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author | David A. Madore <david+git@madore.org> | 2010-06-04 14:03:40 +0200 |
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diff --git a/notes-geoalg.tex b/notes-geoalg.tex index 1d219c1..baa3ebd 100644 --- a/notes-geoalg.tex +++ b/notes-geoalg.tex @@ -2663,11 +2663,30 @@ une équation $g(z_{i0},\cdots,z_{ie}) = 0$ pour chaque $i$. % \subsection{La dimension} -\textbf{Rappel :} Si $K$ est un corps contenant un corps $k$, on -appelle \textbf{degré de transcendance} de $K$ sur $k$ et on note -$\degtrans_k(K)$ le cardinal de n'importe quelle base de transcendance -de $K$ sur $k$ (ensemble maximal d'éléments algébriquement -indépendants de $K$) : il ne dépend pas du choix de celle-ci. +\textbf{Rappel :} Si $K$ est un corps contenant un corps $k$, on dit +que des éléments $x_i$ de $K$ sont \textbf{algébriquement + indépendants} (comprendre : « collectivement transcendants ») +sur $k$ lorsque les seuls polynômes $f \in k[t_1,\ldots,t_d]$ tel que +$f(x_{i_1},\ldots,x_{i_d}) = 0$ pour certains $i_1,\ldots,i_d$ deux à +deux distincts sont les polynômes nuls. Ceci est équivalent au fait +que le sous-corps $k(x_i)$ de $K$ engendré par les $x_i$ avec $k$ est +isomorphe au corps des fractions rationnelles sur autant +d'indéterminées que de $x_i$ (il est plus simple de penser au cas où +les $x_i$ sont en nombre fini, qui nous suffira). On appelle +\textbf{base de transcendance} de $K$ sur $k$ un ensemble maximal +d'éléments algébriquement indépendants, c'est-à-dire, un ensemble de +$x_i$ algébriquement indépendants sur $k$ et tels que $K$ soit +algébrique sur le sous-corps $k(x_i)$ qu'ils engendrent au-dessus +de $k$. Une base de transcendance de $K$ sur $k$ existe toujours, et +toutes ont le même cardinal : on appelle celui-ci \textbf{degré de + transcendance} de $K$ sur $k$ et on le note $\degtrans_k(K)$. + +Par exemple, $\degtrans_k k(t_1,\ldots,t_d) = d$ (où +$k(t_1,\ldots,t_d)$ désigne le corps des fractions rationnelles en $d$ +indéterminées sur $k$). Lorsque $K$ est algébrique sur $k$, on a +$\degtrans_k K = 0$ et réciproquement. Par ailleurs, lorsque $k +\subseteq K \subseteq L$ sont trois corps, on a toujours $\degtrans_k L += \degtrans_k K + \degtrans_K L$. \begin{defn} Si $X$ est une variété \emph{irréductible} sur $k$, on appelle @@ -2679,7 +2698,8 @@ $X$ est une variété affine irréductible, $k(X)$ est le corps des fractions (noté $k(X)$) de $\mathcal{O}(X)$ (=l'anneau des fonctions régulières sur $X$, qui est intègre). De façon générale, $k(X)$ coïncide avec $k(U)$ pour n'importe quel ouvert non-vide=dense $U$ -de $X$. +de $X$ (on peut donc définir $k(X) = \Frac \mathcal{O}(U)$ pour $U$ un +ouvert dense de $X$). On appelle \textbf{dimension de $X$} le degré de transcendance sur $k$ de $k(X)$. @@ -2927,8 +2947,9 @@ Rappel : corps parfait = corps de caractéristique $0$ \emph{ou} de caractéristique $p$ tel que tout élément ait une racine $p$-ième = corps tel que tout polynôme irréductible soit à racines simples sur la clôture algébrique. Exemples : $\mathbb{R}$, $\mathbb{Q}$, -$\mathbb{F}_q$ sont parfaits. Contre-exemple : $\mathbb{F}_p(t)$ -n'est pas parfait ($t$ n'a pas de racine $p$-ième). +$\mathbb{F}_q$ sont parfaits comme l'est tout corps algébriquement +clos. Contre-exemple : $\mathbb{F}_p(t)$ n'est pas parfait ($t$ n'a +pas de racine $p$-ième). Si $k$ est un corps parfait (et qu'on en fixe une fois pour toutes une clôture algébrique), on note $\Gal(k)$ ou $\Gamma_k$ et on appelle @@ -2946,7 +2967,10 @@ mais « en gros » il n'y a que les puissances du Frobenius (au sens : la restriction de tout $\sigma \in \Gamma_{\mathbb{F}_q}$ à un $\mathbb{F}_{q^n}$ est de la forme $\Frob_q^i$ pour un certain $i \in \mathbb{Z}$ (qu'on peut voir dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ si on -préfère). +préfère) ; en tout cas, pour voir qu'un élément de $k^{\alg}$ (ou de +n'importe quoi qui sera considéré plus bas) est fixé/stable par +$\Gamma_{\mathbb{F}_q}$, il suffit de vérifier qu'il est fixé/stable +par $\Frob_q$. \begin{thm}\label{rationnel-ssi-fixe-par-galois} Si $k$ est un corps parfait de clôture algébrique $k^{\alg}$, un |