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% A tribute to the worthy AMS:
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\refstepcounter{comcnt}\smallbreak\noindent\textbf{\thecomcnt.} }
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\begin{document}
\title{Rappels maths pour crypto}
\author{David A. Madore}
\maketitle
{\footnotesize
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\section{Entiers}

\subsection{L'anneau des entiers}

$\mathbb{Z}=\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\}$ ensemble des
entiers relatifs.  Sous-ensemble $\mathbb{N}$.

Opérations : $+$, $\times$.

Rappeler : $(\mathbb{Z},0,+)$ est un groupe abélien,
$(\mathbb{Z},0,+,1,\times)$ est un anneau commutatif.

Mieux : anneau intègre (si $uv=0$ alors $u=0$ ou $v=0$).

Éléments inversibles : $1$ et $-1$.

Relation d'ordre...

%
\subsection{Écriture $b$-adique}

Si $b\geq 2$ est un entier naturel, tout entier naturel $A$ s'écrit de
façon unique $A = \sum_{i=0}^{+\infty} a_i b^i$ avec $0\leq a_i<b$
entiers naturels « presque tous nuls » (expliquer).

Écriture usuelle : $b=10$.  Informatique : $b=2$.  Un nombre « de $n$
bits » signifie : inférieur à $2^n$.

Multiplier par $b$ revient à décaler tous les chiffres d'un cran vers
la gauche.

On passe pour l'instant sur l'écriture des nombres négatifs.

%
\subsection{Remarques sur la complexité des opérations}

Addition de nombres de $n$ bits : algorithme naïf en $O(n)$.

Multiplication : plus compliqué.

Algorithme naïf en $O(n^2)$.

\emph{Multiplication de Karatsuba} : utilise récursivement
l'identité ${(a_1 w + a_0)} \penalty0 {(b_1 w + b_0)} = a_1 b_1 w^2 +
[(a_1+a_0)(b_1+b_0)-a_1 b_1-a_0 b_0] w + a_0 b_0$ pour une complexité
en $O(n^{\frac{\log 3}{\log 2}})$ (soit $O(n^{1.58\ldots})$).  Facile
à implémenter.

\emph{Multiplication de Strassen} : par transformée de Fourier
rapide, complexité en $O(n\,\log^2 n)$, difficile à implémenter.
Amélioration de Schönhage : $O(n\,\log n\,\log\log n)$ ---
complètement théorique.

%
\subsection{Divisiblité (exacte)}

Définition.  Terminologie « diviseur de », « multiple de ».  Relation
réflexive, transitive.  Pas tout à fait antisymétrique (mais vrai dans
les entiers naturels).

Note : Les entiers $1$ et $-1$ divisent tous les entiers.  L'entier
$0$ est divisible par tous les entiers.

%
\subsection{Nombres premiers}

Un \textbf{nombre premier} $p$ est un entier (par convention :
positif) divisible seulement par $1$, $-1$, lui-même et son opposé ;
mais par convention, $1$ et $-1$ (et $0$...) ne sont pas premiers.

Les premiers nombres premiers sont donc : $2$, $3$, $5$, $7$, $11$,
$13$, $17$, $19$, $23$, $29$, $31$, $37$, $41$, $43$, $47$, $53$,
$59$, $61$, $67$, $71$, $73$, $79$, $83$, $89$, $97$...

\medbreak

Sur leur répartition :

Il y en a une infinité (Euclide).

Pour tout $x>1$, il y a toujours un nombre premier $p$ tel que
$x < p < 2x$ (\v Ceby\v sëv : « postulat de Bertrand »).

Le nombre $\pi(x)$ de nombres premiers $\leq x$ est équivalent à
$\frac{x}{\ln x}$ lorsque $x\to +\infty$ (Hadamard \& de la Vallée
Poussin : « théorème des nombres premiers »).  Moralement : la
probabilité qu'un nombre de $n$ bits aléatoire soit premier est
environ $\frac{1}{n\,\ln 2}$.

Beaucoup de questions ouvertes.  Par exemple : Conjecture des nombres
premiers jumeaux : existe-t-il une infinité de nombres premiers $p$
tels que $p+2$ soit aussi premier (tels que $3$, $5$, $11$, $17$,
$29$, $41$, $59$, $71$...) ?

\smallbreak

\textbf{Lemme de Gauß :} pour $p$ premier, si $p$ divise $ab$ alors
$p$ divise $a$ ou $p$ divise $b$.

%
\subsection{Décomposition en facteurs premiers}

Pour tout entier $n$ \emph{non nul}, il existe une écriture
\emph{unique} (à l'ordre près) de $n$ comme produit d'une \emph{unité}
($1$ ou $-1$) et de nombres premiers : en regroupant les facteurs
premiers $p$,
\[
n = u\, 2^{v_2(n)} \, 3^{v_3(n)} \cdots p^{v_p(n)}\cdots
\]

Ici, $v_p(n)$ (un entier naturel) est l'exposant de la plus grande
puissance de $p$ qui divise $n$ : on l'appelle \emph{valuation
$p$-adique} de $n$.  Presque tous ces nombres sont nuls, ce qui permet
de donner un sens au produit infini.  Dire que $b|a$ signifie $v_p(b)
\leq v_p(a)$ pour tout $p$.

Quant à $u$, c'est simplement le signe de $n$.

%
\subsection{Remarques sur la complexité}

Toujours pour des nombres de $n$ bits.

\textbf{Tests de primalité :} \emph{polynomiaux}.  Un test polynomial
\emph{déterministe} est connu depuis seulement récemment
(Agrawal-Kayal-Saxena), démontrablement en $O(n^{12})$, sans doute
meilleur ($O(n^3)$ ?).  En pratique, des tests probabilistes sont
suffisants et plus efficaces (p.e., Miller-Rabin « pratiquement » en
$O(n^2)$) éventuellement complétés par des certificats de primalité
(p.e., test d'Atkin).

\textbf{Algorithmes de factorisation :} \emph{lents}.  Font appel à
des résultats difficiles de théorie algébrique et analytique des
nombres.  La meilleure méthode connue (« méthode du crible général de
corps de nombres ») a une complexité « attendue » (et heuristique) en
$O(e^{n^{1/3}\,(\log n)^{2/3}\,(\textrm{cte}+o(1))})$ (avec
$\textrm{cte} \approx 2$).

On ne pourra donc pas envisager d'utiliser la décomposition en
facteurs premiers pour calculer les pgcd.

%
\subsection{Valuation $p$-adique}

Si $n$ est un entier et $p$ un nombre premier, $v_p(n)$ est l'exposant
de la plus grande puissance de $p$ qui divise $n$.  Si $a/b$ est un
rationnel, on pose $v_p(a/b) = v_p(a)-v_p(b)$ (ne dépend pas de la
représentation $a/b$ choisie).  Par convention, $v_p(0) = +\infty$.

Quelle est la valuation $2$-adique de $192$ ?  $3$-adique ?
$5$-adique ?  Quelles sont les valuations $p$-adiques de
$-\frac{24}{11}$, pour tous les $p$ possibles ?

Propriétés de $v_p$ : produit (cf. lemme de Gauß), inégalité sur la
somme (et cas d'égalité)...  Dire que $x \in \mathbb{Q}$ est entier
signifie exactement $v_p(x) \geq 0$ pour tout $p$.

%
\subsection{Division euclidienne}

Si $a$ est un entier relatif et $b$ un entier naturel \emph{non nul},
il existe un unique couple $(q,r)$ tel que :
\begin{itemize}
\item $q$ est un entier relatif,
\item $r$ est un entier naturel tel que $0\leq r<b$, et
\item $a = bq + r$.
\end{itemize}
On dit que $q$ est le \emph{quotient} et $r$ le \emph{reste} de la
\textbf{division euclidienne} de $a$ par $b$.  (On appelle aussi $a$
le \emph{dividende} et $b$ le \emph{diviseur}.)

