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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-06-25 12:06:43 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2012-06-25 12:06:43 (GMT)
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--- a/notes-geoalg-2010.tex
+++ b/notes-geoalg-2010.tex
@@ -176,7 +176,7 @@ $\cos\theta,\sin\theta$ en fonction de $\tan\frac{\theta}{2}$),
valable sur tout corps $k$ de caractéristique $\neq 2$ (ou en fait
tout anneau dans lequel $2$ est inversible\footnote{C'est-à-dire, une
$\mathbb{Z}[\frac{1}{2}]$-algèbre, où $\mathbb{Z}[\frac{1}{2}] =
- \{\frac{a}{2^r}:a\in\mathbb{Z},r\in\mathbb{N}\}$}), permet de
+ \{\frac{a}{2^r}:a\in\mathbb{Z},r\in\mathbb{N}\}$.}), permet de
montrer que toute solution $(x,y) \in C(k)$ autre que $(-1,0)$ peut
s'écrire de la forme $(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2})$ avec $t
\in k$ (uniquement défini, et vérifiant $t^2\neq -1$).
@@ -891,7 +891,7 @@ coordonnées $x,y$) n'est pas ir\-ré\-duc\-tible, car $Z(xy) = \{(x,y)
\in k^2 : xy=0\} = \{(x,y) \in k^2 :
x=0\penalty0\ \textrm{ou}\penalty0\ y=0\} = Z(x) \cup Z(y)$ est
réunion de $Z(x)$ (l'axe des ordonnées) et $Z(y)$ (l'axe des
-abscisses) qui sont tous tous les deux strictement plus petits
+abscisses) qui sont tous les deux strictement plus petits
que $Z(xy)$.
\begin{prop}\label{closed-irreducible-iff-prime-ideal}
@@ -1271,7 +1271,7 @@ k[t]$. On définit un morphisme $\mathbb{A}^1 \buildrel f\over\to C$
par $t \mapsto (t^2,t^3)$ : ce morphisme correspond à un morphisme
d'anneaux dans l'autre sens, $\mathcal{O}(C) \buildrel f^*\over\to
\mathcal{O}(\mathbb{A}^1)$, donné par $x \mapsto t^2$ et $y \mapsto
-x^3$. Ce morphisme n'est pas un isomorphisme car $t$ n'est pas dans
+t^3$. Ce morphisme n'est pas un isomorphisme car $t$ n'est pas dans
l'image de $f^*$. Ceci, bien que $\mathbb{A}^1(k) \to C(k)$ soit une
bijection au niveau des $k$-points.
@@ -1415,7 +1415,7 @@ $U(I) = D(f_1) \cup \cdots \cup D(f_r)$ où $D(f_i) := U(\{f_i\})$ est
l'ouvert où $f_i$ ne s'annule pas. Les $D(f)$ s'appellent parfois
\emph{ouverts principaux}, on verra plus loin pourquoi il est utile de
les distinguer ; ceci montre qu'ils forment une \emph{base d'ouverts}
-(un ensemble d'ouverts stable par intersections fines est dit former
+(un ensemble d'ouverts stable par intersections finies est dit former
une base d'ouverts pour une topologie lorsque tout ouvert est une
réunion d'une sous-famille d'entre eux).
@@ -2557,7 +2557,7 @@ l'identité.
Tout morphisme d'une variété projective connexe vers une variété
affine est constant. (En particulier, toute fonction régulière sur
une variété projective, c'est-à-dire morphisme vers $\mathbb{A}^1$,
-est constant sur chaque composante connexe.)
+est constante sur chaque composante connexe.)
\end{thm}
@@ -2797,7 +2797,7 @@ pareil avec $\neq 0$ si on a affaire à un ouvert).
Définir l'\emph{image (directe)} d'un $X' \subseteq X$ est plus
délicat. Quitte à restreindre $f$ à $X'$, on peut supposer $X' = X$,
-et la question devient celle définir l'image de $f$ : notamment, si
+et la question devient celle de définir l'image de $f$ : notamment, si
$k$ est algébriquement clos, quel est l'ensemble des $y \in Y(k)$ tels
qu'il existe $x \in X(k)$ pour lequel $f(x) = y$ ?
@@ -2865,7 +2865,7 @@ clos), pour tout $x \in X(k)$ on a $\dim_k T_x X \geq \dim X$.
Un point $x$ tel que l'espace tangent $T_x X$ à $X$ en ce point soit
d'une dimension (comme espace vectoriel) égale à la dimension de $X$
-(comme variété algébrique), c'est-à-dire la dimension maximale que
+(comme variété algébrique), c'est-à-dire la dimension minimale que
peut avoir cet espace tangent, est appelé un point \textbf{lisse} (ou
\textbf{régulier}, ou \textbf{nonsingulier}) de $X$. Lorsque tout
point de $X$ (sur un corps algébriquement clos !) est lisse, on dit
@@ -3089,7 +3089,7 @@ clôture algébrique), on note $\Gal(k)$ ou $\Gamma_k$ et on appelle
de corps de sa clôture algébrique qui laissent $k$ fixe
(i.e. $\sigma(x) = x$ pour tout $x\in k$).
-\textbf{Exemples :} Si $\Gamma_{\mathbb{R}} = \{\id_{\mathbb{C}},
+\textbf{Exemples :} $\Gamma_{\mathbb{R}} = \{\id_{\mathbb{C}},
(z\mapsto\bar z)\}$ est le groupe cyclique d'ordre $2$. Si $k$ est
algébriquement clos, $\Gamma_k$ est trivial. Si $k = \mathbb{F}_q$
est fini, $\Gamma_{\mathbb{F}_q}$ contient au moins toutes les
@@ -3232,7 +3232,7 @@ structure sur $k$ / l'action de Galois).
pas réunion de deux fermés plus petits définis sur $k$), cela
n'implique pas que $I_{k^{\alg}}$ soit premier, c'est-à-dire que
$X_{k^{\alg}}$ soit irréductible ; par contre, la réciproque est
-vraie. On dit parfois que $X$ est \emph{absolument irréducible} ou
+vraie. On dit parfois que $X$ est \emph{absolument irréductible} ou
\emph{géométriquement irréductible} lorsque $X_{k^{\alg}}$ est
irréductible. Contre-exemple : $Z(x^2+y^2)$ dans $\mathbb{A}^2$
sur $\mathbb{R}$ n'est pas absolument irréductible puisque sur