Why the naïve graded ring of a projective variety is, precisely, naïve.

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@@ -2223,12 +2223,18 @@ constantes).
 
 \medbreak
 
-Un morphisme $\mathbb{P}^d \to \mathbb{P}^e$ est la donnée de $e+1$
-polynômes $(f_0,\ldots,f_e) \in k[t_0,\ldots,t_d]$ en $d+1$ variables,
-homogènes de même degré $\ell$, qui ne s'annulent jamais simultanément
-sur un corps $k$ algébriquement clos, c'est-à-dire, pour éviter de
-dépendre de cette hypothèse, que $f_0,\ldots,f_e$ engendrent un idéal
-irrelevant dans $k[t_0,\ldots,t_d]$.
+Un morphisme $\mathbb{P}^d \buildrel f\over\to \mathbb{P}^e$ est la
+donnée de $e+1$ polynômes $(f_0,\ldots,f_e) \in k[t_0,\ldots,t_d]$ en
+$d+1$ variables, homogènes de même degré $\ell$, qui ne s'annulent
+jamais simultanément sur un corps $k$ algébriquement clos,
+c'est-à-dire, pour éviter de dépendre de cette hypothèse, que
+$f_0,\ldots,f_e$ engendrent un idéal irrelevant dans
+$k[t_0,\ldots,t_d]$.  Évidemment, si $f_0,\ldots,f_e$ vérifient
+certaines équations homogènes $g_j(f_0,\ldots,f_e) = 0$ (avec $g_j \in
+k[u_0,\ldots,u_e]$ homogène), on pourra considérer le morphisme $f$
+comme allant de $\mathbb{P}^d$ vers la variété projective
+(cf. ci-dessous pour ce terme) $Y = Z(J)$ où $J$ est l'idéal homogène
+engendré par les $g_j$.
 
 
 %
@@ -2245,17 +2251,62 @@ de ses représentants ; et d'élément homogène de degré $\ell$ dans
 $k[t_0,\ldots,t_d]/I$ (un élément représenté par un polynôme homogène
 de degré $\ell$, ou égal à sa partie homogène de degré $\ell$).
 
-On appelle \textbf{anneau gradué de $X$} l'anneau
-$k[t_0,\ldots,t_d]/I$ (« gradué » signifiant qu'on s'est donné cette
-notion d'éléments homogènes de degré $\ell$ pour chaque $\ell$ avec la
-décomposition en parties correspondantes, et que le produit d'un
-élément homogène de degré $\ell$ et d'un élément de degré $\ell'$ est,
-comme pour les polynômes, homogène de degré $\ell+\ell'$).  On le note
-éventuellement $\sum_{\ell\in\mathbb{N}} \mathcal{O}(\ell)(X)$.  On
-appelle \emph{irrelevant} un idéal de $k[t_0,\ldots,t_d]/I$ contenant
-tous les éléments homogène de degré suffisamment grand, ou, de façon
-équivalente, dont l'image réciproque dans $k[t_0,\ldots,t_d]$ est
-irrelevante.
+On appelle \textbf{anneau gradué (naïf) de $X$ dans $\mathbb{P}^d$}
+l'anneau $k[t_0,\ldots,t_d]/I$ (« gradué » signifiant qu'on s'est
+donné cette notion d'éléments homogènes de degré $\ell$ pour
+chaque $\ell$ avec la décomposition en parties correspondantes, et que
+le produit d'un élément homogène de degré $\ell$ et d'un élément de
+degré $\ell'$ est, comme pour les polynômes, homogène de
+degré $\ell+\ell'$).  On appelle \emph{irrelevant} un idéal de
+$k[t_0,\ldots,t_d]/I$ contenant tous les éléments homogène de degré
+suffisamment grand, ou, de façon équivalente, dont l'image réciproque
+dans $k[t_0,\ldots,t_d]$ est irrelevante.  On peut établir une
+correspondance entre fermés de Zariski de $X$ et idéaux homogènes
+radicaux non-irrelevants de $k[t_0,\ldots,t_d]/I$ analogue au
+Nullstellensatz.
+
+\underline{Mais, une déception :} comme le mot « naïf » utilisé
+ci-dessus, le laisse penser, l'anneau $k[t_0,\ldots,t_d]/I$ souffre de
+plusieurs problèmes :
+\begin{itemize}
+\item Il ne dépend pas que de $X$ mais aussi de son plongement
+  dans $\mathbb{P}^d$ (même si c'est un peu difficile à illustrer à ce
+  stade, faute de savoir quels sont les morphismes entre variétés
+  projectives abstraites ; mais si on admet que $\mathbb{P}^1$ est
+  isomorphe à une conique plane telle que celle d'équation homogène
+  $x^2 + y^2 - z^2 = 0$ dans $\mathbb{P}^2$ sur un corps de
+  caractéristique $\neq 2$, on se rend compte que dans le premier cas
+  $k[t_0,t_1]$ n'a que deux éléments homogènes de degré $1$
+  linéairement indépendants à savoir $t_0$ et $t_1$, alors que dans le
+  second $k[x,y]/(x^2+y^2-z^2)$ en a trois, à savoir $x,y,z$, puisque
+  leur relation n'apparaît qu'en degré $2$).
+\item Les éléments homogènes de degré zéro de $k[t_0,\ldots,t_d]/I$,
+  c'est-à-dire, les constantes, ne sont pas, en général, les seules
+  fonctions régulières sur $X$ (car si $X$ n'est pas connexe, penser
+  par exemple à $Z(t_0 t_1)$, qui définit la réunion des deux points
+  ``$0$'' ($t_1=0$) et ``$\infty$'' ($t_0=0$) dans $\mathbb{P}^1$,
+  alors manifestement les fonctions valant une valeur sur un point et
+  une autre sur l'autre doivent être régulières).  Plus généralement,
+  le problème est que les éléments de degré donné de
+  $k[t_0,\ldots,t_d]/I$ ne vérifient pas la propriété de recollement
+  (=ne forment pas un « faisceau »).  On pourrait corriger ce problème
+  pour construire l'anneau gradué qu'on notera $\bigoplus_{\ell}
+  \mathcal{O}(\ell)(X)$, mais il faut travailler un peu.  (On peut
+  cependant montrer que, pour $\ell$ suffisamment grand, les éléments
+  de $k[t_0,\ldots,t_d]/I$ sont « les bons », et notamment, se
+  recollent.)
+\item Même une fois ces problèmes pris en compte ou corrigés, les
+  morphismes $X \to \mathbb{P}^e$ ne seront toujours pas définis
+  simplement par la donnée de $e+1$ éléments de $k[t_0,\ldots,t_d]/I$,
+  homogènes de même degré $\ell$, engendrant l'idéal irrelevant.
+\end{itemize}
+
+\underline{Conclusion :} pour définir proprement les constructions sur
+une variété projectives, on ne peut généralement pas se contenter de
+reprendre le travail du cadre affine en remplaçant « affine » par
+« projectif » et les anneaux par des anneaux gradués : il faut
+généralement travailler \emph{localement}, c'est-à-dire, à partir des
+variétés affines dont la variété projective est la réunion.