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diff --git a/notes-mdi349.tex b/notes-mdi349.tex index fd5cada..744a7e9 100644 --- a/notes-mdi349.tex +++ b/notes-mdi349.tex @@ -162,7 +162,7 @@ tout anneau dans lequel $2$ est inversible\footnote{C'est-à-dire, une \{\frac{a}{2^r}:a\in\mathbb{Z},r\in\mathbb{N}\}$}), permet de montrer que toute solution $(x,y) \in C(k)$ autre que $(-1,0)$ peut s'écrire de la forme $(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2})$ avec $t -\in k$ (uniquement défini). +\in k$ (uniquement défini, et vérifiant $t^2\neq -1$). \emph{Remarques :} (a) ceci correspond à un point $(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2}) \in C(k(t))$ où $k(t)$ est le @@ -305,6 +305,16 @@ dans $\mathfrak{p}$), et a plus forte raison $xy \not\in \mathfrak{p}$. \end{proof} +En appliquant ce résultat à $A/I$, on obtient : +\begin{prop} +Si $A$ est un anneau et $I$ un idéal de $A$, l'ensemble des éléments +tels que $z^n \in I$ pour un certain $n \in \mathbb{N}$ est un idéal : +c'est le plus petit idéal radical contenant $I$. Cet idéal est +précisément l'intersection des idéaux premiers de $A$ contenant $I$. +On l'appelle le \textbf{radical} de l'idéal $I$ et on le note $\surd +I$. +\end{prop} + L'intersection des idéaux maximaux d'un anneau s'appelle le \textbf{radical de Jacobson} de cet anneau : il est, en général, strictement plus grand que le nilradical. |