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path: root/notes-mdi349.tex
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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2010-05-17 14:44:57 +0200
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2010-05-17 14:44:57 +0200
commit8d2e7a2ab276eb412243714149060820e7232a56 (patch)
tree9e060fa15adbbd673c1b934b140f86830dbafd93 /notes-mdi349.tex
parent09958e86fd6906a0f49bad0390fc8e9baa724731 (diff)
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An example (the morphism parametrizing the plane cubic with a cusp).
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-rw-r--r--notes-mdi349.tex14
1 files changed, 14 insertions, 0 deletions
diff --git a/notes-mdi349.tex b/notes-mdi349.tex
index a6f81f7..c0c46b1 100644
--- a/notes-mdi349.tex
+++ b/notes-mdi349.tex
@@ -1069,6 +1069,20 @@ Réci\-pro\-quement, donné un morphisme $\varphi\colon \mathcal{O}(Y) \to
est celui qui à un point $x \in X$ associe le $y \in Y$ défini par
$h(y) = \varphi(h)(x)$ pour tout $h \in \mathcal{O}(Y)$.
+\smallbreak
+
+\textbf{Un exemple :} Considérons $C = V(g)$ où $g = y^2 - x^3 \in
+k[x,y]$ (anneau des polynômes à deux indéterminées $x,y$ sur un corps
+algébriquement clos $k$), et $\mathbb{A}^1$ la droite affine sur $k$.
+On a $\mathcal{O}(C) = k[x,y]/(y^2-x^3)$ et $\mathcal{O}(\mathbb{A}^1)
+= k[t]$. On définit un morphisme $\mathbb{A}^1 \buildrel f\over\to C$
+par $t \mapsto (t^2,t^3)$ : ce morphisme correspond à un morphisme
+d'anneaux dans l'autre sens, $\mathcal{O}(C) \buildrel f^*\over\to
+\mathcal{O}(\mathbb{A}^1)$, donné par $x \mapsto t^2$ et $y \mapsto
+x^3$. Ce morphisme n'est pas un isomorphisme car $t$ n'est pas dans
+l'image de $f^*$. Ceci, bien que $\mathbb{A}^1(k) \to C(k)$ soit une
+bijection au niveau des $k$-points.
+
%
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