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diff --git a/notes-mdi349.tex b/notes-mdi349.tex index b05507e..fd5cada 100644 --- a/notes-mdi349.tex +++ b/notes-mdi349.tex @@ -36,6 +36,7 @@ \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\Frob}{\operatorname{Frob}} +\newcommand{\Frac}{\operatorname{Frac}} \renewcommand{\qedsymbol}{\smiley} % \DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~} @@ -237,6 +238,77 @@ que si $x^n \in \mathfrak{r}$ alors $x \in \mathfrak{r}$. Propriété équivalente : c'est un idéal $\mathfrak{r}$ tel que $A/\mathfrak{r}$ soit réduit. +\smallbreak + +Un anneau est un corps ssi son idéal $(0)$ est maximal. Un anneau est +intègre ssi son idéal $(0)$ est premier. Un anneau est réduit ssi son +idéal $(0)$ est radical. + +Un anneau est dit \textbf{local} lorsqu'il a un unique idéal maximal. +(En particulier, un corps est un anneau local.) + +\smallbreak + +On admet le résultat ensembliste suivant : +\begin{lem}[principe maximal de Hausdorff] +Soit $\mathscr{F}$ un ensemble de parties d'un ensemble $A$. On +suppose que $\mathscr{F}$ est non vide et que pour toute partie non +vide $\mathscr{T}$ de $\mathscr{F}$ totalement ordonnée par +l'inclusion (c'est-à-dire telle que pour $I,I' \in \mathscr{T}$ on a +soit $I \subseteq I'$ soit $I \supseteq I'$) la réunion $\bigcup_{I + \in \mathscr{T}} I$ soit contenue dans un élément de $\mathscr{F}$. +Alors il existe dans $\mathscr{F}$ un élément $\mathfrak{M}$ maximal +pour l'inclusion (c'est-à-dire tel que $I \subseteq \mathfrak{M}$ pour +tout $I \in \mathscr{F}$). +\end{lem} + +\begin{prop} +Dans un anneau $A$, tout idéal strict (=autre que $A$) est inclus dans +un idéal maximal. +\end{prop} +\begin{proof} +Si $I$ est un idéal strict de $A$, on applique le lemme de Zorn à +$\mathscr{F}$ l'ensemble des idéaux stricts de $A$ contenant $I$. Si +$\mathscr{T}$ est une chaîne (=partie totalement ordonnée pour +l'inclusion) de tels idéaux, la réunion $\bigcup_{I \in \mathscr{T}} +I$ en est encore un. Le principe maximal de Hausdorff permet de +conclure. +\end{proof} + +\begin{prop} +Dans un anneau, l'ensemble des éléments nilpotents est un idéal : +c'est le plus petit idéal radical. Cet idéal est précisément +l'intersection des idéaux premiers de l'anneau. On l'appelle le +\textbf{nilradical} de l'anneau. +\end{prop} +\begin{proof} +L'ensemble des nilpotents est un idéal car si $x^n=0$ et $y^n=0$ alors +$(x+y)^{2n}=0$ en développant. Il est inclus dans tout idéal radical, +et il est visiblement lui-même radical : c'est donc le plus petit +idéal radical. Étant inclus dans tout idéal radical, il est \textit{a + fortiori} inclus dans tout idéal premier. Reste à montrer que si +$z$ est inclus dans tout idéal premier, alors $x$ est nilpotent. + +Supposons que $z$ n'est pas nilpotent. Considérons $\mathfrak{p}$ un +idéal maximal pour l'inclusion parmi les idéaux ne contenant aucun +$z^n$ : un tel idéal existe d'après le principe maximal de Hausdorff +(il existe un idéal ne contenant aucun $z^n$, à savoir $\{0\}$). +Montrons qu'il est premier : si $x,y \not \in \mathfrak{p}$, on veut +voir que $xy \not\in \mathfrak{p}$. Par maximalité de $\mathfrak{p}$, +chacun des idéaux $\mathfrak{p}+(x)$ et $\mathfrak{p}+(y)$ doit +rencontrer $\{z^n\}$, c'est-à-dire qu'on doit pouvoir trouver deux +éléments de la forme $f+ax$ et $g+by$ avec $f,g\in\mathfrak{p}$ et +$a,b\in A$, qui soient des puissances de $z$ ; leur produit est alors +aussi une puissance de $z$, donc n'est pas dans $\mathfrak{p}$, donc +$abxy \not\in\mathfrak{p}$ (car les trois autres termes sont +dans $\mathfrak{p}$), et a plus forte raison $xy \not\in +\mathfrak{p}$. +\end{proof} + +L'intersection des idéaux maximaux d'un anneau s'appelle le +\textbf{radical de Jacobson} de cet anneau : il est, en général, +strictement plus grand que le nilradical. + % \subsection{Modules} @@ -411,6 +483,55 @@ $k$-algèbres tel que $\beta_A = \Hom_k(A,\beta)$ pour tout $A$. Prendre pour $\beta$ l'image de l'identité $\id_B$ par $\beta_B$ ! \end{proof} +% +\subsection{Localisation} + +On dit qu'une partie $S$ d'un anneau $A$ est \emph{multiplicative} +lorsque $1\in S$ et $s,s'\in S \limp ss'\in S$. Par exemple, le +complémentaire d'un idéal premier est, par définition, +multiplicative ; en particulier, dans un anneau intègre, l'ensemble +des éléments non nuls est une partie multiplicative. + +Dans ces conditions, on construit un anneau noté $A[S^{-1}]$ (ou +$S^{-1}A$) de la façon suivante : ses éléments sont notés $a/s$ avec +$a\in A$ et $s \in S$, où on identifie $a/s = a'/s'$ lorsqu'il existe +$t \in S$ tel que $t(a's-as') = 0$. L'addition est définie par +$(a/s)+(a'/s') = (a's+as')/(ss')$ (le zéro par $0/1$, l'opposé par +$-(a/s) = (-a)/s$) et la multiplication par $(a/s)\cdot (a'/s') = +(aa')/(ss')$ (l'unité par $1/1$). Cet anneau est muni d'un morphisme +naturel $A \buildrel\iota\over\to A[S^{-1}]$ donné par $a \mapsto +a/1$. On l'appelle le \textbf{localisé} de $A$ inversant la partie +multiplicative $S$. + +\begin{prop} +\begin{itemize} +\item Le morphisme naturel $A \buildrel\iota\over\to A[S^{-1}]$ est + injectif si et seulement si $S$ ne contient aucun diviseur de zéro. +\item Tout idéal $J$ de $A[S^{-1}]$ est de la forme $J = I[S^{-1}] := + \{a/s : a\in I, s \in S\}$ où $I$ est l'image réciproque dans $A$ + (par le morphisme naturel $\iota\colon A \to A[S^{-1}]$) de l'idéal + $J$ considéré. Autrement dit, $J \mapsto \iota^{-1}(J)$ définit une + injection des idéaux de $A[S^{-1}]$ dans ceux de $A$. +\item Un idéal $I$ de $A$ est de la forme $\iota^{-1}(J)$ pour un + idéal $J$ de $A[S^{-1}]$ (nécessairement $J = I[S^{-1}]$ d'après le + point précédent) ssi aucun élément de $S$ n'est diviseur de zéro + dans $A/I$. +\item En particulier, $\mathfrak{p} \mapsto \iota^{-1}(\mathfrak{p})$ + définit une bijection entre les idéaux premiers de $A[S^{-1}]$ et + ceux de $A$ ne rencontrant pas $S$. +\end{itemize} +\end{prop} + +Cas particuliers importants : si $\mathfrak{p}$ est premier et $S = +A\setminus\mathfrak{p}$ est son complémentaire, on note +$A_{\mathfrak{p}} = A[S^{-1}]$ ; c'est un anneau local (dont l'idéal +maximal est $\mathfrak{p}[S^{-1}] = \{a/s : a\in \mathfrak{p}, s +\not\in \mathfrak{p}\}$) : on l'appelle le localisé de $A$ +\textbf{en} $\mathfrak{p}$. Si $A$ est un anneau intègre et $S = A +\setminus\{0\}$ l'ensemble des éléments non nuls de $A$, on note +$\Frac(A) = A[S^{-1}]$ : c'est un corps, appelé \textbf{corps des + fractions} de $A$. + % % |