $17$, $19$, $23$, $29$, $31$, $37$, $41$, $43$, $47$, $53$,
$59$, $61$, $67$, $71$, $73$, $79$, $83$, $89$, $97$...

\medbreak

Sur leur répartition :

Il y en a une infinité (Euclide).

Pour tout $x>1$, il y a toujours un nombre premier $p$ tel que $x < p
< 2x$ (\v Ceby\v sëv : « postulat de Bertrand »).  De façon
équivalente : si $p$ est premier, alors le nombre premier qui le suit
immédiatement est $<2p$.

Le nombre $\pi(x)$ de nombres premiers $\leq x$ est équivalent à
$\frac{x}{\ln x}$ lorsque $x\to +\infty$ (Hadamard \& de la Vallée
Poussin : « théorème des nombres premiers »).  Moralement : la
probabilité qu'un nombre de $n$ bits aléatoire soit premier est
environ $\frac{1}{n\,\ln 2}$.

Beaucoup de questions ouvertes.  Par exemple : Conjecture des nombres
premiers jumeaux : existe-t-il une infinité de nombres premiers $p$
tels que $p+2$ soit aussi premier (tels que $3$, $5$, $11$, $17$,
$29$, $41$, $59$, $71$...) ?

\smallbreak

\textbf{Lemme de Gauß :} pour $p$ premier, si $p$ divise $ab$ alors
$p$ divise $a$ ou $p$ divise $b$.

%
\subsection{Décomposition en facteurs premiers}

Pour tout entier $n$ \emph{non nul}, il existe une écriture
\emph{unique} (à l'ordre près) de $n$ comme produit d'une \emph{unité}
($1$ ou $-1$) et de nombres premiers : en regroupant les facteurs
premiers $p$,
\[
n = u\, 2^{v_2(n)} \, 3^{v_3(n)} \cdots p^{v_p(n)}\cdots
\]

Ici, $v_p(n)$ (un entier naturel) est l'exposant de la plus grande
puissance de $p$ qui divise $n$ : on l'appelle \emph{valuation
$p$-adique} de $n$.  Presque tous ces nombres sont nuls, ce qui permet
de donner un sens au produit infini.  Dire que $b|a$ signifie $v_p(b)
\leq v_p(a)$ pour tout $p$.

Quant à $u$, c'est simplement le signe de $n$.

%
\subsection{Remarques sur la complexité}

Toujours pour des nombres de $n$ bits.

\textbf{Tests de primalité :} \emph{polynomiaux}.  Un test polynomial
\emph{déterministe} est connu depuis seulement récemment
(Agrawal-Kayal-Saxena), démontrablement en $O(n^{12})$, sans doute
meilleur ($O(n^3)$ ?).  En pratique, des tests probabilistes sont
suffisants et plus efficaces (p.e., Miller-Rabin « pratiquement » en
$O(n^2)$) éventuellement complétés par des certificats de primalité
(p.e., test d'Atkin).

\textbf{Algorithmes de factorisation :} \emph{lents}.  Font appel à
des résultats difficiles de théorie algébrique et analytique des
nombres.  La meilleure méthode connue (« méthode du crible général de
corps de nombres ») a une complexité « attendue » (et heuristique) en
$O(e^{n^{1/3}\,(\log n)^{2/3}\,(\textrm{cte}+o(1))})$ (avec
$\textrm{cte} \approx 2$).

On ne pourra donc pas envisager d'utiliser la décomposition en
facteurs premiers pour calculer les pgcd.

%
\subsection{Valuation $p$-adique}

Si $n$ est un entier et $p$ un nombre premier, $v_p(n)$ est l'exposant
de la plus grande puissance de $p$ qui divise $n$.  Si $a/b$ est un
rationnel, on pose $v_p(a/b) = v_p(a)-v_p(b)$ (ne dépend pas de la
représentation $a/b$ choisie).  Par convention, $v_p(0) = +\infty$.

Quelle est la valuation $2$-adique de $192$ ?  $3$-adique ?
$5$-adique ?  Quelles sont les valuations $p$-adiques de
$-\frac{24}{11}$, pour tous les $p$ possibles ?

Propriétés de $v_p$ : produit (cf. lemme de Gauß), inégalité sur la
somme (et cas d'égalité)...  Dire que $x \in \mathbb{Q}$ est entier
signifie exactement $v_p(x) \geq 0$ pour tout $p$.

%
\subsection{Division euclidienne}

Si $a$ est un entier relatif et $b$ un entier naturel \emph{non nul},
il existe un unique couple $(q,r)$ tel que :
\begin{itemize}
\item $q$ est un entier relatif,
\item $r$ est un entier naturel tel que $0\leq r<b$, et
\item $a = bq + r$.
\end{itemize}
On dit que $q$ est le \emph{quotient} et $r$ le \emph{reste} de la
\textbf{division euclidienne} de $a$ par $b$.  (On appelle aussi $a$
le \emph{dividende} et $b$ le \emph{diviseur}.)

Si $b\geq 2$, dans l'écriture $b$-adique de $a$, le dernier chiffre
($a_0$ avec les notations précédentes) est égal au reste $r$ de la
division euclidienne de $a$ par $b$.

Dire que $r=0$ signifie exactement que $b$ divise $a$ (la division
euclidienne est alors \emph{exacte}).

\medbreak

\textbf{Algorithme naïf :} (celui de l'école primaire) en $O(n^2)$.

\textbf{Algorithme sophistiqué :} en $O(n\,\log n\,\log\log n)$ avec
Schönhage-Strassen + méthode de Newton (+ subtilités).

Méthode de Newton : on inverse $b$ (en précision fixe) en itérant $x
\leftarrow 2x - bx^2$.

Souvent implémentée \textbf{en matériel} pour certaines tailles
d'entiers (p. ex., division entière de 128 bits par 64 bits).

%
\subsection{PGCD}

Si $m_1,\ldots,m_\ell$ sont des entiers, on dit qu'un entier $c$ est
un \textbf{plus grand commun diviseur} (en abrégé : \emph{pgcd}) des
$m_i$ lorsque :
\begin{itemize}
\item $c$ divise chaque $m_i$ (i.e, $c$ est un diviseur commun
  des $m_i$), et
\item tout entier $d$ qui divise chaque $m_i$ (i.e., tout diviseur
  commun des $m_i$) divise aussi $c$.
\end{itemize}
En principe, le pgcd des $m_i$ est défini au signe près (si $c$ est un
pgcd des $m_i$ alors $-c$ l'est aussi) : en imposant qu'il soit
positif il devient unique et on parle alors \emph{du} pgcd des $m_i$.

Exemple : le pgcd de $6$ et $10$ est $2$ ; le pgcd de
  $6$, $10$ et $15$ est $1$.

\medbreak

Le pgcd \emph{existe} toujours : on peut le trouver à partir de la
décomposition en facteurs premiers par
\[
v_p(\pgcd(m_1,\ldots,m_\ell)) = \min(v_p(m_1),\ldots,v_p(m_\ell))
\]
(pour tout nombre premier $p$).  Mais ce n'est pas une méthode
efficace de calcul !

\textbf{Notation :} Parfois $m_1\wedge \cdots \wedge m_\ell$, mais
cette notation peut être utilisée pour d'autres sortes de bornes inf.
Certains textes anglais utilisent $(m,m')$ pour le pgcd de deux
entiers.  La notation $\pgcd(\cdots)$ est évidemment la plus claire.

\medbreak

\textbf{Quelques propriétés :}
\begin{itemize}
\item le pgcd d'un seul entier $m$ est lui-même (et le pgcd de zéro
entiers est $0$),
\item le pgcd est associatif (par exemple\\
  $\pgcd(m_1,m_2,m_3) = \pgcd(\pgcd(m_1,m_2),m_3)$),
\item le produit est distributif sur le pgcd\\
  ($\pgcd(cm_1,\ldots,cm_\ell) = |c|\,\pgcd(m_1,\ldots,m_\ell)$),
\item on peut toujours effacer des $0$ d'un pgcd,
\item dès qu'un des entiers est $1$ ou $-1$, le pgcd est $1$,
\item le pgcd d'une famille infinie se définit sans difficulté.
\end{itemize}

%
\subsection{Entiers premiers entre eux}

Lorsque $\pgcd(m_1,\ldots,m_\ell)=1$, on dit que les $m_i$ sont
\textbf{premiers entre eux} \emph{dans leur ensemble}.

