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authorDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2010-05-31 18:47:58 +0200
committerDavid A. Madore <david@procyon.(none)>2010-05-31 18:47:58 +0200
commit974a7757f14fd90f866e522e5b2067933de5aa52 (patch)
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Tedious global description of morphisms of quasiprojective varieties.
-rw-r--r--notes-geoalg.tex35
1 files changed, 35 insertions, 0 deletions
diff --git a/notes-geoalg.tex b/notes-geoalg.tex
index 79ca3f3..c205bc0 100644
--- a/notes-geoalg.tex
+++ b/notes-geoalg.tex
@@ -2435,6 +2435,41 @@ les dénomiateurs).
\medbreak
+On peut également donner une description « globale » des morphismes,
+mais elle est peu maniable :
+\begin{itemize}
+\item Si $X$ est $Z(I)$ (où $I$ est un idéal homogène de
+ $k[t_0,\ldots,t_d]$), un morphisme $X \to \mathbb{P}^e$ peut se
+ décrire comme une matrice rectangulaire avec $e+1$ colonnes (le
+ nombre de lignes n'étant pas spécifié) dont les entrées sont dans
+ $k[t_0,\ldots,t_d]/I$ et (a) engendrent un idéal irrelevant dans cet
+ anneau, (b) sont toutes de même degré (ou si on préfère : toutes de
+ même degré sur chaque ligne), et (c) dont tous les mineurs $2\times
+ 2$ s'annulent (cf. la définition de $\mathbb{P}^e(A)$ pour $A$ un
+ anneau).
+\item Si $X$ est un ouvert \emph{dense} de $Z(I)$ comme ci-dessus
+ (rappel : ceci est automatiquement le cas pour un ouvert non vide si
+ $I$ est premier donc $Z(I)$ irréductible), ce qu'on peut toujours
+ supposer, même description en remplaçant la condition (a) que les
+ entrées de la matrice engendrent un idéal irrelevant par celle que
+ les $D(f)$ correspondant recouvrent l'ouvert $X$ (pour un ouvert
+ strict, cela peut se traduire en disant que l'idéal engendré par les
+ éléments de la matrice engendrent un idéal dont le radical contient
+ l'idéal $I$).
+\item Un morphisme vers une variété projective $Y$ de $\mathbb{P}^e$
+ est un morphisme vers $\mathbb{P}^e$ comme ci-dessus avec la
+ condition supplémentaire que chaque ligne vérifie les équations
+ de $Y$.
+\item Enfin, pour un morphisme vers un ouvert d'une variété
+ projective, on demande en plus que tous les éléments obtenus en
+ appliquant une des équations de l'ouvert (i.e., un des générateurs
+ de $J'$ si l'ouvert est le complémentaire de $Z(J')$) à une des
+ lignes de la matrice engendre un idéal vérifiant la même condition
+ qu'en.
+\end{itemize}
+
+\medbreak
+
\textbf{Exemples :}
¶ On reprend l'exemple donné dans l'introduction, mais rendu