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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2014-04-29 15:26:38 +0200
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2014-04-29 15:26:38 +0200
commit82b9e69af7ad02a2516623d55400039297d94aee (patch)
tree3e2bd7f62bdec095d7c3b997998aeb08de0a2954 /notes-geoalg-2012.tex
parent81f7bd0492753dd2c21ef048ab493ce6437a15e1 (diff)
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Chevalley's theorem: the image is constructible, not necessarily locally closed.
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-rw-r--r--notes-geoalg-2012.tex11
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index 4e8ae38..3f3d072 100644
--- a/notes-geoalg-2012.tex
+++ b/notes-geoalg-2012.tex
@@ -2180,11 +2180,12 @@ points sur $k^{\alg}$) pour lequel $f(x) = y$ ?
\begin{thm}[Chevalley]\label{image-of-a-morphism-chevalley}
\begin{itemize}
\item L'image d'un morphisme $X \buildrel f\over\to Y$ entre variété
- quasiprojectives est localement fermée dans $Y$, au sens suivant :
- il existe $Y' \subseteq Y$ l'intersection d'un ouvert et d'un fermé
- dans $Y$ (c'est-à-dire une sous-variété quasiprojective de $Y$)
- telle que $y \in Y'$ si et seulement si il existe $x \in X$ pour
- lequel $f(x) = y$.
+ quasiprojectives est « constructible » dans $Y$, au sens suivant :
+ il existe $Y'_1,\ldots,Y'_s \subseteq Y$, chacun intersections d'un
+ ouvert et d'un fermé dans $Y$ (c'est-à-dire que chaque $Y'_i$ est
+ une sous-variété quasiprojective de $Y$), tels que, pour $y \in Y$,
+ on ait $\exists i (y \in Y'_i)$ si et seulement si il existe $x \in
+ X$ pour lequel $f(x) = y$.
\item Si $X$ est projective, alors l'image d'un morphisme $X \buildrel
f\over\to Y$ est un \emph{fermé} dans $Y$.
\end{itemize}