Lorsque $\pgcd(m_i,m_j)=1$ pour tous $i\neq j$, on dit que les $m_i$
sont premiers entre eux \emph{deux à deux}.

\textbf{Lemme de Gauß amélioré :} Si $m$ et $n$ sont premiers entre
eux, être multiple de $m$ et de $n$ équivaut à être multiple de $mn$.

\textbf{Dirichlet :} La probabilité pour que deux entiers « tirés au
  hasard » soient premiers entre eux est $\frac{6}{\pi^2}$.

%
\subsection{PPCM}

Définition analogue au pgcd.  Exemple : le ppcm de $6$ et $10$
est $30$ ; le ppcm de $6$, $10$ et $15$ est aussi $30$.  Lien avec la
DFP (pour un nombre fini d'entiers).  Le ppcm d'une famille infinie
d'entiers est défini, mais parfois surprenant (quel est le ppcm de
tous les nombres premiers ?).

%
\subsection{Relation de Bézout}

Si $a$ et $b$ sont premiers entre eux (c'est-à-dire $\pgcd(a,b) = 1$)
il existe des entiers $u$ et $v$ tels que $au + bv = 1$ (on verra
pourquoi plus loin) : on appelle cette égalité une \textbf{relation de
  Bézout}\footnote{Étienne Bézout (1730--1783), avec un accent aigu.}
entre $a$ et $b$.

Réciproquement, l'existence d'une relation de Bézout entre $a$ et $b$
implique que $a$ et $b$ sont premiers entre eux (et alors les
coefficients, $u$ et $v$, sont aussi premiers entre eux).  En effet,
tout diviseur commun de $a$ et $b$ doit diviser $au+bv$.

Exemple : $42\times 38 - 55 \times 29 = 1$ constitue une relation de
Bézout entre $42$ et $55$.  On verra plus loin comment obtenir une
relation de Bézout.

Naturellement, ajouter $b$ à $u$ et $-a$ à $v$ donne une nouvelle
relation de Bézout entre $a$ et $b$.  Donc il n'y a pas unicité.

Si $au + bv = \pm 1$ on dit parfois que les rationnels $a/b$ et $-v/u$
(écrits sous forme irréductible) sont \emph{adjacents}.

\medbreak

Plus généralement, si $\pgcd(a,b) = d$, on peut trouver $u$ et $v$
tels que $au+bv = d$ (en fait, $a/d$ et $b$ sont premiers entre eux,
et si $(a/d)u+bv' = 1$ est une relation de Bézout entre eux, alors on
a $au+b(v'd) = d$).

%
\subsection{Algorithme d'Euclide}

Soit à calculer le pgcd de deux entiers $a$ et $b$.
\textbf{L'algorithme d'Euclide} pour ce faire est le suivant :
\begin{itemize}
\item Initialiser : $(m,n) \leftarrow (|a|,|b|)$.
\item Tant que $n\neq 0$, répéter :
\begin{itemize}
\item Faire $(m,n) \leftarrow (n,r)$ où $r$ est le reste de la division
  euclidienne $m=nq+r$ de $m$ par $n$.
\end{itemize}
\item Renvoyer $m$ (le pgcd recherché).
\end{itemize}

\smallskip
\textbf{Invariant :} $\pgcd(m,n) = \pgcd(a,b)$ (constant)

\medbreak
Exemple : soit à calculer le pgcd de $a=98$ et
$b=77$ :
\begin{itemize}
\item $(m,n)=(98,77)$ ; division euclidienne $98 = 77\times 1 + 21$ ;
\item $(m,n)=(77,21)$ ; division euclidienne $77 = 21\times 3 + 14$ ;
\item $(m,n)=(21,14)$ ; division euclidienne $21 = 14\times 1 + 7$ ;
\item $(m,n)=(14,7)$ ; division euclidienne $14 = 7\times 2 + 0$ ;
\item $(m,n)=(7,0)$ ; on renvoie $7$.
\end{itemize}

\medbreak
\textbf{Algorithme d'Euclide « étendu »} : L'idée est
de « remonter » les coefficients dans l'algorithme d'Euclide : la
dernière division $m=nq+1$ donne une relation $1 = m-nq$ puis on
remplace $n$ (qui est lui-même un reste de division euclidienne) et
ainsi de suite jusqu'à trouver une relation entre les entiers $a$ et
$b$ de départ.

En mémoire constante, cela donne :

Soit à calculer une relation de Bézout entre deux entiers $a$ et $b$
(premiers entre eux) :
\begin{itemize}
\item $(m,n,u,v,u',v') \leftarrow (|a|,|b|,\signe(a),0,0,\signe(b))$.
\item Tant que $n\neq 0$, répéter :
\begin{itemize}
\item Division euclidienne de $m$ par $n$ : soit $m =
nq+r$.
\item Remplacer $(m,n,u,v,u',v') \leftarrow (n,r,u',v',u-qu',v-qv')$.
\end{itemize}
\item Vérifier $m=1$ (le pgcd est bien $1$).
\item Les coefficients recherchés sont $u$ et $v$ (on a $au+bv = 1$).
\end{itemize}

\textbf{Invariants :} $au+bv=m$ et $au'+bv'=n$.

\smallbreak

Dans la pratique, à la main, on procède ainsi : pour calculer une
relation de Bézout entre $64$ et $47$, on effectue les divisions
euclidiennes successives $64 = 1\times 47 + 17$, $47 = 2\times 17 +
13$, $17 = 1\times 13 + 4$, $13 = 3\times 4 + 1$ jusqu'à tomber sur le
reste $1$.  Puis on réécrit ce reste en partant de la dernière
division $1 = 13 - 3\times 4$ et en remplaçant successivement le reste
de chaque division (les à l'envers) par une combinaison du dividende
et du diviseur : $4 = 17 - 1\times 13$ donc $1 = 13 -
3\times(17-1\times 13) = 4\times 13 - 3\times 17$ puis $13 = 47 -
2\times 17$ donc $1 = 4\times (47 - 2\times 17) - 3\times 17 = 4\times
47 - 11\times 17$ et enfin $17 = 1\times 64 - 47$ donc $1 = 4\times 47
- 11\times (1\times 64 - 47) = 15\times 47 - 11\times 64$.

%
\section{Congruences et entiers modulaires}

\subsection{Congruence}

Soit $m$ un entier fixé pour le moment :

Si $x$ et $x'$ sont entiers, on dit que $x$ et $x'$ sont
\textbf{congrus} modulo $m$, noté $x \equiv x' \pmod{m}$, lorsque
$x-x'$ est multiple de $m$.  Relation réflexive, symétrique,
transitive.

Compatibilité avec les opérations : (à $m$ fixé,) si $x\equiv x'$ et
$y \equiv y'$ alors $x+y \equiv x'+y'$ et $xy \equiv x'y'$.  À $m$
variable : si $m|m'$ alors $x \equiv x' \pmod{m'}$ implique $x\equiv
x' \pmod{m}$ (la congruence modulo $m'$ est \emph{plus fine} que
modulo $m$).

Représentants : si $m \geq 1$ alors chaque entier est congru
modulo $m$ à l'un des nombres $0,1,2,\ldots,(m-1)$ (le reste de sa
division euclidienne par $m$ !).

Exemple de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ avec pair=$\bar 0$ et impair=$\bar
1$.

On veut définir $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z} = \{\bar 0, \bar 1, \bar 2,
\ldots, \overline{m-1}\}$ de façon analogue : pour ajouter $\bar x$ et
$\bar y$, on consière $\bar x + \bar y = \overline{x+y}$ et $\bar x\,
\bar y = \overline{xy}$.  Reste à savoir ce que la barre veut dire !

