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diff --git a/notes-geoalg.tex b/notes-geoalg.tex index b12fcbd..73c9255 100644 --- a/notes-geoalg.tex +++ b/notes-geoalg.tex @@ -1078,27 +1078,29 @@ On appelle provisoirement \textbf{variété algébrique affine} dans $k^d$ (toujours avec $k$ algébriquement clos) un fermé de Zariski $X$ de $k^d$. Pourquoi cette terminologie redondante ? Le terme « fermé de Zariski » insiste sur $X$ en tant que plongée dans l'espace -affine $\mathbb{A}^d$. Le terme de « variété algébrique - affine » insiste sur l'aspect intrinsèque de $X$, muni de ses -propres fermés de Zariski et de ses propres fonctions régulières. On -a vu ci-dessus comment associer à $X$ un anneau $\mathcal{O}(X)$ des -fonctions régulières, et, pour chaque $k$-algèbre, on a identifié -l'ensemble $X(A)$ des $A$-points de $X$ avec $\Hom_k(\mathcal{O}(X), -A)$. +affine $\mathbb{A}^d$. Le terme de « variété algébrique affine » +insiste sur l'aspect intrinsèque de $X$, muni de ses propres fermés de +Zariski et de ses propres fonctions régulières, qu'on va maintenant +présenter. On a vu ci-dessus comment associer à $X$ un anneau +$\mathcal{O}(X)$ des fonctions régulières, et, pour chaque +$k$-algèbre, on a identifié l'ensemble $X(A)$ des $A$-points de $X$ +avec $\Hom_k(\mathcal{O}(X), A)$. On veut maintenant définir des morphismes entre ces variétés algébriques. Une fonction régulière doit être la même chose qu'un morphisme vers la droite affine. On définit donc : \begin{itemize} -\item un morphisme $f$ de $X$ vers l'espace affine $\mathbb{A}^e$ de - dimension $e$ est la donnée de $e$ fonctions régulières sur $X$, - c'est-à-dire d'un $e$-uplet d'éléments de $\mathcal{O}(X)$, -\item un morphisme $f$ de $X$ vers le fermé de Zariski $Y = Z(J)$ - défini dans l'espace affine $\mathbb{A}^e$ par un idéal $J = - (g_1,\ldots,g_r)$ est la donnée d'un $e$-uplet $(f_1,\ldots,f_e) \in - \mathcal{O}(X)^e$ comme ci-dessus, vérifiant de plus les contraintes - $g_j(f_1,\ldots,f_e) = 0$ pour tout $j$ (cela revient à demander - $g_j(f_1(x),\ldots,f_e(x)) = 0$ pour tout $j$ et tout $x\in X$) ; +\item un morphisme [de $k$-variétés algébriques affines] $f$ de $X$ + vers l'espace affine $\mathbb{A}^e$ de dimension $e$ est la donnée + de $e$ fonctions régulières sur $X$, c'est-à-dire d'un $e$-uplet + d'éléments de $\mathcal{O}(X)$, +\item un morphisme [de $k$-variétés algébriques affines] $f$ de $X$ + vers le fermé de Zariski $Y = Z(J)$ défini dans l'espace + affine $\mathbb{A}^e$ par un idéal $J = (g_1,\ldots,g_r)$ est la + donnée d'un $e$-uplet $(f_1,\ldots,f_e) \in \mathcal{O}(X)^e$ comme + ci-dessus, vérifiant de plus les contraintes $g_j(f_1,\ldots,f_e) = + 0$ pour tout $j$ (cela revient à demander $g_j(f_1(x),\ldots,f_e(x)) + = 0$ pour tout $j$ et tout $x\in X$) ; \item on dit qu'un morphisme comme ci-dessus envoie le point $x \in X$ sur le point $(f_1(x),\ldots,f_e(x)) \in Y$ (c'est-à-dire, le point $(f_1(x),\ldots,f_e(x)) \in k^e$, qui se trouve appartenir à $Y$) ; @@ -1121,17 +1123,18 @@ morphisme vers la droite affine. On définit donc : tout $x \in X(k)$ (ou même tout $x \in X(A)$). \end{itemize} -À ce moment-là, on doit se rappeler le lemme de Yoneda : se donner -pour chaque $k$-algèbre $A$ une application $X(A) \to Y(A)$, -c'est-à-dire $\Hom_k(\mathcal{O}(X),A) \to \Hom_k(\mathcal{O}(Y),A)$, -quitte