Si $b\geq 2$, dans l'écriture $b$-adique de $a$, le dernier chiffre
($a_0$ avec les notations précédentes) est égal au reste $r$ de la
division euclidienne de $a$ par $b$.

Dire que $r=0$ signifie exactement que $b$ divise $a$ (la division
euclidienne est alors \emph{exacte}).

\medbreak

\textbf{Algorithme naïf :} (celui de l'école primaire) en $O(n^2)$.

\textbf{Algorithme sophistiqué :} en $O(n\,\log n\,\log\log n)$ avec
Schönhage-Strassen + méthode de Newton (+ subtilités).

Méthode de Newton : on inverse $b$ (en précision fixe) en itérant $x
\leftarrow 2x - bx^2$.

Souvent implémentée \textbf{en matériel} pour certaines tailles
d'entiers (p. ex., division entière de 128 bits par 64 bits).

%
\subsection{PGCD}

Si $m_1,\ldots,m_\ell$ sont des entiers, on dit qu'un entier $c$ est
un \textbf{plus grand commun diviseur} (en abrégé : \emph{pgcd}) des
$m_i$ lorsque :
\begin{itemize}
\item $c$ divise chaque $m_i$ (i.e, $c$ est un diviseur commun
  des $m_i$), et
\item tout entier $d$ qui divise chaque $m_i$ (i.e., tout diviseur
  commun des $m_i$) divise aussi $c$.
\end{itemize}
En principe, le pgcd des $m_i$ est défini au signe près (si $c$ est un
pgcd des $m_i$ alors $-c$ l'est aussi) : en imposant qu'il soit
positif il devient unique et on parle alors \emph{du} pgcd des $m_i$.

Exemple : le pgcd de $6$ et $10$ est $2$ ; le pgcd de
  $6$, $10$ et $15$ est $1$.

\medbreak

Le pgcd \emph{existe} toujours : on peut le trouver à partir de la
décomposition en facteurs premiers par
\[
v_p(\pgcd(m_1,\ldots,m_\ell)) = \min(v_p(m_1),\ldots,v_p(m_\ell))
\]
(pour tout nombre premier $p$).  Mais ce n'est pas une méthode
efficace de calcul !

\textbf{Notation :} Parfois $m_1\wedge \cdots \wedge m_\ell$, mais
cette notation peut être utilisée pour d'autres sortes de bornes inf.
Certains textes anglais utilisent $(m,m')$ pour le pgcd de deux
entiers.  La notation $\pgcd(\cdots)$ est évidemment la plus claire.

\medbreak

\textbf{Quelques propriétés :}
\begin{itemize}
\item le pgcd d'un seul entier $m$ est lui-même (et le pgcd de zéro
entiers est $0$),
\item le pgcd est associatif (par exemple\\
  $\pgcd(m_1,m_2,m_3) = \pgcd(\pgcd(m_1,m_2),m_3)$),
\item le produit est distributif sur le pgcd\\
  ($\pgcd(cm_1,\ldots,cm_\ell) = |c|\,\pgcd(m_1,\ldots,m_\ell)$),
\item on peut toujours effacer des $0$ d'un pgcd,
\item dès qu'un des entiers est $1$ ou $-1$, le pgcd est $1$,
\item le pgcd d'une famille infinie se définit sans difficulté.
\end{itemize}

%
\subsection{Entiers premiers entre eux}

Lorsque $\pgcd(m_1,\ldots,m_\ell)=1$, on dit que les $m_i$ sont
\textbf{premiers entre eux} \emph{dans leur ensemble}.

Lorsque $\pgcd(m_i,m_j)=1$ pour tous $i\neq j$, on dit que les $m_i$
sont premiers entre eux \emph{deux à deux}.

\textbf{Lemme de Gauß amélioré :} Si $m$ et $n$ sont premiers entre
eux, être multiple de $m$ et de $n$ équivaut à être multiple de $mn$.

\textbf{Dirichlet :} La probabilité pour que deux entiers « tirés au
  hasard » soient premiers entre eux est $\frac{6}{\pi^2}$.

%
\subsection{PPCM}

Définition analogue au PGCD.  Exemple : le ppcm de $6$ et $10$
est $30$ ; le ppcm de $6$, $10$ et $15$ est aussi $30$.  Lien avec la
DFP (pour un nombre fini d'entiers).  Le ppcm d'une famille infinie
d'entiers est défini, mais parfois surprenant (quel est le PPCM de
tous les nombres premiers ?).

%
\subsection{Relation de Bézout}

Si $a$ et $b$ sont premiers entre eux (c'est-à-dire $\pgcd(a,b) = 1$)
il existe des entiers $u$ et $v$ tels que $au + bv = 1$ (on verra
pourquoi plus loin) : on appelle cette égalité une \textbf{relation de
  Bézout}\footnote{Étienne Bézout (1730--1783), avec un accent aigu.}
entre $a$ et $b$.

Réciproquement, l'existence d'une relation de Bézout entre $a$ et $b$
implique que $a$ et $b$ sont premiers entre eux (et alors les
coefficients, $u$ et $v$, sont aussi premiers entre eux).  En effet,
tout diviseur commun de $a$ et $b$ doit diviser $au+bv$.

Exemple : $42\times 38 - 55 \times 29 = 1$ constitue une relation de
Bézout entre $42$ et $55$.  On verra plus loin comment obtenir une
relation de Bézout.

Naturellement, ajouter $b$ à $u$ et $-a$ à $v$ donne une nouvelle
relation de Bézout entre $a$ et $b$.  Donc il n'y a pas unicité.

Si $au + bv = \pm 1$ on dit parfois que les rationnels $a/b$ et $-v/u$
(écrits sous forme irréductible) sont \emph{adjacents}.

\medbreak

Plus généralement, si $\pgcd(a,b) = d$, on peut trouver $u$ et $v$
tels que $au+bv = d$.

%
\subsection{Algorithme d'Euclide}

Soit à calculer le pgcd de deux entiers $a$ et $b$.
\textbf{L'algorithme d'Euclide} pour ce faire est le suivant :
\begin{itemize}
\item Initialiser : $(m,n) \leftarrow (|a|,|b|)$.
\item Tant que $n\neq 0$, répéter :
\begin{itemize}
\item Faire $(m,n) \leftarrow (n,r)$ où $r$ est le reste de la division
  euclidienne $m=nq+r$ de $m$ par $n$.
\end{itemize}
\item Renvoyer $m$ (le pgcd recherché).
\end{itemize}

\smallskip
\textbf{Invariant :} $\pgcd(m,n) = \pgcd(a,b)$ (constant)

\medbreak
Exemple : soit à calculer le pgcd de $a=98$ et
$b=77$ :
\begin{itemize}
\item $(m,n)=(98,77)$ ; division euclidienne $98 = 77\times 1 + 21$ ;
\item $(m,n)=(77,21)$ ; division euclidienne $77 = 21\times 3 + 14$ ;
\item $(m,n)=(21,14)$ ; division euclidienne $21 = 14\times 1 + 7$ ;
\item $(m,n)=(14,7)$ ; division euclidienne $14 = 7\times 2 + 0$ ;
\item $(m,n)=(7,0)$ ; on renvoie $7$.
\end{itemize}

\medbreak
\textbf{Algorithme d'Euclide « étendu »} : L'idée est
de « remonter » les coefficients dans l'algorithme d'Euclide : la
dernière division $m=nq+1$ donne une relation $1 = m-nq$ puis on
remplace $n$ (qui est lui-même un reste de division euclidienne) et
ainsi de suite jusqu'à trouver une relation entre les entiers $a$ et
$b$ de départ.

