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diff --git a/notes-mdi349.tex b/notes-mdi349.tex new file mode 100644 index 0000000..0a09f2a --- /dev/null +++ b/notes-mdi349.tex @@ -0,0 +1,210 @@ +%% This is a LaTeX document. Hey, Emacs, -*- latex -*- , get it? +\documentclass[12pt,a4paper]{article} +\usepackage[francais]{babel} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage{times} +% A tribute to the worthy AMS: +\usepackage{amsmath} +\usepackage{amsfonts} +\usepackage{amssymb} +\usepackage{amsthm} +% +\usepackage{mathrsfs} +\usepackage{wasysym} +\usepackage{url} +% +\usepackage{graphics} +\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor} +\usepackage{tikz} +% +\theoremstyle{definition} +\newtheorem{comcnt}{Tout}[subsection] +\newcommand\thingy{% +\refstepcounter{comcnt}\smallbreak\noindent\textbf{\thecomcnt.} } +\newtheorem{defn}[comcnt]{Définition} +\newtheorem{prop}[comcnt]{Proposition} +\newtheorem{lem}[comcnt]{Lemme} +\newtheorem{thm}[comcnt]{Théorème} +\newtheorem{cor}[comcnt]{Corollaire} +\newtheorem{rmk}[comcnt]{Remarque} +\newtheorem{exmps}[comcnt]{Exemples} +\newcommand{\limp}{\mathrel{\Rightarrow}} +\newcommand{\liff}{\mathrel{\Longleftrightarrow}} +\newcommand{\pgcd}{\operatorname{pgcd}} +\newcommand{\ppcm}{\operatorname{ppcm}} +\newcommand{\signe}{\operatorname{signe}} +\newcommand{\tee}{\mathbin{\top}} +\newcommand{\Frob}{\operatorname{Frob}} +\renewcommand{\qedsymbol}{\smiley} +\DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~} +% +% +% +\begin{document} +\title{\underline{Brouillon} de notes de cours\\de géométrie algébrique} +\author{David A. Madore} +\maketitle + +\centerline{\textbf{MDI349}} + +% +% +% + +\section*{Conventions} + +Sauf précision expresse du contraire, tous les anneaux considérés sont +commutatifs et ont un élément unité (noté $1$). + +Si $k$ est un anneau, une \emph{$k$-algèbre} (là aussi : implicitement +commutative) est la donnée d'un morphisme d'anneaux $k +\buildrel\varphi\over\to A$. On peut multiplier un élément de $A$ par +un élément de $k$ avec : $c\cdot x = \varphi(c)\,x \in A$ (pour $c\in +k$ et $x\in A$). + + +% +% +% + +\section{Introduction / motivations} + +Qu'est-ce que la géométrie algébrique ? En condensé : +\begin{itemize} +\item\textbf{But :} Étudier les solutions de systèmes d'équations + polynomiales dans un corps ou un anneau quelconque, ou des objets + apparentés. (Étudier = étudier leur existence, les compter, les + paramétrer, les relier, définir une structure dessus, etc.) +\item\textbf{Géométrie :} Voir de tels systèmes d'équations comme des + objets géo\-mé\-triques, soit plongés dans un espace ambiant (espace + affine, espace projectif), soit intrinsèques ; leur appliquer des + concepts de géométrie (espace tangent, étude locale de singularités, + etc.). +\item\textbf{Moyens :} L'étude locale de ces objets passe par les + fonctions définies dessus, qui sont des anneaux tout à fait + généraux, donc l'\emph{algèbre commutative} (étude des anneaux + commutatifs et de leurs idéaux). +\end{itemize} + +\smallbreak + +Problèmes \emph{géométriques} = étude de solutions sur des corps +algébriquement clos (e.g., $\mathbb{C}$ : géométrie algébrique +complexe ; $\bar{\mathbb{F}}_p$) ou « presque » (e.g., $\mathbb{R}$ : +géométrie algébrique réelle). Problèmes \emph{arithmétiques} = sur +des corps loin d'être algébriquement clos (e.g., $\mathbb{Q}$ : +géométrie arithmétique), ou des anneaux plus gé\-né\-raux +(e.g., $\mathbb{Z}$ : idem, « équations diophantiennes »). + +Applications : cryptographie et codage (géométrie sur $\mathbb{F}_q$), +calcul formel, robotique (géométrie sur $\mathbb{R}$), analyse +complexe (géométrie sur $\mathbb{C}$), théorie des nombres +(sur $\mathbb{Q}$, corps de nombres...), etc. + +\smallbreak + +\textbf{Un exemple :} Pour tout anneau $k$, on définit $C(k) = +\{(x,y)\in k^2 : x^2+y^2 = 