More about principal open sets. Too complicated?

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index 61b2cb3..29dd0fd 100644
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@@ -607,7 +607,7 @@ anneau $k$) alors $A[S^{-1}]$ est une $k$-algèbre de façon évidente
 (en composant le morphisme structural $k\to A$ par le morphisme
 naturel $A \to A[S^{-1}]$).
 
-\begin{prop}
+\begin{prop}\label{proprietes-localise}
 \begin{itemize}
 \item Le morphisme naturel $A \buildrel\iota\over\to A[S^{-1}]$ est
   injectif si et seulement si $S$ ne contient aucun diviseur de zéro.
@@ -1346,9 +1346,12 @@ est \emph{induite} par celle de $X$.)
 
 Si $I$ est engendré par les éléments $f_1,\ldots,f_r$, on peut écrire
 $U(I) = D(f_1) \cup \cdots \cup D(f_r)$ où $D(f_i) := U(\{f_i\})$ est
-l'ouvert où $f_i$ ne s'annule pas (les $D(f)$ s'appellent parfois
+l'ouvert où $f_i$ ne s'annule pas.  Les $D(f)$ s'appellent parfois
 \emph{ouverts principaux}, on verra plus loin pourquoi il est utile de
-les distinguer).
+les distinguer ; ceci montre qu'ils forment une \emph{base d'ouverts}
+(un ensemble d'ouverts est dit former une base d'ouverts pour une
+topologie lorsque tout ouvert est une réunion d'une sous-famille
+d'entre eux).
 
 \begin{prop}\label{recouvrement-par-ouverts-principaux}
 Si $X$ est une variété algébrique affine et $f_i \in \mathcal{O}(X)$
@@ -1365,6 +1368,9 @@ est l'idéal engendré par les $f_i$, et l'énoncé découle du
 Nullstellensatz faible.
 \end{proof}
 
+On aura besoin pour la suite de remarquer que $D(f) \cap D(f') =
+D(ff')$.
+
 \smallbreak
 
 Un peu de vocabulaire de topologie : dans ce qui suit, on suppose que
@@ -1583,7 +1589,7 @@ Toute cette motivation semble justifier d'identifier l'ouvert $U =
 D(t) = \{t : t\neq 0\}$ de $\mathbb{A}^1$ avec la variété algébrique
 affine $\Spec k[t,t^{-1}]$ associée à l'anneau $k[t,t{^-1}]$.
 
-Plus généralement, on part du :
+Plus généralement, on voudrait adopter le :
 \begin{princ}
 Si $f \in \mathcal{O}(X)$, avec $X$ une variété algébrique affine, on
 considérera $D(f)$ lui-même comme la variété algébrique affine $\Spec
@@ -1592,8 +1598,44 @@ $\mathcal{O}(X)[\frac{1}{f}]$ localisé de $\mathcal{O}(X)$
 inversant $f$.
 \end{princ}
 
+(Noter que $R[\frac{1}{f}] = R[z]/(zf-1)$ de façon générale.)
+
+Pour justifier que le principe ci-dessus est sensé, on a besoin d'un
+certains nombre de vérifications de routine, notamment :
+\begin{prop}
+Si $f \in \mathcal{O}(X)$, avec $X$ une variété algébrique affine sur
+un corps algébriquement clos $k$, et si $\iota\colon \mathcal{O}(X)
+\to \mathcal{O}(X)[\frac{1}{f}],\penalty-100\; h \mapsto \frac{h}{1}$
+désigne le morphisme naturel vers le localisé :
+\begin{itemize}
+\item les idéaux maximaux (resp. premiers)
+  de $\mathcal{O}(X)[\frac{1}{f}]$ sont en bijection avec les idéaux
+  maximaux de $\mathcal{O}(X)$ ne contenant pas $f$
+  (cf. \ref{proprietes-localise}) ; et si $\psi \colon D(f) \to \Spec
+  \mathcal{O}(X)[\frac{1}{f}]$ désigne cette bijection, envoyant un
+  point $x$ de $D(f) \subseteq X$, vu comme idéal maximal
+  $\mathfrak{m}_x$ de $\mathcal{O}(X)$ ne contenant pas $f$, sur le
+  point $\psi(x)$ défini par l'idéal maximal
+  $\iota^{-1}(\mathfrak{m}_x)$, alors :
+\item $\psi$ met en bijection les ouverts de Zariski de $X$ contenus
+  dans $D(f)$ avec les ouverts de Zariski de $X' := \Spec
+  \mathcal{O}(X)[\frac{1}{f}]$, et les ouverts principaux contenus
+  dans $D(f)$ (c'est-à-dire les $D(gf) = D(g)\cap D(f)$) avec les
+  ouverts principaux de $X'$ (et précisément $D(gf)$ avec
+  $D(\iota(g))$), et
+\item si $h \in \mathcal{O}(X)$ et $x \in D(f)$, alors $h(x)$ coïncide
+  avec $\iota(h)(\psi(x))$ (vus comme éléments de $k$).
+\end{itemize}
+\end{prop}
+
 De ce principe découlent :
 \begin{defn}
+Si $f \in \mathcal{O}(X)$, avec $X$ une variété algébrique affine,
+l'anneau des fonctions régulières sur $D(f)$ sera par définition
+$\mathcal{O}(X)[\frac{1}{f}]$.  Si $A$ est une $k$-algèbre, l'ensemble
+$D(f)(A)$ des $A$-points de $D(f)$ sera le sous-ensemble de $X(A)$
+formé des $x \in X(A)$ tels que $f(x) \in A$ soit inversible.
+
 Si $f \in \mathcal{O}(X)$, avec $X$ une variété algébrique affine, et
 $Y$ est une variété algébrique affine, un morphisme $D(f) \to Y$ sera
 identifié à la donnée d'un élément de $Y(\mathcal{O}(X)[\frac{1}{f}])$
@@ -1605,10 +1647,10 @@ de $Y$).
 
 Si $g \in \mathcal{O}(Y)$, avec $Y$ une variété algébrique affine, et
 $X$ est une variété algébrique affine, un morphisme $X \to D(g)$ sera
-identifié à la donnée d'un morphisme $h\colon X \to Y$ tel que $h^*(g)
-\in \mathcal{O}(X)$ (c'est-à-dire la composée de $h\colon X\to Y$ avec
-$g \in \mathcal{O}(Y)$ vu comme un morphisme $Y \to \mathbb{A}^1$)
-soit inversible.
+identifié à la donnée d'un morphisme $h\colon X \to Y$ tel que
+l'élément $h^*(g) \in \mathcal{O}(X)$ (c'est-à-dire la composée de
+$h\colon X\to Y$ avec $g \in \mathcal{O}(Y)$ vu comme un morphisme $Y
+\to \mathbb{A}^1$) soit inversible.
 
 Si $f \in \mathcal{O}(X)$, avec $X$ une variété algébrique affine, et
 si $g \in \mathcal{O}(Y)$, avec $Y$ une variété algébrique affine, un