%
\subsection{Généralité sur les quotients}

Généralité : soit $E$ un ensemble et $\sim$ une relation d'équivalence
(i.e., réflexive, symétrique, transitive) sur $E$, on appelle
$E/{\sim}$ l'ensemble des classes d'équivalence de $E$ modulo $\sim$
(la classe d'équivalence d'un élément $x\in E$ est l'ensemble des
éléments $x'\in E$ tels que $x\sim x'$).  On note $\pi \colon E \to
(E/{\sim})$ la fonction qui envoie $x\in E$ sur sa classe
d'équivalence $\pi(x) = \bar x$.  Ainsi : $\pi(x) = \pi(x')$ ssi $x
\sim x'$.  (Moralement : on a transformé la relation d'équivalence
$\sim$ en une vraie égalité.)

Si on a sur $E$ une opération binaire, disons, $\tee$, telle que $x
\sim x'$ et $y \sim y'$ impliquent $(x\tee x') \sim (y\tee y')$ (on
dit que $\sim$ est \emph{compatible} avec l'opération $\tee$), alors
on peut définir une opération binaire $\mathbin{\bar\top}$ sur
$E/{\sim}$ par $\pi(x) \mathbin{\bar\top} \pi(x') = \pi(x\tee x')$.

L'application $\pi\colon E \to (E/{\sim})$ préserve alors l'opération
$\tee$ et on dit qu'il s'agit d'un \emph{morphisme} (d'ensembles munis
d'une opération binaire $\tee$).

%
\subsection{Calculs dans $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$}

Vision concrète de $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ pour $m\geq 1$ : on
travaille avec les nombres $0,\ldots,m-1$ (qui sont des
\emph{représentants} arbitraires des $m$ classes de congruences
modulo $m$).  Les opérations sont faites dans les entiers mais ensuite
on se ramène à une classe représentée par un entier entre $0$ et $m-1$
en effectuant une division euclidienne par $m$.

Exemple : si $m=10$, on a $\bar 8 + \bar 5 = \bar 3$ et $\bar 8 \times
\bar 5 = \bar 0$.

(Note : en fait, pour l'addition, il suffit de soustraire
éventuellement $m$ si le résultat l'excède : pas besoin de faire une
vraie division euclidienne.)

Les ordinateurs travaillent naturellement dans
$\mathbb{Z}/2^r\mathbb{Z}$ avec $r$ valant typiquement $16$, $32$ ou
$64$.

Note importante : Le choix des représentants $0,\ldots,m-1$ est
arbitraire : on pourrait tout aussi bien choisir $1,\ldots,m$ ou bien
$-\lfloor\frac{m-1}{2}\rfloor,\ldots,\lfloor\frac{m}{2}\rfloor$ (ou
encore des choses tout à fait arbitraires).

\medbreak

Et si $m\leq 1$ ?
\begin{itemize}
\item On a $\mathbb{Z}/1\mathbb{Z} = \{\bar 0\}$, et les opérations
  sont triviales ($\bar 0 + \bar 0 = \bar 0$ et $\bar 0 \times \bar 0
  = \bar 0$).
\item On a $\mathbb{Z}/0\mathbb{Z} = \mathbb{Z}$.
\item Si $m<0$ alors $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z} =
  \mathbb{Z}/(-m)\mathbb{Z}$.
\end{itemize}

En général quand on parle de $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ on sous-entend
$m\geq 1$, parfois même $m \geq 2$ !

%
\subsection{Premières propriétés de $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$}

C'est un anneau commutatif.  Il n'est \emph{pas intègre} en général :
on peut avoir $ab=\bar 0$ dans $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ alors que $a
\neq \bar 0$ et $b \neq \bar 0$ (exemple : $\bar 2 \times \bar 5 =
\bar 0$ dans $\mathbb{Z}/10\mathbb{Z}$).

Surjection canonique : c'est l'application $\pi\colon \mathbb{Z} \to
\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ qui envoie $x\in\mathbb{Z}$ sur sa classe de
congruence modulo $m$.  C'est un \emph{morphisme d'anneaux}, i.e., il
préserve l'addition et la multiplication et envoie $0$ et $1$ sur
$\bar 0$ et $\bar 1$.

Si $m|m'$, il y a une application naturelle $\mathbb{Z}/m'\mathbb{Z}
\to \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ car les classes modulo $m'$ sont plus
fines que modulo $m$.  (Exemple : connaître la congruence modulo $4$
permet de connaître la congruence modulo $2$.)  C'est également un
morphisme d'anneaux.

\textbf{Attention !} le paragraphe précédent signifie que quand
$m|m'$, on peut réduire modulo $m$ un élément de
$\mathbb{Z}/m'\mathbb{Z}$.  Ceci n'a pas de sens sans l'hypothèse
$m|m'$ !  Par exemple, donné un élément de $\mathbb{Z}/20\mathbb{Z}$,
il y a un sens à parler de sa classe modulo $5$ ou modulo $4$ ou
modulo $2$ (c'est-à-dire dire s'il est pair ou impair...) ; en
revanche, il n'y a \emph{aucun sens} à parler de sa classe modulo $3$
(ou même à se demander s'il est multiple de $3$).  Le théorème
« chinois » précisera cette idée.

%
\subsection{Inversibles de $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$}

Si $a$ et $m$ sont premiers entre eux, alors on sait qu'on peut
trouver une relation de Bézout $au + mv = 1$.  On a alors $\bar a \bar
u = \bar 1$ : on dit que $\bar a$ est \emph{(multiplicativement)
  inversible} dans $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$, ou est une \emph{unité}
de cet anneau.  Réciproquement, si on peut trouver $\bar u$ tel que
$\bar a \bar u = \bar 1$, alors $a$ est premier à $m$.

On appelle $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times$ l'ensemble des
inversibles multiplicatifs de $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$.  C'est un
groupe pour la multiplication (plus généralement, dans tout anneau
commutatif $A$, l'ensemble des inversibles/unités de $A$ forme un
groupe noté $A^\times$).

Si $\bar a$ est inversible dans $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$, on pourra
noter $\bar a^{-1}$ son inverse (qui est évidemment de nouveau
inversible...).  On le calcule à partir d'une relation de Bézout.
Attention, il n'est pas évident de relier $\bar a^{-1}$ avec le
rationnel $1/a$ !

Exemple : dans $\mathbb{Z}/10\mathbb{Z}$, les éléments $\bar 1, \bar
3, \bar 7, \bar 9$ sont inversibles, et leurs inverses sont $\bar
1^{-1} = \bar 1, \bar 3^{-1} = \bar 7, \bar 7^{-1} = \bar 3, \bar
9^{-1} = \bar 9$.

On note $\varphi(m)$ le cardinal de
$(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times$ : la fonction $\varphi$ s'appelle
\emph{fonction indicatrice d'Euler} ; elle compte donc le nombre
d'entiers entre $0$ et $m-1$ premiers avec $m$ (exemple : $\varphi(10)
= 4$).  On verra plus loin comment la calculer.

Note : on a deux involutions importantes sur
$(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times$ : l'une est $\bar a \mapsto -\bar
a$, et l'autre est $\bar a \mapsto \bar a^{-1}$.  Comme la première
n'a pas de point fixe (pour $m>2$), $\varphi(m)$ est toujours
\emph{pair} (sauf pour $m=2$).

Si $p$ est premier, alors tous les nombres entre $1$ et $p-1$ sont
premiers avec $p$ : $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times = \{\bar
1,\ldots, \overline{p-1}\}$ (et notamment $\varphi(p) = p-1$).  Tous
les éléments de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ sont inversibles sauf $\bar
0$ : on dit que l'anneau $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ est un \emph{corps}
et on le note $\mathbb{F}_p$.