1\}$. Interprétation géométrique : ceci +est un cercle ! Il est plongé dans le « plan affine » $\mathbb{A}^2$ +défini par $\mathbb{A}^2(k) = k^2$ pour tout anneau $k$. + +\begin{itemize} +\item Sur $\mathbb{R}$, les solutions forment effectivement un cercle, + au sens naïf. +\item (Sur $\mathbb{C}$, les solutions dans $\mathbb{C}^2$ forment une + surface, qui ressemblerait plutôt à une sphère privée de deux + points.) +\item Sur $\mathbb{F}_q$, on peut compter les solutions : on peut + montrer qu'il y en a $q-1$ ou $q+1$ selon que $q \equiv 1\pmod{4}$ + ou $q \equiv 3\pmod{4}$ (ou encore $q$ pour $q = 2^r$). +\item Sur $\mathbb{Q}$, il n'est pas complètement évident de trouver + des solutions autres que $(\pm 1,0)$ et $(0,\pm 1)$. Un exemple : + $(\frac{4}{5},\frac{3}{5})$ (Pythagore, Euclide...). +\end{itemize} + +Paramétrage des solutions : + +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[scale=3] +\draw[step=.2cm,help lines] (-1.25,-1.25) grid (1.25,1.25); +\draw[->] (-1.15,0) -- (1.15,0); \draw[->] (0,-1.15) -- (0,1.15); +\draw (0,0) circle (1cm); +\draw (1,-1.15) -- (1,1.15); +\coordinate (P) at (0.8,0.6); +\coordinate (Q) at (1,0.6666666667); +\draw (0.8,0) -- (P); +\draw (-1,0) -- node[sloped,auto] {$\scriptstyle\mathrm{pente}=t$} (Q); +\fill[black,opacity=.5] (P) circle (.5pt); +\fill[black,opacity=.5] (Q) circle (.5pt); +\fill[black,opacity=.5] (-1,0) circle (.5pt); +\node[anchor=west] at (Q) {$\scriptstyle (1,2t)$}; +\node[anchor=north east] at (-1,0) {$\scriptstyle (-1,0)$}; +\node[anchor=east] at (P) {$\scriptstyle (\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2})$}; +\end{tikzpicture} +\end{center} + +Un petit calcul géométrique (cf. les formules exprimant +$\cos\theta,\sin\theta$ en fonction de $\tan\frac{\theta}{2}$), +valable sur tout corps $k$ de caractéristique $\neq 2$ (ou en fait +tout anneau dans lequel $2$ est inversible\footnote{C'est-à-dire, une + $\mathbb{Z}[\frac{1}{2}]$-algèbre, où $\mathbb{Z}[\frac{1}{2}] = + \{\frac{a}{2^r}:a\in\mathbb{Z},r\in\mathbb{N}\}$}), permet de +montrer que toute solution $(x,y) \in C(k)$ autre que $(-1,0)$ peut +s'écrire de la forme $(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2})$ avec $t +\in k$ (uniquement défini). + +\emph{Remarques :} (a) ceci correspond à un point +$(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2}) \in C(k(t))$ où $k(t)$ est le +corps des fonctions rationnelles à une indéterminée sur $k$ ; (b) ceci +permet, par exemple, de trouver de nombreuses solutions +sur $\mathbb{Q}$, ou d'en trouver rapidement sur +$\mathbb{F}_q$ ($q$ impair) ; (c) on a, en fait, défini un +« morphisme » d'objets géométriques de la droite affine $\mathbb{A}^1$ +vers le cercle $C$ (privé du point $(-1,0)$). + +On peut aussi définir une structure de \emph{groupe} (abélien) sur les +points de $C(k)$ pour n'importe quel anneau $k$ : si $(x,y) \in C(k)$ +et $(x',y') \in C(k)$, on définit leur composée $(x,y)\star (x',y') = +(x'',y'')$ par +\[ +\left\{\begin{array}{c} +x'' = xx'-yy'\\ +y'' = xy'+yx'\\ +\end{array}\right. +\] +(cf. les formules exprimant +$\cos(\theta+\theta'),\sin(\theta+\theta')$ en fonction de +$\cos\theta,\sin\theta$ et $\cos\theta',\sin\theta'$). Élément +neutre : $(1,0)$ ; inverse de $(x,y)$ : $(x,-y)$. + +(Les fonctions trigonométriques, ``transcendantes'', servent à motiver +ces formules, mais les formules sont parfaitement valables sur +$\mathbb{F}_q$ bien que $\cos\theta,\sin\theta$ n'aient pas de sens !) + + +% +% +% + +\section{TODO} + +Prolégomènes d'algèbre commutative (localisation...). + +Crash-course de théorie de Galois. + +Géométrie algébrique affine facile (idéaux de $k[x_1,\ldots,x_n]$ avec +$k$ alg\textsuperscript{t} clos, Nullsellensatz). + +Introduction à l'espace projectif. + +Un peu d'abstract nonsense. + +Bases de Gröbner. + +Courbes et corps de dimension $1$. + + +% +% +% +\end{document} |