Abstract (affine) algebraic varieties, and the Spec of an algebra.

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@@ -40,6 +40,7 @@
 \newcommand{\id}{\operatorname{id}}
 \newcommand{\Frob}{\operatorname{Frob}}
 \newcommand{\Frac}{\operatorname{Frac}}
+\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
 \renewcommand{\qedsymbol}{\smiley}
 %
 \DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~}
@@ -455,7 +456,7 @@ En itérant ce résultat, on voit que si $A$ est noethérien, alors
 $A[t_1,\ldots,t_d]$ l'est pour tout $d\in\mathbb{N}$.  Comme un
 quotient d'un anneau noethérien est encore noethérien :
 
-\begin{defn}
+\begin{defn}\label{algebre-de-type-fini}
 Une $A$-algèbre $B$ est dite \textbf{de type fini} (comme $A$-algèbre)
 lorsqu'il existe $x_1,\ldots,x_d \in B$ (qu'on dit \emph{engendrer}
 $B$ comme $A$-algèbre) tel que tout élément de $B$ s'écrive
@@ -1244,6 +1245,66 @@ défini par $e$ fonctions régulières sur $X$ (c'est-à-dire $Y$ plongé
 dans $\mathbb{A}^e$), les fonctions définissant $f|_{X'}$ sont
 simplement $f_1|_{X'},\ldots,f_e|_{X'}$.
 
+\medbreak
+
+\textbf{Variétés algébriques affines abstraites, et le spectre d'une
+  algèbre.}
+
+\textbf{Note :} On considère que deux variétés algébriques (affines)
+sont « la même » lorsqu'elle sont isomorphes, alors que deux fermés de
+Zariski sont « le même » lorsqu'ils sont égaux dans le $\mathbb{A}^d$
+dans lequel ils vivent.  Par exemple, la cubique gauche $C^\sharp$
+décrite ci-dessus, en tant que fermé de Zariski, n'est pas une droite,
+mais en tant que variété algébrique affine c'est juste $\mathbb{A}^1$
+puisqu'on a montré qu'elle lui était isomorphe.  Ou, si on préfère, un
+fermé de Zariski de $\mathbb{A}^d$ est la donnée d'une variété
+algébrique affine \emph{plus} un plongement de celle-ci
+dans $\mathbb{A}^d$.
+
+Dans cette optique, si $R$ est une $k$-algèbre de type fini (on
+rappelle, cf. \ref{algebre-de-type-fini}, que cela signifie que $R$
+est engendrée en tant qu'algèbre par un nombre fini d'éléments
+$x_1,\ldots,x_d$, autrement dit que $R$ peut se voir comme le quotient
+de $k[t_1,\ldots,t_d]$ par un idéal $(f_1,\ldots,f_r)$ de ce dernier)
+et si $R$ est réduite, alors on peut voir $R$ comme l'anneau
+$\mathcal{O}(X)$ pour une certaine variété algébrique $X$, à savoir le
+$X = Z(f_1,\ldots,f_r)$ défini par les équations
+$f_1=0,\ldots,\penalty-100 f_r=0$ dans $\mathbb{A}^d$.  Cette variété
+est unique en ce sens que toutes les variétés $X$ telles que
+$\mathcal{O}(X) = R$ sont isomorphes (puisque leurs $\mathcal{O}(X)$
+sont isomorphes, justement).  On peut donc donner un nom à $X$ : c'est
+le \textbf{spectre} de $R$, noté $\Spec R$.  (Par exemple, $\Spec k[t]
+= \mathbb{A}^1_k$ et plus généralement $\Spec k[t_1,\ldots,t_d] =
+\mathbb{A}^d_k$.  Et bien sûr, $\Spec k$ est vu comme un point, ou,
+pour être plus explicite, un $k$-point.)
+
+(\emph{Avertissement 1 :} Tout le monde est d'accord sur l'identité de
+$\Spec R$ en tant qu'objet géométrique, en l'occurrence, une variété
+algébrique affine ; par exemple, $\Spec k[x,y]/(x^2+y^2-1)$ est
+indubitablement une vision idéalisée du « cercle unité ».  Néanmoins,
+il existe différentes façons de formaliser la notion de variété
+algébrique : comme nous nous sommes placés sur $k$ un corps
+algébriquement clos, nous avons vu $\Spec R$ plutôt comme l'ensemble
+des idéaux maximaux de $R$ ; une description qui marche mieux en
+général, et qu'on retrouve souvent, consiste à formaliser $\Spec R$
+comme l'ensemble des idéaux \emph{premiers} de $R$ ; enfin, une autre
+description, tout à fait générale, consiste à voir $\Spec R$ par ce
+qu'on a appelé son foncteur des points, c'est-à-dire la donnée pour
+chaque $k$-algèbre $A$ de l'ensemble $(\Spec R)(A) = \Hom_k(R,A)$, et
+pour chaque morphisme de $k$-algèbres $\varphi\colon A \to A'$, de
+l'application $(\Spec R)(\varphi) \colon \Hom_k(R,A) \to \Hom_k(R,A')$
+qui s'en déduit.)
+
+(\emph{Avertissement 2 :} Les gens savants n'ont pas peur de définir
+$\Spec R$ même si $R$ n'est pas réduite, c'est-à-dire, a des
+nilpotents.  Il faut imaginer, par exemple, que si $R = k[\varepsilon]
+:= k[t]/(t^2)$, alors $\Spec R$ est un point « un peu épaissi », ou
+entouré d'un « flou infinitésimal », comparé à $\Spec k$ qui est un
+point sans ornement de ce genre.  Ce point de vue rend plus difficile
+la vision géométrique des choses, mais a des avantages considérables,
+par exemple qu'un morphisme $\Spec k[\varepsilon] \to X$ peut se voir
+comme un vecteur tangent à $X$.)
+
 %
 \subsection{La topologie de Zariski}