%
\subsection{Théorème chinois}

Si $m$ et $n$ sont deux naturels non nuls \textbf{premiers entre eux},
considérons l'application dont les composantes sont les deux
surjections canoniques :
\[
\mathbb{Z}/(mn)\mathbb{Z} \to (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})
\times (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})
\]

Il s'agit d'un \emph{morphisme d'anneaux} (car les surjections
canoniques en sont !) :
\begin{itemize}
\item il est injectif car un entier multiple de $m$ et de $n$
est multiple de $mn$ (lemme de Gauß),
\item il est surjectif car les cardinaux coïncident ($mn$ au départ et
à l'arrivée),
\end{itemize}
c'est donc un \textbf{isomorphisme}.

Dresser la table d'isomorphisme de $\mathbb{Z}/10\mathbb{Z}$ avec
$(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) \times (\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})$...

\smallbreak

Concrètement, le théorème chinois signifie : lorsque $m$ et $n$ sont
premiers entre eux, se donner un entier modulo $mn$ revient au même
que se donner cet entier modulo $m$ et modulo $n$ séparément (et, de
plus, toutes les combinaisons d'une classe modulo $m$ et d'une classe
modulo $n$ sont possibles pour une unique classe modulo $mn$).

%
\subsection{Théorème chinois explicite}

Si on a une relation de Bézout $um+vn=1$, alors l'isomorphisme chinois
a pour réciproque
\[
\begin{array}{c}
(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}) \times (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \to
\mathbb{Z}/(mn)\mathbb{Z}\\
(x,y) \mapsto umy+vnx\\
\end{array}
\]

(Remarque : dans cette expression, on peut se contenter de calculer
$uy$ modulo $n$ avant de le multiplier par $m$, et de même $vx$
modulo $m$ avant de le multiplier par $n$, ce qui est parfois plus
efficace que de faire tout le calcul modulo $mn$.)

Exemple : trouver le nombre entre $0$ et $100$ congru à $9$
modulo $11$ et à $3$ modulo $13$.  (Relation de Bézout : $6\times 11 -
5 \times 13 = 1$ ; ensuite, $6 \times 11 \times 3 - 5 \times 13 \times
9 \equiv 5\times 11 - 1\times 13 \equiv 42 \pmod{11\times 13}$.)

\medskip

Généralisations du théorème chinois :
\begin{itemize}
\item Si $m$ et $n$ ne sont pas premiers entre eux, toute donnée d'une
  classe $x$ modulo $m$ et d'une classe $y$ modulo $n$ ne permet pas
  forcément de retrouver une classe modulo $mn$ (il faut, et il
  suffit, pour cela, que $x$ et $y$ soient « compatibles »,
  c'est-à-dire congrus modulo $d = \pgcd(m,n)$).  Lorsque $x$ et $y$
  sont compatibles, alors on retrouve une unique classe modulo
  $\ppcm(m,n)$ (pour faire le calcul en pratique, diviser l'un des
  deux nombres $m,n$ par $d$ pour se ramener à deux nombres premiers
  entre eux).
\item Si $m_1,\ldots,m_k$ sont premiers entre eux \emph{deux à deux},
  alors la donnée d'une classe modulo le produit $m_1\cdots m_k$
  équivaut à la donnée de classes modulo chacun des $m_i$ (pour faire
  le calcul en pratique, on utilise les classes modulo $m_1,m_2$ pour
  trouver une classe modulo $m_1 m_2$, puis celle-ci et la classe
  modulo $m_3$ déterminent une classe modulo $m_1 m_2 m_3$, etc.).
\item En combinant ces deux généralisations : connaissant la classe
  d'un entier modulo $m_1,\ldots,m_k$, on peut retrouver sa classe
  modulo $\ppcm(m_1,\ldots,m_k)$.
\end{itemize}

%
\subsection{Calcul de l'indicatrice d'Euler}

Si $m$ et $n$ (naturels non nuls) sont premiers entre eux, par le
théorème chinois on a $(\mathbb{Z}/(mn)\mathbb{Z})^\times \cong
(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times \times
(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$, donc
\[
\varphi(mn) = \varphi(m)\,\varphi(n)
\]

Si $p$ est premier alors $\varphi(p^r) = (p-1)\,p^{r-1}$ (car être
premier avec $p^r$ équivaut à être premier à $p$, et c'est le cas de
$p-1$ entiers sur $p$).

On en déduit :
\[
\varphi(n) = n\,\prod_{p|n}\left(1-\frac{1}{p}\right)
\]
où $p$ parcourt les premiers divisant $n$.

Exemple : $\varphi(63) = \frac{2}{3}\times\frac{6}{7}\times 63 = 36$.

(Intuitivement : parmi les $n$ entiers de $0$ à $n-1$, pour chacun des
nombres premiers $p$ divisant $n$, il y a une proportion
$\frac{p-1}{p}$ des nombres qui ne sont pas multiples de $p$, et
toutes ces propriétés sont indépendantes --- c'est essentiellement le
théorème chinois --- donc la proportion des nombres qui ne sont
multiples d'aucun des $p$ divisant $n$ est le produit des
$\frac{p-1}{p}$.)

\textbf{Algorithmiquement :} \emph{lent} en général (demande de
connaître la d.f.p.).

%
\subsection{Notions de théorie des groupes}

Un \textbf{groupe} est un ensemble $G$ muni d'une opération binaire
$\star$ (c'est-à-dire une application $G\times G \to G$ dont on note
$g \star g'$ l'image d'un couple $(g,g')$) et d'un élément remarquable
$e$ tels que :
\begin{itemize}
\item Associativité de $\star$ : $x\star(y\star z) = (x\star y)\star z$
\item Neutralité de $e$ pour $\star$ : $e\star x = x\star e = x$
\item Existence d'inverses : pour chaque $x$, il existe un élément
  noté $x'$ tel que) $x \star x' = x' \star x = e$
\end{itemize}
Lorsque de plus la loi $\star$ est commutative ($y\star x = x\star
y$), on parle de \emph{groupe abélien} (ou commutatif).

Exemples : l'addition sur les nombres réels (la loi $\star$ étant
l'addition et le neutre $e$ étant le nombre $0$) ; la multiplication
sur les nombres réels non nuls (la loi $\star$ étant la multiplication
et le neutre $e$ étant le nombre $1$) ; la composition des isométries
du plan (la loi $\star$ étant la composition et le neutre $e$ étant
l'identité).

Généralement, un groupe est noté soit de façon multiplicative (on
écrit $xy$ au lieu de $x\star y$ et $1$ au lieu de $e$, et dans ce cas
on note $x^m$ l'élément $x\star x\star \cdots x$ avec $m$ fois $x$ et
$x^{-1}$ l'inverse de $x$), soit de façon additive (on écrit $x+y$ au
lieu de $x\star y$ et $0$ au lieu de $e$, et dans ce cas on note $mx$
l'élément $x + x + + \cdots + x$ avec $m$ fois $x$, et $-x$ l'inverse,
alors appelé opposé, de $x$).  Très souvent on utilise une de ces deux
notations de façon implicite.  La notation additive est en principe
réservée aux groupes abéliens (mais on n'en rencontrera pas de
non-abéliens dans ce cours).

\smallbreak

Un \textbf{morphisme} de groupe $\psi\colon G \to G'$ est une
application qui préserve la composition ($\psi(xy) = \psi(x)\,
\psi(y)$, le groupe étant noté multiplicativement), et du coup
forcément aussi l'élément neutre ($\psi(1) = 1$).  Un
\textbf{isomorphisme} de groupes est un morphisme bijectif ;
moralement : les groupes $G$ et $G'$ sont abstraitement « le même »
(mais éventuellement notés ou étiquetés différemment).

L'\textbf{ordre d'un groupe} est simplement son cardinal, lorsque
celui-ci est fini.  L'\textbf{ordre d'un élément} $g$ dans un groupe
fini est le plus petit $m\geq 1$ tel que $g^m = 1$ (en notation
multiplicative ; en notation additive, cela s'écrirait : $mg = 0$,
i.e., un multiple de $g$) ; c'est aussi le nombre de puissances
distinctes (en notation additive : de multiples distincts) de
l'élément $g$.  Évidemment, si $g$ est d'ordre $m$, on a $g^m = 1$
mais aussi $g^{m'} = 1$ pour tout multiple de $m$ !