En mémoire constante, cela donne :

Soit à calculer une relation de Bézout entre deux entiers $a$ et $b$
(premiers entre eux) :
\begin{itemize}
\item $(m,n,u,v,u',v') \leftarrow (|a|,|b|,\signe(a),0,0,\signe(b))$.
\item Tant que $n\neq 0$, répéter :
\begin{itemize}
\item Division euclidienne de $m$ par $n$ : soit $m =
nq+r$.
\item Remplacer $(m,n,u,v,u',v') \leftarrow (n,r,u',v',u-qu',v-qv')$.
\end{itemize}
\item Vérifier $m=1$ (le pgcd est bien $1$).
\item Les coefficients recherchés sont $u$ et $v$ (on a $au+bv = 1$).
\end{itemize}

\textbf{Invariants :} $au+bv=m$ et $au'+bv'=n$.

%
\subsection{Exercices}

\thingy Montrer que si $a, b \in \mathbb{Z}$ vérifient $a^2 = 2b^2$
alors $a=b=0$.  Comment interpréter ce résultat sur le
nombre $\sqrt{2}$ ?

\thingy Montrer que, si $n \geq 2$ alors $\sum_{i=1}^n \frac{1}{i}$
n'est pas un entier.  (Indication : montrer que sa valuation
$2$-adique est strictement négative ; ou bien : montrer que sa
valuation $p$-adique vaut $-1$ avec $p$ le plus grand nombre premier
inférieur à $n$, en utilisant le postulat de Bertrand.)

\thingy Montrer que, pour tout $p$ premier et $n$ entier naturel,
$v_p(n!) = \sum_{i=i}^{+\infty} \lfloor\frac{n}{p^i}\rfloor$ (où
$\lfloor\cdot\rfloor$ désigne la partie entière.

\thingy Montrer que pour $a, b$ entiers, on a $\pgcd(a,b)\, \ppcm(a,b)
= ab$.

\thingy On définit par récurrence les nombres de Fibonacci : $F_0 =
0$, $F_1 = 1$ et $F_{n+1} = F_n + F_{n-1}$.  Écrire une relation de
Bézout entre $F_8$ et $F_9$.  Montrer que $F_n$ et $F_{n+1}$ sont
premiers entre eux pour tout $n$.

%
\section{Congruences et entiers modulaires}

\subsection{Congruence}

Soit $m$ un entier fixé pour le moment :

Si $x$ et $x'$ sont entiers, on dit que $x$ et $x'$ sont
\textbf{congrus} modulo $m$, noté $x \equiv x' \pmod{m}$, lorsque
$x-x'$ est multiple de $m$.  Relation réflexive, symétrique,
transitive.

Compatibilité avec les opérations : (à $m$ fixé,) si $x\equiv x'$ et
$y \equiv y'$ alors $x+y \equiv x'+y'$ et $xy \equiv x'y'$.  À $m$
variable : si $m|m'$ alors $x \equiv x' \pmod{m'}$ implique $x\equiv
x' \pmod{m}$ (la congruence modulo $m'$ est \emph{plus fine} que
modulo $m$).

Représentants : si $m \geq 1$ alors chaque entier est congru
modulo $m$ à l'un des nombres $0,1,2,\ldots,(m-1)$ (le reste de sa
division euclidienne par $m$ !).

Exemple de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ avec pair=$\bar 0$ et impair=$\bar
1$.

On veut définir $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z} = \{\bar 0, \bar 1, \bar 2,
\ldots, \overline{m-1}\}$ de façon analogue : pour ajouter $\bar x$ et
$\bar y$, on consière $\bar x + \bar y = \overline{x+y}$ et $\bar x\,
\bar y = \overline{xy}$.  Reste à savoir ce que la barre veut dire !

%
\subsection{Généralité sur les quotients}

Généralité : soit $E$ un ensemble et $\sim$ une relation d'équivalence
(i.e., réflexive, symétrique, transitive) sur $E$, on appelle
$E/{\sim}$ l'ensemble des classes d'équivalence de $E$ modulo $\sim$
(la classe d'équivalence d'un élément $x\in E$ est l'ensemble des
éléments $x'\in E$ tels que $x\sim x'$).  On note $\pi \colon E \to
(E/{\sim})$ la fonction qui envoie $x\in E$ sur sa classe
d'équivalence $\pi(x) = \bar x$.  Ainsi : $\pi(x) = \pi(x')$ ssi $x
\sim x'$.  (Moralement : on a transformé la relation d'équivalence
$\sim$ en une vraie égalité.)

Si on a sur $E$ une opération binaire, disons, $\tee$, telle que $x
\sim x'$ et $y \sim y'$ impliquent $(x\tee x') \sim (y\tee y')$ (on
dit que $\sim$ est \emph{compatible} avec l'opération $\tee$), alors
on peut définir une opération binaire $\mathbin{\bar\top}$ sur
$E/{\sim}$ par $\pi(x) \mathbin{\bar\top} \pi(x') = \pi(x\tee x')$.

L'application $\pi\colon E \to (E/{\sim})$ préserve alors l'opération
$\tee$ et on dit qu'il s'agit d'un \emph{morphisme} (d'ensembles munis
d'une opération binaire $\tee$).

%
\subsection{Calculs dans $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$}

Vision concrète de $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ pour $m\geq 1$ : on
travaille avec les nombres $0,\ldots,m-1$ (qui sont des
\emph{représentants} arbitraires des $m$ classes de congruences
modulo $m$).  Les opérations sont faites dans les entiers mais ensuite
on se ramène à une classe représentée par un entier entre $0$ et $m-1$
en effectuant une division euclidienne par $m$.

Exemple : si $m=10$, on a $\bar 8 + \bar 5 = \bar 3$ et $\bar 8 \times
\bar 5 = \bar 0$.

(Note : en fait, pour l'addition, il suffit de soustraire
éventuellement $m$ si le résultat l'excède : pas besoin de faire une
vraie division euclidienne.)

Les ordinateurs travaillent naturellement dans
$\mathbb{Z}/2^r\mathbb{Z}$ avec $r$ valant typiquement $16$, $32$ ou
$64$.

Note importante : Le choix des représentants $0,\ldots,m-1$ est
arbitraire : on pourrait tout aussi bien choisir $1,\ldots,m$ ou bien
$-\lfloor\frac{m-1}{2}\rfloor,\ldots,\lfloor\frac{m}{2}\rfloor$ (ou
encore des choses tout à fait arbitraires).

\medbreak

Et si $m\leq 1$ ?
\begin{itemize}
\item On a $\mathbb{Z}/1\mathbb{Z} = \{\bar 0\}$, et les opérations
  sont triviales ($\bar 0 + \bar 0 = \bar 0$ et $\bar 0 \times \bar 0
  = \bar 0$).
\item On a $\mathbb{Z}/0\mathbb{Z} = \mathbb{Z}$.
\item Si $m<0$ alors $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z} =
  \mathbb{Z}/(-m)\mathbb{Z}$.
\end{itemize}

En général quand on parle de $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ on sous-entend
$m\geq 1$, parfois même $m \geq 2$ !

%
\subsection{Premières propriétés de $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$}

C'est un anneau commutatif.  Il n'est \emph{pas intègre} en général :
on peut avoir $ab=\bar 0$ dans $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ alors que $a
\neq \bar 0$ et $b \neq \bar 0$ (exemple : $\bar 2 \times \bar 5 =
\bar 0$ dans $\mathbb{Z}/10\mathbb{Z}$).

Surjection canonique : c'est l'application $\pi\colon \mathbb{Z} \to
\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ qui envoie $x\in\mathbb{Z}$ sur sa classe de
congruence modulo $m$.  C'est un \emph{morphisme d'anneaux}, i.e., il
préserve l'addition et la multiplication et envoie $0$ et $1$ sur
$\bar 0$ et $\bar 1$.

Si $m|m'$, il y a une application naturelle $\mathbb{Z}/m'\mathbb{Z}
\to \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ car les classes modulo $m'$ sont plus
fines que modulo $m$.  (Exemple : connaître la congruence modulo $4$
permet de connaître la congruence modulo $2$.)  C'est également un
morphisme d'anneaux.

