Sum of ramification indices is the degree.

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index 7e2b373..dfdecea 100644
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@@ -2818,6 +2818,7 @@ qu'il existe $x \in X(k)$ pour lequel $f(x) = y$ ?
 
 %
 \subsection{Vecteurs tangents et points lisses}
+\label{subsection-tangent-vectors-and-smooth-points}
 
 Si $X$ est une variété quasiprojective sur un corps (algébriquement
 clos) $k$, on appelle \textbf{vecteur tangent} à $X$ un élément de
@@ -4167,6 +4168,44 @@ k(h) \subseteq k(C)$.  En voyant $h$ comme $h^*(t)$, on voit que $e_P
 $\infty$ alors $e_P = \ord_P (h-h(P))$.
 \end{rmk}
 
+\begin{prop}
+Pour $h \colon C' \to C$ un morphisme non constant entre courbes
+sur $k$ et $P$ un point de $C'$ (sur $k^{\alg}$), l'indice de
+ramification $e_P$ de $h$ en $P$ vaut $1$ ssi $h$ est lisse en $P$
+(c'est-à-dire que $dh_P \colon T_P C' \to T_P C$ est un
+isomorphisme\footnote{La définition de la lissité demande seulement
+  que $dh_P$ soit surjective, mais comme les espaces au départ et à
+  l'arrivée ont même dimension, c'est alors un isomorphisme.} de
+$k^{\alg}$-espaces vectoriels de dimension $1$,
+cf. \ref{subsection-tangent-vectors-and-smooth-points} \textit{in
+  fine}).
+\end{prop}
+
+\begin{prop}
+Soit $h \colon C' \to C$ un morphisme non constant entre courbes
+sur $k$.  Pour tout point $Q$ de $C$, on a
+\[
+\sum_{h(P)=Q} e_P = \deg h
+\]
+où la somme est prise sur tous les points $P$ de $C'$ (sur $k^{\alg}$)
+tels que $h(P) = Q$.
+\end{prop}
+\begin{proof}[Idée-clé de démonstration]
+Soit $U$ un ouvert affine de $C$ contenant $Q$, et $U' = h^{-1}(U)$
+son image réciproque dans $C'$ (qui est également affine) ; on
+considère la $k$-algèbre $\mathcal{O}(U')/h^*\mathfrak{m}_Q
+\mathcal{O}(U')$ des fonctions sur $U'$ modulo l'idéal
+$h^*\mathfrak{m}_Q$ engendré par les $h\circ f$ avec $f \in
+\mathcal{O}(U)$ : on peut montrer que cette $k$-algèbre
+$\mathcal{O}(U')/h^*\mathfrak{m}_Q \mathcal{O}(U')$ est un $k$-espace
+vectoriel de dimension $\deg h$.  Mais le lemme
+d'approximation \ref{approximation-lemma} permet de montrer que cette
+algèbre est le produit d'algèbres $\mathcal{O}(U)/\mathfrak{m}_P
+\mathcal{O}(U)$ où $\mathfrak{m}_P$ parcourt les idéaux maximaux tels
+que $h(P)=Q$ (un seul par orbite sous Galois), et la dimension de ce
+produit est $\sum_{h(P)=Q} e_P$.
+\end{proof}
+
 
 
 %