Un \textbf{sous-groupe} $H$ d'un groupe $G$ est un sous-ensemble de
$G$ qui est lui-même un groupe pour la même opération et le même
élément neutre ; c'est-à-dire, c'est une partie $H$ de $G$ telle que
$1 \in H$ et que $x,y \in H \limp xy \in H$ et que $x \in H \limp
x^{-1} \in H$ (cette dernière partie étant d'ailleurs automatique si
le groupe $G$ est fini).  (Exemple : pour la multiplication, les
nombres réels strictement positifs forment un sous-groupe du groupe
des nombres réels non nuls.)

Le sous-groupe engendré par une partie $E$ d'un groupe $G$ est le plus
petit sous-groupe contenant $E$ (c'est-à-dire l'intersection de tous
les sous-groupes de $G$ contenant $E$).  On utilisera cette notion
seulement dans le cas suivant : le \emph{sous-groupe engendré par un
  unique élément} $g$ de $G$ : c'est l'ensemble des puissances de $g$
(en notation additive : multiples).  L'ordre $m$ de ce sous-groupe est
l'ordre de $g$.  Ce sous-groupe est isomorphe à
$\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$, avec $\bar k \mapsto g^k$.

\smallbreak

\textbf{Théorème de Lagrange :} Dans un groupe fini, l'ordre de tout
sous-groupe divise l'ordre du groupe.  En particulier, l'ordre d'un
élément divise l'ordre du groupe : si $G$ est un groupe fini et $g \in
G$ alors $g^{\#G} = 1$.

%
\subsection{Groupes cycliques}

On dit qu'un groupe fini $G$ est \textbf{cyclique} lorsqu'il existe un
élément $g$ (appelé \emph{générateur} de $G$) tel que tout élément de
$G$ soit de la forme $g^k$ (une puissance de $g$, en notation
multiplicative ; en notation additive, cela s'écrirait : $kg$, i.e.,
un multiple de $g$), autrement dit : le sous-groupe engendré par $g$
est $G$ tout entier.

Le groupe \emph{additif} $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ est cyclique, avec
pour générateur $1$ (mais ce n'est pas le seul possible !
cf. ci-dessous).  Réciproquement, tout groupe cyclique est isomorphe à
$\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$, avec $m$ l'ordre d'un générateur $g$ (qui
est donc aussi l'ordre du groupe et ne dépend pas du générateur).
D'où une autre définition possible : un groupe cyclique $G$ [de
  générateur $g$] est un groupe isomorphe à $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$
[avec $1$ correspondant à $g$].

Les générateurs de $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ (comme groupe additif !)
sont précisément les inversibles de $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ (comme
anneau !).  Attention ! on parlera aussi, plus loin, des générateurs
du groupe \emph{multiplicatif} $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times$ (et
de la question de savoir s'il y en a).

Moralité : $\varphi(m)$ est aussi le nombre d'éléments d'un groupe
cyclique (quelconque) d'ordre $m$ qui en sont un générateur.

%
\subsection{Théorème d'Euler}

Si $m$ est un entier naturel non nul et $a$ un entier premier à $m$,
alors
\[
a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod{m}
\]

Démonstration : l'élément $\bar a \in (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times$
a un ordre qui doit diviser l'ordre du groupe, i.e. $\varphi(m)$.

\textbf{Attention !} ne pas confondre l'ordre (« additif ») d'un
élément du groupe additif $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ et l'ordre
(« multiplicatif ») d'un élément du groupe multiplicatif
$(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times$.  Exemple : quel est l'ordre de $2$
dans $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ ?  (réponse : $7$ car $2+2+2+2+2+2+2 =
0$ dans $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ et qu'on ne trouve pas $0$ avant) ;
et dans $(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z})^\times$ ?  (réponse : $3$ car
$2\times 2\times 2 = 1$ dans $(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z})^\times$ et
qu'on ne trouve pas $1$ avant).

Pour que l'ordre multiplicatif d'un élément $x$ dans
$\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ soit défini, il faut (et il suffit) que cet
élément $x$ soit dans $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times$ (car c'est lui
le groupe multiplicatif), et dans ce cas l'ordre additif vaut
forcément $m$ car $x$ est un générateur du groupe cyclique
$\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$.

\smallbreak

Cas particulier du théorème d'Euler : le « petit théorème de
  Fermat » : si $p$ est premier, alors $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$
lorsque $a$ n'est pas multiple de $p$ ; donc, pour tout entier $a$ on
a
\[
a^p \equiv a \pmod{p}
\]
Ceci fournit une condition \emph{nécessaire} mais non suffisante pour
qu'un nombre soit premier.

%
\subsection{Éléments primitifs}

Soit $m$ un entier naturel non nul.  On dit que $g \in
(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times$ est (un résidu) \textbf{primitif}
(modulo~$m$) lorsqu'il engendre $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times$
(comme groupe abélien multiplicatif) --- ce qui entraîne que
$(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times$ est cyclique.

Autrement dit, $g^{\varphi(m)}=1$ est optimal ($\varphi(m)$ est
exactement l'ordre de $g$).

Exemple : les puissances de $\bar 2$ modulo $9$ sont : $\bar 2,\bar
4,\bar 8,\bar 7,\bar 5,\bar 1$ ; il y en a bien $\varphi(9)=6$ donc
$2$ est primitif modulo $9$.

\smallbreak
\textbf{Attention !} Ne pas confondre :
\begin{itemize}
\item $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ (groupe \emph{additif}, d'élément
neutre $0$) est d'ordre $m$ et est \emph{toujours} cyclique (avec pour
générateurs au moins $1$ et $-1$, et tous les éléments de
$(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times$).
\item $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times$ (groupe \emph{multiplicatif},
d'élément neutre $1$) est d'ordre $\varphi(m)$ et est \emph{parfois}
cyclique (auquel cas ses générateurs s'appellent éléments
\emph{primitifs} et il y en a $\varphi(\varphi(m))$).
\end{itemize}

\medbreak

\textbf{Théorème :}
\begin{itemize}
\item Si $p$ est un nombre premier impair, alors
  $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times$ est cyclique, i.e., il existe des
  éléments primitifs modulo $p$.  (Il en existe exactement
  $\varphi(p-1)$.)
\item Si $p$ est un nombre premier impair et $r\geq 2$, alors
  $(\mathbb{Z}/p^r\mathbb{Z})^\times$ est cyclique, i.e., il existe
  des éléments primitifs modulo $p^r$.  (Il en existe exactement
  $\varphi(p^{r-1}(p-1))$.)  \emph{Mieux} : $g$ est primitif modulo
  $p^r$ si et seulement si il l'est modulo $p^2$.
\item Si $p=2$ et $1\leq r\leq 2$, alors
  $(\mathbb{Z}/2^r\mathbb{Z})^\times$ est trivialement cyclique.
\item Si $p=2$ et $r \geq 3$, alors
  $(\mathbb{Z}/2^r\mathbb{Z})^\times$ \emph{n'est pas} cyclique : il
  est produit d'un groupe cyclique d'ordre $2$ engendré par $-1$ et
  d'un groupe cyclique d'ordre $2^{r-2}$ engendré par $5$ (l'ordre
  maximal possible d'un élément est $2^{r-2}$).
\end{itemize}

%
\section{Polynômes}

\subsection{Définition, structure d'anneau et degré}

Soit $k$ un anneau commutatif quelconque, typiquement un corps
(exemples importants : $\mathbb{F}_p = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ ou bien
$\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$).

Un \textbf{polynôme} en $t$ à coefficients dans $k$ est une somme
formelle $f = a_0 + a_1 t + a_2 t^2 + \cdots$ avec $a_i \in k$ où
\emph{seul un nombre fini} des $a_i$ est non nul (sinon on parle de
\textbf{série formelle}).