%
\subsection{Inversibles de $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$}

Si $a$ et $m$ sont premiers entre eux, alors on sait qu'on peut
trouver une relation de Bézout $au + mv = 1$.  On a alors $\bar a \bar
u = \bar 1$ : on dit que $\bar a$ est \emph{(multiplicativement)
  inversible} dans $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$, ou est une \emph{unité}
de cet anneau.  Réciproquement, si on peut trouver $\bar u$ tel que
$\bar a \bar u = \bar 1$, alors $a$ est premier à $m$.

On appelle $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times$ l'ensemble des
inversibles multiplicatifs de $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$.  C'est un
groupe pour la multiplication (plus généralement, dans tout anneau
commutatif $A$, l'ensemble des inversibles/unités de $A$ forme un
groupe noté $A^\times$).

Si $\bar a$ est inversible dans $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$, on pourra
noter $\bar a^{-1}$ son inverse (qui est évidemment de nouveau
inversible...).  On le calcule à partir d'une relation de Bézout.
Attention, il n'est pas évident de relier $\bar a^{-1}$ avec le
rationnel $1/a$ !

Exemple : dans $\mathbb{Z}/10\mathbb{Z}$, les éléments $\bar 1, \bar
3, \bar 7, \bar 9$ sont inversibles, et leurs inverses sont $\bar
1^{-1} = \bar 1, \bar 3^{-1} = \bar 7, \bar 7^{-1} = \bar 3, \bar
9^{-1} = \bar 9$.

On note $\varphi(m)$ le cardinal de
$(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times$ : la fonction $\varphi$ s'appelle
\emph{fonction indicatrice d'Euler} (exemple : $\varphi(10) = 4$).  On
verra plus loin comment la calculer.

Note : on a deux involutions importantes sur
$(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times$ : l'une est $\bar a \mapsto -\bar
a$, et l'autre est $\bar a \mapsto \bar a^{-1}$.  Comme la première
n'a pas de point fixe (pour $m>2$), $\varphi(m)$ est toujours
\emph{pair} (sauf pour $m=2$).

Si $p$ est premier, alors tous les nombres entre $1$ et $p-1$ sont
premiers avec $p$ : $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times = \{\bar
1,\ldots, \overline{p-1}\}$ (et notamment $\varphi(p) = p-1$).  Tous
les éléments de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ sont inversibles sauf $\bar
0$ : on dit que l'anneau $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ est un \emph{corps}
et on le note $\mathbb{F}_p$.

%
\subsection{Théorème chinois}

Si $m$ et $n$ sont deux naturels non nuls \textbf{premiers entre eux},
considérons l'application dont les composantes sont les deux
surjections canoniques :
\[
\mathbb{Z}/(mn)\mathbb{Z} \to (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})
\times (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})
\]

Il s'agit d'un \emph{morphisme d'anneaux} (car les surjections
canoniques en sont !) :
\begin{itemize}
\item il est injectif car un entier multiple de $m$ et de $n$
est multiple de $mn$ (lemme de Gauß),
\item il est surjectif car les cardinaux coïncident ($mn$ au départ et
à l'arrivée),
\end{itemize}
c'est donc un \textbf{isomorphisme}.

Dresser la table d'isomorphisme de $\mathbb{Z}/10\mathbb{Z}$ avec
$(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) \times (\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})$...

%
\subsection{Théorème chinois explicite}

Si on a une relation de Bézout $um+vn=1$, alors l'isomorphisme chinois
a pour réciproque
\[
\begin{array}{c}
(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}) \times (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \to
\mathbb{Z}/(mn)\mathbb{Z}\\
(x,y) \mapsto umy+vnx\\
\end{array}
\]

Exemple : trouver le nombre entre $0$ et $100$ congru à $9$
modulo $11$ et à $3$ modulo $13$.  (Relation de Bézout : $6\times 11 -
5 \times 13 = 1$ ; ensuite, $6 \times 11 \times 3 - 5 \times 13 \times
9 \equiv 5\times 11 - 1\times 13 \equiv 42 \pmod{11\times 13}$.)

\medskip

Plus généralement, connaissant la classe d'un entier modulo
$m_1,\ldots,m_k$, on peut retrouver sa classe modulo
$\ppcm(m_1,\ldots,m_k)$.

%
\subsection{Calcul de l'indicatrice d'Euler}

Si $m$ et $n$ (naturels non nuls) sont premiers entre eux, par le
théorème chinois on a $(\mathbb{Z}/(mn)\mathbb{Z})^\times \cong
(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times \times
(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$, donc
\[
\varphi(mn) = \varphi(m)\,\varphi(n)
\]

Si $p$ est premier alors $\varphi(p^r) = (p-1)\,p^{r-1}$ (car être
premier avec $p^r$ équivaut à être premier à $p$, et c'est le cas de
$p-1$ entiers sur $p$).

On en déduit :
\[
\varphi(n) = n\,\prod_{p|n}\left(1-\frac{1}{p}\right)
\]
où $p$ parcourt les premiers divisant $n$.

\textbf{Algorithmiquement :} \emph{lent} en général (demande de
connaître la d.f.p.).

%
\subsection{Notions de théorie des groupes}

Rappel de la définition d'un groupe (notations multiplicative,
additive).  Morphisme, isomorphisme de groupes.

Ordre d'un groupe = son cardinal.  Ordre d'un élément $g$ dans un
groupe = le plus petit $m\geq 1$ tel que $g^m = 1$ (en notation
multiplicative ; en notation additive, cela s'écrirait : $mg = 0$,
i.e., un multiple de $g$).

Notion de sous-groupe.  Sous-groupe engendré par une partie = plus
petit sous-groupe la contenant.  Sous-groupe engendré par un
élément $g$ : c'est l'ensemble des puissances de $g$ (en notation
additive : multiples).  L'ordre $m$ de ce sous-groupe est l'ordre
de $g$.  Ce sous-groupe est isomorphe à $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$, avec
$\bar 1 \mapsto g$.

\textbf{Théorème de Lagrange :} Dans un groupe fini, l'ordre de tout
sous-groupe divise l'ordre du groupe.  En particulier, l'ordre d'un
élément divise l'ordre du groupe : si $G$ est un groupe fini et $g \in
G$ alors $g^{\#G} = 1$.

%
\subsection{Groupes cycliques}

On dit qu'un groupe fini $G$ est \textbf{cyclique} lorsqu'il existe un
élément $g$ (appelé \emph{générateur} de $G$) tel que tout élément de
$G$ soit de la forme $g^k$ (une puissance de $g$, en notation
multiplicative ; en notation additive, cela s'écrirait : $kg$, i.e.,
un multiple de $g$), autrement dit : le sous-groupe engendré par $g$
est $G$ tout entier.

Le groupe \emph{additif} $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ est cyclique, avec
pour générateur $1$ (mais ce n'est pas le seul possible !
cf. ci-dessous).  Réciproquement, tout groupe cyclique est isomorphe à
$\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$, avec $m$ l'ordre d'un générateur $g$ (qui
est donc aussi l'ordre du groupe et ne dépend pas du générateur).
D'où une autre définition possible : un groupe cyclique $G$ [de
  générateur $g$] est un groupe isomorphe à $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$
[avec $1$ correspondant à $g$].

Les générateurs de $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ (comme groupe additif !)
sont précisément les inversibles de $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ (comme
anneau !).  Démonstration...  Attention ! on parlera aussi, plus loin,
des générateurs du groupe \emph{multiplicatif}
$(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times$ (et de la question de savoir s'il y
en a).

Moralité : $\varphi(m)$ est aussi le nombre d'éléments d'un groupe
cyclique (quelconque) d'ordre $m$ qui en sont un générateur.

