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@@ -195,7 +195,12 @@ $\mathbb{F}_q$ bien que $\cos\theta,\sin\theta$ n'aient pas de sens !)
 
 \emph{Remarque :} Tout élément $f$ de l'anneau
 $\mathbb{R}[x,y]/(x^2+y^2-1)$ définit une fonction réelle sur le
-cercle $C(\mathbb{R})$.
+cercle $C(\mathbb{R})$ : ces fonctions s'appellent « polynômes
+  trigonométriques ».  Tout élément de l'anneau
+$\mathbb{Z}[x,y]/(x^2+y^2-1)$ définit une fonction (à valeurs
+dans $k$) sur \emph{n'importe quel} $C(k)$.  On verra aussi plus loin
+qu'un élément de $C(k)$ peut se voir comme un morphisme d'anneaux
+$\mathbb{Z}[x,y]/(x^2+y^2-1) \to k$.
 
 
 %
@@ -243,6 +248,14 @@ que si $x^n \in \mathfrak{r}$ alors $x \in \mathfrak{r}$.  Propriété
 équivalente : c'est un idéal $\mathfrak{r}$ tel que $A/\mathfrak{r}$
 soit réduit.
 
+\emph{Exemples :} L'idéal $7\mathbb{Z}$ de $\mathbb{Z}$ est maximal
+(le quotient $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ est un corps), donc \textit{a
+  fortiori} premier et radical.  L'idéal $0$ de $\mathbb{Z}$ est
+premier mais non maximal (le quotient $\mathbb{Z}/0\mathbb{Z} =
+\mathbb{Z}$ est un anneau intègre mais non un corps).  L'idéal
+$6\mathbb{Z}$ de $\mathbb{Z}$ est radical mais n'est pas premier.
+L'idéal $9\mathbb{Z}$ de $\mathbb{Z}$ n'est pas radical.
+
 \smallbreak
 
 Un anneau est un corps ssi son idéal $(0)$ est maximal.  Un anneau est
@@ -268,8 +281,8 @@ l'inclusion (c'est-à-dire telle que pour $I,I' \in \mathscr{T}$ on a
 soit $I \subseteq I'$ soit $I \supseteq I'$) la réunion $\bigcup_{I
   \in \mathscr{T}} I$ soit contenue dans un élément de $\mathscr{F}$.
 Alors il existe dans $\mathscr{F}$ un élément $\mathfrak{M}$ maximal
-pour l'inclusion (c'est-à-dire tel que $I \subseteq \mathfrak{M}$ pour
-tout $I \in \mathscr{F}$).
+pour l'inclusion (c'est-à-dire que si $I \supseteq \mathfrak{M}$ avec
+$I \in \mathscr{F}$ alors $I=\mathfrak{M}$).
 \end{lem}
 
 \begin{prop}
@@ -277,12 +290,21 @@ Dans un anneau $A$, tout idéal strict (=autre que $A$) est inclus dans
 un idéal maximal.
 \end{prop}
 \begin{proof}
-Si $I$ est un idéal strict de $A$, on applique le lemme de Zorn à
-$\mathscr{F}$ l'ensemble des idéaux stricts de $A$ contenant $I$.  Si
-$\mathscr{T}$ est une chaîne (=partie totalement ordonnée pour
-l'inclusion) de tels idéaux, la réunion $\bigcup_{I \in \mathscr{T}}
-I$ en est encore un.  Le principe maximal de Hausdorff permet de
-conclure.
+Si $I$ est un idéal strict de $A$, on applique le principe maximal de
+Hausdorff à $\mathscr{F}$ l'ensemble des idéaux stricts de $A$
+contenant $I$.  Si $\mathscr{T}$ est une chaîne (=partie totalement
+ordonnée pour l'inclusion) de tels idéaux, la réunion $\bigcup_{I \in
+  \mathscr{T}} I$ en est encore un\footnote{La réunion de deux idéaux
+  n'est généralement pas un idéal, car si $x\in I$ et $x' \in I'$, la
+  somme $x+x'$ n'a pas de raison d'appartenir à $I\cup I'$.  En
+  revanche, si $\mathscr{T}$ est une famille d'idéaux totalement
+  ordonnée par l'inclusion, alors $\bigcup_{I \in \mathscr{T}} I$ est
+  un idéal : si $x\in I$ et $x' \in I'$, où $I,I'\in \mathscr{T}$, on
+  peut écrire soit $I \subseteq I'$ soit $I'\subseteq I$, et dans un
+  cas comme dans l'autre on a $x+x' \in \bigcup_{I \in \mathscr{T}}
+  I$.} (pour voir que la réunion est encore un idéal strict, remarquer
+que $1$ n'y appartient pas).  Le principe maximal de Hausdorff permet
+de conclure.
 \end{proof}
 