\textbf{Opérations :}
\begin{itemize}
\item Addition : terme à terme ($c_i = a_i+b_i$).
\item Multiplication : « produit de Cauchy » en développant
formellement ($c_i = \sum_{j=0}^{j=i} a_j b_{i-j}$).
\end{itemize}

Si $k$ est un anneau commutatif, alors $k[t]$ aussi.

\textbf{Degré} d'un polynôme : $\deg f =$ le plus grand $i$ tel que
$a_i \neq 0$ (le degré du polynôme nul est question de convention).
On peut donc écrire un polynôme de degré $\leq N$ comme $a_0 + \cdots
+ a_N t^N$ ; si $a_N = 1$ on dit que $f$ est \textbf{unitaire}.

\textbf{Propriétés} du degré :
\begin{itemize}
\item $\deg (f+g) \leq \max(\deg f, \deg g)$ (avec égalité si $\deg f
\neq \deg g$)
\item $\deg (fg) = \deg f + \deg g$ (dès que $k$ est \emph{intègre},
  en particulier sur un corps)
\end{itemize}

Si $k$ est un anneau commutatif intègre, alors $k[t]$ aussi.

Attention, $k[t]$ n'est jamais un corps !  (Car $t$ n'a pas d'inverse
pour la multiplication.)

\medbreak

À souligner : \emph{analogie} importante entre les polyômes, notamment
dans $\mathbb{F}_p[t]$, et l'écriture en base $p$ des entiers.
Différence importante : pas de retenue pour les polynômes.

Complexité des opérations : cf. entiers.

%
\subsection{Opérations spécifiques aux polynômes}

\textbf{Évaluation} de polynômes : si $f = a_0 + \cdots + a_N t^N$ et
$x$ est dans $k$ ou $k[t]$ (ou plus généralement une « $k$-algèbre »),
on définit $f(x) = a_0 + \cdots + a_N x^N$.

Cas particulier : \textbf{composition} : si $g \in k[t]$, on note
$f\circ g$ plutôt que $f(g)$.

\medbreak
\textbf{Racines :} si $f(x) = 0$ avec $x \in k$, on dit que $x$ est
une \emph{racine} du polynôme $f$.

\textbf{Attention :} On peut très bien avoir $f(x) = 0$ pour tout $x
\in k$ sans pour autant que $f$ soit nul (e.g., $f = t^p - t$ dans
$\mathbb{F}_p[t]$).

(Mais on va voir que si $k$ est un corps, le nombre de racines de $f$
dans $k$ est inférieur ou égal au degré de $f$.)

\medbreak
\textbf{Dérivée :} si $f = a_0 + a_1 t + \cdots + a_N t^N$ alors $f' =
a_1 + 2 a_2 t + \cdots + N a_N t^{N-1}$.

\textbf{Attention :} On peut avoir $f'=0$ sans avoir $f$ constant
(e.g., $f = t^p$ dans $\mathbb{F}_p[t]$).

\textbf{Dérivées successives :} $f^{(i+1)} = (f^{(i)})'$ pour $i \in
\mathbb{N}$.

%
\subsection{Polynôme interpolateur, formule de Taylor}

Dans cette section, soit $k$ un \emph{corps} et $f \in k[t]$.

\medskip

Soient $a_0,\ldots,a_N
\in k$ deux à deux distincts, où $N \geq \deg f$, et $b_i = f(a_i)$,
alors
\[
f = \sum_{i=0}^N b_i \frac{\prod_{j\neq i}(t-a_j)}{\prod_{j\neq i}(a_i-a_j)}
\]

Permet de reconstruire un polynôme à partir de ses valeurs en
suffisamment de points.

Ceci assure notamment que si $f$ s'annule en $N+1$ points (où $N \geq
\deg f$) alors $f$ est le polynôme nul.

\medbreak

Si $N \geq \deg f$ et $N!$ n'est pas nul dans $k$, alors pour tout
$a\in k$ :
\[
f = f(a) + (t-a)\,f'(a) + \frac{(t-a)^2}{2}\,f''(a) +
\cdots + \frac{(t-a)^N}{N!}\,f^{(N)}(a)
\]

Permet de reconstruire un polynôme à partir de ses dérivées
successives en un point.

%
\subsection{Division euclidienne de polynômes}

Sauf mention du contraire, $k$ est maintenant un \textbf{corps}.

\smallskip

\textbf{Division euclidienne} analogue à celle des entiers :

Si $f\in k[t]$ et $g\in k[t]$ est \emph{non nul},
il existe un unique couple $(q,r)$ tel que :
\begin{itemize}
\item $q \in k[t]$,
\item $r \in k[t]$ est (nul ou) de degré $\deg r < \deg g$ et
\item $f = gq + r$.
\end{itemize}

\medbreak

\textbf{Algorithme « naïf »} de division euclidienne : procéder par
puissances \emph{décroissantes} :

Soit $f = a_N t^N + \cdots + a_0$ et $g = b_D t^D + \cdots + b_0$ où
$b_D \neq 0$ (donc $\deg g = D$) :
\begin{itemize}
\item si $N<D$ on renvoie $q = 0$ et $r = f$ ;
\item sinon, on pose $c = a_N/b_D$, on définit $f^* = f - c t^{N-D}
g$, donc $\deg(f^*) < N$, on applique l'algorithme pour diviser $f^*$
par $g$, soit $f^* = gq^* + r$ et on a $f = gq + r$ où $q = c t^{N-D}
+ q^*$.
\end{itemize}

\smallbreak

\textbf{Cas très important :} Le reste de la division euclidienne de
$f$ par $t-a$ (où $a \in k$ est une constante) est $f(a)$.
(Pourquoi ?)

\smallbreak

\textbf{Exercice :} Effectuer la division euclidienne de $t^7$ par $2
t^3+1$ dans $\mathbb{F}_7[t]$.  (Réponse : $t^7 = (2 t^3+1) (4 t^4 + 5
t) + 2 t$.)

%
\subsection{Arithmétique des polynômes}

Relation de \textbf{divisibilité} : exactement analogue aux entiers.
Dire qu'un polynôme $f$ admet $a$ pour racine signifie exactement que
$t-a$ divise $f$.

Les \textbf{unités} (ou inversibles) de $k[t]$ sont les éléments de
$k^\times$ (polynômes constants non nuls).

Polynômes \textbf{irréductibles} : définition analogue aux nombres
premiers : on dit que $f$ est irréductible lorsque $\deg f \geq 1$ et
qu'il n'existe pas d'écriture $f = gh$ avec $\deg g \geq 1$ et $\deg h
\geq 1$.  On les choisira normalement \emph{unitaires} ; par
convention, $0$ et les constantes ne sont pas irréductibles.  Les
polynômes $t-a$ (unitaires de degré $1$) sont \emph{toujours}
irréductibles.  Lorsque ce sont les seuls, le corps $k$ est dit
\emph{algébriquement clos}.

Le corps $\mathbb{C}$ est algébriquement clos.  Le corps $\mathbb{R}$
ne l'est pas : les polynômes irréductibles sur $\mathbb{R}$ sont les
$t-a$ et les $t^2-bt+c$ où $b^2-4c<0$.  Les corps finis (notamment
$\mathbb{F}_p$ déjà vu) ne sont pas algébriquement clos (« encore
  moins » que $\mathbb{R}$).

\medbreak

\textbf{Décomposition en facteurs irréductibles :} Écriture unique de
tout $f\in k[t]$ non nul comme $c \prod_P P^{v_P(f)}$ où $c \in
k^\times$ est le coefficient dominant de $f$ et $v_P(f)\in \mathbb{N}$
pour tout $P$ irréductible (presque tous nuls).

Cas où $k$ est algébriquement clos : tout $f \in k[t]$ non nul s'écrit
de façon unique comme $c \prod_{a\in k} (t-a)^{v_a(f)}$ où $c \in
k^\times$ est le coefficient dominant de $f$ et $v_a(f)\in \mathbb{N}$
est l'ordre du zéro de $f$ en $a$.

\medbreak

PGCD, algorithme d'Euclide, relations de Bézout, Euclide étendu :
exactement analogue aux entiers.