%
\subsection{Théorème d'Euler}

Si $m$ est un entier naturel non nul et $a$ un entier premier à $m$,
alors
\[
a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod{m}
\]

Démonstration : l'élément $\bar a \in (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times$
a un ordre qui doit diviser l'ordre du groupe, i.e. $\varphi(m)$.

Attention ! ne pas confondre l'ordre d'un élément du groupe additif
$\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ et l'ordre d'un élément du groupe
multiplicatif $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times$.  Exemple : quel est
l'ordre de $2$ dans $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ ? dans
$(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z})^\times$ ?

Cas particulier : « petit théorème de Fermat » : si $p$ est premier,
alors $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$ lorsque $a$ n'est pas multiple
de $p$ ; donc, pour tout entier $a$ on a
\[
a^p \equiv a \pmod{p}
\]
Ceci fournit une condition \emph{nécessaire} mais non suffisante pour
qu'un nombre soit premier.

%
\subsection{Éléments primitifs}

Soit $m$ un entier naturel non nul.  On dit que $g \in
(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times$ est (un résidu) \textbf{primitif}
(modulo~$m$) lorsqu'il engendre $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times$
(comme groupe abélien multiplicatif) --- ce qui entraîne que
$(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times$ est cyclique.

Autrement dit, $g^{\varphi(m)}=1$ est optimal ($\varphi(m)$ est
exactement l'ordre de $g$).

Exemple : les puissances de $\bar 2$ modulo $9$ sont : $\bar 2,\bar
4,\bar 8,\bar 7,\bar 5,\bar 1$ ; il y en a bien $\varphi(9)=6$ donc
$2$ est primitif modulo $9$.

\smallbreak
\textbf{Attention !} Ne pas confondre :
\begin{itemize}
\item $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ (groupe \emph{additif}, d'élément
neutre $0$) est d'ordre $m$ et est \emph{toujours} cyclique (avec pour
générateurs au moins $1$ et $-1$, et tous les éléments de
$(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times$).
\item $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times$ (groupe \emph{multiplicatif},
d'élément neutre $1$) est d'ordre $\varphi(m)$ et est \emph{parfois}
cyclique (auquel cas ses générateurs s'appellent éléments
\emph{primitifs} et il y en a $\varphi(\varphi(m))$).
\end{itemize}

\medbreak

\textbf{Théorème :}
\begin{itemize}
\item Si $p$ est un nombre premier impair, alors
  $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times$ est cyclique, i.e., il existe des
  éléments primitifs modulo $p$.  (Il en existe exactement
  $\varphi(p-1)$.)
\item Si $p$ est un nombre premier impair et $r\geq 2$, alors
  $(\mathbb{Z}/p^r\mathbb{Z})^\times$ est cyclique, i.e., il existe
  des éléments primitifs modulo $p^r$.  (Il en existe exactement
  $\varphi(p^{r-1}(p-1))$.)  \emph{Mieux} : $g$ est primitif modulo
  $p^r$ si et seulement si il l'est modulo $p^2$.
\item Si $p=2$ et $1\leq r\leq 2$, alors
  $(\mathbb{Z}/2^r\mathbb{Z})^\times$ est trivialement cyclique.
\item Si $p=2$ et $r \geq 3$, alors
  $(\mathbb{Z}/2^r\mathbb{Z})^\times$ \emph{n'est pas} cyclique : il
  est produit d'un groupe cyclique d'ordre $2$ engendré par $-1$ et
  d'un groupe cyclique d'ordre $2^{r-2}$ engendré par $5$ (l'ordre
  maximal possible d'un élément est $2^{r-2}$).
\end{itemize}

%
\subsection{Exercices}

\thingy Que vaut $10^{1000}$ modulo $7$ ?  (Réponse : $4$.)  Que vaut
$10^{1000}$ modulo $6$ ?  (Réponse : $4$.)  Que vaut $10^{10^{1000}}$
modulo $7$ ?  (Réponse : toujours $4$.)

\thingy Quels sont les deux derniers chiffres (en base $10$) de
$2^{1000!}$ ?

\thingy Montrer que pour tout $a\in \mathbb{Z}$ on a $a^{1729} \equiv
a \pmod{1729}$ (indication : $1729 = 7\times 13 \times 19$ ; utiliser
le théorème chinois).

\thingy À quoi est isomorphe le groupe
$(\mathbb{Z}/56\mathbb{Z})^\times$ ?  Quel est le plus grand ordre
possible d'un élément de ce groupe ?

\thingy \textbf{Théorème de Wilson :} $p$ est premier si, et seulement
si, $(p-1)! \equiv -1 \pmod{p}$.

\thingy \textbf{Théorème de Wolstenholme :} si $p\geq 5$ est premier,
le numérateur de
$\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{p-1}$ est
divisible par $p^2$.  (Indications : on pourra regrouper $\frac{1}{k}$
et $\frac{1}{p-k}$, diviser par $p$, et chercher à étudier une
congruence modulo $p$ ; on pourra faire usage du fait que
$1^2+2^2+3^2+\cdots+(p-1)^2 = \frac{1}{6}p(p-1)(2p-1)$.)

%
\section{Polynômes}

\subsection{Définition, structure d'anneau et degré}

Soit $k$ un anneau commutatif quelconque, typiquement un corps
(exemples importants : $\mathbb{F}_p = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ ou bien
$\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$).

Un \textbf{polynôme} en $t$ à coefficients dans $k$ est une somme
formelle $f = a_0 + a_1 t + a_2 t^2 + \cdots$ avec $a_i \in k$ où
\emph{seul un nombre fini} des $a_i$ est non nul (sinon on parle de
\textbf{série formelle}).

\textbf{Opérations :}
\begin{itemize}
\item Addition : terme à terme ($c_i = a_i+b_i$).
\item Multiplication : « produit de Cauchy » en développant
formellement ($c_i = \sum_{j=0}^{j=i} a_j b_{i-j}$).
\end{itemize}

Si $k$ est un anneau commutatif, alors $k[t]$ aussi.

\textbf{Degré} d'un polynôme : $\deg f =$ le plus grand $i$ tel que
$a_i \neq 0$ (le degré du polynôme nul est question de convention).
On peut donc écrire un polynôme de degré $\leq N$ comme $a_0 + \cdots
+ a_N t^N$ ; si $a_N = 1$ on dit que $f$ est \textbf{unitaire}.

\textbf{Propriétés} du degré :
\begin{itemize}
\item $\deg (f+g) \leq \max(\deg f, \deg g)$ (avec égalité si $\deg f
\neq \deg g$)
\item $\deg (fg) = \deg f + \deg g$ (dès que $k$ est \emph{intègre},
  en particulier sur un corps)
\end{itemize}

Si $k$ est un anneau commutatif intègre, alors $k[t]$ aussi.

Attention, $k[t]$ n'est jamais un corps !  (Car $t$ n'a pas d'inverse
pour la multiplication.)

\medbreak

À souligner : \emph{analogie} importante entre les polyômes, notamment
dans $\mathbb{F}_p[t]$, et l'écriture en base $p$ des entiers.
Différence importante : pas de retenue pour les polynômes.

Complexité des opérations : cf. entiers.

%
\subsection{Opérations spécifiques aux polynômes}

\textbf{Évaluation} de polynômes : si $f = a_0 + \cdots + a_N t^N$ et
$x \in A$ (une $k$-algèbre, par exemple $k$ ou $k[t]$), on définit
$f(x) = a_0 + \cdots + a_N x^N$.

Cas particulier : \textbf{composition} : si $g \in k[t]$, on note
$f\circ g$ plutôt que $f(g)$.

\medbreak
\textbf{Dérivée :} si $f = a_0 + a_1 t + \cdots + a_N t^N$ alors $f' =
a_1 + 2 a_2 t + \cdots + N a_N t^{N-1}$.

