Principal divisors have degree zero.

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@@ -3847,7 +3847,7 @@ variété \emph{projective} $Y$ s'étend à $C$ tout entier.
 
 \bigbreak
 
-\thingy\textbf{Une remarque sur Galois.} Quand on considère les points
+\thingy\textbf{Une remarque sur Galois.}\label{remark-on-galois} Quand on considère les points
 d'une variété sur un corps $k$ parfait non algébriquement clos, il est
 parfois préférable de considérer les $k^{\alg}$-points séparément
 (qu'on peut appeler \emph{points géométriques} pour insister), parfois
@@ -3864,11 +3864,11 @@ $i$ est le même que celui des polynômes réels s'annulant en $-i$,
 c'est l'idéal engendré par $t^2+1$).  On appelle \emph{degré} d'un
 point fermé le nombre de points géométriques qui le constitue : c'est
 aussi le degré (=la dimension comme $k$-espace vectoriel) du corps
-résiduel $\mathcal{O}(X)/\mathfrak{m}_P$ si $X$ est affine et
-$\mathfrak{m}_P$ l'idéal correspondant au point fermé $P$.  Certains
-résultats s'énoncent mieux en parlant d'un point fermé de degré $n$,
-d'autres en parlant de $n$ points géométriques (constituant une orbite
-galoisienne).
+résiduel $\kappa(P) = \mathcal{O}(X)/\mathfrak{m}_P$ si $X$ est affine
+et $\mathfrak{m}_P$ l'idéal correspondant au point fermé $P$.
+Certains résultats s'énoncent mieux en parlant d'un point fermé de
+degré $n$, d'autres en parlant de $n$ points géométriques (constituant
+une orbite galoisienne).
 
 
 
@@ -4012,6 +4012,23 @@ fraction sur le dénominateur en question on se ramène à un problème
 d'approximation sur le numérateur.
 \end{proof}
 
+\begin{prop}\label{dimension-of-space-of-jets}
+Soit $P$ un $k^{\alg}$-point lisse d'une courbe $C$ non nécessairement
+lisse sur un corps $k$, et pour $v\geq 0$ soit $\mathfrak{m}^v_P = \{f
+\in k(C) : \ord_P(f) \geq v\}$ (idéal de $\mathcal{O}_{C,P}$).  Alors
+$\mathcal{O}_{C,P} / \mathfrak{m}^v_P$ est un espace vectoriel de
+dimension $v$ sur le corps $\kappa(P) := \mathcal{O}_{C,P} /
+\mathfrak{m}_P$, donc $dv$ sur $k$, où $d$ est le degré de $P$,
+c'est-à-dire (pour $k$ parfait) le nombre de conjugués de $P$ sous
+l'action de Galois.
+\end{prop}
+\begin{proof}
+Il existe une uniformisante $t$ de $C$ en $P$ : il n'est pas difficile
+de voir que $1,t,t^2,\ldots,t^{v-1}$ forment une base de
+$\mathcal{O}_{C,P} / \mathfrak{m}^v_P$ sur $\kappa(P)$
+(cf. \ref{remark-on-galois} pour la dimension de $\kappa(P)$ sur $k$).
+\end{proof}
+
 
 
 %
@@ -4185,7 +4202,7 @@ f$ pour tout $f \in k(C)$.  On appelle $e_P$ l'\textbf{indice de
   ramification} de $h$ en $P$.
 \end{prop}
 
-\begin{rmk}
+\begin{rmk}\label{ramification-of-functions-as-morphisms}
 Si $h \in k(C)$ n'est pas constant, on peut considérer $h$ comme un
 morphisme $C \to \mathbb{P}^1$ correspondant à l'inclusion $k(t) \cong
 k(h) \subseteq k(C)$.  En voyant $h$ comme $h^*(t)$, on voit que $e_P
@@ -4229,7 +4246,31 @@ d'approximation \ref{approximation-lemma} permet de montrer que cette
 algèbre est le produit d'algèbres $\mathcal{O}(U)/\mathfrak{m}_P
 \mathcal{O}(U)$ où $\mathfrak{m}_P$ parcourt les idéaux maximaux tels
 que $h(P)=Q$ (un seul par orbite sous Galois), et la dimension de ce
-produit est $\sum_{h(P)=Q} e_P$.
+produit est $\sum_{h(P)=Q} e_P$
+d'après \ref{dimension-of-space-of-jets}.
+\end{proof}
+
+\begin{cor}\label{principal-divisors-have-degree-zero}
+Soit $C$ une courbe sur un corps $k$, et soit $f \in k(C)$ non
+constant.  Alors
+\[
+\sum_P \ord_P(f) = 0
+\]
+où la somme est prise sur tous les points $P$ de $C$.  Plus
+précisément,
+\[
+\begin{array}{c}
+\sum_{P\;:\;\ord_P(f)>0} \ord_P(f) = \deg f\\
+\sum_{P\;:\;\ord_P(f)<0} \ord_P(f) = -\deg f\\
+\end{array}
+\]
+\end{cor}
+\begin{proof}
+On a vu en \ref{ramification-of-functions-as-morphisms} que si $f$ est
+vu comme un morphisme $C \to \mathbb{P}^1$, alors son indice de
+ramification en un point $P$ de $C$ tel que $f(P) = 0$ est $e_P =
+\ord_P(f)$, et en un point $P$ tel que $f(P) = \infty$ est $e_P =
+-\ord_P(f)$.  La proposition précédente permet de conclure.
 \end{proof}