Attention cependant : de même que le pgcd de deux entiers est choisi
positif par convention, le pgcd de deux polynômes est choisi unitaire
par convention.  Dans l'algorithme d'Euclide, si le reste final est
une \emph{constante} non nulle (pas nécessairement $1$), les polynômes
sont premiers entre eux (par exemple, le pgcd de $t+2$ et $t$ dans
$\mathbb{R}[t]$ est $1$, ces polynômes sont premiers entre eux, même
si le reste de la division de $t+2$ par $t$ est $2$).

%
\subsection{Anneaux $k[t]/(P)$}

Analogues exacts de $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$.  Vision abstraite : on
définit $f\equiv g\pmod{P}$ ssi $P$ divise $f-g$, et on quotiente.
Vision concrète : se ramener à $\deg f < \deg P$ par division
euclidienne après chaque opération.

Les éléments de $k$ se voient comme des éléments de $k[t]/(P)$ (les
constantes).

Élément très important : $\bar t$.  Il vérifie $P(\bar t) = 0$.

Si on sait ce que ça signifie : $k[t]/(P)$ est un espace vectoriel de
dimension $\deg P$ sur $k$.  Si $k$ est fini alors $k[t]/(P)$ est
aussi fini (de cardinal $(\#k)^{\deg P}$).

Théorème chinois : si $P$ et $Q$ sont premiers entre eux, on a
$k[t]/(PQ) \cong (k[t]/(P)) \times (k[t]/(Q))$ (même démonstration que
pour les entiers, avec un petit peu d'algèbre linéaire).

Exemple idiot : $k[t]/(t) \cong k$ (ici, $\bar t = 0$).  En fait,
$k[t]/(t-a) \cong k$ où $\bar t$ devient $a$.  Exemples moins idiot :
$\mathbb{R}[t]/(t^2+1) \cong \mathbb{C}$, et $\mathbb{R}[t]/(t^2-1)
\cong \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ (théorème chinois en utilisant la
factorisation $t^2-1=(t-1)(t+1)$ ; noter que ce n'est pas un corps).

Exercice : dresser les tables de $\mathbb{F}_2[t]/(t^2+t+1)$.

\medskip

\textbf{Important :} $k[t]/(P)$ est un corps \emph{si et seulement si}
$P \in k[t]$ est irréductible.  Lorsque c'est le cas, on l'appelle
\textbf{corps de rupture} de $P$ sur $k$.

%
\section{Corps finis}

\subsection{Sous-corps premier et caractéristique}

Si $\mathbb{F}$ est un corps fini, alors l'ensemble $\{0_{\mathbb{F}},
1_{\mathbb{F}}, 1_{\mathbb{F}}+1_{\mathbb{F}},
1_{\mathbb{F}}+1_{\mathbb{F}}+1_{\mathbb{F}}, \ldots\}$ est fini.  Cet
ensemble a la structure d'un $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ avec $p$
premier : on dit qu'il s'agit du \textbf{(sous-)corps premier}
de $\mathbb{F}$, et que $p$ en est la \textbf{caractéristique}.
Autrement dit, ce $p$ est l'ordre additif de l'élément $1$
de $\mathbb{F}$, et il s'agit toujours d'un nombre premier.

Si $q$ est le cardinal de $\mathbb{F}$, alors $q$ est toujours une
puissance de $p$ (par exemple, si on sait ce que ça signifie, parce
que $\mathbb{F}$ est un espace vectoriel de dimension finie $d$ sur
son corps premier $\mathbb{F}_p$) ; on note typiquement $q = p^d$, et
alors $d$ s'appelle le \textbf{degré} de $\mathbb{F}$ au-dessus de son
corps premier $\mathbb{F}_p$.

En particulier, le nombre d'éléments d'un corps fini est toujours une
puissance $q = p^d$ d'un nombre premier $p$ (il n'y a pas de corps à
$6$ ou $10$ éléments !), et tout corps fini contient un
$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$.

%
\subsection{Petit théorème de Fermat, unicité des corps finis}

Dans un corps $\mathbb{F}$ à $q$ éléments, on a $a^{q-1} = 1$ pour
tout $a \in \mathbb{F}^\times$ (par Lagrange appliqué au groupe
multiplicatif $\mathbb{F}^\times = \mathbb{F} \setminus\{0\}$ qui
a $q-1$ éléments).  On a donc $a^q = a$ pour tout $a \in F$ (« petit
  théorème de Fermat » généralisé aux corps finis).

Ceci peut aussi se dire : le polynôme $t^q - t \in \mathbb{F}[t]$
s'annule en tout point de $\mathbb{F}$ (tout élément de $\mathbb{F}$
en est racine).  Comme il est de degré $q$, on a sa factorisation :
\[
t^q - t = \prod_{a \in \mathbb{F}} (t-a)
\]

Cette factorisation étant valable dans n'importe quel corps $L$ (fini
ou non) contenant $\mathbb{F}$, on voit que $\mathbb{F}$ peut se
définir (dans n'importe quel corps $L$ le contenant) comme l'ensemble
des éléments $x$ vérifiant $x^q = x$ (plus explicitement : le petit
théorème de Fermat signifie que tout élément de $\mathbb{F}$ vérifie
$x^q = x$, mais réciproquement tout élément de $L$ vérifiant cette
équation est automatiquement dans $\mathbb{F}$).

Ceci constitue une forme d'unicité des corps finis : un corps $L$
donné ne peut contenir qu'\emph{au plus un} sous-corps $\mathbb{F}$
ayant $q$ éléments (pour n'importe quel $q$) --- dès qu'il en contient
un, ce corps est complètement déterminé (comme l'ensemble des éléments
vérifiant $x^q = x$).

En particulier, le sous-corps premier $\mathbb{F}_p$ d'un corps fini
$L$ de caractéristique $p$ est $\mathbb{F}_p = \{x\in L : x^p = x\}$.

On admet également l'unicité à isomorphisme près : deux corps finis à
$q$ éléments, pour le même $q$, sont isomorphes.  (C'est-à-dire qu'il
s'agit abstraitement du même objet, mais dont les éléments peuvent
être « nommés » différemment.)

%
\subsection{Morphisme de Frobenius, conjugués d'un élément}

Si $\mathbb{F}$ est un corps fini de caractéristique $p$ alors
l'application $\Frob\colon \mathbb{F}\to \mathbb{F}, x\mapsto x^p$
(parfois notée $\Frob_p$ pour plus de clarté) est appelée
\textbf{(morphisme de) Frobenius} de $\mathbb{F}$ (au-dessus
de $\mathbb{F}_p$).  C'est un morphisme de corps : il vérifie
$\Frob(x+y) = \Frob(x) + \Frob(y)$ et $\Frob(xy) = \Frob(x)\,\Frob(y)$
(le second est évident, et le premier est est vrai car on est en
caractéristique $p$ donc, quand on développe $(x+y)^p$, tous les
coefficients binomiaux intermédiaires sont multiples de $p$ donc
nuls).  C'est aussi une bijection de $\mathbb{F}$ sur lui-même
(c'est-à-dire que $\Frob$ permute les éléments de $\mathbb{F}$, chacun
ayant un unique antécédent ou racine $p$-ième).

En appliquant plusieurs fois successivement le morphisme $\Frob$ à un
élément $x \in \mathbb{F}$ où $\mathbb{F}$ est un corps fini à $q =
p^d$ éléments, on obtient successivement : $x =
\Frob^0(x)\;,\penalty0\;\; \Frob^1(x) = x^p\;,\penalty0\;\; \Frob^2(x)
= (x^p)^p = x^{p^2}\;,\penalty0\;\; \Frob^3(x) = (x^{p^2})^p =
x^{p^3}\;,...\penalty0\;\; \Frob^i(x) = x^{p^i}$.  Ces éléments
$x^{p^i}$ s'appellent les \textbf{conjugués} de $x$ (au-dessus
de $\mathbb{F}_p$).