 \begin{prop}
@@ -305,12 +327,18 @@ $z^n$ : un tel idéal existe d'après le principe maximal de Hausdorff
 (il existe un idéal ne contenant aucun $z^n$, à savoir $\{0\}$).
 Montrons qu'il est premier : si $x,y \not \in \mathfrak{p}$, on veut
 voir que $xy \not\in \mathfrak{p}$.  Par maximalité de $\mathfrak{p}$,
-chacun des idéaux $\mathfrak{p}+(x)$ et $\mathfrak{p}+(y)$ doit
-rencontrer $\{z^n\}$, c'est-à-dire qu'on doit pouvoir trouver deux
-éléments de la forme $f+ax$ et $g+by$ avec $f,g\in\mathfrak{p}$ et
-$a,b\in A$, qui soient des puissances de $z$ ; leur produit est alors
-aussi une puissance de $z$, donc n'est pas dans $\mathfrak{p}$, donc
-$abxy \not\in\mathfrak{p}$ (car les trois autres termes sont
+chacun des idéaux\footnote{On rappelle que si $I,J$ sont deux idéaux
+  d'un anneau, l'ensemble $I + J = \{u+v : u\in I, v\in J\}$ est un
+  idéal, c'est l'idéal engendré par $I\cup J$, c'est-à-dire, le plus
+  petit idéal contenant $I$ et $J$ ; on l'appelle idéal somme de $I$
+  et $J$.  Dans le cas particulier où $J = (x)$ est engendré par un
+  élément, c'est donc l'idéal engendré par $I\cup\{x\}$.}
+$\mathfrak{p}+(x)$ et $\mathfrak{p}+(y)$ doit rencontrer $\{z^n\}$,
+c'est-à-dire qu'on doit pouvoir trouver deux éléments de la forme
+$f+ax$ et $g+by$ avec $f,g\in\mathfrak{p}$ et $a,b\in A$, qui soient
+des puissances de $z$ ; leur produit est alors aussi une puissance
+de $z$, donc n'est pas dans $\mathfrak{p}$, donc $abxy
+\not\in\mathfrak{p}$ (car les trois autres termes sont
 dans $\mathfrak{p}$), et a plus forte raison $xy \not\in
 \mathfrak{p}$.
 \end{proof}
@@ -358,9 +386,9 @@ A$.
 
 Module libre = il existe une base $(x_i)$, c'est-à-dire une famille
 (non né\-ces\-sairement finie) telle que tout $x \in M$ peut s'écrire
-$\sum_i a_i x_i$ pour certains $a_i \in A$ tous nuls sauf un nombre
-fini et \emph{uniquement définis} (c'est-à-dire que $\sum_i a_i x_i =
-0$ implique $a_i = 0$ pour tout $i$).
+\emph{de façon unique} comme $\sum_i a_i x_i$ pour certains $a_i \in
+A$ tous nuls sauf un nombre fini (de façon unique, c'est-à-dire que
+$\sum_i a_i x_i = 0$ implique $a_i = 0$ pour tout $i$).
 
 %
 \subsection{Anneaux noethériens}
@@ -406,7 +434,7 @@ engendrent l'idéal $J$ engendré par tous les $c_i$.  Montrons qu'en
 fait $f_0,\ldots,f_{m-1}$ engendrent $I$ (ce qui constitue une
 contradiction).
 
-On peut écrire $a_m = a_0 c_0 + \cdots + a_{m-1} c_{m-1}$.  Par
+On peut écrire $c_m = a_0 c_0 + \cdots + a_{m-1} c_{m-1}$.  Par
 ailleurs, le degré de $f_m$ est supérieur ou égal au degré de chacun
 de $f_0,\ldots,f_{m-1}$ par minimalité de ces derniers.  On peut donc
 construire le polynôme $g = \sum_{i=0}^{m-1} a_i f_i t^{\deg f_m -
@@ -422,9 +450,10 @@ $A[t_1,\ldots,t_d]$ l'est pour tout $d\in\mathbb{N}$.  Comme un
 quotient d'un anneau noethérien est encore noethérien :
 
 \begin{defn}
-Une $A$-algèbre $B$ est dite \emph{de type fini} (comme $A$-algèbre)
-lorsqu'il existe $x_1,\ldots,x_d \in B$ tel que tout élément de $B$
-s'écrive $f(x_1,\ldots,x_d)$ pour un certain polynôme $f \in
+Une $A$-algèbre $B$ est dite \textbf{de type fini} (comme $A$-algèbre)
+lorsqu'il existe $x_1,\ldots,x_d \in B$ (qu'on dit \emph{engendrer}
+$B$ comme $A$-algèbre) tel que tout élément de $B$ s'écrive
+$f(x_1,\ldots,x_d)$ pour un certain polynôme $f \in
 A[t_1,\ldots,t_d]$.
 \end{defn}
 
@@ -432,7 +461,17 @@ A[t_1,\ldots,t_d]$.
 fini comme $A$-module.  Lorsque c'est le cas, on dit que $B$ est une
 $A$-algèbre \emph{finie}, ce qui est plus fort car cela signifie que
 $f$ serait de degré $1$.  (Par exemple, $k[t]$ est une $k$-algèbre de
-type fini, mais pas finie.)
+type fini, engendrée par $t$, mais pas finie.)
+
+Dire que $B$ est une $A$-algèbre de type fini engendrée par
+$x_1,\ldots,x_d$ signifie donc que le morphisme $\xi\colon
+A[t_1,\ldots,t_d] \to B$ défini par $f \mapsto f(x_1,\ldots,x_d)$ est
+\emph{surjectif}.  Par conséquent, si $I$ désigne le noyau de ce
+morphisme (c'est-à-dire l'ensemble des $f \in A[t_1,\ldots,t_d]$ qui
+s'annulent en $(x_1,\ldots,x_d)$) alors $\xi$ définit un isomorphisme
+$A[t_1,\ldots,t_d]/I \buildrel\sim\over\to B$.  On peut donc dire :
+une $A$-algèbre de type fini est un quotient de $A[t_1,\ldots,t_d]$
+(pour un certain $d$).
 
 \begin{cor}
 Une algèbre de type fini sur un anneau noethérien, et en particulier