\textbf{Attention :} On peut avoir $f'=0$ sans avoir $f$ constant
(e.g., $f = t^p$ dans $\mathbb{F}_p[t]$).

\textbf{Dérivées successives :} $f^{(i+1)} = (f^{(i)})'$ pour $i \in
\mathbb{N}$.

%
\subsection{Polynôme interpolateur, formule de Taylor}

Dans cette section, soit $k$ un \emph{corps} et $f \in k[t]$.

\medskip

Soient $a_0,\ldots,a_N
\in k$ deux à deux distincts, où $N \geq \deg f$, et $b_i = f(a_i)$,
alors
\[
f = \sum_{i=0}^N b_i \frac{\prod_{j\neq i}(t-a_j)}{\prod_{j\neq i}(a_i-a_j)}
\]

Permet de reconstruire un polynôme à partir de ses valeurs en
suffisamment de points.

\medbreak

Si $N \geq \deg f$ et $N!$ n'est pas nul dans $k$, alors pour tout
$a\in k$ :
\[
f = f(a) + (t-a)\,f'(a) + \frac{(t-a)^2}{2}\,f''(a) +
\cdots + \frac{(t-a)^N}{N!}\,f^{(N)}(a)
\]

Permet de reconstruire un polynôme à partir de ses dérivées
successives en un point.

%
\subsection{Division euclidienne de polynômes}

Sauf mention du contraire, $k$ est maintenant un \textbf{corps}.

\smallskip

\textbf{Division euclidienne} analogue à celle des entiers :

Si $f\in k[t]$ et $g\in k[t]$ est \emph{non nul},
il existe un unique couple $(q,r)$ tel que :
\begin{itemize}
\item $q \in k[t]$,
\item $r \in k[t]$ est (nul ou) de degré $\deg r < \deg g$ et
\item $f = gq + r$.
\end{itemize}

\medbreak

\textbf{Algorithme « naïf »} de division euclidienne : procéder par
puissances \emph{décroissantes} :

Soit $f = a_N t^N + \cdots + a_0$ et $g = b_D t^D + \cdots + b_0$ où
$b_D \neq 0$ (donc $\deg g = D$) :
\begin{itemize}
\item si $N<D$ on renvoie $q = 0$ et $r = f$ ;
\item sinon, on pose $c = a_N/b_D$, on définit $f^* = f - c t^{N-D}
g$, donc $\deg(f^*) < N$, on applique l'algorithme pour diviser $f^*$
par $g$, soit $f^* = gq^* + r$ et on a $f = gq + r$ où $q = c t^{N-D}
+ q^*$.
\end{itemize}

\smallbreak

\textbf{Cas très important :} Le reste de la division euclidienne de
$f$ par $t-a$ (où $a \in k$ est une constante) est $f(a)$.
(Pourquoi ?)

\smallbreak

\textbf{Exercice :} Effectuer la division euclidienne de $t^7$ par $2
t^3+1$ dans $\mathbb{F}_7[t]$.  (Réponse : $t^7 = (2 t^3+1) (4 t^4 + 5
t) + 2 t$.)

%
\subsection{Arithmétique des polynômes}

Relation de \textbf{divisibilité} : exactement analogue aux entiers.
Les \textbf{unités} de $k[t]$ sont les éléments de $k^\times$
(polynômes constants non nuls).

Polynômes \textbf{irréductibles} : définition analogue aux nombres
premiers.  On les choisira normalement \emph{unitaires} ; par
convention, $0$ et les constantes ne sont pas irréductibles.  Les
polynômes $t-a$ (unitaires de degré $1$) sont \emph{toujours}
irréductibles.  Lorsque ce sont les seuls, le corps $k$ est dit
\emph{algébriquement clos}.

Le corps $\mathbb{C}$ est algébriquement clos.  Le corps $\mathbb{R}$
ne l'est pas : les polynômes irréductibles sur $\mathbb{R}$ sont les
$t-a$ et les $t^2-bt+c$ où $b^2-4c<0$.  Les corps finis (notamment
$\mathbb{F}_p$ déjà vu) ne sont pas algébriquement clos (« encore
  moins » que $\mathbb{R}$).

\medbreak

\textbf{Décomposition en facteurs irréductibles :} Écriture unique de
tout $f\in k[t]$ non nul comme $c \prod_P P^{v_P(f)}$ où $c \in
k^\times$ est le coefficient dominant de $f$ et $v_P(f)\in \mathbb{N}$
pour tout $P$ irréductible (presque tous nuls).

Cas où $k$ est algébriquement clos : tout $f \in k[t]$ non nul s'écrit
de façon unique comme $c \prod_{a\in k} (t-a)^{v_a(f)}$ où $c \in
k^\times$ est le coefficient dominant de $f$ et $v_a(f)\in \mathbb{N}$
est l'ordre du zéro de $f$ en $a$.

\medbreak

PGCD, algorithme d'Euclide, relations de Bézout, Euclide étendu :
exactement analogue aux entiers.

%
\subsection{Anneaux $k[t]/(P)$}

Analogues exacts de $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$.  Vision abstraite :
$f\equiv g\pmod{P}$ ssi $P$ divise $f-g$, et on quotiente.  Vision
concrète : se ramener à $\deg f < \deg P$ par division euclidienne
après chaque opération.

Élément très important : $\bar t$.

C'est un espace vectoriel de dimension $\deg P$ sur $k$.  Si $k$ est
fini alors $k[t]/(P)$ l'est (de cardinal $(\#k)^{\deg P}$).

Théorème chinois : si $P$ et $Q$ sont premiers entre eux, on a
$k[t]/(PQ) \cong (k[t]/(P)) \times (k[t]/(Q))$ (même démo qu'avant,
avec un petit peu d'algèbre linéaire).

Exemple idiot : $k[t]/(t) \cong k$.  Exemples moins idiot :
$\mathbb{R}[t]/(t^2+1) \cong \mathbb{C}$, et $\mathbb{R}[t]/(t^2-1)
\cong \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ (théorème chinois ; noter que ce
n'est pas un corps).

Exercice : dresser les tables de $\mathbb{F}_2[t]/(t^2+t+1)$.

\medskip

\textbf{Important :} $k[t]/(P)$ est un corps \emph{si et seulement si}
$P \in k[t]$ est irréductible.  Lorsque c'est le cas, on dit que c'est
le \textbf{corps de rupture} de $P$ sur $k$.

%
\section{Corps finis}

\subsection{Sous-corps premier et caractéristique}

Caractéristique d'un corps : c'est l'ordre additif de $1$ si celui-ci
est fini (sinon on convient que c'est $0$).

Tout corps de caractéristique $p>0$ contient un
$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, qui en est un sous-corps $\mathbb{F}_p$
(donc $p$ est premier) : on dit que c'est le sous-corps premier.  Le
corps est alors un espace vectoriel dessus : le corps est fini, et si
$d$ est sa dimension, son nombre d'éléments est $p^d$.

Moralité : le nombre d'éléments d'un corps fini est une puissance $q =
p^d$ d'un nombre premier $p$ (il n'y a pas de corps à $6$ ou $10$
éléments !), et le corps contient alors $\mathbb{F}_p =
\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ qu'on appelle son corps premier ; et $p$
s'appelle la caractéristique.

%
\subsection{Unicité}

Dans un corps $F$ à $q$ éléments, on a $a^{q-1} = 1$ pour tout $a \in
F^\times$ (par Lagrange) donc on a $a^q = a$ pour tout $a \in F$
(« petit théorème de Fermat » généralisé).

Comme le polynôme $t^q-t$, de degré $q$, ne peut avoir que $q$
racines, si $F$ est contenu dans un corps $L$ plus gros, alors $F =
\{x\in L : x^q = x\}$.  Moralité : un corps ne peut contenir qu'un
seul corps fini à $q$ éléments (pour $q$ fixé).