à vérifier des commutations aux morphismes $A \to A'$ qu'on -passera sous silence, c'est la même chose que se donner un morphisme -$\mathcal{O}(Y) \to \mathcal{O}(X)$. On peut donc définir tout -simplement : +Pour dire les choses autrement, un morphisme $X \to \mathbb{A}^e$ est +la donnée d'un $e$-uplet d'éléments de $\mathcal{O}(X)$, c'est-à-dire +un élément de $\mathbb{A}^e(\mathcal{O}(X))$, et un morphise $X \to Y$ +où $Y = Z(g_1,\ldots,g_r)$ est la donné d'un élément de +$Y(\mathcal{O}(X))$. Ceci est encore équivalent à un morphisme de +$k$-algèbres $f^* \colon \mathcal{O}(Y) \to \mathcal{O}(X)$, d'où la +philosophie suivante : \begin{center} -Un morphisme de $k$-variétés affines $X \to Y$ est la même chose qu'un -morphisme de $k$-algèbres $\mathcal{O}(Y) \to \mathcal{O}(X)$. +Un morphisme de $k$-variétés algébriques affines $f\colon X \to Y$ est +``la même chose'' qu'un morphisme de $k$-algèbres $f^*\colon +\mathcal{O}(Y) \to \mathcal{O}(X)$. \end{center} Concrètement, avec les notations ci-dessus, le morphisme @@ -1144,6 +1147,44 @@ $h(y) = \varphi(h)(x)$ pour tout $h \in \mathcal{O}(Y)$. \smallbreak +Il faut bien se rendre compte que le meme objet --- un morphisme $f +\colon X \to Y$ de $k$-variétés algébriques --- peut être représenté +par différentes données plus ou moins équivalentes : +\begin{itemize} +\item ($Y$ étant plongé dans $\mathbb{A}^e$ comme + $Z(g_1,\ldots,g_r)$,) $e$ éléments de $\mathcal{O}(X)$ vérifiant les + équations $g_j(f_1,\ldots,f_e) = 0$ pour tout $j$, +\item ($Y$ étant plongé dans $\mathbb{A}^e$ comme $Z(g_1,\ldots,g_r)$, + et $X$ dans $\mathbb{A}^d$ comme $Z(I)$,) $e$ éléments $\tilde + f_1,\ldots,\tilde f_e \in k[t_1,\ldots,t_d]$, vus modulo $I$, + définissant une fonction polynomiale $\mathbb{A}^d \to \mathbb{A}^e$ + telle qu'il se trouve que $g_j(\tilde f_1,\ldots,\tilde f_e) \in I$ + pour tout $j$, +\item ($Y$ étant plongé dans $\mathbb{A}^e$ comme $Z(g_1,\ldots,g_r)$, + et $X$ dans $\mathbb{A}^d$ comme $Z(I)$, et en utilisant le fait que + $k$ est algébriquement clos,) une fonction de $X(k)$ vers $Y(k)$ qui + se trouve être la restriction d'une fonction polynomiale $k^d \to + k^e$ (c'est-à-dire donnée par $x \mapsto \tilde f_1(x),\ldots,\tilde + f_e(x)$ pour certains $\tilde f_1,\ldots,\tilde f_e \in + k[t_1,\ldots,t_d]$) qui se trouve avoir envoyer $X(k)$ dans $Y(k)$, +\item un élément de $Y(\mathcal{O}(X))$, +\item un morphisme d'anneaux $\mathcal{O}(Y) \to \mathcal{O}(X)$, +\item pour chaque $k$-algèbre $A$, une application $X(A) \buildrel + f(A)\over\to Y(A)$ telle que si $A \buildrel\psi\over\to A'$ est un + morphisme de $k$-algèbres, alors les deux composées $X(A) \buildrel + X(\psi)\over\to X(A') \buildrel f(A')\over\to Y(A')$ et $X(A) + \buildrel f(A)\over\to Y(A) \buildrel Y(\psi)\over\to Y(A')$ + coïncident (cf. lemme de Yoneda). +\end{itemize} +On aura tendance à confondre silencieusement tout ou partie de ces +objets. + +Certaines de ces présentations ne se généraliseront pas (si $k$ n'est +pas algébriquement clos, si la variété n'est plus affine...) : la +dernière est, de ce point de vue, la plus robuste. + +\smallbreak + \textbf{Un exemple :} Considérons $C = Z(g)$ où $g = y^2 - x^3 \in k[x,y]$ (anneau des polynômes à deux indéterminées $x,y$ sur un corps algébriquement clos $k$), et $\mathbb{A}^1$ la droite affine sur $k$. |