diff options
| -rw-r--r-- | notes-geoalg.tex | 63 |
1 files changed, 62 insertions, 1 deletions
diff --git a/notes-geoalg.tex b/notes-geoalg.tex index fbc1350..889b23b 100644 --- a/notes-geoalg.tex +++ b/notes-geoalg.tex @@ -40,6 +40,7 @@ \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\Frob}{\operatorname{Frob}} \newcommand{\Frac}{\operatorname{Frac}} +\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \renewcommand{\qedsymbol}{\smiley} % \DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~} @@ -455,7 +456,7 @@ En itérant ce résultat, on voit que si $A$ est noethérien, alors $A[t_1,\ldots,t_d]$ l'est pour tout $d\in\mathbb{N}$. Comme un quotient d'un anneau noethérien est encore noethérien : -\begin{defn} +\begin{defn}\label{algebre-de-type-fini} Une $A$-algèbre $B$ est dite \textbf{de type fini} (comme $A$-algèbre) lorsqu'il existe $x_1,\ldots,x_d \in B$ (qu'on dit \emph{engendrer} $B$ comme $A$-algèbre) tel que tout élément de $B$ s'écrive @@ -1244,6 +1245,66 @@ défini par $e$ fonctions régulières sur $X$ (c'est-à-dire $Y$ plongé dans $\mathbb{A}^e$), les fonctions définissant $f|_{X'}$ sont simplement $f_1|_{X'},\ldots,f_e|_{X'}$. +\medbreak + +\textbf{Variétés algébriques affines abstraites, et le spectre d'une + algèbre.} + +\textbf{Note :} On considère que deux variétés algébriques (affines) +sont « la même » lorsqu'elle sont isomorphes, alors que deux fermés de +Zariski sont « le même » lorsqu'ils sont égaux dans le $\mathbb{A}^d$ +dans lequel ils vivent. Par exemple, la cubique gauche $C^\sharp$ +décrite ci-dessus, en tant que fermé de Zariski, n'est pas une droite, +mais en tant que variété algébrique affine c'est juste $\mathbb{A}^1$ +puisqu'on a montré qu'elle lui était isomorphe. Ou, si on préfère, un +fermé de Zariski de $\mathbb{A}^d$ est la donnée d'une variété +algébrique affine \emph{plus} un plongement de celle-ci +dans $\mathbb{A}^d$. + +Dans cette optique, si $R$ est une $k$-algèbre de type fini (on +rappelle, cf. \ref{algebre-de-type-fini}, que cela signifie que $R$ +est engendrée en tant qu'algèbre par un nombre fini d'éléments +$x_1,\ldots,x_d$, autrement dit que $R$ peut se voir comme le quotient +de $k[t_1,\ldots,t_d]$ par un idéal $(f_1,\ldots,f_r)$ de ce dernier) +et si $R$ est réduite, alors on peut voir $R$ comme l'anneau +$\mathcal{O}(X)$ pour une certaine variété algébrique $X$, à savoir le +$X = Z(f_1,\ldots,f_r)$ défini par les équations +$f_1=0,\ldots,\penalty-100 f_r=0$ dans $\mathbb{A}^d$. Cette variété +est unique en ce sens que toutes les variétés $X$ telles que +$\mathcal{O}(X) = R$ sont isomorphes (puisque leurs $\mathcal{O}(X)$ +sont isomorphes, justement). On peut donc donner un nom à $X$ : c'est +le \textbf{spectre} de $R$, noté $\Spec R$. (Par exemple, $\Spec k[t] += \mathbb{A}^1_k$ et plus généralement $\Spec k[t_1,\ldots,t_d] = +\mathbb{A}^d_k$. Et bien sûr, $\Spec k$ est vu comme un point, ou, +pour être plus explicite, un $k$-point.) + +(\emph{Avertissement 1 :} Tout le monde est d'accord sur l'identité de +$\Spec R$ en tant qu'objet géométrique, en l'occurrence, une variété +algébrique affine ; par exemple, $\Spec k[x,y]/(x^2+y^2-1)$ est +indubitablement une vision idéalisée du « cercle unité ». Néanmoins, +il existe différentes façons de formaliser la notion de variété +algébrique : comme nous nous sommes placés sur $k$ un corps +algébriquement clos, nous avons vu $\Spec R$ plutôt comme l'ensemble +des idéaux maximaux de $R$ ; une description qui marche mieux en +général, et qu'on retrouve souvent, consiste à formaliser $\Spec R$ +comme l'ensemble des idéaux \emph{premiers} de $R$ ; enfin, une autre +description, tout à fait générale, consiste à voir $\Spec R$ par ce +qu'on a appelé son foncteur des points, c'est-à-dire la donnée pour +chaque $k$-algèbre $A$ de l'ensemble $(\Spec R)(A) = \Hom_k(R,A)$, et +pour chaque morphisme de $k$-algèbres $\varphi\colon A \to A'$, de +l'application $(\Spec R)(\varphi) \colon \Hom_k(R,A) \to \Hom_k(R,A')$ +qui s'en déduit.) + +(\emph{Avertissement 2 :} Les gens savants n'ont pas peur de définir +$\Spec R$ même si $R$ n'est pas réduite, c'est-à-dire, a des +nilpotents. Il faut imaginer, par exemple, que si $R = k[\varepsilon] +:= k[t]/(t^2)$, alors $\Spec R$ est un point « un peu épaissi », ou +entouré d'un « flou infinitésimal », comparé à $\Spec k$ qui est un +point sans ornement de ce genre. Ce point de vue rend plus difficile +la vision géométrique des choses, mais a des avantages considérables, +par exemple qu'un morphisme $\Spec k[\varepsilon] \to X$ peut se voir +comme un vecteur tangent à $X$.) + % \subsection{La topologie de Zariski} |