En particulier, le sous-corps premier $\mathbb{F}_p$ d'un corps $L$ de
caractéristique $p$ est $\mathbb{F}_p = \{x\in L : x^p = x\}$.

On admet également l'unicité à isomorphisme près : deux corps finis à
$q$ éléments, pour le même $q$, sont isomorphes.

%
\subsection{Morphisme de Frobenius}

Si $K$ est un corps de caractéristique $p$ alors $\Frob\colon K\to K,
x\mapsto x^p$ (le morphisme de Frobenius) est un morphisme de corps
($\Frob(xy) = \Frob(x)\,\Frob(y)$ toujours vrai, et $\Frob(x+y) =
\Frob(x) + \Frob(y)$ car on est en caractéristique $p$ donc tous les
coefficients binomiaux intermédiaires sont multiples de $p$ donc
nuls).  On le note aussi $\Frob_p$ pour éviter l'ambiguïté.

Si $q = p^d$, on a souvent besoin d'introduire $\Frob^d = \Frob_q
\colon x \mapsto x^q$ (composée $d$-ième du Frobenius).  Notamment,
dans un corps à $q = p^d$ éléments, puisque $x^q = x$ pour tout $x$,
la composée $d$ fois de $\Frob_p$, soit $\Frob_q$, est l'identité.
(Pour cette raison, on dit aussi que $\Frob_q$ est le Frobenius
\emph{au-dessus} de $\mathbb{F}_q$.)

%
\subsection{Existence et inclusions des corps finis}

Pour tout nombre premier $p$ et tout $d \geq 1$, il existe un corps à
$q = p^d$ éléments, qu'on peut noter $\mathbb{F}_q$.  On peut le voir
comme $\mathbb{F}_q \cong \mathbb{F}_p[t]/(f)$ pour un certain
polynôme $f \in \mathbb{F}_p[t]$ irréductible de degré $d$
(l'affirmation est qu'il en existe !).

Si $q = p^d$ et $q' = p^{\prime d'}$, alors $\mathbb{F}_q$ est contenu
dans $\mathbb{F}_{q'}$ (plus proprement : $\mathbb{F}_{q'}$ contient
un sous-corps ayant $q$ éléments) si et seulement si : (1) $p=p'$ et
(2) $d|d'$.  Cela équivaut encore à : $q'$ est une puissance de $q$,
soit $q' = q^e$.  (Exemple : $\mathbb{F}_4$ est contenu dans
$\mathbb{F}_{16}$ mais pas dans $\mathbb{F}_8$.)  Lorsque c'est le
cas, alors $\mathbb{F}_{q'} \cong \mathbb{F}_q[t]/(f)$ pour un certain
polynôme $f \in \mathbb{F}_q[t]$ irréductible de degré $e = d'/d$.

On va voir plus loin comment tester l'irréductibilité d'un polynôme
sur un corps fini, et comment en produire.

%
\subsection{Polynôme minimal}

[Dans les quelques sections qui suivent, le cas important est $q = p$
  premier (lire alors $p^d$ pour $q^e$).  On peut ignorer le cas plus
  général.]

Rappel : dans $\mathbb{F}_q[t]/(f)$ (avec $f$ irréductible unitaire
pour fixer les idées), on a $f(\bar t) = 0$, c'est-à-dire que $\bar t$
est racine de $f$.  A contrario :

\textbf{Prop :} Soit $x \in \mathbb{F}_{q^e}$, alors $x$ est racine
d'un unique polynôme irréductible unitaire sur $\mathbb{F}_q$, et
celui-ci est de degré divisant $e$.

Ce polynôme s'appelle \textbf{polynôme minimal} de $x$
sur $\mathbb{F}_q$, et son degré (divisant $e$, donc) s'appelle le
\textbf{degré} de $x$ sur $\mathbb{F}_q$.

Naturellement, dans $\mathbb{F}_q[t]/(f)$, avec $f$ irréductible
unitaire, le polynôme minimal de $\bar t$ sur $\mathbb{F}_q$ est $f$.
Lorsque $a \in \mathbb{F}_q$, le polynôme minimal de $a$ est $t-a$, de
degré $1$ ; réciproquement, un élément de $\mathbb{F}_{q^e}$ est dans
$\mathbb{F}_q$ si et seulement si son degré est $1$.

Si $x \in \mathbb{F}_{q^e}$ est de degré exactement $e$
(c'est-à-dire : pas moins), et que $f$ est son polynôme minimal, alors
$\mathbb{F}_{q}[t]/(f) \cong \mathbb{F}_{q^e}$ (ce qu'on savait
déjà...) en envoyant $\bar t$ sur $x$, et plus généralement la classe
de $g \in \mathbb{F}_q[t]$ sur $g(x)$.

Si on ne précise pas, le polynôme minimal s'entend sur le corps
premier.

Exercice : déterminer dans $\mathbb{F}_4$ vu comme
$\mathbb{F}_2[t]/(t^2+t+1)$ les polynômes minimaux des différents
éléments, et les degrés sur $\mathbb{F}_2$.  (Réponse : $0$ et $1$ ont
polynôme minimal $t$ et $t+1$ respectivement, et tous deux degré $1$ ;
$\bar t$ a polynôme minimal $t^2+t+1$ et $\bar t+1$ aussi, tous deux
ont degré $2$.)

%
\subsection{Éléments conjugués}

[On peut toujours imaginer $q = p$ premier.]

Si $f$ est irréductible unitaire de degré $e$ sur $\mathbb{F}_q$ alors
dans $\mathbb{F}_q[t]/(f)$ les racines de $\bar t$ sont : $\bar t$,
$\bar t^q$, $\bar t^{q^2}$, ..., $\bar t^{q^{e-1}}$.  Cette situation
porte un nom :

On dit que deux éléments $x, x' \in \mathbb{F}_{q^e}$ sont
\textbf{conjugués} lorsqu'ils vérifient les conditions équivalentes
suivantes :
\begin{itemize}
\item $x$ et $x'$ ont le même polynôme minimal sur $\mathbb{F}_q$,
\item il existe $i$ (qu'on peut prendre entre $0$ et $e-1$) tel que
  $x' = x^{q^i}$ (= on passe de l'un à l'autre en appliquant
  suffisamment de fois le Frobenius $\Frob_q$).
\end{itemize}
Le nombre d'éléments conjugués à $x$ (en comptant $x$ lui-même) est le
degré de $x$.  On parle d'un ensemble complet de conjugués
(sur $\mathbb{F}_q$).

%
\subsection{Factorisation de $t^{q^e}-t$}

[On peut toujours imaginer $q = p$ premier.]

Dans la décomposition en facteurs irréductibles de $t^{q^e}-t$ dans
$\mathbb{F}_q$ :
\begin{itemize}
\item chaque polynôme irréductible de degré divisant $e$ sur
$\mathbb{F}_q$ apparaît une et une seule fois,
\item chaque facteur correspond à un ensemble complet de conjugués (de
  cardinal égal au degré du facteur) dans $\mathbb{F}_{q^e}$,
\item le nombre de facteurs de degré exactement $e$ est $\frac{1}{e}$
  fois le nombre d'éléments appartenant à $\mathbb{F}_{q^e}$ mais à
  aucun $\mathbb{F}_{q^{e_1}}$ pour $e_1$ divisant strictement $e$.
\end{itemize}

\smallbreak

Exercice : Expliquer pourquoi $t^{64}-t$ se
décompose en irréductibles sur $\mathbb{F}_2$ en : $2$ facteurs de
degré $1$, $1$ de degré $2$, $2$ de degré $3$ et $9$ de degré $6$.

\medbreak

Le nombre de polynômes irréductibles unitaires de degré $e$ dans
$\mathbb{F}_q[t]$ est approximativement $\frac{1}{e}q^e$ (l'erreur est
$O(q^{e/2})$).  Autrement dit, la probabilité qu'un polynôme unitaire
aléatoire dans $\mathbb{F}_q[t]$ soit irréductible est
environ $\frac{1}{e}$ où $e$ est son degré.  (Cf. théorème des nombres
premiers.)