On a vu plus haut que $x^{p^d} = x$ (c'est le petit théorème de
Fermat), autrement dit, au bout de $d$ applications du Frobenius on
retombe sur l'élément $x$ de départ ; il se peut qu'on retombe sur $d$
plus tôt : le plus petit $r$ tel que $x^{p^r} = x$, qui est aussi le
nombre de conjugués distincts de $x$, s'appelle le \textbf{degré}
de $x$ (au-dessus de $\mathbb{F}_p$), et ce degré $r$ divise $d$
(qu'on a appelé le degré de $\mathbb{F}$).  Tous les conjugués de $x$
ont bien sûr le même degré que $x$.

\bigbreak

\textbf{Attention !} si $\mathbb{F}$ est un corps fini à $q = p^d$
éléments, ne pas confondre les trois choses suivantes :
\begin{itemize}
\item L'ordre additif d'un élément $x$ dans $\mathbb{F}$ (groupe
  additif) : cet ordre vaut toujours $q$ sauf pour $x=0$ (auquel cas
  c'est $1$).
\item L'ordre multiplicatif d'un élément $x \neq 0$ dans
  $\mathbb{F}^\times$ (groupe multiplicatif des éléments non nuls) :
  cet ordre divise $q-1$ puisque le groupe $\mathbb{F}^\times$ est
  d'ordre $q-1$.
\item Le degré $r$ d'un élément $x$ au-dessus de $\mathbb{F}_p$ qu'on
  vient de définir : ce degré divise $d$.
\end{itemize}
Il y a cependant des rapports : par exemple, si $x \neq 0$ est de
degré $r$ alors son ordre multiplicatif divise $p^r - 1$ (car on a
$x^{p^r} = x$ par définition de $r$, donc $x^{p^r - 1} = 1$) ;
notamment, si $x$ est d'ordre $q - 1 = p^d - 1$ (on va voir qu'il
existe de tels éléments) alors $x$ est de degré $d$ (mais la
réciproque n'est pas vraie).

%
\subsection{Existence et inclusions des corps finis}

Pour tout nombre premier $p$ et tout $d \geq 1$, il existe un corps à
$q = p^d$ éléments, qu'on peut noter $\mathbb{F}_q$.  On peut le voir
comme $\mathbb{F}_q \cong \mathbb{F}_p[t]/(f)$ pour un certain
polynôme $f \in \mathbb{F}_p[t]$ irréductible de degré $d$
(l'affirmation est qu'il en existe !).

\smallbreak

Si $q = p^d$ et $q' = p^{\prime d'}$, alors $\mathbb{F}_q$ est contenu
dans $\mathbb{F}_{q'}$ (plus proprement : $\mathbb{F}_{q'}$ contient
un sous-corps ayant $q$ éléments) si et seulement si : (1) $p=p'$ et
(2) $d|d'$.  Cela équivaut encore à : $q'$ est une puissance de $q$.
(Exemple : $\mathbb{F}_4$ est contenu dans $\mathbb{F}_{16}$ mais pas
dans $\mathbb{F}_8$.)

%
\subsection{Test de Rabin, factorisation de $t^{p^d}-t$}

\textbf{Test d'irréductibilité de Rabin :} Étant donné $f \in
\mathbb{F}_p[t]$ de degré $d$, il est irréductible si et seulement si
les deux conditions suivantes sont vérifiées :
\begin{itemize}
\item[(a)] $f$ divise $t^{p^d}-t$, et
\item[(b)] $f$ est premier avec $t^{p^e}-t$ pour tout diviseur strict
  $e$ de $d$ (en fait, on peut se contenter de tester pour les
  diviseurs \emph{immédiats}, c'est-à-dire les $e = d/\ell$ avec
  $\ell$ premier).
\end{itemize}
(Remarque : la condition (a) s'écrit $t^{p^d}\equiv t \pmod{f}$, et
pour la vérifier on applique un algorithme d'exponentiation
rapide\footnote{Par exemple, dans ce cas, tout simplement élever $d$
  fois successivement à la puissance $q$.} pour calculer $\bar
t^{p^d}$ dans $\mathbb{F}_p[t]/(f)$.  De même, la condition (b) se
teste avec l'algorithme d'Euclide en commençant par calculer $t^{q^e}$
modulo $f$.)

\smallskip

Exercice : Vérifier que $f = t^4 + t + 1$ est irréductible dans
$\mathbb{F}_2[t]$.  (On a $t^4 \equiv t+1 \pmod{f}$ donc $t^8 \equiv
t^2+1$ donc $t^{16} \equiv t^4 + 1 \equiv t$ donc le premier critère
est vérifié.  Pour le second, $t^4-t \equiv 1 \pmod{f}$ donc
l'algorithme d'Euclide termine immédiatement et $t^4-t$ et $f$ sont
bien irréductibles.)  Vérifier que $g = t^4 + t^3 + 1$ est
irréductible dans $\mathbb{F}_2[t]$.  (On a $t^4 \equiv t^3+1
\pmod{g}$ donc $t^8 \equiv t^6+1 \equiv t^3+t^2+t$ donc $t^{16} \equiv
t^6+t^4+t^2 \equiv t$ donc le premier critère est vérifié.  Pour le
second, $t^4-t \equiv t^3+t+1 \pmod{g}$ puis $g = t^4+t^3+1 \equiv t^2
\pmod{t^3+t+1}$ et enfin $t^3+t+1 \equiv 1 \pmod{t^2}$ donc $t^4-t$ et
$g$ sont bien irréductibles.)

\medbreak

Le nombre de polynômes unitaires irréductibles de degré $d$ dans
$\mathbb{F}_p[t]$ vaut approximativement $\frac{1}{d} p^d$ (plus
exactement, c'est $\frac{1}{d} p^d + O(p^{d/2})$ lorsque $d \to
+\infty$).  Ceci signifie que parmi les $p^d$ polynômes unitaires de
degré $d$ sur $\mathbb{F}_p$, il y en a une proportion d'environ
$\frac{1}{d}$ qui sont irréductibles.

Ainsi, pour générer un polynôme irréductible, il est raisonnable de
tirer un polynôme (unitaire) au hasard, et de tester son
irréductibilité, et de recommencer jusqu'à obtenir un irréductible.

\medbreak

On a vu plus haut que sur le corps $\mathbb{F}_q$ (lorsque $q = p^d$),
le polynôme $t^q - t$ se factorise en irréductibles comme $t^q - t =
\prod_{a \in \mathbb{F}_q} (t-a)$.  Il est utile de savoir que sur
$\mathbb{F}_p$, ce même polynôme se factorise comme le produit de
\emph{tous} les polynômes unitaires irréductibles dont le degré $r$
divise $d$ (plus précisément, chaque polynôme unitaire irréductible
$f$ de degré $r$ sur $\mathbb{F}_p$ devient, quand on le regarde sur
$\mathbb{F}_q$, le produit des $(t-a)$ pour les $r$ conjugués $a$ d'un
élément de degré $r$).  Ce fait peut servir à dénombrer de façon
précise les polynômes unitaires irréductibles de n'importe quel degré
sur $\mathbb{F}_p$.

\medbreak

\textbf{Note :} Contrairement à la situation dans les entiers, on peut
effectuer efficacement la factorisation des polynômes sur les corps
finis.

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\subsection{Éléments primitifs}

\textbf{Théorème :} Le groupe multiplicatif d'un corps fini est
cyclique.

Autrement dit, si $\mathbb{F}$ est un corps fini, il existe des
éléments $g$, dits \textbf{primitifs}, qui engendrent le groupe
multiplicatif $\mathbb{F}^\times$ des éléments non nuls
de $\mathbb{F}$, c'est-à-dire tels que tout élément non nul de
$\mathbb{F}$ soit une puissance de $g$.

Le nombre d'éléments primitifs est bien sûr $\varphi(q-1)$ (puisque,
une fois qu'on sait que $\mathbb{F}^\times$ est cyclique, comme il est
d'ordre $q-1$, le nombre d'éléments qui l'engendrent est connu).

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\end{document}