\medbreak

\textbf{Test d'irréductibilité de Rabin :} Étant donné $f \in
\mathbb{F}_q[t]$ de degré $e$, il est irréductible si et seulement si
les deux conditions suivantes sont vérifiées :
\begin{itemize}
\item $f$ divise $t^{q^e}-t$, et
\item $f$ est premier avec $t^{q^{e_1}}-t$ pour tout diviseur strict
  $e_1$ de $e$ (en fait, on peut se contenter de tester pour les
  diviseurs stricts \emph{immédiats}, c'est-à-dire les $e_1 = e/\ell$
  avec $\ell$ premier).
\end{itemize}
(Remarque : le premier s'écrit $t^{q^e}\equiv t \pmod{f}$, et pour le
vérifier on applique un algorithme d'exponentiation
rapide\footnote{Par exemple, dans ce cas, tout simplement élever $e$
  fois successivement à la puissance $q$.} dans $\mathbb{F}_q[t]/(f)$.
De même, la seconde condition se teste avec l'algorithme d'Euclide en
commençant par calculer $t^{q^{e_1}}$ modulo $f$.)

\smallskip

Exercice : Vérifier que $f = t^4 + t + 1$ est irréductible dans
$\mathbb{F}_2[t]$.  (On a $t^4 \equiv t+1 \pmod{f}$ donc $t^8 \equiv
t^2+1$ donc $t^{16} \equiv t^4 + 1 \equiv t$ donc le premier critère
est vérifié.  Pour le second, $t^4-t \equiv 1 \pmod{f}$ donc
l'algorithme d'Euclide termine immédiatement et $t^4-t$ et $f$ sont
bien irréductibles.)  Vérifier que $g = t^4 + t^3 + 1$ est
irréductible dans $\mathbb{F}_2[t]$.  (On a $t^4 \equiv t^3+1
\pmod{g}$ donc $t^8 \equiv t^6+1 \equiv t^3+t^2+t$ donc $t^{16} \equiv
t^6+t^4+t^2 \equiv t$ donc le premier critère est vérifié.  Pour le
second, $t^4-t \equiv t^3+t+1 \pmod{g}$ puis $g = t^4+t^3+1 \equiv t^2
\pmod{t^3+t+1}$ et enfin $t^3+t+1 \equiv 1 \pmod{t^2}$ donc $t^4-t$ et
$g$ sont bien irréductibles.)

\bigbreak

\textbf{Note :} Contrairement à la situation dans les entiers, on peut
effectuer efficacement la factorisation des polynômes sur les corps
finis.

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\subsection{Récapitulation : comment manipuler les $\mathbb{F}_q$}

Moralité des paragraphes précédents : comment faire des calculs dans
$\mathbb{F}_q$ avec $q = p^d$ ?

On sait travailler dans $\mathbb{F}_p = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$
(travailler dans $\mathbb{Z}$ et faire des divisions euclidiennes
par $p$).

Trouver un polynôme irréductible unitaire $f$ de degré $d$ dans
$\mathbb{F}_p[t]$ : pour cela, choisir un polynôme unitaire aléatoire
de degré $d$ parmi les $p^d$ possibles, utiliser le test de Rabin pour
tester son irréductibilité, et recommencer jusqu'à obtenir un $f$ qui
passe le test (en moyenne, on fera environ $d$ essais).

Représenter les éléments de $\mathbb{F}_q \cong \mathbb{F}_p[t]/(f)$
par des polynômes de degré $<d$ sur $\mathbb{F}_p$.  L'addition se
fait terme à terme.  Pour la multiplication, faire suivre d'une
division euclidienne par $f$ dont on ne conserve que le reste.  Pour
l'inverse, utiliser une relation de Bézout avec $f$ (cf. le calcul des
inverses dans $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$).  Pour l'exponentiation,
utiliser un algorithme d'exponentiation rapide.

Exercice : Vérifier que $f = t^3 + t + 1 \in \mathbb{F}_2[t]$ est
irréductible, et s'en servir pour dresser les tables d'opération de
$\mathbb{F}_8$.  (Pour vérifier que $f$ est irréductible : $t^3 \equiv
t+1 \pmod{f}$ donc $t^4 \equiv t^2+t$ donc $t^8 \equiv t^4+t^2 \equiv
t$, et par ailleurs $f \equiv 1 \pmod{t^2-t}$.)

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\subsection{Éléments primitifs}

\textbf{Théorème :} Le groupe multiplicatif d'un corps fini est
cyclique.

Autrement dit, si $\mathbb{F}$ est un corps fini, il existe des
éléments $g$, dits \textbf{primitifs}, qui engendrent le groupe
multiplicatif des éléments non nuls de $\mathbb{F}$, c'est-à-dire tels
que tout élément non nul de $\mathbb{F}$ soit une puissance de $g$.

Le nombre d'éléments primitifs est bien sûr $\varphi(q-1)$.

Si un élément $g \in \mathbb{F}_q$, avec $q = p^d$, est primitif,
alors tous ses conjugués sur le corps premier $g^p, g^{p^2}, g^{p^3},
\ldots, g^{p^{d-1}}$ le sont aussi.  On peut donc aussi dire que leur
polynôme minimal (commun) est primitif ; il est nécessairement de
degré $d$.  Le nombre de polynômes irréductibles primitifs de
degré $d$ sur $\mathbb{F}_p$ est donc $\frac{1}{d} \varphi(p^d-1)$.

Exemple : si $g \in \mathbb{F}_{16}^\times$ est primitif, alors
$\{g,g^2,g^4,g^8\}$ est un ensemble complet de conjugués
(sur $\mathbb{F}_2$), tous primitifs ; $\{g^7,g^{14},g^{13},g^{11}\}$
est également un ensemble complet de conjugués, également primitifs
car $7$ engendre $\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}$ ; $\{g^3,g^6,g^{12},g^9\}$
en est un autre, de degré $4$ mais \emph{non primitifs} ; enfin,
$\{g^5,g^{10}\}$ est un ensemble complet de conjugués de degré $2$ ;
et $\{1=g^{15}\}$ et $\{0\}$ sont les deux seuls éléments de degré $1$
sur le corps de base $\mathbb{F}_2$ ; on a donc $\mathbb{F}_4 = \{0,
1, g^5, g^{10}\}$.

Exercice : on a trouvé précédemment deux polynômes irréductibles
unitaires $f = t^4 + t + 1$ et $g = t^4 + t^3 + 1$ de degré $4$
sur $\mathbb{F}_2$.  Sont-ils primitifs ?  (Réponse : oui.)  En
admettant que $h = t^4 + t^3 + t^2 + t + 1$ est irréductible, est-il
primitif ?  (Réponse : non, car $t^5 \equiv 1 \pmod{h}$.)

\smallskip

Moralité : Donné un élément $g \in \mathbb{F}_q^\times$ primitif, avec
$q = p^d$, ou bien son polynôme minimal $\pi \in \mathbb{F}_p[t]$
(voir $g$ comme $\bar t \in \mathbb{F}_p[t]/(\pi)$), on peut
représenter les éléments de $\mathbb{F}_q$ de deux façons : soit comme
des polynômes de degré $<d$ en $g$ (en $\bar t$), soit comme zéro et
des puissances entre $0$ et $q-1$ de $g$ (de $\bar t$).  Dans le
premier cas, l'addition est facile et la multiplication est un peu
plus difficile, dans le second cas, la multiplication est facile et
l'addition presque impossible.  Passer de la seconde représentation à
la première est facile ; le passage dans le sens inverse (par exemple,
écrire $1+g$ comme une puissance de $g$) correspond au problème du
\emph{logarithme discret}.

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\end{document}